不等式在中學數學中的應用
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不等式在中學數學中的應用范文第1篇
在高中數學學科教學中，不等式教學是其中重要的內容.在教學不等式內容過程中，積極應用數學思維可以讓學生更好地進行學習.筆者在教育教學實踐基礎上，總結出在高中數學不等式教學中，如何應用數學思維促進教學效率提高的方法，重點從以下幾個方面給予闡述.以更好地在高中數學教學中強化和鍛煉學生的數學思維.
一、對數學思維的認識
（一）定義
在高中數學教學中所說的數學思維，實際上指的是一種概括性的思考的方法.這種思考方法是在對經驗實施歸納和總結基礎上，繼而提出具有邏輯推理能力的方法和規(guī)則.這種思維主要是對事物之間的數量關系跟外部空間展開抽象化的概括.在思維的類別上，專家已經將思維分為三個類別：直覺思維、形象思維和邏輯思維.在這三種思維中，直覺思維是人在學習過程中所形成的一種敏感的判斷力.而形象思維則是通過具體的一些現象而感知到的思維.邏輯思維是根據某一種事物的邏輯層面上的規(guī)律而展開的一種思維活動.就數學教學而言，就是應用邏輯思維對數學知識進行概括、分析和推理.
（二）在高中數學不等式教學中應用數學思維的作用
就學科特點而言，高中數學學科不同于語文學科，具有很強的抽象性，但是正因為抽象性，其邏輯性極其突出.其中不等式知識就是其中一例.在教學過程中，如果強調應用數學思維，尤其是邏輯思維，那么必然有助于教學效率的提高.在實際的高中不等式數學教學中，廣泛地應用數學思維，不僅能夠有效地促使學生的綜合能力的提升，還有助于高中學生對不等式知識的理解，促進他們創(chuàng)新能力的提高.此外，由于數學來源于生活，跟生活有著緊密的聯系，故而，教師在教學過程中如果將不等式理論知識跟實踐有機地結合進行教學，其教學的效果會更好.
二、在高中不等式教學中對數學思維的具體應用
（一）“數+形”結合的思維模式
由于數學學科的自身的特點，要教好高中的數學必須充分地將“數”與“形”有機結合起來.在高中的不等式教學過程中，積極采用“數+形”結合思維，主要是要求學生能夠通過“數”的方式促進對“形”問題的解決，能夠通過“形”的方式得出“數”的結論.在高中數學教學中對“數+形”結合思維，實際上已廣泛地應用.比如，三角法、圖解法和數軸，以及復數法等，就是典型的“數+形”結合思維.在高中不等式教學中運用這種思維可以將原本復雜的問題進一步簡單化.充分地讓抽象的問題具體化，促使學生用比較少的時間解決好數學問題，真正促進不等式數學教學效率的提高.
比如，我們在教學求解x3+3x-4≥0這一不等式的時候，教師可以將不等式進行分解變形：（x-1）（x+2）2≥0.接著將x=1，x=-2，在函數圖形中準確地標注，再通過“圖”就可以將該不等式的解集區(qū)域形象地呈現給學生，促進學生的理解和把握.這就是典型的一種“數+形”結合思維.這樣有助于學生在最短的時間里尋找到答案.
（二）函數方程的思維模式
在高中數學不等式的教學過程中，運用函數方程的思維模式進行教學，實際上就是將不等式進行轉化成一種與之相互對應的函數或者方程問題，然后，對轉換后的函數或者方程進行解答，進而尋找答案.比如，在教學高中不等式的時候，可以將不等式充分地轉換為兩個函數值之間的一種不相等的關系，然后，由函數f（x）=0，進而計算出y=f（x）的零點.通過方程的解答會促使學生發(fā)現函數跟不等式之間有著緊密的關系.在高中不等式的教學中，應用函數方程的思維模式來解答，需要注意的是，一定要讓學生理解方程和函數的概念，以及兩個概念之間所存在的差異性.所以，在運用函數方程的思維模式來解答不等式時，必須要求學生掌握函數與方程的異同，而后進行解答，這樣有助于提高學生們的數學思維能力.
（三）化歸性的思維模式
化歸性的思維實際上就是一種轉換性的思維.這種思維模式，就是對不等式數學知識，通過觀察、類比以及聯想等各種形式將其轉換為另外一種形式的問題，實現復雜問題簡單化.在高中不等式的教學中，充分地應用化歸性的思維模式，可以將各種類型的不等式簡單化、具體化.與此同時，學生在運用化歸性的思維過程中，促進他們對舊知識的有效鞏固，進而全面地掌握數學公式中的結構特性，培養(yǎng)學生從不同的角度去思考問題和解決問題的能力.
不等式在中學數學中的應用范文第2篇
【關鍵詞】數學分析 數學教學 中學教育 數學素養(yǎng)
【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）04-0127-01
數學分析在我國中學數學教學中的應用現狀來看，其并非是一種簡單的輔助教學方法，同時也是學生未來接觸高等數學的必要學習內容之一。數學分析有助于培養(yǎng)學生發(fā)現問題、分析問題以及解決問題的能力，加強對其的研究有助于為后續(xù)理論研究以及實踐教學活動開展提供參考依據。
一、中學數學教學中應用數學分析的指導作用
在中學數學教學中，應用數學分析具有十分深遠的影響，所起到的作用十分突出，具體表現在以下幾個方面：
（一）培養(yǎng)學生學習能力
在中學數學教學中，由于學科特性，很多學生在面臨抽象的幾何圖像和復雜的函數計算時會感到十分抵觸，有時候會感覺無從下手。可以說，數學分析能力水平高低，直接影響著學生的邏輯思維能力和空間想象能力。數學分析有助于學生沉淀所學的數學知識，對于學生知識積累程度同樣存在直觀重要的影響。
（二）培養(yǎng)學生舉一反三能力
就當前我國教育事業(yè)發(fā)展現狀來看，新課標教育改革提倡學生綜合素質全面發(fā)展，部分中學數學教材內容經過反復的刪減和增添后，內容更有助于學生學習，課堂教學也更加流暢。與此同時，中學課堂教學中對于不等式以及函數知識點的學習中，可以利用數學分析方法，尋找知識點中的樂趣，打破知識點的枯燥乏味，從而整合舊有知識，能夠舉一反三，掌握更多其他的知識。
（三）培養(yǎng)學生數學應用意識
數學并非是一門紙上談兵的學科，需要注重理論知識的實踐應用，通過數學分析在教學中的應用，能夠將數學教材中更多典型的例子深化分析，通過自身所掌握的數學知識來解決實際生活中存在的問題。通過對這些實際例子分析和學習，有助于不斷提高學生的實踐應用意識和數學素養(yǎng)。
（四）為教學問題提供理論依據
中學數學課堂教學中，對于一些復雜、困難的數學問題，同給制作函數圖形能夠有效解決此類問題，除了通過函數單調性來判斷極值點以外，還可以通過描點法構建函數圖形，為解題提供幫助。在中學數學分析中，更多的是掌握基本函數知識，這些函數曲線并非是簡單的連接，同時在每一點處都有切線，將這些點連接到一起，就形成了一條平滑的曲線。
二、中學數學分析在中學數學中的應用
（一）函數單調性
在中學數學教學中應用數學分析法，可以通過對數學知識的定義來推動出其他的知識內涵，諸如可以通過導數定義判斷函數單調性，這樣在尋找極值點的時候更加便捷，求出漸近線，最后畫出函數圖。此外，在數學教學中，微分學具有十分重要的作用，教師亦可以通過一系列的組合提問方法，幫助學生掌握合理的數學解題技巧。在判斷函數單調性時候，學生多數通過定義內容及進行計算得出，這種方法十分麻煩，耗時耗力，但是如果采用微分學的嚴格單調充分條件定力，能夠更加簡單的判斷出函數的單調性，即任意的x∈（a，b），如果f@（x）>0或f@（x）
（二）不等式證明
不等式知識掌握是否熟練，對于其他知識的學習有著深遠的影響。諸如在三角方程教學中，極值條件、三角函數以及不等式之間聯系十分密切，對于不等式證明方法同樣有很多種，但是尚未具有固定的解題模式。中學階段對于不等式數學分析，主要是一些基礎的不等式證明，多數采用數學歸納法和恒等變形方法。其中恒等變形發(fā)具有固定的解題模式，通過拼湊而成能夠應用的不等式進行證明。函數單調性同樣可以在掌握一些定積分知識后，從另一個角度來求解不等式，這種方式能夠有效精簡不等式求解過程，更加直觀易懂，學生應用起來得心應手，提升學習成效。
在中學課堂教學中，由于學科特性，很多學生在理解知識點時會感到費力，應用數學分析教學方法能夠有效緩解此類問題，在數學教學中應用主要是針對導數、三角函數、不等式證明等知識點。在實際教學中，教師需要向學生講解清楚數學分析法的應用原理，確保解題思路正確，潛移默化中提高數學素養(yǎng)和綜合能力。
參考文獻：
[1]劉小松.高師數學專業(yè)本科畢業(yè)論文撰寫論析――以數學分析研究性內容為例[J].當代教育理論與實踐，2011，03（2）.
[2]胡洪萍，馬巧云.新課標體系下高師數學分析教學與中學數學銜接的探索[J].教育探索，2012（9）.
不等式在中學數學中的應用范文第3篇
關鍵詞：中學 數學 數學分析 教學 微積分 三角函數
中圖分類號：G412 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）04（b）-0164-02
當前，數學分析不僅屬于中學數學課堂教學實踐階段中較為常見的輔助教學方式，同時數學分析也是未來許多學生在學習高級微積分等工科專業(yè)的必修課程之一。因此，在中學數學專業(yè)課程學習實踐階段，應用數學分析方法，提高學生邏輯推理等抽象思維能力，就必須對數學分析方法有一個初步了解，從而為三角函數和導數概念的學習打下基礎，逐步的提高學生對數學分析的應用。數學分析是以初等數學為基礎，在長期的解決初等數學問題的實踐中而逐漸發(fā)展形成起來的。特別是在解決某些初等數學問題時，數學分析提供了新的方法和手段。通過數學分析，我們可以在一個更高點上去觀察初等問題，從而確定解題思路，同時還可以幫助我們了解一些問題的本質。與此同時，還可以借助高等數學的思想去擬造一些初等問題。因此，在中學數學教學中，數學分析占有重要的地位。
1 在中學數學教學中，數學分析的重要指導作用
1.1 培養(yǎng)能力，增強素質
可以說，對于學習中學數學課堂的絕多數學生而言，其數學分析能力高低，也間接決定著其邏輯推理、幾何分析、語言表達等抽象思維能力的高低。換言之，數學分析的一個重要作用就是沉淀和積累所學的數學知識，即數學分析能力的培養(yǎng)和知識積累水平的高低是息息相關的。同樣，學生數學思維能力強弱與否都是建立在必要的基礎知識之上。如果學生不能夠在中學時打下良好的基礎，不能夠掌握基本的知識點，那么就會使邏輯思維變?yōu)椤盁o源之水、無本之木”，從而阻礙數學學習能力的養(yǎng)成；因此，學生數學學習水平提高的關鍵就是數學分析能力的提高。
1.2 觸類旁通，一通百通
現階段，由于新課標改革，已有一些高中的數學知識編寫到了中學數學教材中。因此，中學數學的知識點不再是單純的掌握性質、法則、公式、公理、定義和定理，同時還需要體會到這些定理、公式等都在一定程度上融合了數學分析思想；此外，中學數學教材經過多番修改及刪減后，其課堂數學課堂所學教學內容也更為流暢與易于學習。其中，中學教學課堂上在討論不等式的證明、函數的單調性等知識點時，應該運用數學分析的思維模式，使學生學習了這個知識點之后，還能夠掌握其他的知識點，達到觸類旁通的效果。
1.3 為教學問題提供了一定理論依據
我們知道，在數學課堂教學中通過制作出函數圖形可以有效解決一些典型題型。但除了應用能夠明顯判斷來的函數單調性去確認出某些極值點以外，最普遍的解題方法還是應用描點法來構建函數圖形，但如何保障該圖形是否是真正的函數圖形還有待進一步考證。此外，不少學生甚至會產生這樣幾種疑問，即在坐標系中，選取哪些點可以更可靠的描述出函數圖像？繪制出的函數圖形為什么是一條平滑的曲線？事實上，中學數學教材中并沒有給出這些問題的十分合理的答案。在中學的數學分析中，都只是掌握了基本初等函數，且這些函數在定義域中都是連續(xù)可微的，所以這些函數的曲線不僅是連續(xù)的而且在每一點都有切線，因此函數的圖像是一條平滑的曲線。另外，還可以通過判斷初等函數的單調性和凹凸性來尋找函數的極值點和拐點，然后再應用極限來求得漸近線，進而可以構建出一些拐點、坐標軸交點等“重要點”，使之描述出可靠的函數草圖用以解決問題?；诖?，中學教師課堂上在講述數學分析的基本應用思路時，可以應用基本數學分析方法來求得答案，要做到心中有數的基礎之上，結合學生實際學習差異情況，設置出利于課程學習又能解決教學問題的教學方案，如此一來才能有效解決一些課堂教學問題，并使學生能夠容易接受教學方案。
2 中學數學分析在中學數學中的應用
2.1 關于函數單調性
在數學分析中，還可以通過導數的定義來判斷函數的單調性和凹凸性，從而尋找函數的極值點和拐點，隨后在利用極限的定義求出漸近線，然后確定函數的草圖。因此可以說微分學在數學教學中占有重要的地位。教師在數學教學時，可以選取一些典型的題型，通過提問、數學結合等方式讓學生徹底的掌握這種解題方法。例如，在判斷函數的單調性時，大多數是通過定義來進行計算的，這種方法比較繁瑣復雜。但是如果采用微分學中的嚴格單調充分條件定理，可以得到：對于任意的x∈（a，b），如果f@（x）>0或f@（x）
2.2 關于不等式的證明
在中學數學教學的方程解析中，還可以經常見到利用不等式進行數學分析，例如三角方程和不定方程等。事實上，極值條件、幾何分析、三角函數和不等式之間是有著密切的聯系的。同時，對于不等式證明而言，其證明解題方法也十分多見，并沒有系統(tǒng)的或是固定的解題模式。中學階段的不等式數學分析法都是一些初等不等式證明應用，常用的教學方法都基本以數學歸納法或是恒等變形為主。其中，應用恒等變形有著一套較為巧妙的解題證明技巧，即通過非負的項或是用其拼湊成能夠應用的不等式來進行證明。另外，函數單調性也可以結合中值定理，或是掌握一些定積分性質也可以有效簡化不等式證明過程，便于中學教師向學生更直觀的描述數學分析的解題思路。
2.3 關于定積分應用
中學數學教學中，雖然關于一些常見規(guī)則平面或立體圖形面積、表面積、體積等提供必要相關公式，但是仍然有些圖形不能通過一些公式直觀的推到出來。同時，關于體積計算問題研究時我們基本也是通過中學數學教材中的祖定理推出椎、柱、臺、球等基本圖形的體積公式。但事實數學分析中，我們還可以對面積、體積通過積分或者重積分的形式將其計算推導出來。也就是說，祖定理關于柱、錐、球等體積公式的推導通過定積分概念便能將其快速給出證明。這樣一來，中學數學教師可以視數學分析法作為一種教學工具，特別是在遇到三角函數、體積、面積等計算、推導等問題時，都可以較為簡化、簡潔的解析問題，并為中學數學課堂教學解題、講解操作時指明了方向。
2.4 級數理論應用
級數理論也屬于數學教學中數學分析的主要內容。它的應用一般對函數級數展開式予以近似計算。比如，三角函數與常用對數表等基本上都會應用級數理論來計算出其近似值。因此，中學老師利用數學分析法應能充分掌握這些知識點，并能實踐應用于相關題型的解析、推導等過程中，并能通過級數理論的講解來教授學生查表，包括講解一些常熟的超越性等，以逐步激發(fā)學生該時期的濃厚鉆研興趣。
3 結語
在中學課堂教學中，應用數學分析的教學方法有很多種，其中以導數概念、三角函數、不等式證明、級數理論應用等比較常見。教師在中學數學教學時，不僅需要向學生講解數學分析這種方法，還應該選取一些典型的例題，讓學生通過這些例題做到心中有數，保證解題時的嚴謹性。另外，教師還需要根據不同學生的學習情況，設計能夠涵蓋所有課堂知識點的教學方案，使學生能夠更好的消化和吸收所學的知識，逐漸掌握數學分析方法，提高其創(chuàng)新能力和分析能力。
參考文獻
[1] 周紹鋒.數學分析對中學數學教學的影響研究[J].都市家教（下半月），2013（9）：46.
[2] 何芳芳，王套.數學分析原理和方法在中學數學中的應用[J].湖南農機，2013（2）：181-182.
不等式在中學數學中的應用范文第4篇
【關鍵詞】 初中不等式；教學探究
初中數學教學要體現數學課程改革的基本理念，必須充分考慮數學學科的特點、學生心理特點和認知發(fā)展水平，針對不同水平和興趣的學生實行多樣化教學方法，也可運用多種教學方法和手段，引導學生能積極主動的學習. 而不等式的證明方面，方法靈活多樣，還和很多內容相結合，它既是中學數學教學的難點也是數學競賽培訓當中的熱點.
一、注重基礎知識的教學
初中的數學內容較小學教學內容要更系統(tǒng)和更深入，涉及面更廣. 因此教師在教學中應該注重基礎知識的教學，幫助學生打下厚實的基礎，以作用于學生日后的數學學習. 首先一點就是師生的關系應該擺正. 在中國的教育當中一直強調著“師道尊嚴”. 老師在課堂上一般都是居高而下，普遍都是老師在講臺上講，學生在下面埋頭“消化”老師講的知識點. 老師掌握著上課的節(jié)奏，這樣學生就顯得很被動. 在初中不等式教學當中涉及很多的知識點，學生僅僅知道一些公式而不會運用也是教學的一種失敗. 注重基礎知識在教學當中就顯得尤為重要. 不等式的解題方式多樣，內容豐富，技巧性較強，并且要依據題設、題目的結構特點、內在聯系，選擇適當的解題方法，這就要熟悉解題中的推理思維，需要掌握相應的步驟、技巧和語言特點. 而這一切都是建立在學生夯實的基礎之上的. 學生的基礎知識不扎實的話，在解不等式題型時就舉步維艱.
夯實的基礎來源于學生對不等式概念知識的掌握和運用，而概念的形成有一個從具體到表象到抽象的過程. 對不等式抽象概念的教學，更要關注概念的實際背景和學生對概念的掌握程度. 數學的概念也是數學命題、數學推理的基礎，學生學習不等式這個知識點也是從概念的學習開始的，所以在不等式教學探究中教師應注重學生的基礎.
二、注重學生對知識的歸納和整理
提高初中數學不等式教學效果首先要培養(yǎng)學生主動探索數學知識的精神，通過尋求不同思維達到解題效果來激發(fā)學生對數學學習的興趣. 引導學生主動去對數學不等式知識進行探究，通過結合所學的數學知識來形成一個完整的數學知識網絡，以幫助學生完成更深入的數學知識探究. 同時初中數學不等式知識點的學習對學生歸納能力提出了較高的要求. 靈活使用概念能力的提高能夠幫助學生熟練地運用數學知識，以及對不等式這一章節(jié)知識點的掌握、歸納和整理，進行綜合的運用，從而能夠成功地解題. 例如，解關于x的不等式2 + a < a|x - 1|. 這類題目需要學生對絕對值知識點的歸納和總結，（I）當a = 0時， 解集是空；（II）當a > 0時，解集是x < -2 或x > 2；（III）當-2 ≤ a < 0時，解集為空；（IV）當a < -2時，解集為-2 < x < 2. 當學生對知識點在腦子進行了歸納和整理，學生也就不會馬失前蹄（題）.
三、開發(fā)學生解題技巧，培養(yǎng)學生獨立思考
不等式在中學數學中的應用范文第5篇
汕頭市潮南區(qū)臚溪中學 胡小霞
解決不等式問題是中學數學中的一個難點，有些不等式問題采用常規(guī)方法難以解決，若能巧妙地構造函數將不等式問題轉化為函數問題，使問題獲得較好解決。本文就近幾年高考題中與不等式有關的幾道試題予以簡要剖析，以此體會導數法解決不等式證明問題及恒成立問題有效性.通過構造新函數成為解證不等式的良好“載體”，以下通過具體實例加以說明。
一、利用導數證明不等式
根據不等式的特點構造函數，通過新函數的導數來證明單調性,然后再利用新函數的最值達到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉化為函數問題。具體有如下幾種形式：
1、 直接作差“構造函數”證明不等式
題目：已知函數，求證：當時，恒有
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數，從其導數入手即可證明。
證明：
∴當時，，即在上為增函數；
當時，，即在上為減函數，故函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間。于是函數在上的最大值為。
因此，當時，，即∴ （右邊得證），
現證左面，構造新函數
時，；時，。即在上為減函數，在上為增函數，故函數在上的最小值為，
∴當時，，即∴（左邊得證）
綜上可知，當
本題首先根據題意作差“構造函數”，通過導數判斷新函數的單調性，利用最值，從而達到證明不等式的目的。
2、適當放縮后再“構造函數”證明不等式
題目：已知函數其中n∈N*,為常數.當時，證明：當n為奇數時,當時，有.
分析：對當n為奇數時的進行放縮處理，再移項作差“構造函數”，利用導數判斷其單調性。
證明：因為a=1,所以 因為n為奇數，時，＜0，
要證, 所以只需證,令,
,所以當時，單調遞增，
又， 所以當時，恒有,
即命題成立. 綜上所述，當n為奇數時,當時，有.
本題與直接“構造函數”不同，在當n為奇數時,先進行了適當放縮后再進行構造，使本來復雜的函數變得簡單容易處理，較為簡捷；但放縮要注意恰到好處。
3、利用式子的相似來“構造函數”證明不等式
題目：對任意實數a和b,成立不等式
分析：根據不等式中式子的結構特點,形狀相似于函數在相應幾個點的函數值
證明：構造函數
所以內嚴格遞增。于是
由得
即 ，又因為
即證得
這個分式不等式中的絕對值不便于去掉，所以通過分析不等式左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構造的函數的兩個取值點，然后利用函數的單調性來證明。
二、利用導數解決不等式恒成立問題
不等式恒成立問題，一般都會涉及到求參數范圍，往往把變量分離后可以轉化為 (或)恒成立，從而把不等式恒成立問題轉化為函數求最值問題．因此，利用導數求函數最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法
題目：已知函數的最大值為0，若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.求的最大值.
解析:不等式等價于不等式
由知,所以 ,換元令，
構造函數：
由已知得構造函數，
所以當得在上為減函數.
故函數在上的最小值為，所以的最大值為。
本題主要是先兩邊取對數再進行參數分離并進行構造新函數轉化利用單調性求最小值解決問題；值得注意的是本題在當導數的符號難以直接判斷時可以考慮進行二次構造新函數，是典型的用“構造函數”轉化并解決問題的好例。
總之，不論是證明不等式還是解不等式恒成立問題，只要我們仔細研究不等式的結構特征，聯想到“構造函數”再結合導數的知識來證明不等式或解決恒成立問題，這類問題的解決就會變得輕車熟路。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。
