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數(shù)值積分范文第1篇

關(guān)鍵詞 數(shù)值分析 數(shù)值積分 算法 Matlab實(shí)現(xiàn) 問題教學(xué)法

中圖法分類：G643 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Teaching Research of Matlab Realization of Numerical Integration in

"Numerical Analysis" Curriculum for Postgraduate Students

GE Cishui

(Department of Mathematics & physics, Anhui University of Architecture, Anhui, Hefei 230022)

AbstractBased on the practical characteristics of numerical analysis curriculum, matlab realizations of numerical integrations are introduced in the teaching procedure. Combined with question-based teaching method, it aims to enhance students' understanding and application capability of numerical integration methods, helpful to train their innovation abilities.

Key wordsnumerical analysis; numerical integration; algorithm; matlab realization; question-based teaching method

0 引言

數(shù)值分析也稱為數(shù)值計(jì)算方法，是研究用計(jì)算機(jī)求數(shù)學(xué)問題近似解的方法、過程及其理論的一個數(shù)學(xué)分支。數(shù)值分析可以說是科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)和依托，正如我國著名數(shù)學(xué)家馮康教授所說：數(shù)值分析的發(fā)展對于提高計(jì)算能力的貢獻(xiàn)是與新一代計(jì)算機(jī)的研制同等重要。在我國，幾乎所有工科院校碩士研究生都開設(shè)了《數(shù)值分析》課程。

Matlab是一個功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算平臺，它具有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、符號計(jì)算和可視化功能，它提供了大量的函數(shù)庫、工具箱幾乎涵蓋了所有的工程計(jì)算領(lǐng)域，目前Matlab已成為最為普遍的科學(xué)計(jì)算工具之一。近年來，人們已意識到在《數(shù)值分析》課程的課堂教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引入Matlab科學(xué)計(jì)算軟件的重要性，Matlab軟件已替代C語言成為輔助數(shù)值分析課程教學(xué)的首選，事實(shí)上，Matlab軟件已成為諸多課程，如：自動控制理論、數(shù)字信號處理、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的輔助教學(xué)工具，另外掌握Matlab軟件本身也對我們開展科學(xué)研究和解決工程問題至關(guān)重要。

數(shù)值積分是《數(shù)值分析》課程的重要內(nèi)容之一，但各種研究生用《數(shù)值分析》教材講解數(shù)值積分理論與方法時，對數(shù)值積分的軟件實(shí)現(xiàn)則不加介紹或介紹較少，且融入不夠，特別對多元函數(shù)的數(shù)值積分，僅僅以矩形區(qū)域上二重積分為例作簡單介紹，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足工科研究生的學(xué)習(xí)和應(yīng)用需要。

本文根據(jù)《數(shù)值分析》課程的實(shí)踐性特點(diǎn)，在數(shù)值積分的教學(xué)中融入Matlab實(shí)現(xiàn)問題的教學(xué)，結(jié)合問題教學(xué)法，以提高學(xué)生對數(shù)值積分方法的理解和應(yīng)用能力，有利于工科研究生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

1 數(shù)值積分Matlab實(shí)現(xiàn)的問題教學(xué)法

數(shù)值積分計(jì)算的問題很多，如振蕩積分問題、無界區(qū)域上函數(shù)積分問題、無界函數(shù)積分問題、高維積分問題等等，但從Matlab實(shí)現(xiàn)上來說，到目前Matlab系統(tǒng)還沒有直接提供一般區(qū)域上的三元及三元以上函數(shù)的數(shù)值積分指令等。

利用問題教學(xué)法來討論和解決數(shù)值積分問題的Matlab實(shí)現(xiàn)，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，從所求解問題的性質(zhì)上找原因、從算法上找原因，積極思維，努力給出解決實(shí)際問題的方案，提高綜合應(yīng)用來解決實(shí)際問題的能力。

下面列舉三個數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn)問題，來說明問題教學(xué)法在課堂教學(xué)或?qū)嶒?yàn)教學(xué)中的應(yīng)用。

1.1 定積分exsin(1000x)dx的計(jì)算問題

下面三種方法以及獲得的結(jié)果

（1）quad(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

運(yùn)行該指令后顯示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.

顯示結(jié)果： -3.917208719625272

（2）quadl(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

運(yùn)行該指令后顯示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.顯示結(jié)果：1.722039000823277

（3）quadgk(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

顯示結(jié)果：-0.022140670492099

提出問題：為什么上面三種方法獲得的結(jié)果會不同呢？

問題分析：這是 = 1000的高頻振蕩積分問題，quad指令和quadl指令采用的算法不大適合求振蕩積分，所給結(jié)果不正確。由于本定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)是初等函數(shù)，所以可用int指令來獲得正確結(jié)果：

syms x

vpa(int(exp(x)*sin(1000*x),0,pi),16)

顯示結(jié)果：0.02214067049210878

quadgk有一定的求振蕩積分的功能，上述（3）中所給結(jié)果精度較高。注意當(dāng)振蕩頻率再高時，如計(jì)算exsin(1000x)dx，此時若用指令

quadgk(@(x)exp(x).*sin(10000*x),0,pi)，

計(jì)算結(jié)果也會出現(xiàn)錯誤，為獲得正確的結(jié)果，必須設(shè)置較高的“MaxIntervalCount”，如采用指令：quadgk(fun,0,pi,'MaxIntervalCount',10000)。由上可知，求高頻振蕩積分必須選用quadgk指令、設(shè)置較高的“MaxIntervalCount”選項(xiàng)值。

1.2 二重積分的計(jì)算問題，其中D是由拋物線y = x2，直線x = 10以及x軸所圍成的區(qū)域

二重積分的計(jì)算問題首先要轉(zhuǎn)化為累次積分的計(jì)算問題，上述問題可轉(zhuǎn)化為計(jì)算，計(jì)算此累次積分方法很多，例如下面指令：

（1）dblquad(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y.^2).*(y>=0 & y

1e-6, @quadl)

顯示結(jié)果：-70.483695211568843，運(yùn)行時間：19.962813 秒

（2）quad2d(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y), 0, 10, 0, @(x)x.^2, 'Abstol',1e-6)

顯示結(jié)果：-70.483662809994698，運(yùn)行時間：0.485997 秒

（3）quad2dggen(@y,x)(x.^2+y).*sin(x+y),@(x), @(x)x.^2, 0, 10, 1e-6)

顯示結(jié)果：-70.483662809308356，運(yùn)行時間：0.105659 秒

問題：為什么上面三種方法所需時間相差數(shù)十倍乃至上百倍？

分析：方法（1）是將一般的積分區(qū)域“延拓”為矩形區(qū)域，利用dblquad指令計(jì)算，這樣不可避免地進(jìn)行了很多0乘運(yùn)算，費(fèi)時低效；方法（2）是利用Matlab系統(tǒng)quad2d指令，運(yùn)行效率尚可，它將一般的積分區(qū)域映射到矩形區(qū)域，然后利用自適應(yīng)Lobatton算法來計(jì)算，有時需要設(shè)置較高的“MaxFunEvals”選項(xiàng)值；方法（3）為NIT數(shù)值積分工具箱提供的方法，采用了Gauss算法，精度較高，用時最少。

運(yùn)行時間的差異與指令所采用的算法有關(guān)，同時也與所要求的精度有關(guān)。若同一指令，要求的精度較高，可通過設(shè)置較小的“tol”值或“Abstol”選項(xiàng)值達(dá)到，而這時運(yùn)行時間則會成倍增加。

1.3 三重積分的計(jì)算問題，其中由xoy坐標(biāo)面與旋轉(zhuǎn)拋物面z = 16 - x2 - y2所圍成的立體區(qū)域

目前Matlab系統(tǒng)尚沒有直接提供一般區(qū)域上的三元及以上函數(shù)的數(shù)值積分指令，下面的方法（1）是將一般積分區(qū)域“延拓”為長方體區(qū)域，然后利用triplequad指令進(jìn)行計(jì)算

（1）triplequad(@(x,y,z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z).*(x.^2+y.^2

(z>=0 & z

運(yùn)行結(jié)果：1.929759987691869e+003，運(yùn)行時間：234.935393秒

問題：運(yùn)行時間較長，怎樣高效解決一般立體區(qū)域上三重積分的計(jì)算問題？

分析：方法（1）是將一般積分區(qū)域積分“延拓”為長方體區(qū)域積分，這樣不可避免地引入了很多0乘運(yùn)算，故費(fèi)時低效。能否用解決二元函數(shù)數(shù)值積分問題的思路來解決此三重積分的計(jì)算問題呢？效果較方法（1）如何？

為此先將上面三重積分轉(zhuǎn)化為累次積分

然后利用一元函數(shù)和二元函數(shù)數(shù)值積分指令以及Matlab系統(tǒng)提供的函數(shù)arrayfun，進(jìn)行組合來求一般立體區(qū)域上三元函數(shù)的數(shù)值積分，方法如下：

（2）quad2d(@(x,y) arrayfun(@(x,y)quadgk(@(z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ...

0,16-x.^2-y.^2),x,y),-4,4,@(x)-sqrt(16-x.^2),@(x)sqrt(16-x.^2))

運(yùn)行結(jié)果：1.930186638624715e+003，運(yùn)行時間：4.925542秒

（3）quadgk(@(z) arrayfun(@(z)quad2d(@(x,y)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ... -sqrt(16-z),sqrt(16-z),@(x)-sqrt(16-z-x.^2),@(x)sqrt(16-z-x.^2)),z),0,16)

運(yùn)行結(jié)果：1.930186640541383e+003，運(yùn)行時間：0.468731秒

方法（2）是利用quadgk+quad2d組合方法，先二重后一重，方法（3）是利用quad2d+quadgk組合方法，先一重后二重，從結(jié)果上看這兩種方法不但所獲得的結(jié)果精度較高，而且用時顯著減少，其中方法（3）運(yùn)行效率更高一些。

2 結(jié)語

將數(shù)值積分的Matlab實(shí)現(xiàn)融入《數(shù)值分析》課程的教學(xué)，通過問題教學(xué)法在課堂教學(xué)和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用，有助于學(xué)生用數(shù)值分析的理論和方法分析計(jì)算方法所暴露出的問題，找出失敗的原因和解決問題的辦法，這樣既能加深學(xué)生對數(shù)值積分方法的理解和記憶，又能提高他們解決實(shí)際問題的能力，同時還可以節(jié)省時間。

工程上涉及數(shù)值積分的問題很多，例如：涉及振蕩積分、高維積分、無界函數(shù)的數(shù)值積分等實(shí)際工程問題，都可以作為大型作業(yè)，布置給學(xué)生課后思考解答，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，鍛煉學(xué)生查閱資料和使用軟件幫助文檔功能，有利于學(xué)生綜合解決實(shí)際問題的能力和自主創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

基金項(xiàng)目：安徽省高等學(xué)校省級教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程項(xiàng)目“《數(shù)值分析》課程教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化與組合式教學(xué)方法的探索研究”[2008jyxm325 ]

參考文獻(xiàn)

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[2]顏慶津.數(shù)值分析(第3版)[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2006.

[3]張志涌等.MATLAB R2010a教程[M].北京航空航天大學(xué)出版社,2010.

數(shù)值積分范文第2篇

關(guān)鍵詞：彈塑性斷裂 J積分 D-M模型 塑性區(qū)尺寸 數(shù)值模擬 ANSYS

中圖分類號：O344.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（c）-0091-03

一般脆性金屬材料，如鑄鐵等在裂紋擴(kuò)展前，其端部都將出現(xiàn)一個塑性區(qū)。當(dāng)此塑性區(qū)尺寸很小，即遠(yuǎn)小于裂紋時，線彈性斷裂力學(xué)仍有足夠的精度。此類斷裂稱為小范圍屈服斷裂，可以采用對線彈性力學(xué)導(dǎo)出的應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行修正的方法來處理。然而對于延性較好的金屬材料，如果在裂紋擴(kuò)展前，塑性區(qū)尺寸已經(jīng)接近甚至超過裂紋本身的尺寸，就屬于大范圍屈服斷裂問題。此時線彈性斷裂力學(xué)理論已不再適用，用應(yīng)力強(qiáng)度因子衡量裂尖應(yīng)力場強(qiáng)度將失去意義。這種塑性變形占較大比重的斷裂問題就要用彈塑性斷裂理論來解決，目前廣為應(yīng)用的是COD原理.J積分理論等方法[1]。其中，J積分作為一個重要的斷裂參量，在彈塑性領(lǐng)域中能起到反映裂紋尖端應(yīng)力.應(yīng)變場奇異性強(qiáng)度的作用，因而是描述材料斷裂的一個重要判據(jù)。此外J積分具有與積分路徑無關(guān)的特性，它可以避開裂尖高應(yīng)變區(qū)求得可靠的結(jié)果。由于在工程應(yīng)用上，彈塑性斷裂的J積分?jǐn)?shù)值計(jì)算十分困難，有限元法便成為求解J積分一個很重要的手段。

1 基本理論與方程

1.1 D-M模型與常見參量

對于含裂紋薄板結(jié)構(gòu)，加載時發(fā)現(xiàn)裂紋尖端的塑性區(qū)成扁平狀[2]，如圖（1），這就是所謂的D-M模型，即Dugdale―Barenblatt帶狀屈服區(qū)模型。它是一個彈性模型，把裂紋長度由原來的2a擴(kuò)展到2（a+d），裂紋尖端前緣的塑性變形只集中在裂紋的延長線方向一長度為d應(yīng)力為的窄長材料中，而2（a+d）外材料仍處于彈性狀態(tài)?；诖四Ｐ涂梢暂^好地處理具有穿透型裂紋的板的彈塑性問題，有的學(xué)者還對D-M模型進(jìn)行了研究與應(yīng)用[3-4]。

J積分是Rice在討論裂紋問題時提出來的，它避開直接計(jì)算裂紋尖端附近的彈塑性應(yīng)力應(yīng)變場，并具有與路徑無關(guān)的特性，可作為表示裂紋尖端應(yīng)變集征的平均參數(shù)。COD[5]，即張開位移，是指裂紋體受載后，裂紋尖端的裂紋表面張開的位移量。一定的COD值對應(yīng)于裂紋端部的一定應(yīng)力與應(yīng)變場強(qiáng)度，即可以把COD的值用作間接度量，并用符號δ表示。J積分與COD在彈塑性斷裂力學(xué)中起很重要作用，在工程中常用來作為結(jié)構(gòu)安全評定的參數(shù)。

1.2 J積分解析式的求解

下面以均勻受拉的中心穿透裂紋為例，求基于D-M模型的理想彈塑性材料下J積分的解析解。分為兩個步驟：（1）D-M模型下，J積分與COD的關(guān)系。（2）D-M模型下，裂紋尖端張開位移，即COD。

步驟1 J積分與COD的關(guān)系

在圖（1）所示裂紋尖端取回路ABC，即圍繞塑性區(qū)的一個回路求J積分。

J=

沿AB BC段dy=0 ds=dx及=

所以J= （1）

又由式（1）得J= （2）

步驟2 裂紋尖端張開位移COD

裂尖張開位移δ可以由圖（2）中的（a）與（b）的COD疊加而成。

圖（a）與（b）情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子[6]分別為：

由彈塑性裂紋特性知，裂尖處，解得

（3）

在x=a處，圖（a）與（b）的裂紋張開位移分別為

裂尖的張開位移 （4）

綜上，結(jié)合式（2）（3），得 （5）

此即為D-M模型下彈塑性材料J積分解析解表達(dá)式。

2 彈塑性J積分的有限元模擬

2.1 彈塑性J積分算例

以均勻受拉的中心穿透裂紋板為計(jì)算模型，平面應(yīng)力狀態(tài)，幾何模型如圖（3）所示。2a=50 mm，2b=200 mm，2h=400 mm.材料的屈服應(yīng)力Mpa，E=205000Mpa，。由對稱性可取模型進(jìn)行建模分析[7-8]，全模型網(wǎng)格劃分如圖（4）所示。

2.2 分析與討論

2.2.1 J積分大小隨裂紋長度的變化情況

為了方便表示，用作為裂紋長度的表征參數(shù)。取不同的裂紋長度，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進(jìn)行比較，列于表1。從表中可以看出，J積分隨著裂紋半長度a增大而幾乎成線性增大。從誤差在允許范圍內(nèi)知，ANSYS等有限元軟件可較準(zhǔn)確的求得J積分的值，從而為工程應(yīng)用提供了方便與可行性。

2.2.2 J積分大小隨外荷載的變化情況

為了方便表示，用作為外荷載的表征參數(shù)。取不同的外荷載，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進(jìn)行比較，列于表1-II。圖（5）示出了裂紋初始半長度a一定時，ANSYS給出的值與D-M模型解析解隨外荷載的變化關(guān)系，呈非線性增大。同時發(fā)現(xiàn)在小于0.7時，由有限元方法計(jì)算的J積分與D-M解析解誤差小于3%；當(dāng)外荷載繼續(xù)增大時，由于塑性區(qū)尺寸開始變得較大，見圖（6），不能選擇合理的J積分的路徑，導(dǎo)致誤差變得較大，需經(jīng)多次選擇才能找到誤差小的路徑。

2.2.3 塑性區(qū)尺寸隨外荷載的變化情況

由3式可求出彈塑性裂紋的塑性區(qū)尺寸d=c-a ，由該式可以看出裂紋塑性區(qū)尺寸與裂紋初始半長度a及外荷載有關(guān)[9]。圖（6）則給出了塑性區(qū)相對裂紋半長度的大小隨外載荷的變化圖，從圖中可看出，當(dāng)裂紋初始半長度a恒定時，外荷載增大時，塑性區(qū)尺寸也隨之增加。并且接近1時，裂紋塑性區(qū)尺寸趨近于無窮大，也就是裂紋整個被塑化，此時整個板材已全面屈服，即屬于全面屈服斷裂問題。圖（7）給出了平面應(yīng)力下，不同外荷載時，塑性區(qū)的Mises屈服準(zhǔn)則下的等效塑性應(yīng)變云圖。可以看出塑性區(qū)成蝶狀，并且其大小隨外荷載增大而增大。

3 結(jié)語

該文基于有限元軟件對彈塑性裂紋J積分與裂紋長度及外荷載的關(guān)系，塑性區(qū)尺寸與外荷載的關(guān)系進(jìn)行了數(shù)值分析。最后強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，J積分雖具有明確的理論基礎(chǔ)和物理意義，可以作為表示裂紋尖端應(yīng)力場奇異性強(qiáng)度的度量參數(shù)等優(yōu)點(diǎn)。但嚴(yán)格地講[3]，（1）只能適用于彈性體和服從全量理論的塑性體；（2）只能應(yīng)用于二維；（3）只能適用于小變形問題；（4）只能適用于裂紋表面無荷載作用的情況。

參考文獻(xiàn)

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數(shù)值積分范文第3篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；美學(xué)；高職；微積分；課堂設(shè)計(jì)

中圖分類號：G712 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-5727（2013）06-0120-02

高職數(shù)學(xué)課程的性質(zhì)和任務(wù)一般強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，為學(xué)生學(xué)好專業(yè)課打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問題、解決問題的能力。對于數(shù)學(xué)這樣一門嚴(yán)肅、抽象、難懂的課程，大多數(shù)高職學(xué)生感到學(xué)得困難，缺乏興趣，使得數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)大打折扣。古羅馬詩人賀拉斯提出“寓教于樂”。有位學(xué)者曾說：“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他成為審美的人。”基于這種背景和思想，我們提出從數(shù)學(xué)美學(xué)的角度出發(fā)設(shè)計(jì)微積分課堂，在教學(xué)中充分利用微積分美的內(nèi)容、形式，運(yùn)用審美的教學(xué)手段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)美的作用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。讓學(xué)生從欣賞美的角度學(xué)習(xí)微積分，體會它的體系之美、簡潔之美、符號之美、無限之美，在美的潛移默化中學(xué)習(xí)微積分的精髓。同時，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法思考問題、分析和解決問題的能力和學(xué)生理性思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生追求真理、不畏艱辛、勇于自我批判的人文精神，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的——從數(shù)學(xué)的外在形象上觀賞，她有體系之美、概念之美、公式之美；從數(shù)學(xué)的思維方式上分析，她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學(xué)原理上探討，她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。同時，數(shù)學(xué)還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術(shù)、嚴(yán)密的邏輯體系、永恒的創(chuàng)新動力等特點(diǎn)。本文以極限的概念講解為例，談?wù)勅绾卫妹缹W(xué)手段誘發(fā)學(xué)生的想象力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美。

創(chuàng)設(shè)課堂情景美

哈代說：“數(shù)學(xué)家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，概念也像色彩或語言一樣必須和諧一致。”在數(shù)學(xué)課堂上利用詩歌、繪畫營造出優(yōu)美和諧的環(huán)境，讓詩歌和繪畫誘發(fā)出學(xué)生的想象力，讓學(xué)生在美的潛移默化中學(xué)習(xí)抽象的數(shù)學(xué)概念。實(shí)踐證明，這是一種行之有效的教學(xué)模式?，F(xiàn)代科學(xué)研究證明，接受信息者如果同時使用聽覺和視覺，接受的效果更好，并且音像信號愈強(qiáng)，接受效果愈好。為此，在教學(xué)過程中，教師對學(xué)生就應(yīng)努力強(qiáng)化這些信號。工整的板書、優(yōu)美的圖片、設(shè)計(jì)美觀的多媒體都可以在課堂上創(chuàng)造令人賞心悅目的環(huán)境，不但可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)情趣，還可以大量減少語言的使用，使學(xué)生對數(shù)學(xué)有更直觀的了解。

例如，“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”——一句優(yōu)美的詩配以滾滾長江的水墨畫引入新一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容——極限。“孤帆遠(yuǎn)影碧空盡，唯見長江天際流”是李白在《送孟浩然之廣陵》中的名句。學(xué)生齊頌李白《送孟浩然之廣陵》拉開極限學(xué)習(xí)的序幕，而學(xué)生也在詩與畫中沉浸在一種和諧的氛圍里。這首詩讓學(xué)生在腦海中勾勒出一幅“一葉孤舟隨著江流遠(yuǎn)去，帆影在逐漸縮小，最終消失在水天一色之中”的圖景，這時無窮小的數(shù)學(xué)概念也就融合在這美的詩意中去了。

再如，講解無窮大的概念時，學(xué)生不能理解無窮大的那個預(yù)設(shè)的邊界“M”時，我們引用“抽刀斷水水更流”來解釋“抽刀斷水”與“M”的神似之處。講解完無窮大，我們用陳子昂的《登高》配以一副意味濃濃的攝影作品對其作小結(jié)?！扒安灰姽湃?，后不見來者，念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下”——從數(shù)學(xué)上看來，這是一首闡發(fā)時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）。作者以自己為原點(diǎn)，“前不見古人”指時間可以延伸到負(fù)無窮大，“后不見來者”則意味著未來的時間是正無窮大。后兩句則描寫三維的現(xiàn)實(shí)空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環(huán)境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產(chǎn)生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，讓學(xué)生對無窮有了更深刻的理解。

課堂氣氛和諧美

教師的教態(tài)和儀表向?qū)W生傳遞著課堂氣氛的信息。親切自然的教態(tài)、凝練樸素的語言、抑揚(yáng)頓挫的語調(diào)，讓學(xué)生感受到最直接的美學(xué)教育，讓學(xué)生身心輕松地投入學(xué)習(xí)。風(fēng)趣幽默的問題，在一問一答中建立起和諧的師生關(guān)系。數(shù)學(xué)課是思維的演練場，教師的任務(wù)之一就是要引導(dǎo)學(xué)生不斷地思考，而提問是引導(dǎo)學(xué)生主動思維的有效手段。有人說，數(shù)學(xué)問題都是抽象和嚴(yán)肅的，怎么能讓學(xué)生積極愉快地思考？這就關(guān)系到提問的技巧。首先，問題的表述要簡單明了，語氣要幽默，問題還要典型。例如，剛剛介紹完極限的概念后，提出一個問題：判斷下列式子是否成立？

1=0.■

我們可以這樣問：如果上式成立，1與0.■之間相差的那個數(shù)到哪里去了？由此引入極限史上的一個故事：“消逝的鬼魂”與無窮小量的產(chǎn)生。

故事的講解不但讓學(xué)生體會到極限是一個無窮變化的從量變到質(zhì)變的過程，也體會到科學(xué)發(fā)展的曲折和艱辛，科學(xué)家永無止境的探索精神及對真理不懈追求的勇氣。

數(shù)學(xué)思想深刻美

極限概念的引入是從單位圓面積的計(jì)算開始的。問題這樣提出：讓我們回到劉徽所處的魏晉時代，我們怎樣計(jì)算單位圓的面積？學(xué)生在笑聲中想象自己是劉徽，怎樣來計(jì)算圓面積。

這個問題解決后，我們概括了三點(diǎn)內(nèi)容。（1）逼近問題是一個與“變化”有關(guān)的問題。如果希望逼近一個不能直接計(jì)算的量，可以采用近似計(jì)算的技巧，而計(jì)算的精確度往往依賴于計(jì)算的次數(shù)。微積分（極限）可以解答精確度與計(jì)算次數(shù)之間的關(guān)系問題。如果增加計(jì)算次數(shù)，近似會無限接近某個數(shù)值，這正是逼近（或變化）的結(jié)果。（2）某些“量”的計(jì)算需要從變化的角度來處理，并通過“極限”過程來進(jìn)行，這正是微積分的基本思想。（3）“以直代曲，逐步求精”的手段，是微積分中常用的方法。

隨后，我們將這三點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行了拓展講解，指出“化整為零，積零為整”就是在工作中拿到復(fù)雜的工作或任務(wù)時學(xué)會分解任務(wù)、分解難點(diǎn)、各個擊破、再進(jìn)行整合的方法?！耙灾贝鸩角缶本褪窃诮鉀Q復(fù)雜問題時先用簡單的模型代替實(shí)際問題，再逐步深入，逐步求精的方法。而這些方法可以用在我們工作的各個領(lǐng)域，是一種普適的解決問題的方法，從中也讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想的深刻性和普適性。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)中的精華，是最能體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西。微積分中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。上面談到的“極限思想”，“在微小局部‘以勻代非勻’，‘以直代曲’”的思想都是數(shù)學(xué)思想中的精髓。在講授數(shù)學(xué)思想的課程中，筆者主要采用具體——抽象——具體的方法，通過典型實(shí)例引出問題，通過科學(xué)的抽象體現(xiàn)思想，再通過利用思想發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的實(shí)例讓學(xué)生領(lǐng)會思想。數(shù)學(xué)思想教育在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力和獨(dú)立思考問題的能力方面有著獨(dú)到的價值。

數(shù)學(xué)哲學(xué)情操美

德育教育中有一種教育法叫無痕教育。無痕教育是指在教育過程中教育者通過創(chuàng)設(shè)有教育意義的情境和活動，既達(dá)到教育目的，又不留下讓學(xué)生感到教育者在教育他們的一種方法。這種方法沒有明顯說理教育，而是把理寓于情境和活動之中，使學(xué)生在一種自然、輕松、愉快、美好的環(huán)境中心靈受到感化，自覺自愿地形成良好的思想品德。心理學(xué)研究表明：人們總有一種不太愿意整天被人教育的天性。前蘇聯(lián)著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“造成教育青少年困難的最重要的原因，在于教育目的在學(xué)生面前以裸的形式進(jìn)行?！卑呀逃康碾[藏起來，然后通過各種活動形式對學(xué)生進(jìn)行“潤物細(xì)無聲”的無痕教育，會使學(xué)生在不知不覺中提高認(rèn)識、凈化心靈、規(guī)范行為。

微積分中飽含的深刻的人生哲學(xué)，對學(xué)生就是一種“潤物細(xì)無聲”的教育。例如，微積分討論的連續(xù)函數(shù)絕大多數(shù)都是蜿蜒曲折的，有時上升有時下降，有極大值，有極小值。千姿百態(tài)的函數(shù)曲線像極了蕓蕓眾生的命運(yùn)，有時順利有時曲折，有高峰時也有低谷時，這是人生的常態(tài)。所以，當(dāng)我們處于人生佳境時不要驕傲，隨時保持一顆謙恭之心；處于人生低谷時也不要?dú)怵H，只要我們繼續(xù)努力，我們的人生曲線還能逐步上揚(yáng)。

計(jì)算直線的長度比計(jì)算一條曲線的長度要容易得多。為了求得一條曲線的長度，把這條曲線無限細(xì)分，細(xì)分成若干條細(xì)小的直線，再把這些直線的長度加起來，就求得了曲線的長度。這就是學(xué)習(xí)極限時學(xué)過的“以直代曲”的思想，這也是微積分的基本思想。

我們可以將微積分的這種基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度過，而這分分秒秒就是微分。人的一生不管有多長，都是這微小的分分秒秒的時間之和，這就是人生的積分。積分曲線的形態(tài)取決于微分函數(shù)。人生的積分曲線則取決于我們?nèi)绾卫梦覀兊姆址置朊搿松奈⒎趾瘮?shù)。要想獲得充實(shí)而有意義的人生，我們就必須抱有積極向上的人生態(tài)度，讓我們在分分秒秒的努力中不斷積累，收獲我們豐盈的人生。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.微積分賞析漫談[J].高等教育研究，2009（3）.

[2]楊忠泰.數(shù)學(xué)美學(xué)思想的歷史演變[J].自然辯證法研究，2000（12）.

[3]周天良.無痕教育——有效的德育方法[J].素質(zhì)教育大參考，2006（3）.

數(shù)值積分范文第4篇

關(guān)鍵詞 高壓直流輸電線路 繼電保護(hù)技術(shù)

中圖分類號：TM773 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1高壓直流輸電線路繼電保護(hù)的影響因素

1.1電容電流

高壓直流輸電線路電容大、波阻抗小以及自然功率小的特征，這就給差動保護(hù)整定帶來較大的影響，為了保障高壓直流輸電線路運(yùn)行的安全性與穩(wěn)定性，必須要對電容電流采取科學(xué)合理的補(bǔ)償措施。此外，在分布電容因素的影響下，一旦高壓直流輸電線路運(yùn)行出現(xiàn)故障，故障距離與繼電器測量阻抗之間的線性關(guān)系就會發(fā)生改變，成為雙曲正切函數(shù)，此時，就不能使用傳統(tǒng)繼電保護(hù)措施。

1.2過電壓

高壓直流輸電線路在出現(xiàn)故障之后，電弧熄滅時間會延長，情況嚴(yán)重時甚至?xí)l(fā)生不消弧的情況，在電路電容因素的影響下，兩端開關(guān)不會在同一時間斷開，此時，行波來回折反射就會嚴(yán)重影響整個系統(tǒng)的運(yùn)行。

1.3電磁暫態(tài)過程

高壓直流輸電線路長，在操作與發(fā)生故障時高頻分量幅值較大，這就給高頻分量的濾除工作帶來較大的困難，這不僅會導(dǎo)致電氣測量結(jié)果發(fā)生偏差，此時，半波算法在高頻分量的影響下準(zhǔn)確性難以保障，此時，電流互感器也會發(fā)生飽和現(xiàn)象。

2 高壓直流輸電線路繼電保護(hù)設(shè)計(jì)原則與注意事項(xiàng)分析

2.1 輸電線路的主保護(hù)

影響輸電線路主保護(hù)的因素是多種多樣的，必須要根據(jù)高壓直流電路的實(shí)際情況進(jìn)行選擇，在設(shè)計(jì)時，需要使用兩臺不同原理的裝置，第一套保護(hù)裝置可以使用分相電流差動縱聯(lián)保護(hù)裝置；第二套保護(hù)裝置可以使用相電壓補(bǔ)償縱向保護(hù)裝置，兩套裝置分別來使用不同的通道。

2.2輸電線路的后備保護(hù)

輸電線路后背保護(hù)是主保護(hù)的重要補(bǔ)充，在進(jìn)行設(shè)計(jì)時，需要控制好線路兩端切除故障差，配置好完整的接地距離保護(hù)與相間距離設(shè)備，距離保護(hù)特征不應(yīng)該局限在四邊形、圓形與橢圓形幾種，可以將微機(jī)保護(hù)充分的利用起來，從根本上提升系統(tǒng)運(yùn)行的安全性。

2.3并聯(lián)電抗器保護(hù)

高壓直流輸電線路中并聯(lián)電抗器出現(xiàn)故障后，線路會發(fā)出相應(yīng)的命令，啟動自動保護(hù)裝置，此時，并聯(lián)電抗器就可以充分的發(fā)揮出其作用，若故障超過了高壓直流輸電線路允許的標(biāo)準(zhǔn)，則需要及時將兩側(cè)斷路器斷開。

2.4自動重合閘

高壓直流輸電線路常用的自動重合閘有三相重合閘、單相重合閘與快速重合閘集中模式，具體選擇哪一種模式，還需要根據(jù)具體的過電壓水平進(jìn)行分析，為了防止過電壓操作情況的發(fā)生，在非全相情況下過電壓倍數(shù)在允許標(biāo)準(zhǔn)范圍時，可以使用單相重合閘，若超過標(biāo)準(zhǔn)范圍，就需要使用三相重合閘。在進(jìn)行設(shè)置時，需要充分考慮到線路兩端的時間間隔與重合順序，將其控制在標(biāo)準(zhǔn)范圍內(nèi)。

3高壓直流輸電線路常用的繼電保護(hù)技術(shù)

3.1行波暫態(tài)量保護(hù)

如果高壓直流輸電線路出現(xiàn)故障，會出現(xiàn)反行波，要保障系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性，就需要做好行波保護(hù)工作，這也是高壓直流輸電線路的主保護(hù)措施。

就現(xiàn)階段來看，常用的行波保護(hù)措施由SIEMENS方案與ABB方案。其中，SIEMENS是基于電壓積分原理的一種保護(hù)措施，其保護(hù)啟動時間為16～20 s，與ABB方案相比，該種的保護(hù)速度相對較慢，但是，抗干擾能力則優(yōu)于ABB保護(hù)方案；ABB行波保護(hù)的檢測原理是極波與地模波，能夠檢測到圖變量為10 ms之內(nèi)的反行波突變量，在必要的情況下，也可以使用用電壓、微分啟動與電流圖變量幾種方式來識別。

以上兩種行波保護(hù)能力都較為有限，耐過渡電阻能力不理想，此外，還存在著缺乏整定依據(jù)、理論體系不嚴(yán)密等缺陷。為了提升行波保護(hù)的效果，學(xué)界也提出了形態(tài)學(xué)梯度技術(shù)與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)濾波技術(shù)，但是，無論是暫態(tài)量保護(hù)還是行波保護(hù)，都存在一些弊端，還需要進(jìn)行深入的分析。

3.2 微分欠壓保護(hù)

微分欠壓保護(hù)是一種基于電壓幅值水平與電壓微分?jǐn)?shù)值的保護(hù)措施，兼具主保護(hù)與后備保護(hù)的功能，在現(xiàn)階段下，SIEMENS方案與ABB方案檢測的對象都是輸電線路的電壓水平與電壓微分。其中，后者上升延時為20 ms，在電壓變化率上升沿寬度未達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)的情況下，就能夠起到后備保護(hù)作用，但是其耐過渡電阻能力并不理想。

微分電壓保護(hù)動作的可靠性與靈敏度要優(yōu)于行波保護(hù)，但是動作速度則不如行波保護(hù)，兩者都存在著靈敏度不理想、整定依據(jù)不足、耐過渡電阻能力較差的問題。

3.3低電壓保護(hù)

低電壓保護(hù)是高壓直流輸電線路的常用后備繼電保護(hù)，主要依靠對電壓幅值的檢測來實(shí)現(xiàn)保護(hù)工作，根據(jù)保護(hù)對象的不同，低電壓保護(hù)包括極控低電壓保護(hù)措施與線路低電壓保護(hù)措施，其中，前者保護(hù)定值低于后者，前者在線路發(fā)生故障時會閉鎖故障極，后者在開展保護(hù)動作時會啟動線路重啟程序。

低電壓保護(hù)的設(shè)計(jì)簡單，但是缺乏科學(xué)、系統(tǒng)的整定依據(jù)，難以幫助技術(shù)人員判斷故障的具體類型，動作速度較慢。

3.4縱聯(lián)電流差動保護(hù)

縱聯(lián)電流差動保護(hù)模式使用雙端電氣量，選擇性較好，但是該種保護(hù)模式在故障發(fā)生較長的時間后才能夠做出保護(hù)措施，因此，只能夠用于高阻故障的診斷與切除中。由于各類因素的影響，現(xiàn)階段使用的差動保護(hù)也未聯(lián)系到電壓變化過程與電容電流問題，很容易出現(xiàn)誤動，雖然電流差動保護(hù)裝置有著動作速度快以及靈敏度高的優(yōu)勢，但是這種優(yōu)勢卻未在高壓直流輸電線路中充分的發(fā)揮出來，性能還有待提升。

參考文獻(xiàn)

數(shù)值積分范文第5篇

關(guān)鍵詞：課程設(shè)計(jì) 實(shí)踐教學(xué) 課程考核

《數(shù)值分析》是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課。這門課主要解決各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計(jì)算，是研究適合于計(jì)算機(jī)使用的數(shù)值計(jì)算方法。這門課內(nèi)容豐富、研究方法深刻、有自身理論體系，既有純數(shù)學(xué)的抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際生產(chǎn)生活高度結(jié)合的特點(diǎn)，是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的課程。

《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)教學(xué)時間往往只有一周，在這一周的時間內(nèi)要求學(xué)生掌握大量的解決各類數(shù)學(xué)問題的算法程序，會做到實(shí)際應(yīng)用，有相當(dāng)?shù)碾y度，所以嘗試尋找改善教學(xué)的方法。

1教學(xué)中存在的問題

1.1時間短，涉及的算法多，學(xué)生接受較差

《數(shù)值分析》的內(nèi)容包括方程（組）、函數(shù)逼近、計(jì)算積分、常微分方程的數(shù)值解等部分。涉及到微積分、線性代數(shù)、微分方程等多個高等數(shù)學(xué)的分支。對于每個知識點(diǎn)都有其相應(yīng)的數(shù)值解法，對于學(xué)生來說，這些知識以前學(xué)過但印象不深，要學(xué)習(xí)其數(shù)值算法必須熟練相關(guān)的數(shù)學(xué)知識。時間短，內(nèi)容多，學(xué)生接受的很差。

1.2缺乏合適的教材

數(shù)值分析是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的課程?，F(xiàn)在使用的教材雖說在編寫的時候已考慮到這個特點(diǎn)，不要求學(xué)生在理論上花費(fèi)過多地時間，并提供了算法相應(yīng)的框圖，希望學(xué)生自己通過編程實(shí)現(xiàn)。但這些算法形式單一，內(nèi)容與實(shí)際應(yīng)用脫離，以至于學(xué)生無法全面理解和運(yùn)用算法。

1.3考核中的問題

在考試中，傳統(tǒng)的筆試方法同樣不能真正反映出這門課的特點(diǎn)。如果在機(jī)房考試，會減少一天學(xué)習(xí)時間，不能完成教學(xué)任務(wù)，如果在試卷上考試，雖然允許使用計(jì)算器，但計(jì)算器的計(jì)算與數(shù)值分析算法在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)是兩碼事。無法調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。其實(shí)通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生只需要掌握相應(yīng)的算法就行。而考試則對計(jì)算過程、計(jì)算結(jié)果更感興趣。

2《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)踐與探索

為了幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)，筆者針對存在的問題，對該內(nèi)容進(jìn)行了一些改革，改革的主旨是：以學(xué)生為主體，構(gòu)建全新的試踐教學(xué)內(nèi)容和環(huán)境。

2.1實(shí)踐教學(xué)觀點(diǎn)的引入

實(shí)踐教學(xué)以計(jì)算機(jī)系統(tǒng)為實(shí)驗(yàn)工具，以數(shù)學(xué)理論為實(shí)驗(yàn)原理，以數(shù)學(xué)素材為實(shí)驗(yàn)對象，以簡單的對話方式或復(fù)雜的程序方式為實(shí)驗(yàn)形式，以機(jī)房為載體。它將數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)建模與計(jì)算機(jī)應(yīng)用三者融為一體，通過實(shí)踐教學(xué)使學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)基本要領(lǐng)和基本知識，能通過實(shí)驗(yàn)達(dá)到發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的目的，對數(shù)學(xué)有一個更新的認(rèn)識，為數(shù)學(xué)發(fā)展開拓空間。既可以讓學(xué)生熟悉常用的數(shù)學(xué)軟件，培養(yǎng)學(xué)生較熟練地運(yùn)用所學(xué)的知識，又可以鍛煉學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，用計(jì)算機(jī)技術(shù)解決生活過程中的各種問題的技能。在實(shí)踐教學(xué)中學(xué)生接觸到的不再是簡單的例題，而是實(shí)際的問題，學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型，親自動手設(shè)計(jì)程序，解決問題，達(dá)到學(xué)以致用的目的。

2.2優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，引入數(shù)學(xué)工具軟件

《數(shù)值分析》這門課程與實(shí)際生活密切聯(lián)系，那么在實(shí)踐教學(xué)中就應(yīng)該把它與解決實(shí)際問題和計(jì)算機(jī)的應(yīng)用結(jié)合起來。傳統(tǒng)的教學(xué)中，教學(xué)內(nèi)容多以各種數(shù)值計(jì)算方法的算法實(shí)踐練習(xí)為主，學(xué)生照著書上編寫好的算法框架練習(xí)，既沒有提高程序設(shè)計(jì)能力也沒有體會到《數(shù)值分析》這門課程的真諦。筆者在實(shí)踐教學(xué)中按照教學(xué)進(jìn)度安排，在每節(jié)課都選擇有實(shí)際背景的問題作為本節(jié)課的任務(wù)，這些問題能吸引學(xué)生的興趣，解決他們會讓學(xué)生感覺到本課程很實(shí)用，會提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性?？紤]到《數(shù)值分析》對計(jì)算能力、繪圖能力有很高的要求，建議使用專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件。目前有很多數(shù)學(xué)軟件包都能完成數(shù)學(xué)里各種各樣的運(yùn)算。例如使用Matlab、Mathematic等數(shù)學(xué)軟件。問題的解決不僅可以深化學(xué)生對所學(xué)數(shù)值算法的掌握，還能提高學(xué)生的程序編寫能力，提高學(xué)生學(xué)習(xí)其他課程的積極性和教學(xué)效果。

2.3考核方法的改革

課程設(shè)計(jì)考核與理論課的考試不一樣，考試著重考核學(xué)生對理論知識的理解和掌握以及考試前的復(fù)習(xí)，而實(shí)踐課的考核主要是對學(xué)生學(xué)習(xí)活動（過程）的評價，包括對學(xué)習(xí)目標(biāo)、學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)習(xí)態(tài)度、交互程度、資源利用和學(xué)習(xí)效果等方面。我們采用每人一題的教學(xué)和考核方法，對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行監(jiān)控、分析，根據(jù)每節(jié)課學(xué)生問題的解決情況和對學(xué)習(xí)過程的監(jiān)控，綜合給出學(xué)生考核成績，這種考核方式能夠?qū)W(xué)生學(xué)習(xí)活動給出全面、客觀的評價。公正的考核分?jǐn)?shù)能夠調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和興趣，提高教學(xué)效果。

3結(jié)束語

經(jīng)過兩個學(xué)期的實(shí)踐教學(xué)改革，學(xué)生對《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)教學(xué)改革的反映良好，對所學(xué)的內(nèi)容和數(shù)值算法的掌握較熟練，基本能做到解決實(shí)際問題，該課程的學(xué)習(xí)興趣延伸到了其他學(xué)科中，為日后學(xué)生用所學(xué)知識解決實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)。當(dāng)然，對《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)的教學(xué)改革還處在嘗試階段，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗(yàn)。一切都在摸索中。至于實(shí)際效果如何，還有待更多的檢驗(yàn)。

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