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[摘要]本文對(duì)在量子體系下的對(duì)稱變換寫作論文及其性質(zhì)作了簡單的介紹，詳細(xì)的分析了對(duì)稱變換與守恒量以及不可測(cè)量量的關(guān)系，并且對(duì)時(shí)空對(duì)稱性導(dǎo)致動(dòng)量、角動(dòng)量、能量守恒作了詳細(xì)分析，并給出了現(xiàn)在物理學(xué)中一些重要的對(duì)稱性和守恒律的簡介。

[關(guān)鍵詞]量子體系對(duì)稱性守恒定律

一、引言

對(duì)稱性是自然界最普遍、最重要的特性。近代科學(xué)表明，自然界的所有重要的規(guī)律均與某種對(duì)稱性有關(guān)，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某種特殊的對(duì)稱性——所謂“規(guī)范對(duì)稱性”。實(shí)際上，對(duì)稱性的研究日趨深入，已越來越廣泛的應(yīng)用到物理學(xué)的各個(gè)分支：量子論、高能物理、相對(duì)論、原子分子物理、晶體物理、原子核物理，以及化學(xué)（分子軌道理論、配位場理論等）、生物（DNA的構(gòu)型對(duì)稱性等）和工程技術(shù)。

何謂對(duì)稱性？按照英國《韋氏國際辭典》中的定義：“對(duì)稱性乃是分界線或中央平面兩側(cè)各部分在大小、形狀和相對(duì)位置的對(duì)應(yīng)性”。這里講的是人們觀察客觀事物形體上的最直觀特征而形成的認(rèn)識(shí)，也就是所謂的幾何對(duì)稱性。

關(guān)于對(duì)稱性和守恒定律的研究一直是物理學(xué)中的一個(gè)重要領(lǐng)域，對(duì)稱性與守恒定律的本質(zhì)和它們之間的關(guān)系一直是人們研究的重要內(nèi)容。在經(jīng)典力學(xué)中，從牛頓方程出發(fā)，在一定條件下可以導(dǎo)出力學(xué)量的守恒定律，粗看起來，守恒定律似乎是運(yùn)動(dòng)方程的結(jié)果．但從本質(zhì)上來看，守恒定律比運(yùn)動(dòng)方程更為基本，因?yàn)樗硎隽俗匀唤绲囊恍┢毡榉▌t，支配著自然界的所有過程，制約著不同領(lǐng)域的運(yùn)動(dòng)方程．物理學(xué)關(guān)于對(duì)稱性探索的一個(gè)重要進(jìn)展是諾特定理的建立，定理指出，如果運(yùn)動(dòng)定律在某一變換下具有不變性，必相應(yīng)地存在一條守恒定律．簡言之，物理定律的一種對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)地存在一條守恒定律．經(jīng)典物理范圍內(nèi)的對(duì)稱性和守恒定律相聯(lián)系的諾特定理后來經(jīng)過推廣，在量子力學(xué)范圍內(nèi)也成立．在量子力學(xué)和粒子物理學(xué)中，又引入了一些新的內(nèi)部自由度,認(rèn)識(shí)了一些新的抽象空間的對(duì)稱性以及與之相應(yīng)的守恒定律，這就給解決復(fù)雜的微觀問題帶來好處，尤其現(xiàn)在根據(jù)量子體系對(duì)稱性用群論的方法處理問題，更顯優(yōu)越。

在物理學(xué)中，尤其是在理論物理學(xué)中，我們所說的對(duì)稱性指的是體系的拉格朗日量或者哈密頓量在某種變換下的不變性。這些變換一般可分為連續(xù)變換、分立變換和對(duì)于內(nèi)稟參量的變換。每一種變換下的不變性，都對(duì)應(yīng)一種守恒律，意味著存在某種不可觀測(cè)量。例如，時(shí)間平移不變性，對(duì)應(yīng)能量守恒，意味著時(shí)間的原點(diǎn)不可觀測(cè)；空間平移評(píng)議不變性，對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒，意味著空間的絕對(duì)位置不可觀測(cè)；空間旋轉(zhuǎn)不變性，對(duì)應(yīng)角動(dòng)量守恒，意味著空間的絕對(duì)方向不可觀測(cè)，等等。在物理學(xué)中對(duì)稱性與守恒定律占著重要地位,特別是三個(gè)普遍的守恒定律——?jiǎng)恿?、能量、角?dòng)量守恒，其重要性是眾所周知，并且在工程技術(shù)上也得到廣泛的應(yīng)用。因此，為了對(duì)守恒定律的物理實(shí)質(zhì)有較深刻的理解，必須研究體系的時(shí)空對(duì)稱性與守恒定律之間的關(guān)系。

本文將著重討論非相對(duì)論情形下討論量子體系的時(shí)空對(duì)稱性與三個(gè)守恒定律的關(guān)系，并在最后給出一些我們常見的對(duì)稱變換與守恒定律的簡單介紹。

二、對(duì)稱變換及其性質(zhì)

一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性就是它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不變性，在經(jīng)典力學(xué)里，運(yùn)動(dòng)規(guī)律由拉格朗日函數(shù)決定，因而時(shí)空對(duì)稱性表現(xiàn)為拉格朗日函數(shù)在時(shí)空變換下的不變性．在量子力學(xué)里，運(yùn)動(dòng)規(guī)律是薛定諤方程，它決定于系統(tǒng)的哈密頓算符，因此，量子力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性表現(xiàn)為哈密頓算符的不變性。

對(duì)稱變換就是保持體系的哈密頓算符不變的變換．在變換S（例如空間平移、空間轉(zhuǎn)動(dòng)等）下，體系的任何狀態(tài)ψ變?yōu)棣转╯）。

三、對(duì)稱變換與守恒量的關(guān)系

經(jīng)典力學(xué)中守恒量就是在運(yùn)動(dòng)過程中不隨時(shí)間變化的量，從此考慮過渡到量子力學(xué)，當(dāng)是厄米算符，則表示某個(gè)力學(xué)量，而

然而,當(dāng)不是厄米算符,則就不表示力學(xué)量.但是，若為連續(xù)變換時(shí)，我們就很方便的找到了力學(xué)量守恒。

設(shè)是連續(xù)變換，于是可寫成為=1+IλF,λ為一無窮小參量，當(dāng)λ→0時(shí)，為恒等變換?？紤]到除時(shí)間反演外，時(shí)空對(duì)稱變換都是幺正變換，所以

（8）式中忽略λ的高階小量，由上式看到

即F是厄米算符，F(xiàn)稱為變換算符的生成元。由此可見，當(dāng)不是厄米算符時(shí)，與某個(gè)力學(xué)量F相對(duì)應(yīng)。再根據(jù)可得

（10）可見F是體系的一個(gè)守恒量。

從上面的討論說明，量子體系的對(duì)稱性，對(duì)應(yīng)著力學(xué)量的守恒，下面具體討論時(shí)空對(duì)稱性與動(dòng)量、能量、角動(dòng)量守恒。

1.空間平移不變性（空間均勻性）與動(dòng)量守恒。

空間平移不變性就是指體系整體移動(dòng)δr時(shí)，體系的哈密頓算符保持不變．當(dāng)沒有外場時(shí)，體系就是具有空間平移不變性。

設(shè)體系的坐標(biāo)自r平移到，那么波函數(shù)ψ(r)變換到ψ(s)(r)

2.空間旋轉(zhuǎn)不變性（空間各向同性）與角動(dòng)量守恒

空間旋轉(zhuǎn)不變性就是指體系整體繞任意軸n旋δφ時(shí)，體系的哈密頓算符不變。當(dāng)體系處于中心對(duì)稱場或無外場時(shí)，體系具有空間旋轉(zhuǎn)不變性。

3.時(shí)間平移不變性與能量守恒

時(shí)間平移不變性就是指體系作時(shí)間平移時(shí)，其哈密頓算符不變。當(dāng)體系處于不變外場或沒有外場時(shí)，體系的哈密頓算符與時(shí)間無關(guān)（），體系具有時(shí)間平移不變性。

和空間平移討論類似，時(shí)間平移算符δt對(duì)波函數(shù)的作用就是使體系從態(tài)變?yōu)闀r(shí)間平移態(tài)：

同樣，將（27）式的右端在T的領(lǐng)域展開為泰勒級(jí)數(shù)

四、結(jié)語

從上面的討論我們可以看到，三個(gè)守恒定律都是由于體系的時(shí)空對(duì)稱性引起的，這說明物質(zhì)運(yùn)動(dòng)與時(shí)間空間的對(duì)稱性有著密切的聯(lián)系，并且這三個(gè)守恒定律的確立為后來認(rèn)識(shí)普遍運(yùn)動(dòng)規(guī)律提供了線索和啟示，曾加了我們對(duì)對(duì)稱性和守恒定律的認(rèn)識(shí)．對(duì)稱性和守恒定律之間的聯(lián)系，使我們認(rèn)識(shí)到，任何一種對(duì)稱性，或者說一種拉格朗日或哈密頓的變換不變性，都對(duì)應(yīng)著一種守恒定律和一種不可觀測(cè)量，這一結(jié)論在我們的物理研究中具有極其重要的意義，尤其是在粒子物理學(xué)和物理學(xué)中，重子數(shù)守恒、輕子數(shù)守恒和同位旋守恒等內(nèi)稟參量的守恒在我們的研究中起著重要的作用．下表中我們簡要給出一些對(duì)稱性和守恒律之間的關(guān)系。

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