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勾股定理證明方法范文第1篇

關(guān)鍵詞：高三化學(xué)實(shí)驗(yàn)；高效復(fù)習(xí)

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號：1002-7661（2015）04-206-01

何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據(jù)考證，人類對這條定理的認(rèn)識(shí)已經(jīng)超過了4000年。據(jù)史料記載，世上有300多個(gè)對此定理的證明。勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩。1940年出版過一本名為《畢達(dá)哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實(shí)際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法。這是數(shù)學(xué)中任何定理都無法比擬的。

本文中僅介紹勾股定理的證明方法中最為精彩的兩種證明方法，據(jù)說分別來源于中國和希臘。

1、中國方法：畫兩個(gè)邊長為 的正方形，如圖，其中 為直角邊， 為斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形，左右四個(gè)三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個(gè)正方形，分別以 為邊，右圖剩下以 為邊的正方形。 于是得 。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2、希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形。 如圖，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面積與矩形 的面積相等。

同理可證得，正方形 的面積與矩形 的面積相等。

所以 ，即 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補(bǔ)法得到。這里只用到簡單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個(gè)證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個(gè)基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等；⑵ 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

勾股定理證明方法范文第2篇

1本章內(nèi)容概述

直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質(zhì)，如兩個(gè)銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質(zhì)，有極其廣泛的應(yīng)用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個(gè)直角，直角是生產(chǎn)和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，這就搭建起了幾何圖形和數(shù)量關(guān)系之間的一座橋梁，從而發(fā)揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學(xué)、解析幾何學(xué)、微積分學(xué)中都是理論的基礎(chǔ)，定理對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展也產(chǎn)生了重要而深遠(yuǎn)的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.所以，勾股定理不僅被認(rèn)為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認(rèn)為是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一.

本章分為兩節(jié)，第一節(jié)介紹勾股定理及其應(yīng)用，第二節(jié)介紹勾股定理的逆定理及其應(yīng)用.

在第一節(jié)中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計(jì)算、猜想、證明及簡單應(yīng)用的過程.教科書首先簡略講述了畢達(dá)哥拉斯從觀察地面圖案的面積關(guān)系發(fā)現(xiàn)勾股定理的傳說故事，并讓學(xué)生也去觀察同樣的圖案，以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關(guān)系.在進(jìn)一步的“探究”中又讓學(xué)生對某些直角三角形進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發(fā)現(xiàn)以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結(jié)論提出了猜想.

歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀(jì)三國時(shí)期中國數(shù)學(xué)家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據(jù)是圖形在經(jīng)過適當(dāng)切割后再另拼接成一個(gè)新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關(guān)系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質(zhì).在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經(jīng)過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.

根據(jù)勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據(jù)勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應(yīng)安排了兩個(gè)例題和一個(gè)“探究”欄目，讓學(xué)生學(xué)習(xí)運(yùn)用勾股定理解決問題，并運(yùn)用定理證明了斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

在第二節(jié)中，教科書首先讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個(gè)猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是直角三角形的一種重要依據(jù).教科書安排了兩個(gè)例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用這個(gè)定理.本節(jié)結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng)配備了一些練習(xí)和習(xí)題.

2編寫時(shí)考慮的幾個(gè)問題

2.1讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理及其逆定理的探索過程

勾股定理及其逆定理都是初等數(shù)學(xué)中的重要定理，同時(shí)，這兩個(gè)定理也都是多數(shù)初中學(xué)生在教師的精心引導(dǎo)下通過探索能夠發(fā)現(xiàn)并證明的定理，教學(xué)中要重視這兩個(gè)定理的教學(xué)，在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲得兩個(gè)定理的證明.

教科書對勾股定理的教學(xué)，設(shè)計(jì)了一個(gè)從特殊到一般的探索、發(fā)現(xiàn)和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結(jié)論證明的趙爽證法的引入.這是一個(gè)典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設(shè)計(jì)了從特殊結(jié)論到一般結(jié)論的探索和證明的完整過程.

這樣安排教學(xué)，有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)論研究的必要性，培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)論的探索興趣和熱情，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力和嚴(yán)密審慎的思考習(xí)慣.

2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養(yǎng)民族自豪感

我國古代對數(shù)學(xué)有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價(jià)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)介紹我國古代數(shù)學(xué)成就，培養(yǎng)學(xué)生愛國熱情和民族自豪感.

我國古代對勾股定理的研究就是一個(gè)突出的例子.根據(jù)成書年代不晚于公元前2世紀(jì)西漢時(shí)期的《周髀算經(jīng)》進(jìn)行推算，有可能在公元前21世紀(jì)大禹治水時(shí)人們就會(huì)應(yīng)用“勾三股四弦五”的特殊結(jié)論，公元前6、7世紀(jì)時(shí)人們還知道了勾股定理的一般結(jié)論并能靈活運(yùn)用結(jié)論解決許多實(shí)際測量問題.約公元3世紀(jì)三國時(shí)期趙爽為《周髀算經(jīng)》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結(jié)論的最早的證明.我國古代不僅較早獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理有關(guān)“勾三股四弦五”的一些特殊結(jié)論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨(dú)立證明了勾股定理一般結(jié)論，在勾股定理的應(yīng)用方面也有許多深入的研究并達(dá)到熟練的程度.從《周髀算經(jīng)》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀(jì)時(shí)在我國人們已經(jīng)能夠熟練且自信地把勾股定理應(yīng)用到任意邊長的直角三角形的事實(shí)，可以推測在比《周髀算經(jīng)》成書早得多的時(shí)候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻(xiàn)明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動(dòng)人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)，是值得我們自豪的.

本章教科書結(jié)合教學(xué)內(nèi)容介紹了我國古代對勾股定理的有關(guān)研究成果.在引言中介紹了現(xiàn)存的我國古代的數(shù)學(xué)著作中最早的著作《周髀算經(jīng)》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內(nèi)容表現(xiàn)了我國古代勞動(dòng)人民對數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇?，趙爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.教科書還在習(xí)題中安排了我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題，展現(xiàn)我國古代在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.

課本習(xí)題是一種重要的教學(xué)資源。在總復(fù)習(xí)教學(xué)中，通過探索課本典型習(xí)題的知識(shí)生長點(diǎn)、能力發(fā)展點(diǎn)、思想方法蘊(yùn)涵點(diǎn)，挖掘課本典型習(xí)題的潛在教學(xué)價(jià)值，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提高復(fù)習(xí)教學(xué)效率；通過反思、拓展、應(yīng)用，完成習(xí)題教學(xué)的第二次飛躍。培養(yǎng)學(xué)生探究質(zhì)疑精神，提高創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。下面就一課本習(xí)題教學(xué)進(jìn)行的再認(rèn)識(shí)和再設(shè)計(jì)問題予以探究.

題目現(xiàn)行華師大版9年級《數(shù)學(xué)》上第24章《圖形的相似》復(fù)習(xí)題C組第20題：

（1）已知，如圖1，MN是ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）若直線MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)C在直線一側(cè)，A、B、D三點(diǎn)在直線另一側(cè)（如圖2），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系？先對結(jié)論進(jìn)行猜想，然后加以證明.

圖1圖21質(zhì)疑證法

華師大版配套教師用書提示：記O為ABCD兩條對角線的交點(diǎn)，過O作OO′MN，垂足為O′。

（1）由梯形中位線定理，易證所需結(jié)論.

（2）由梯形中位線定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可證AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.

根據(jù)提示，運(yùn)用梯形中位線定理是關(guān)鍵，證明如下：

圖3（1）證一：連結(jié)AC、BD交于O，過O作OO′MN，垂足為O′.

因?yàn)锽O=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.

證二：如圖3，分別連結(jié)AC、BD交于P，過P作PHMN于H，連結(jié)C′P，并延長交A′A的延長線于W。因?yàn)锽P=PD，BB′∥PH∥DD′，則B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位線。所以BB′+DD′=2PH.

又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位線，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。證明（轉(zhuǎn)化法）：如圖2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分別延長AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）證得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.

問題分析對（1）的兩種證明，關(guān)鍵性依據(jù)是“過梯形一腰的中點(diǎn)且平行于兩底的直線必平分另一腰”，然后利用中位線性質(zhì)獲證，證明看似順暢簡潔，但現(xiàn)行華師大版數(shù)學(xué)教材中始終沒有這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，造成推理無依據(jù)，難消學(xué)生心中的疑慮。證法二中用到的結(jié)論“過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊”可以在教材P67開頭部分找到依據(jù).

這些結(jié)論如果補(bǔ)證，會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)；如果直接告訴這個(gè)結(jié)論，會(huì)增加學(xué)生理解難度。其實(shí)，還有適合學(xué)生的其他證法.

圖4改進(jìn)證法（1）如圖4，分別過C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因?yàn)锽B′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）可仿（1）證明.

2質(zhì)疑猜想

問題（2），在不給學(xué)生任何提示的前提下，學(xué)生的思考幾乎呈散放、無序的狀態(tài)，又測量因誤差，容易導(dǎo)致誤猜，實(shí)踐證明學(xué)生很難獲得有效的猜想。中科院院士張景中認(rèn)為，一個(gè)題目，光想不動(dòng)手，往往不得其門而入，動(dòng)手做，常會(huì)有啟發(fā)，代數(shù)問題，把字母代成數(shù)試一試，幾何問題，多畫幾個(gè)圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學(xué)生通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，動(dòng)手算一算、畫一畫、量一量，手腦并用，獲得直接的感性認(rèn)識(shí)，能最大程度地發(fā)揮其主觀能動(dòng)性，有利于右腦的開發(fā)，并能由此引發(fā)奇思妙想，產(chǎn)生大膽的猜想和創(chuàng)新。正所謂“直覺的產(chǎn)生要以邏輯分析為‘前奏曲’”。由此可見，猜想不是憑空亂想。教學(xué)中要教給學(xué)生猜想的方法和猜想的途徑。猜想的方法主要有：歸納、類比、合情推理。猜想的途徑主要是：觀察、實(shí)驗(yàn)、探索。教學(xué)改進(jìn)設(shè)計(jì)如下：

（1）實(shí)踐操作，感知確認(rèn)。試一試，測量這些線段，通過計(jì)算，它們有什么的關(guān)系呢？有人測得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。還有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。誰的猜想更合理呢？再畫一個(gè)圖形試一試，發(fā)現(xiàn)：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.

（2）通過引入輔助元素，轉(zhuǎn)化為熟悉的問題或已經(jīng)解決了的問題，通過推理獲得猜想.

3變式探究

變式1：如果再作如下移動(dòng)又如何呢？若直線MN向上移動(dòng)，使點(diǎn)C、D在直線一側(cè)，A、B點(diǎn)在直線另一側(cè)（如圖5），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關(guān)系？先對結(jié)論進(jìn)行猜想，然后加以證明.

勾股定理證明方法范文第3篇

關(guān)鍵詞：勾股定理 應(yīng)用 證明 代數(shù)

勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設(shè)直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2

1、數(shù)學(xué)史上的勾股定理

1．1勾股定理的來源

勾股定理又叫畢氏定理：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。

1．2最早的勾股定理應(yīng)用

中國最早的一部數(shù)學(xué)著作――《周髀算經(jīng)》的開頭，記載著一段周公向商高請教數(shù)學(xué)知識(shí)的對話：周公問：“我聽說您對數(shù)學(xué)非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”商高回答說：“數(shù)的產(chǎn)生來源于對方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時(shí)候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵?！睆纳厦嫠倪@段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

1．3在代數(shù)研究上取得的成就

例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種求整勾股數(shù)組的法則，用代數(shù)方法很容易證明這一結(jié)論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發(fā)現(xiàn)勾股定理，不是一蹴而就，而是經(jīng)歷了漫長的歲月，走過了一個(gè)由特殊到一般的過程。

2、勾股定理的一些運(yùn)用

2．1在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

勾股定理是極為重要的定理，其應(yīng)用十分廣泛.同學(xué)們在運(yùn)用這個(gè)定理解題時(shí)，常出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。為幫助同學(xué)們掌握好勾股定理，現(xiàn)將平時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤加以歸類剖析，供參考。

2．1．1錯(cuò)在思維定勢

例1一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。

錯(cuò)解：設(shè)第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。

剖析：由于受勾股定理數(shù)組5、12、13的影響，看到題設(shè)數(shù)據(jù)，一些同學(xué)便斷定第三條邊是斜邊.實(shí)際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。

正解：設(shè)第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.

2．2勾股定理在生活中的用

工程技術(shù)人員用的比較多，比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造，就可以用勾股定理來計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時(shí)，多數(shù)可以用勾股定理物理上也有廣泛應(yīng)用，例如求幾個(gè)力，或者物體的合速度，運(yùn)動(dòng)方向…古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等

農(nóng)村蓋房，木匠在方地基時(shí)就利用了勾股定理。木匠先是量出一個(gè)對邊相等的四邊形，這樣就保證這個(gè)四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調(diào)整的另外兩個(gè)斷點(diǎn)間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個(gè)過程中，木匠實(shí)際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。

2．3宇宙探索

幾十年前，有些科學(xué)家從天文望遠(yuǎn)鏡中看到火星上有些地區(qū)的顏色有些季節(jié)性的變化，又看到火星上有運(yùn)河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當(dāng)時(shí)還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯(lián)系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區(qū)，但是他們都很早并且獨(dú)立的發(fā)現(xiàn)了勾股定理。科學(xué)家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？現(xiàn)在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯(lián)系的努力，怎樣跟他們聯(lián)系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個(gè)數(shù)學(xué)圖形飛到宇宙空間，其中一個(gè)就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發(fā)現(xiàn)的勾股定理，現(xiàn)在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發(fā)揮作用。

看來，勾股定理不僅僅是數(shù)學(xué)問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關(guān)系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標(biāo)志！她是人們文化素養(yǎng)中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現(xiàn)代文明人！

3、對勾股定理的一些建議

3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗(yàn)證勾股定理；

經(jīng)歷用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力。拼圖的過導(dǎo)學(xué)生自主探索，合作交流。這種教學(xué)理念反映了時(shí)代精神，有利于提高學(xué)生的思維能力，有效地激發(fā)學(xué)生的思維積極性。鼓勵(lì)學(xué)生大膽聯(lián)想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

3．2發(fā)展合情推理的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；

了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，如果只以教材的內(nèi)容為素材對學(xué)生的合情推理能力進(jìn)行培養(yǎng)，毫無疑問，這樣的教學(xué)活動(dòng)能促進(jìn)學(xué)生的合情推理能力的發(fā)展，但是，除院校的教育教學(xué)活動(dòng)（以教材內(nèi)容為素材)以外，還有很多活動(dòng)也能有效地發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，例如，人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生合情推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動(dòng)中有“數(shù)學(xué)”，有“合情推理”，養(yǎng)成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習(xí)慣。

在探究活動(dòng)中，學(xué)會(huì)與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，激發(fā)探索熱情?；仡櫋⒎此?、交流．布置課后作業(yè)，鞏固、發(fā)展提高。

3．3能運(yùn)用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問題，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力；

勾股定理及其逆定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的定理之一，在一個(gè)三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結(jié)論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個(gè)定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現(xiàn)了由“形”到“數(shù)”和由“數(shù)”到“形”的數(shù)形結(jié)合思想.勾股定理在解決三角形的計(jì)算、證明和解決實(shí)際問題中得到廣泛應(yīng)用，勾股定理的逆定理常與三角形的內(nèi)角和、三角形的面積等知識(shí)綜合在一起進(jìn)行考查.對于初學(xué)勾股定理及其逆定理的學(xué)生來說，由于知識(shí)、方法不熟練，常常出現(xiàn)一些不必要的錯(cuò)誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關(guān)習(xí)題進(jìn)行分析、說明其易錯(cuò)點(diǎn)，希望幫助同學(xué)們避免錯(cuò)誤，走出誤區(qū)。

4、小結(jié)

總體來說，勾股定理的應(yīng)用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內(nèi)容，初步學(xué)會(huì)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、作圖和證明。應(yīng)用主要包括：

1、勾股定理在幾何計(jì)算和證明的應(yīng)用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。

2、在代數(shù)中的應(yīng)用：勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。

3、勾股定理在生活中的應(yīng)用：工程技術(shù)人員用的比較多，比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造，就可以用勾股定理來計(jì)算，設(shè)計(jì)工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時(shí)，多數(shù)可以用勾股定理 物理上也有廣泛應(yīng)用，例如求幾個(gè)力，或者物體的合速度，運(yùn)動(dòng)方向…古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農(nóng)村蓋房，木匠在方地基時(shí)就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算和證明時(shí)，要注意利用方程的思想求直角三角形有關(guān)線段長；利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形使用勾股定理。

參考文獻(xiàn)：

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[2]周髀算經(jīng)[M]．文物出版社．1980年3月，據(jù)宋代嘉定六年本影?。?/p>

[3]楊通剛．勾股定理源與流[J]．中學(xué)生理科月刊，1997年Z1期．

[4]張維忠．多元文化下的勾股定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004年04期．

[5]朱哲．基于數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化研究[D]．浙江師范大學(xué)，2004年．

勾股定理證明方法范文第4篇

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；高效課堂

對于勾股定理新授課教學(xué)，我做過多角度探討．緊扣課本，設(shè)計(jì)最佳環(huán)節(jié)是我的目標(biāo)．上好這一課不一定要拓展面積計(jì)算的專門理論知識(shí)，也不需要高難度構(gòu)圖設(shè)計(jì)技巧．如果做好課前預(yù)備，課堂上的難點(diǎn)突破，重點(diǎn)把握，都可以放手讓學(xué)生完成．也就是說，在勾股定理新授課堂上，學(xué)生并不是也發(fā)現(xiàn)了畢達(dá)哥拉斯的奇妙圖案，就被載上一輛馬車奔馳著去藏寶地發(fā)掘到一個(gè)奇思妙想，最后，趙爽告訴他，想法很好也很對，并送了一個(gè)小風(fēng)箏玩具，往回走時(shí)又看了伽菲爾德一個(gè)小魔術(shù)．我認(rèn)為，好課堂不一定要做得像是帶領(lǐng)學(xué)生逛一次迪斯尼樂園一樣熱鬧！

勾股定理是數(shù)學(xué)的幾個(gè)重要定理之一．它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系．它可以解決許多直角三角形中的計(jì)算問題，是解直角三角形的主要依據(jù)，在生產(chǎn)生活實(shí)際中應(yīng)用很大．由于勾股定理反映了一個(gè)直角三角形三邊之間的關(guān)系，它也是直角三角形的一條重要性質(zhì)．同時(shí)由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，它把形與數(shù)密切的聯(lián)系起來，因此在理論上也有重要的地位．

勾股定理這節(jié)內(nèi)容，在教材設(shè)計(jì)中，它貫穿著發(fā)現(xiàn)規(guī)律、拓展思路、猜想命題、證明定理四個(gè)環(huán)節(jié)．

（1）故事化導(dǎo)入很是耐人尋味，畢達(dá)哥拉斯朋友家的地面磚鋪圖案非常漂亮．無論是幾何形狀還是色塊搭配，它們都已經(jīng)傳承了幾千年，可謂厚重的文化底蘊(yùn)．地板基本上可以看出由兩種等腰直角三角形和正方形鋪設(shè)而成，而且大小多樣．所謂：看似平淡無奇的現(xiàn)象有時(shí)卻隱藏著深刻的道理．可以猜想，畢達(dá)哥拉斯正好站在中間的那個(gè)重要的等腰直角三角形上看四周的色塊與圖案．再換個(gè)位置站著看一下，與它有著同樣展示效果的圖案原來很多！如果引導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)得當(dāng)，學(xué)生也會(huì)對踏在腳底下那平常不起眼的地磚圖案感興趣！

（2）接著學(xué)生看到網(wǎng)格邊看格點(diǎn)正方形，要求計(jì)算其中那些斜放著的正方形面積并借此探究那個(gè)類似的結(jié)論．它所呈現(xiàn)出的新穎大方定會(huì)讓學(xué)生眼前一亮，進(jìn)而躍躍欲試、興趣盎然．在知識(shí)層面上它與七年級教學(xué)內(nèi)容中的鑲嵌的探索與應(yīng)用是接軌的．除了圖形結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)上的難度略大一點(diǎn)．只要專注于部分與整體的思想就能解決問題（不需要求證斜放的是正方形，更不必刻意要求找出類同趙爽弦圖的面積算法，只要能感知它們得正確性和實(shí)用就行）．

（3）接著就是猜想命題．它要求學(xué)生能用簡明扼要的文字概括描述課堂上得到的結(jié)論，能分析命題的題設(shè)與結(jié)論，再畫圖、寫出已知、求證．它在幾何的理論學(xué)習(xí)中是重點(diǎn)，在幾何初步知識(shí)中是教學(xué)難點(diǎn)．

（4）趙爽這位老人，它帶來的不只是用來證明定理的弦圖．他那獨(dú)特的構(gòu)圖方法能吸引學(xué)生、教師，還有所有喜歡它的人深思．他不僅指導(dǎo)我們做了一個(gè)漂亮的紙風(fēng)箏，而且他所采用的原材料，那套矩形組合模板中的各部件，連同他老人家精湛的手藝深深地引著我們．

若把這些比作一幕舞臺(tái)劇，則它就是融合古今中外東西方文明的一次大合奏！

在課堂教學(xué)實(shí)際過程中，本節(jié)課教學(xué)任務(wù)的實(shí)施環(huán)節(jié)部分教學(xué)中存在4大難點(diǎn)：

第一，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

第二，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形結(jié)構(gòu)并計(jì)算以斜邊為邊長的正方形面積的方法．

第三，得到猜想命題，賞析趙爽的動(dòng)態(tài)構(gòu)圖和他對于定理的證法思想．

第四，拓廣美國總統(tǒng)伽菲爾德以及幾何原本中對于此定理的證明方法．

對此，課本的編排意圖是：

先讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)以直角三兩直角邊為邊長的正方形面積與以斜邊為邊長的正方形之間的面積關(guān)系，走實(shí)踐出真知的路線并能夠作為技術(shù)性的緩沖．然后迅速抓住他所帶來的存在與特殊直角三角形中的結(jié)論──三邊關(guān)系．

在計(jì)算網(wǎng)格中以斜邊為邊長的正方形面積時(shí)把它作為格點(diǎn)正方形，探究它與周邊材料構(gòu)圖的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所帶來的存在于邊長為任意的直角三角形中的圖形結(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．再以其簡潔明快型動(dòng)態(tài)效果圖證明勾股定理，借以激發(fā)學(xué)生的興趣．

可見，這些難點(diǎn)的突破關(guān)系到課堂教學(xué)的實(shí)質(zhì)性效果．不僅要使學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)事物、認(rèn)識(shí)事物的方法還要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和局部與整體的認(rèn)知能力．

教材編排給讀者留下了廣闊的思考空間．每個(gè)環(huán)節(jié)獨(dú)立成段，整個(gè)過程又渾然一體．學(xué)生在定理的產(chǎn)生、發(fā)展、成型的過程中又有了些許的困惑．究其原因在教師用書相關(guān)章節(jié)中已經(jīng)提及：勾股定理證明方法很多，這里介紹的是一種面積法，學(xué)生以前沒見過這種方法，會(huì)感到陌生，尤其是覺得不像證明．這主要是因?yàn)榻炭茣鴽]有專門將面積的理論，推理的根據(jù)造成的．

不難發(fā)現(xiàn)：勾股定理的新授課本著從發(fā)現(xiàn)到發(fā)展并形成猜想命題及證明的嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)思想，貫穿著從特殊到一般的捕捉信息、認(rèn)識(shí)事物、從現(xiàn)象到本質(zhì)的常規(guī)治學(xué)方法．筆者認(rèn)為這堂課有必要追根溯源，緊扣直角三角形自身存在的問題：面積算法與斜邊長的關(guān)系，再從圖形結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)入手，進(jìn)而歸納猜想，并完成對命題的證明．

我賦予這堂課的主題思想是：“圖案與場景及定理”．顧名思義，教學(xué)活動(dòng)將從等腰直角三角形這個(gè)最特殊的圖案出發(fā)，不斷探索發(fā)現(xiàn)有利于下一步思考或猜想或證實(shí)結(jié)論的場景進(jìn)而直逼定理．在這其中又貫穿這兩個(gè)目標(biāo)：找到幾何表達(dá)與數(shù)字信息相結(jié)合緊密達(dá)到完備狀態(tài)的圖案，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合無處不在的思想．本節(jié)課的終極目標(biāo)是證明直角三角形的三邊關(guān)系．它無論在幾何表達(dá)還是在數(shù)學(xué)描述方面他都要到達(dá)一個(gè)尖峰．

勾股定理證明方法范文第5篇

【關(guān)鍵詞】面積法；證明；幾何定理

Application area method certificate several axioms



Yang Dao-liang

【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms

【Key words】Area method;Certificate;Several axioms

所謂面積法就是用面積相等的關(guān)系式推導(dǎo)得出所需結(jié)論的方法。大家熟知的中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的勾股定理和正弦定理就是用面積法證明的。用面積法證明某些幾何定理和試題簡單明了，面積法是解決一部分幾何定理和試題的有效途徑和方法。本文將用面積法推理證明6個(gè)幾何定理。

（1）等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。

如圖1，已知ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C。

證明： 12·AB·BC·Sin∠B

＝12·AC·BC·Sin∠C

Sin∠B＝Sin∠C

∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°

∠B＋∠C＝180°不成立，

故∠B＝∠C。

圖1

（2）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。

如圖2，已知AB∥CD∥EF，求證：AC/CE＝BD/DF。

證明：連結(jié)AD、BC、CF和DE，

作DCAE交AE于G，CHBF

交BF于H，則SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG

＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，

又AB∥CD∥EF

SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，

AC/CE＝BD/DF。

圖2

（3）三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。

如圖3：已知AD是ABC中∠A的平分線，求證：BD/DC＝AB/AC。

證明：作AEBC于E，

BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD

＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，

BD/DC＝AB/AC。

圖3

（4）同理可證明三角形外角平分線定理：如果三角形的外角平分線外分對邊成兩條線段，則這兩條線段和相鄰的兩邊對應(yīng)成比例（證法略）。

（5）三角形重心定理：三角形重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對邊中心點(diǎn)的距離的兩倍。

如圖4，已知G是ABC的重心，求證：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。

圖4

證明：SADC＝21SABC＝SBCE

SAGE＝SBDG

作CHAD且交AD于H

又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE

AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD

＝2·SAGESAGE＝21；

同理可證BGGE＝ 21，CGGF＝21 。

（6）四邊形的面積等于二對角線與其夾角正弦的積的一半。

證明：如圖5

圖5

SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE

＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1

＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）

＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·

DE·Sin（180°－∠1）＝

12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE

（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·