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【教學(xué)過(guò)程】:

一．問(wèn)題的提出：

在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值（），我們?nèi)绾伪硎灸?？相?dāng)于中如何用來(lái)表示，這是一個(gè)反解的過(guò)程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個(gè)區(qū)間滿足：

（1）包含銳角；（2）具有單調(diào)性；（3）能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對(duì)，這樣的區(qū)間是；對(duì)，這樣的區(qū)間是；對(duì)，這樣的區(qū)間是；

二．新課的引入：

1．反正弦定義：

反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

（1）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為。

反正弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見(jiàn)：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當(dāng)然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識(shí)。

2．反余弦定義：

反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

（1）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為。

反余弦：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負(fù)值時(shí)，表示的是鈍角。

3．反正切定義：

反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

（1）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的值域）；

（2）（相當(dāng)于原來(lái)函數(shù)的定義域）；

（3）；

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為。

反正切：符合條件（）的角，叫做實(shí)數(shù)的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對(duì)于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對(duì)定義域加以改進(jìn)后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

練習(xí)：

三．課堂練習(xí)：

例1．請(qǐng)說(shuō)明下列各式的含義：

(1)；(2)；(3）；(4)。

解：（1）表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為，這個(gè)角是；

（2）表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為，這個(gè)角不存在，即的寫法沒(méi)有意義，與，矛盾；

（3）表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為，這個(gè)角是；

（4）表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為。這個(gè)角是一個(gè)銳角。

例2.比較大?。海?）與；（2）與。

解：（1）設(shè)：，；，，

則，，

∵在上是增函數(shù)，，

∴，即。

（2）中小于零，表示負(fù)銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3．已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個(gè)，即：，

在中正弦值為的角還有一個(gè)，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒(méi)有特別說(shuō)明，結(jié)果應(yīng)為準(zhǔn)確值，而不應(yīng)是近似值，書上均為近似值。

例4．已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個(gè)，即：，

在中余弦值為的角還有一個(gè)，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5．求證：（）。

證明：∵，∴，設(shè)，，

則，即：，即：，

∵，∴，

∴，∴，即：。

例6．求證：（）。

證明：∵，∴，設(shè)，，

則，即：，即：（*），

∵，∴，

∴，∴，即：。

注意：（*）中不能用來(lái)替換，雖然符號(hào)相同，但，不能用反余弦表示。

四．課后作業(yè)。

書上：P76.練習(xí),P77.習(xí)題4.11。（均要準(zhǔn)確值，劃掉書上的精確到）