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編者按：本論文主要從完全信息討價(jià)還價(jià)；不完全信息下的討價(jià)還價(jià)等進(jìn)行講述，包括了納什討價(jià)還價(jià)、有限期輪流出價(jià)、無限期輪流出價(jià)、低效用買方很多的情況、討價(jià)還價(jià)是博弈論中動(dòng)態(tài)博弈的一種情況，它包括完全信息討價(jià)還價(jià)和不完全信息討價(jià)還價(jià)等，具體資料請(qǐng)見：

［論文關(guān)鍵字］博弈論，討價(jià)還價(jià)，博弈樹

［論文摘要］本文闡述了博弈論在討價(jià)還價(jià)方面的應(yīng)用理論。主要在完全信息與不完全信息下，進(jìn)一步針對(duì)不同的情況，綜合地介紹討價(jià)還價(jià)理論模型以及應(yīng)用。

現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中充滿了“討價(jià)還價(jià)”的情形，大到國(guó)與國(guó)之間的貿(mào)易協(xié)定，小到個(gè)體消費(fèi)者與零售商的價(jià)格商定，還有廠商與工會(huì)之間的工資協(xié)議、房產(chǎn)商與買者之間關(guān)于房?jī)r(jià)的確定、各種類型的談判等等。這實(shí)際上是兩個(gè)行為主體之間的博弈問題，也可以把討價(jià)還價(jià)看作為一個(gè)策略選擇問題，即如何分配兩個(gè)對(duì)弈者之間的相互關(guān)聯(lián)的收益問題。討價(jià)還價(jià)作為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中最常見、普通的事情，也是博弈論中最經(jīng)典的動(dòng)態(tài)博弈問題。

一、完全信息討價(jià)還價(jià)

（一）納什討價(jià)還價(jià)

假設(shè)討價(jià)還價(jià)主體為兩個(gè)人：小張和小王，二人共同努力完成了一個(gè)項(xiàng)目并獲得收益10000元，現(xiàn)在二人將針對(duì)每個(gè)人將獲得多少而展開討價(jià)還價(jià)博弈。為解決此類問題，納什則做出了一系列研究并得出納什討價(jià)還價(jià)解。當(dāng)達(dá)不成協(xié)議時(shí)，參與雙方可以有不同的效用水平，而且效用函數(shù)可以是分配比例的非線性函數(shù)。

（二）有限期輪流出價(jià)

1、無貼現(xiàn)

假設(shè)條件：回合T為奇數(shù)（設(shè)T=3），小王先出價(jià)。由于回合數(shù)為奇數(shù)，對(duì)于小張來說，接受或拒絕沒有差異，因此所有的均衡都是弱的。這些均衡結(jié)果只決定于小張最后決定接受的時(shí)間。因?yàn)樵谄鏀?shù)回合中，小王享有最后一期的出價(jià)權(quán)利，當(dāng)他要求得到全部收益時(shí)，即使小張拒絕，小張仍然一無所獲，小王則獲得全部收益。若此博弈只有一輪，那么小張根本沒有機(jī)會(huì)提出反駁意見?，F(xiàn)在假設(shè)小王仍然先出價(jià)，但是回合數(shù)為偶數(shù)時(shí)，博弈的結(jié)果就是小張將得到全部收益。在此例中，很明顯看到一個(gè)最終行動(dòng)者優(yōu)勢(shì)的存在，這就是后動(dòng)的博弈優(yōu)勢(shì)。

2、有貼現(xiàn)，且貼現(xiàn)對(duì)等

有貼現(xiàn)的情況就是討價(jià)還價(jià)每多進(jìn)行一個(gè)回合，由于談判費(fèi)用和利息損失等，雙方的利益都要打一個(gè)折扣。假設(shè)條件雙方折扣率均為σ（0<σ<1），回合數(shù)T=3。

對(duì)于此種三回合情況可用下面方式加以描述：第一回合：小王的方案是自己得X1，小張得10000-X1。小張若接受，二人收益分別為X1和10000-X1，談判結(jié)束。如果小張拒絕，則開始第二回合談判。第二回合：小張的方案是小王得X2，自己得10000-X2。小王若接受，二人收益分別為σX2和σ(10000-X2)，談判結(jié)束。如果拒絕，則開始第三回合談判：小王自己得X，小張得10000-X，此時(shí)小張必須接受，最后二人的實(shí)際收益分別為σ2X和σ2(10000-X)。這三回合中雙方所提出的X1、X2和X都是0到10000之間的任意金額，因此可以認(rèn)為由于X1、X2和X都有無限多種，所以這個(gè)討價(jià)還價(jià)博弈是一個(gè)無限策略的動(dòng)態(tài)博弈。

3、有貼現(xiàn)，但不等

假設(shè)小王的折扣率為σ1，小張的折扣率為σ2，0<σ2,σ1<1并且兩人知道對(duì)方的折扣率，回合數(shù)T=3。

此類博弈和貼現(xiàn)相等情況是很類似，用逆推歸納法來分析這個(gè)博弈。第三回合：知道雙方的收益分別為σ12X和σ22(10000-X)。第二回合：小張?jiān)诘诙睾蠒?huì)出能讓小王接受的，也是可能使自己得益最大的X2，應(yīng)滿足使小王得益σ12X=σ1X2，即X2=σ1X，則小張得益就是σ2(10000-X2)=σ2(10000-σ1X)，由于0<σ2,σ1<1，所以σ2(10000-σ1X)>σ22(10000-X)。第一回合：小王只要令10000-X1=σ2(10000-σ1X)，即X1=10000-σ2(10000-σ1X)即可。這樣第一回合與第二回合小張的得益相同，而小王的得益X1=10000-σ2(10000-σ1X)，比第二、三回合得益更大。

因此這個(gè)博弈，小王會(huì)在第一回合出價(jià)X1=10000-σ2(10000-σ1X)，小張會(huì)接受，最終二人得益分別為X1=10000-σ2(10000-σ1X)和σ2(10000-σ1X)，這個(gè)就是這種有限奇數(shù)次討價(jià)還價(jià)有貼現(xiàn)情況的均衡解。

（三）無限期輪流出價(jià)

無限期討價(jià)還價(jià)博弈由于時(shí)間會(huì)持續(xù)很久，所以折扣是肯定會(huì)存在的，所以直接討論有貼現(xiàn)情況。

1、對(duì)等貼現(xiàn)

此情況逆推法無法應(yīng)用。解決方法如下：

先假設(shè)整個(gè)博弈有一個(gè)逆推歸納解，小王和小張分別得益X和10000-X，即小王在第一回合出價(jià)X，小張接受。夏克德和薩頓曾提出無限期討價(jià)還價(jià)中，從第三回合開始還是從第一回合開始結(jié)果都是一樣的，本文直接引用這一結(jié)論來解決問題。所以根據(jù)這個(gè)理論，上述逆推歸納的解也應(yīng)該是從第三回合開始的博弈的結(jié)果。即第三回合也是小王出價(jià)X，小張接受，而且這個(gè)結(jié)果也是最終的結(jié)果。

2、不等貼現(xiàn)

假設(shè)小王的折扣率為σ1，小張的折扣率為σ2，0<σ1,σ2<1。

小王想分得X1份額，并想使X1最大化，但他得考慮到小張，若X1過多而遭拒絕，則他的愿望就成為泡影。所以小王揣測(cè)將出價(jià)給小張X2。在第一回合討價(jià)還價(jià)中，小王要保證給小張的10000-X1不小于他還價(jià)后的10000-X2貼現(xiàn)到現(xiàn)在的價(jià)值，這時(shí)小王可根據(jù)小張的X2和觀察可解出X2，故先要價(jià)X1。之后第二輪討價(jià)還價(jià)開始，小張出價(jià)為X2，而且也考慮到小王會(huì)還價(jià)，所以他也要保證小王將再出價(jià)貼現(xiàn)為現(xiàn)值不小于小張的還價(jià)，又要盡量使自己的收益最大化，這時(shí)他可根據(jù)推測(cè)的X3求出X2，所以出價(jià)X2。小王第三回合再出價(jià)時(shí)，就會(huì)重復(fù)開始的過程，所以由此可知小張獲得的收益與自己的折扣率呈增函數(shù)關(guān)系，而與對(duì)方的折扣率呈減函數(shù)關(guān)系。這就是Rubinstein針對(duì)此問題曾提出的解。

3、無貼現(xiàn)、有成本

現(xiàn)假設(shè)小王或小張每個(gè)回合出價(jià)時(shí)貼現(xiàn)變?yōu)榱顺杀荆O(shè)為C1和C2，且C1=C2=C。

（1）C1這種情況下回合期限越長(zhǎng)，小張的損失就會(huì)越大，但是除了會(huì)降低二人總體收益之外，并不會(huì)改變二者的博弈地位。此時(shí)，博弈可以看作是靜態(tài)的。因?yàn)椴徽摻?jīng)過多少回合，在二人看來，博弈與初期相同。仍然用逆推歸納法，在第T回合若是小張出價(jià)分給小王X，則在第T-1回合，小王就會(huì)出價(jià)分給小張10000-X-C2，而自己保留X+C2；在T-2回合，小張則會(huì)分給小王X+C2-C1，自己保留10000–X-C2+C1。依次類推，不斷前推結(jié)果是：小王可以得到比小張高任意γ(C2-C1)倍收益。因此博弈一開始，小張就會(huì)放棄討價(jià)還價(jià)接受0分配。

（3）C1>C2

小王作為先行動(dòng)者，他的份額受限于成本C2，因?yàn)樗鞔_知道小張會(huì)在第二回合出價(jià)為自己保留10000，所以他會(huì)在第一期提出自己分配C2，小張得益為10000-C2，這樣小張就會(huì)接受，而不會(huì)進(jìn)入到第二個(gè)回合了。

二、不完全信息下的討價(jià)還價(jià)

Fudenberg和Tirole二人則對(duì)這類問題作了研究。現(xiàn)假設(shè)有一個(gè)買方和一個(gè)賣方，買方類型有兩種：B100和B150，其中買方為B100的概率為γ，為B150的概率為(1-γ)。博弈的過程是，賣方先出價(jià)P1，買方接受則博弈結(jié)束，買方拒絕則賣方再出價(jià)P2，買方再?zèng)Q定是否接受。

（一）低效用買方很多的情況

先假設(shè)γ=0.5，即買方是低效用者的可能性很高；σ=0.9。第一回合，B100類的買者在P1≤P(B100)1=100時(shí)，就接受這個(gè)價(jià)格；B150類的買者在P1≤P(B150)1=105時(shí)接受。第二回合，B100類的買者在P2≤P(B100)2=100時(shí)，就接受這個(gè)價(jià)格；B150類的買者在P2≤P(B150)2=150時(shí)接受。

賣方在非均衡路徑的信念是：如果買方拒絕P1，則他是B100類買者的可能性為γ。均衡的結(jié)果是，買方出價(jià)P1，并且買方接受。這個(gè)均衡就是完美貝葉斯均衡。賣方知道，即使105，他仍然可以將貨物賣給B150類型買者。但是如果他這么做，就有可能在第一回合賣不出去，他將延期得到收入。

因?yàn)?00>105(1-γ)+100σγ=97.5，即賣方更愿意拿到穩(wěn)定的現(xiàn)期收入100，而不愿意在現(xiàn)期收入105和將來的100之間碰運(yùn)氣。

（二）低效用買方很少的情況

1、均衡（混合策略下的分離均衡）

假設(shè)γ=0.05，即買方是低效用者的可能性不高；σ=0.9。博弈結(jié)論是分離均衡將出現(xiàn)，對(duì)應(yīng)的均衡策略為混合策略。

第一回合P1=150，B100類型的買者會(huì)在P1<100時(shí)接受之；B150類型的買者以概率m(P1)接受P1，在第二期，如果賣方認(rèn)為買方類型為B100的概率小于1/3，則P2=150；否則P1=100。B100買方當(dāng)P2<100時(shí)接受之，B150買方當(dāng)P2<150時(shí)接受之。均衡結(jié)果為：P1=150，有時(shí)會(huì)被B150買方接受，P2=150，被B150買方接受，B100買方則不接受任何一種出價(jià)。

第二期的策略十分簡(jiǎn)單，買方當(dāng)價(jià)格低于效用時(shí)則接受，賣方在穩(wěn)定的100收益，以及在0和150的賭博間權(quán)衡。當(dāng)100=0*Prob(B100)+150*(1-Prob(B100))……⑤時(shí)兩者等價(jià)。由此得出Prob(B100)=1/3。如果無人接受第一期的出價(jià)，第二期的信念將是Prob(B100)=γ，這里假設(shè)為0.05，因此第二期的價(jià)格將會(huì)是150。第一期的策略十分復(fù)雜。B150在第一期沒有采用接受P1=150的純策略。因?yàn)槿绻晃督邮埽u方看到有人拒絕P1=150就能斷定其類型為B100，因而在第二期降低價(jià)格。預(yù)期到價(jià)格會(huì)下降，B150就會(huì)在第一期拒絕P1=150，同前面提到的降價(jià)理由產(chǎn)生矛盾。

2、非均衡路徑上的行為

以上論述只涉及了分離均衡的一部分。完整的描述必須針對(duì)博弈數(shù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，在給定前面的情況下，明確每個(gè)參與者的行為方式。其中包括一開始就偏離均衡的非均衡路徑的情況，例如P1=140。若賣方出價(jià)P1=140，可供選擇的非均衡性為范圍是很廣的。

先考慮賣方在第一期出價(jià)P1=140的情況。與P1=150理由相同。均衡不可能采取純策略。非均衡子博弈上的均衡策略是，B150在接受和拒絕之間建立混合策略；賣方在P2=100和P2=150之間建立混合策略。與均衡路徑不同，賣方必須建立混合策略。否則，買方將強(qiáng)烈偏好于接受140，而不去等150。而賣方愿意混合的前提是，他相信買方屬于B100的概率恰好是1/3。從而在賣方的策略中，m(150)=0.89。設(shè)在賣方混合策略中，P2=100的概率為μ。它必須滿足條件，使得買方在接受與拒絕之間的效用無差異，即150-P1=0.9μ(150-100)+(1-μ)*0……⑦，解得μ=10/3-P1/45，或者當(dāng)P1=140時(shí)，μ=0.22。

四、總結(jié)

本文主要討論了討價(jià)還價(jià)博弈的幾種情況解。討價(jià)還價(jià)是博弈論中動(dòng)態(tài)博弈的一種情況，它包括完全信息討價(jià)還價(jià)和不完全信息討價(jià)還價(jià)。本文簡(jiǎn)要、系統(tǒng)的介紹了討價(jià)還價(jià)的相關(guān)模型。作為博弈論的一個(gè)重要分支，討價(jià)還價(jià)理論在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，并且理論的實(shí)際應(yīng)用也會(huì)進(jìn)一步促進(jìn)理論的發(fā)展。