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已知三角函數(shù)值求角數(shù)學(xué)教案

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【教學(xué)過(guò)程】:

一.問(wèn)題的提出:

在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況,如果是特殊值,我們可以立即求出所有的角,如果不是特殊值(),我們?nèi)绾伪硎灸??相?dāng)于中如何用來(lái)表示,這是一個(gè)反解的過(guò)程,由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性,它們不存在反函數(shù),這就要求我們把它們的定義域縮小,并且這個(gè)區(qū)間滿足:

(1)包含銳角;(2)具有單調(diào)性;(3)能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對(duì),這樣的區(qū)間是;對(duì),這樣的區(qū)間是;對(duì),這樣的區(qū)間是;

二.新課的引入:

1.反正弦定義:

反正弦函數(shù):函數(shù),的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù),記作:.

對(duì)于注意:

(1)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域);

(3);

即:相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角,這個(gè)角的正弦值為。

反正弦:符合條件()的角,叫做實(shí)數(shù)的反正弦,記作:。其中,。

例如:,,,

由此可見(jiàn):書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的,當(dāng)然理解了反正弦函數(shù),能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識(shí)。

2.反余弦定義:

反余弦函數(shù):函數(shù),的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù),記作:.

對(duì)于注意:

(1)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域);

(3);

即:相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角,這個(gè)角的余弦值為。

反余弦:符合條件()的角,叫做實(shí)數(shù)的反正弦,記作:。其中,。

例如:,,由于,故為負(fù)值時(shí),表示的是鈍角。

3.反正切定義:

反正切函數(shù):函數(shù),的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù),記作:.

對(duì)于注意:

(1)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域);

(3);

即:相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角,這個(gè)角的正切值為。

反正切:符合條件()的角,叫做實(shí)數(shù)的反正切,記作:。其中,。

例如:,,,

對(duì)于反三角函數(shù),大家切記:它們不是三角函數(shù)的反函數(shù),需要對(duì)定義域加以改進(jìn)后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì),有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱這一特性,得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求,這里就不再講了。

練習(xí):

三.課堂練習(xí):

例1.請(qǐng)說(shuō)明下列各式的含義:

(1);(2);(3);(4)。

解:(1)表示之間的一個(gè)角,這個(gè)角的正弦值為,這個(gè)角是;

(2)表示之間的一個(gè)角,這個(gè)角的正弦值為,這個(gè)角不存在,即的寫法沒(méi)有意義,與,矛盾;

(3)表示之間的一個(gè)角,這個(gè)角的余弦值為,這個(gè)角是;

(4)表示之間的一個(gè)角,這個(gè)角的正切值為。這個(gè)角是一個(gè)銳角。

例2.比較大?。海?)與;(2)與。

解:(1)設(shè):,;,,

則,,

∵在上是增函數(shù),,

∴,即。

(2)中小于零,表示負(fù)銳角,

中雖然小于零,但表示鈍角。

即:。

例3.已知:,,求:的值。

解:正弦值為的角只有一個(gè),即:,

在中正弦值為的角還有一個(gè),為鈍角,即:,

所求的集合為:。

注意:如果題目沒(méi)有特別說(shuō)明,結(jié)果應(yīng)為準(zhǔn)確值,而不應(yīng)是近似值,書上均為近似值。

例4.已知:,,求:的值。

解:余弦值為的角只有一個(gè),即:,

在中余弦值為的角還有一個(gè),為第三象限角,即:,

所求的集合為:。

例5.求證:()。

證明:∵,∴,設(shè),,

則,即:,即:,

∵,∴,

∴,∴,即:。

例6.求證:()。

證明:∵,∴,設(shè),,

則,即:,即:(*),

∵,∴,

∴,∴,即:。

注意:(*)中不能用來(lái)替換,雖然符號(hào)相同,但,不能用反余弦表示。

四.課后作業(yè)。

書上:P76.練習(xí),P77.習(xí)題4.11。(均要準(zhǔn)確值,劃掉書上的精確到)

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