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徐利治先生早就指出，我們要培養(yǎng)一大批波利亞型的數(shù)學(xué)家，要按照波利亞思想改革數(shù)學(xué)教材和教學(xué)方法．目前，從理論研究方面來看，已出現(xiàn)“超越波利亞”的苗頭，但從中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀來看，離波利亞的想法還存在很大差距；對于很多學(xué)校，波利亞思想還沒有“進(jìn)入校門”，其主要原因是，很多中學(xué)同志買不到波利亞的著作，對波利亞的數(shù)學(xué)教育思想缺乏認(rèn)識(shí)．為此，徐利治先生前年來寧講學(xué)期間再次強(qiáng)調(diào)，為了搞好中學(xué)素質(zhì)教育，我們還要加大力度傳播波利亞思想．

有些中學(xué)同志講，我們沒有辦法，要提高學(xué)生應(yīng)試能力，不得不搞題海戰(zhàn)術(shù)，“題海”是客觀存在，無法回避，波利亞也是強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的．的確，“題?！笔强陀^存在，波利亞也強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練，他說：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練．”但波利亞的解題訓(xùn)練與題海戰(zhàn)術(shù)有很大區(qū)別．

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一、訓(xùn)練的目的不同

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“題海戰(zhàn)術(shù)”的目的明顯表現(xiàn)為應(yīng)考．而波利亞強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的目的在于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．波利亞認(rèn)為，任何學(xué)問都包括知識(shí)和能力這兩個(gè)方面．對于數(shù)學(xué)，能力比起僅僅具有一些知識(shí)來重要得多．因此，“學(xué)校的目的應(yīng)該是發(fā)展學(xué)生本身的內(nèi)蘊(yùn)能力，而不僅僅是傳授知識(shí)”．波利亞發(fā)現(xiàn)，在日常解題和攻克難題而獲得數(shù)學(xué)上重大發(fā)現(xiàn)之間，并沒有不可逾越的鴻溝．他說：“一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一些重大的問題，但在求解任何問題的過程中，也都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)．”要想有重大的發(fā)現(xiàn)，就必須重視平時(shí)的解題．

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數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面，已嚴(yán)格地提出來的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，在創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)．波利亞指出，通過研究解題方法，我們可以看到數(shù)學(xué)的第二個(gè)側(cè)面，也就是看到“處于發(fā)現(xiàn)過程中的數(shù)學(xué)”．因此，波利亞把“解題”作為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)才能和教會(huì)他們思考的一種手段和途徑．這種思想得到了國際數(shù)學(xué)教育界的廣泛贊同．1976年數(shù)學(xué)管理者委員會(huì)把解題能力列為10項(xiàng)基本技能的首位，美國數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)理事會(huì)把解題提到了“80年代學(xué)校數(shù)學(xué)的核心”這一高度．

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波利亞的解題思想集中反映在他的《怎樣解題》一書中，該書的中心思想就是談解題過程中怎樣誘發(fā)靈感．書的一開始就是一張“怎樣解題表”，在“表”中收集了一些典型的問題與建議．波利亞推崇探索法，他認(rèn)為現(xiàn)代探索法力求了解解題過程，特別是解題過程中典型有用的智力活動(dòng)．他說《怎樣解題》這本書就是實(shí)現(xiàn)這種計(jì)劃的初步嘗試，“怎樣解題表”實(shí)質(zhì)上就是試圖誘發(fā)靈感的“智力活動(dòng)表”．正如波利亞在書中所寫：“我們的表實(shí)際上是一個(gè)在解題中典型有用的智力活動(dòng)表．”“表中的問題和建議并不直接提到好念頭，但實(shí)際上所有的問題和建議都與它有關(guān)．”

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“怎樣解題表”包含四部分內(nèi)容：弄清問題、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧．波利亞說：“弄清問題是為好念頭的出現(xiàn)做準(zhǔn)備；制訂計(jì)劃是試圖引發(fā)它；在引發(fā)之后，我們實(shí)現(xiàn)它；回顧此過程和求解的結(jié)果，是試圖更好地利用它．”波利亞所講的好念頭，就是指靈感．

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《怎樣解題》書中有一部分內(nèi)容叫“探索法小詞典”，從篇幅上看，它占全書的4/5．“探索法小辭典”的主要內(nèi)容就是配合“怎樣解題表”，對解題過程中典型有用的智力活動(dòng)做進(jìn)一步解釋．

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全書的字里行間，處處給人一個(gè)強(qiáng)烈的感覺：波利亞強(qiáng)調(diào)解題訓(xùn)練的目的是引導(dǎo)學(xué)生開展智力活動(dòng)，提高數(shù)學(xué)才能．

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二、訓(xùn)練的方式不同

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“題海戰(zhàn)術(shù)”是讓學(xué)生做大量的題，熟悉題型及其解法．波利亞反對讓學(xué)生做大量的題，他認(rèn)為，一個(gè)數(shù)學(xué)教師，如果“把分配給他的時(shí)間塞滿了例行運(yùn)算來訓(xùn)練他的學(xué)生，他就扼殺了學(xué)生的興趣，妨礙了他們的智力發(fā)展……”因此，他主張與其窮于應(yīng)付繁瑣的教學(xué)內(nèi)容和過量的題目，還不如選擇一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生深入發(fā)掘題目的各個(gè)側(cè)面，使學(xué)生通過這道題目，就如同通過一道大門而進(jìn)入一個(gè)嶄新的天地．比如，“證明是無理數(shù)”和“證明素?cái)?shù)有無限多個(gè)”就是這樣的好題目，前者通向?qū)崝?shù)的精確概念，而后者是通向數(shù)論的門戶，打開數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)大門的金鑰匙往往就在這類好題目之中．

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過去，國內(nèi)外有關(guān)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的著作和習(xí)題集基本上偏重于解決個(gè)別類型的問題，例如算術(shù)問題、幾何問題、代數(shù)問題等，但很少涉及解題的一般方法．然而，“學(xué)生熟悉了解答個(gè)別類型問題的特殊方法之后，有可能只限于掌握一種千篇一律的死板方法而并不具備獨(dú)立解決新問題的本領(lǐng)．”波利亞的《怎樣解題》就彌補(bǔ)了這一空白，這本書給出了求解數(shù)學(xué)問題的一般方法．今天人們公認(rèn)，在數(shù)學(xué)解題研究方面，波利亞是一面旗幟，他做出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)．

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“怎樣解題表”中的指導(dǎo)性意見，具有普適性．不僅適用于“不太能獨(dú)立工作”的人，而且適用于那些能獨(dú)立解題的人；不僅適用于數(shù)學(xué)學(xué)科，而且可適用于其他學(xué)科．例如，未知數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么?這些問題都是普遍適用的，對于所有各類問題(代數(shù)的或幾何的，數(shù)學(xué)的或非數(shù)學(xué)的，理論的或?qū)嶋H的)，我們提出這些問題都會(huì)取得良好效果．波利亞解題訓(xùn)練的方式是引導(dǎo)學(xué)生按照“表”中的問題和建議思考問題，探索解題途徑．試圖引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握解題過程的一般規(guī)律．這與“題海戰(zhàn)術(shù)”的“題型＋解法”的訓(xùn)練方式是絕然不同的．

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波利亞高度重視解題過程中的合情推理．?dāng)?shù)學(xué)中的合情推理是多種多樣的，而歸納和類比是兩種用途最廣的特殊合情推理，拉普拉斯曾說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納與類比．”因而波利亞對這兩種合情推理給予了特別重視，并注意到更廣泛的合情推理；他不僅討論了合情推理的特征、作用、范例、模式，還指出了其中的教學(xué)意義和教學(xué)方法．

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波利亞反復(fù)呼吁：只要我們能承認(rèn)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程中需要合情推量、需要猜想的話，數(shù)學(xué)教學(xué)中就必須有教猜想的地位，必須為發(fā)明做準(zhǔn)備，或至少給一點(diǎn)發(fā)明的嘗試．對于一個(gè)想以數(shù)學(xué)作為終身職業(yè)的學(xué)生來說，為了在數(shù)學(xué)上取得真正的成就，就得掌握合情推理；對于一般學(xué)生來說，他也必須學(xué)習(xí)和體驗(yàn)合情推理，這是他未來生活的需要．

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怎樣教猜想?怎樣教合情推理?沒有十拿九穩(wěn)的教學(xué)方法．波利亞說，教學(xué)中最重要的就是選取一些典型教學(xué)結(jié)論的創(chuàng)造過程，分析其發(fā)現(xiàn)動(dòng)機(jī)和合情推理，然后再讓學(xué)生模仿范例去獨(dú)立實(shí)踐，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力．波利亞欣賞蘇格拉底的名言：“思想應(yīng)當(dāng)誕生在學(xué)生的心里，教師僅僅應(yīng)當(dāng)像助產(chǎn)士那樣辦事．”他指出，教師要選擇典型的問題，創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生饒有興趣地、自覺地去試驗(yàn)、觀察，得到猜想．

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“學(xué)生自己提出了猜想，也就會(huì)有追求證明的渴望，因而此時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)最富有吸引力，切莫錯(cuò)過時(shí)機(jī)”．波利亞指出，要充分發(fā)揮班級教學(xué)的優(yōu)勢，鼓勵(lì)學(xué)生之間互相討論和啟發(fā)，教師只有在學(xué)生受阻的時(shí)候才給些方向性的揭示，不能硬把他們趕上事先預(yù)備好的道路，這樣學(xué)生才能體驗(yàn)到猜想、發(fā)現(xiàn)的樂趣，才能真正掌握合情推理，提高思考問題、解決問題的能力．

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這種訓(xùn)練方式與“題型＋解法”的做法也是完全不同的．三、能力培養(yǎng)的效果不同

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應(yīng)該承認(rèn)，“題海戰(zhàn)術(shù)”對提高學(xué)生的能力也有一定的積極作用，但經(jīng)驗(yàn)表明，“題海戰(zhàn)術(shù)”在能力培養(yǎng)方面主要表現(xiàn)為提高模仿力與復(fù)制力，所謂“高分低能”癥正是如此產(chǎn)生的．

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在數(shù)學(xué)學(xué)科中，能力指的是什么?波利亞說：“這就是解決問題的才智——我們這里所指的問題，不僅僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨(dú)立見解、判斷力、能動(dòng)性和創(chuàng)造精神．”波利亞致力于培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立探索能力．從教育心理學(xué)角度看，“怎樣解題表”的確是十分可取的，利用這張表教師可行之有效地指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)，發(fā)展學(xué)生獨(dú)立思考和進(jìn)行創(chuàng)造性活動(dòng)的能力．如果我們提出一個(gè)“波利亞探索法”的話，那么“波利亞探索法”的主要特點(diǎn)就是變更問題，誘發(fā)靈感．在波利亞看來，解題過程就是不斷變更問題的過程．事實(shí)上，“怎樣解題表”中許多問題和建議都是“直接以變化問題為目的的”．如，你知道與它有關(guān)的問題嗎?你能不能試想出一個(gè)有相同或相似未知數(shù)的熟悉問題?你是否見過形式稍微有不同樣的題目?你能改述這題目嗎?你能不能用不同的方法重新敘述它?你能不能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題，一個(gè)更普遍的題，一個(gè)更特殊的題，一個(gè)類似的題?你能否解決這道題的一部分?你能不能從已知數(shù)據(jù)導(dǎo)出某些有用的東西?能不能想出適于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)?你能改變未知數(shù)，或已知數(shù)，必要時(shí)改變兩者，使新未知數(shù)和新的已知數(shù)更加互相接近嗎?

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波利亞說：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進(jìn)展．”“變更問題”是《怎樣解題》一書的主旋律．書中多次強(qiáng)調(diào)了“變更問題”的幾種特殊手段．例如“回到定義去”，“分解與重新組合”，“引入輔助元”，“普遍化、特殊化及類比”．

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這里只談?wù)劇盎氐蕉x”．波利亞說，“回到定義”是一項(xiàng)重要的智力活動(dòng)．回到定義是為了“掌握那些專業(yè)術(shù)語后面數(shù)學(xué)對象間的實(shí)際關(guān)系”．面對一個(gè)數(shù)學(xué)題，“如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就不得不回到定義”．

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《怎樣解題》書中，有個(gè)精彩的實(shí)例：

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已知拋物線的焦點(diǎn)F，準(zhǔn)線d和一直線l，求作此拋物線與已知直線的交點(diǎn)．

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觀察題意可見，眼下的情況就是“只知道概念的定義，別無其他”，因此，我們不得不回到定義．考慮到拋物線的定義，原問題就變化為：

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在直線l上求一點(diǎn)，使它和已知點(diǎn)F及已知直線d等距離．

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這是第一次變化，解析幾何題變成了平面幾何題．這道平面幾何題本身也是一道有意義的題．

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“你能不能用不同的方法重新敘述它?”

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這道題可以換個(gè)說法敘述為：

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在直線l上求一點(diǎn)，以它為圓心作圓與直線d相切且通過點(diǎn)F．

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這是第二次變化．

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所作的圓要滿足兩個(gè)條件．“你能否解決這問題的一部分?”可以，先放棄一個(gè)條件，第三次變化問題．

（下略）

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“怎樣解題表”風(fēng)靡全球．經(jīng)驗(yàn)證明，適當(dāng)使用表中的問題與建議，對培養(yǎng)學(xué)生的探索力是有益的．

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“題?！笔强陀^存在，我們應(yīng)研究對付“題?！钡膽?zhàn)術(shù)．波利亞的“表”雖不如阿里巴巴的金鑰匙，但卻切實(shí)可行，給出了探索解題途徑的可操作機(jī)制，被人們公認(rèn)為“指導(dǎo)學(xué)生在題海游泳”的“行動(dòng)綱領(lǐng)”．著名的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家瓦爾登早就說過：“每個(gè)大學(xué)生，每個(gè)學(xué)者，特別是每個(gè)教師都應(yīng)該讀這本引人入勝的書《怎樣解題》．”

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