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[摘要]劉徽的“割圓術(shù)”是中國數(shù)學(xué)史上的重要成就之一,其中包含著中國數(shù)學(xué)家對無限問題的獨特認識和致用的處理方式.很多高等數(shù)學(xué)教科書在講述極限概念時大都提及,但所述,并未體現(xiàn)劉徽本意.劉徽的“割圓術(shù)”是為證明圓面積公式而設(shè)計出來的一種方法,其融合了莊、墨兩家理解和處理無限問題的方法,并且使用了數(shù)列極限的“夾逼準則”和不可分量可積的預(yù)設(shè).通過這些相關(guān)知識的歷史考察,試圖以HPM的方法來輔助解決極限概念教學(xué)的難題.

[關(guān)鍵詞]劉徽;割圓術(shù);無限;可積

《高等數(shù)學(xué)》[1]在講授數(shù)列極限概念之前,介紹了我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)中極限思想,進而引入數(shù)列極限的描述定義.實際上,劉徽借“割圓術(shù)”方法,憑借其高超的對無限問題的理解和致用的處理方式,以“不可分量可積”前提、“夾逼準則”等知識證明了圓的面積公式,運算中包含著微積分的思想.另外要指出的是,他利用證明圓面積公式所設(shè)計出的機械性的算法程序,求得的圓周率的近似值———徽率（157÷50）.郭書春先生認為,劉徽在世界上最先把無窮小分割和極限思想用于數(shù)學(xué)證明.[2]

1劉徽的“割圓術(shù)”

我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》第一章“方田”中有我們現(xiàn)在所熟悉圓面積公式“半周半徑相乘得積步”.魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽為證明這個公式,于公元263年撰寫《九章算術(shù)注》,在這一公式后面寫了一篇長約1800余字的注記———“割圓術(shù)”.

“⋯⋯割之彌細,所失彌少.割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣!觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,則冪出弧表.若夫觚之細者,與圓合體,則表無余徑.表無余徑,則冪不外出矣.以一面乘半徑,觚而裁之,每輒自倍,故以半周乘半徑而為圓冪.”[3]

2幾點注記

在證明這個圓面積公式的時候有兩個重要思想,一個就是我們現(xiàn)在所講的極限思想.第二個是無窮小分割思想.

2.1數(shù)列極限的夾逼準則

劉徽利用割圓術(shù)證明圓的面積公式時,用了“夾逼準則”(SqueezeTheorem).他從圓內(nèi)接正6邊形開始割圓,設(shè)圓面積為S0,半徑為r,圓內(nèi)接正n邊形邊長為ln,周長為Ln,面積為Sn,將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2n邊形的邊長、周長、面積分別記為:l2n、L2n、S2n.

劉徽用“勾股術(shù)”得[4]:

若知Ln,則可求出圓內(nèi)接正2n邊形的面積:

劉徽認為,“觚面之外,猶有余徑,以面乘余徑,則冪出弧表”:

S2n<S0<Sn+2(S2n-Sn)=S2n+(S2n-Sn),

“若夫觚之細者,與圓合體,則表無余徑.表無余徑,則冪不外出矣.”

limn→∞S2n<S0<limn→∞(Sn+2(S2n-Sn))=limn→∞(S2n+(S2n-Sn)).

即在n趨于無窮大時,圓內(nèi)接正多邊形的面積就是圓面積.

2.2折中的無限分割方法

關(guān)于量可分的兩種假定,在中國古代對應(yīng)著兩個命題.“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的“尺棰命題”中隱含著一個量無限可分(潛無限)的假定.而“非半弗斫,說在端”的“非半弗斫”命題則認為一個量是有非常多的極微小的不可分部分組成的.

與西方的數(shù)學(xué)家不同,中國古代的數(shù)學(xué)家從未受到無限問題的困擾.劉徽在遇到無理數(shù)時采用“開方不盡求微數(shù)⋯⋯”.顯然,盡管劉徽對“開方不盡”的理解比前人深刻,但中國古代數(shù)學(xué)重視實際的傳統(tǒng)的確是限制了對理論問題作更深層次的探討.因而,這也阻礙了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn).劉徽認為只須得到無限接近的一個值就可以;因此他只關(guān)心重要計算方法,而根本不用考慮這個無限問題本身的性質(zhì).對于割圓術(shù),劉徽顯然受墨家思想的影響很深,而且劉徽對割圓術(shù)的處理也比較符合中國古代數(shù)學(xué)講求直觀的傳統(tǒng).

另外,從墨家的傳統(tǒng)來看劉徽的處理也較好理解,實際上劉徽在無限的運用上,其思想和墨、道兩家一脈相承[5].劉徽將道、墨兩家的無限思想辯證地統(tǒng)一起來,即無須由于受到無限的困擾.劉徽道“⋯⋯割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣⋯⋯”.同樣,劉徽在“陽馬術(shù)”(四棱錐體積)中說道:“半之彌少,其余彌細,至細曰微,微則無形,由是言之,安取余哉?”[6]這里劉徽對待無限的態(tài)度是作一個可操作的程序“割之”(或陽馬術(shù)中的“半之”)的動作.同時這個動作又可無限地做下去,那么在極限過程下正多邊形的周長即為圓的周長.這種辯證的極限思想使有關(guān)“量的可分性”假定都得到了解釋,從某種意義上來說劉徽的極限思想與現(xiàn)代的微積分思想一致.

2.3不可分量可積的思想

劉徽受《墨經(jīng)》的影響認為“不可分量可積”,除無限分割外,劉徽還利用不可分量可積的思想處理問題.在他的觀念里,線可以看成是由一系列點組成的,面可以看成是由一系列線組成的,體可以看成是由一系列面組成的.這樣劉徽在處理無限問題而作積分時就有了思想依據(jù).他在“割圓術(shù)”中通過對無限分割的獨特理解,和夾逼準則的使用,認為極限狀態(tài)下考慮與圓合體的正無窮多邊形,它們是由以圓心為頂點,以每邊為底的無窮多個小等腰三角形,此小等腰三角形是不可分量.此時,設(shè)圓周長為L,每個小等腰三角形的底邊長為l,面積為A.劉徽以“不可分量可積”為前提容

易得到所有等腰三角形的底邊可積為圓的周長L:Σl=L.于是,Σrl=rΣln=Lr=Σ2A

=2ΣA=2S0,“故以半周乘半徑而為圓冪”:S0=1/2Lr.2.4目的是證明圓面積公式而非求圓周率

劉徽費盡周折,殫精竭慮創(chuàng)立包含著樸素微積分的割圓術(shù),目的只是為證明圓的面積公式,從而他說:此以周、徑,為至然之數(shù),非周三徑一之率也.為此他同樣使用割圓術(shù)中的數(shù)據(jù),提出了求圓周率近似值的程序.于是得到下表:

利用,S2n<S0<Sn+2(S2n-Sn)=S2n+(S2n-Sn),

得到:314×64/625<S0<314×169/625,

由S0=1/2Lr,得L≈2S2n/r=628.故π=628/200=3.14.

2.5HPM的思想

科學(xué)史上的諸多事實都顯示出無窮概念的巨大重要性和深遠影響.實數(shù)系的邏輯基礎(chǔ)在十九世紀末葉才被建立的事實之所以令人驚奇,正是因為人們在理解無窮這個概念上所遇到的巨大困難造成的.對無窮的思考并試圖理解它和準確地定義它,是對人類智慧的一個挑戰(zhàn).古希臘以降,無窮的概念就引起了先哲們的注意,但它固有的超越人類有限思維的特征,使得人們對它理解的進展十分緩慢.希爾伯特曾說過,無窮是一個永恒的謎.直到19世紀,柯西和魏爾斯特拉斯給出極限的精確定義為止,人們都無法逾越這一思維中的結(jié)癥.

因為極限的“ε2”定義,術(shù)語抽象且符號陌生,其中的辯證關(guān)系不易搞清.這個概念中內(nèi)含諸多玄機.它簡練外表,隱藏了2000余年來人類面對無限的困惑和努力.這個定義包含著“動與靜”的辯證法,包含著從有限到無窮的飛躍,包含著純潔的數(shù)學(xué)美.

個體的認識規(guī)律會“重演”數(shù)學(xué)史的發(fā)展歷程,因此在教學(xué)中,學(xué)生自然會提出的一系列問題:既然極限描述性定義簡單明白,為什么要搞個“ε2”定義?它與描述性定義有什么不同?數(shù)學(xué)家怎么會想出這種“古怪而討厭”的定義?正如R·柯朗和H·羅賓所說:“初次遇到它時暫時不理解是不足為怪的,遺憾的是某些課本的作者故弄玄虛,他們不作充分的準備,而只是把這個定義直接向讀者列出,好象作些解釋就有損于數(shù)學(xué)家的身份似的.”要弄清這些問題,只有翻開數(shù)學(xué)史,從哲學(xué)的角度認識極限法,這樣不僅能幫助我們搞清極限的概念,也有助于建立正確的數(shù)學(xué)觀念.

極限的精確定義和是微積分的理論基石.但是要在幾堂課內(nèi)講清楚困擾人類2000余年極限問題,確實是個難題,HPM也許是他山之石.比如通過開辟第二課堂,或在課上,介紹劉徽“割圓術(shù)”中的微積分思想,對極限定義的理解將會大有裨益.

[參考文獻]

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)(上冊,第四版)[M].北京:高等教育出版社,2000,33-34.

[2]郭書春.中國古代數(shù)學(xué)[M].北京:商務(wù)印書館,1997,164.

[3]郭書春匯校.九章算術(shù)(上)[M].沈陽:遼寧教育出版社&臺灣九章出版社,2004,1.

[4]李文林.數(shù)學(xué)史教程[M].北京:高等教育出版社&施普林格出版社,2000.

[5]鄒大海.《墨經(jīng)》“次”概念與不可分量[J].自然科學(xué)史研究,2000,19(3):222-233.

[6]郭書春.匯校九章算術(shù)[M].沈陽:遼寧教育出版社,1990,287