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一般地，中學(xué)生在初中和高中兩個(gè)階段將面臨數(shù)學(xué)課程對(duì)他們的四次大的挑戰(zhàn)，任何一次的不適應(yīng)，都可能使他們喪失對(duì)教學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，產(chǎn)生畏懼情緒，從而在兩極分化中成為被淘汰者。這就是本文所說的四大難關(guān)，現(xiàn)列舉如下：（1）算術(shù)到代數(shù)的過渡（初一）（2）代數(shù)到幾何的過渡（初二）（3）常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的過渡（初三、高一）（4）有限到無限的過渡（高二）

一、“四大難關(guān)”的成因

立足于幫助學(xué)生順利度過“四大難關(guān)”，教材研究的首要任務(wù)是應(yīng)該搞清各個(gè)“難關(guān)”的成因。對(duì)此作宏觀分析，我們?nèi)菀赘爬ǔ鱿旅嫒齻€(gè)方面的成因：

（1）抽象層次的提高

教學(xué)內(nèi)容的抽象性是眾所周知的，但作為數(shù)學(xué)教材的數(shù)學(xué)內(nèi)容，則著意體現(xiàn)由直觀到抽象的漸變過程，以適應(yīng)學(xué)生認(rèn)識(shí)的發(fā)展，在這種變化過程中，起伏程度有所不同，各大難關(guān)所表現(xiàn)的正是抽象程度的驟變過程，抽象層次驟然提高，這種變化若學(xué)生不能立即適應(yīng)，就成為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的巨大障礙，就成為“難關(guān)”了。

如從算術(shù)到代數(shù)的過渡，其重要標(biāo)志就是用字母表示數(shù)，特別是字母代替的數(shù)既是確定的，又是任意的，這種兩重性與小學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容相比，抽象程度顯著提高，可以說表現(xiàn)為一次飛躍；從代數(shù)到幾何的過渡，其抽象程度的飛躍則表現(xiàn)在由以前的單純的以計(jì)算為主到對(duì)數(shù)學(xué)問題的推理論證、大量抽象符號(hào)和數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用過渡；由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)的過渡，以函數(shù)概念的引入為標(biāo)志，宣布了數(shù)學(xué)問題的研究由處理相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)問題進(jìn)入處理運(yùn)動(dòng)、變化的量與量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題的領(lǐng)域，標(biāo)志著抽象層次的又一次大的邁進(jìn)；而由有限到無限的過渡，是以極限概念的引入為標(biāo)志的，其推理方式由對(duì)有限問題的處理進(jìn)入對(duì)無限問題的處理，抽象程度又一次發(fā)生了質(zhì)的改變。由此可見，抽象層次的提高，是“難關(guān)”的成因之一。

（2）研究對(duì)象的轉(zhuǎn)變

恩格斯在《反杜林論》中曾指出：“……純數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系－－這是非常現(xiàn)實(shí)的材料－－為對(duì)象的”這給數(shù)學(xué)尤其是初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)作出了很科學(xué)的概括。圍繞“數(shù)”和“形”這兩個(gè)方面討論而展開的。而在教材內(nèi)容的發(fā)展過程中，由以數(shù)為主要研究對(duì)象的內(nèi)容轉(zhuǎn)變到以形為主要研究對(duì)象的內(nèi)容時(shí)，其角度、特點(diǎn)以及抽象程度都有顯著的變化，這一轉(zhuǎn)變過程中，學(xué)生不能很快適應(yīng)，就會(huì)形成由代數(shù)到幾何的過渡－－初二平面幾何入門的一大難關(guān)。由數(shù)到形，又到數(shù)形結(jié)合，研究量與量之間運(yùn)動(dòng)、變化過程中表現(xiàn)出的關(guān)系，則又是一類研究對(duì)象，這就是函數(shù)概念的引進(jìn)－－因研究對(duì)象與研究方法的轉(zhuǎn)變而導(dǎo)致的不適應(yīng)，就出現(xiàn)了由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)過渡的這一難關(guān)。而其它幾大難關(guān)也不同程度的涉及到研究對(duì)象的改變。由此可知，數(shù)學(xué)內(nèi)容研究對(duì)象的轉(zhuǎn)變也是“難關(guān)”的成因之一。

（3）思維方式的轉(zhuǎn)變

每一次“難關(guān)”的出現(xiàn)，都相應(yīng)地出現(xiàn)思維方式上大的轉(zhuǎn)變，都是對(duì)前面習(xí)慣思維的揚(yáng)棄。當(dāng)教學(xué)思維從特殊轉(zhuǎn)入對(duì)一般情況的研究時(shí)，就是相應(yīng)的第一大難關(guān)的來臨，此時(shí)可以說思維進(jìn)入歸納思維的范圍；而當(dāng)平面幾何以全新的研究對(duì)象出現(xiàn)時(shí)，演繹推理－－從一般到特殊的思維方式占了主導(dǎo)地位，這種改變又導(dǎo)致了第二大難關(guān)的產(chǎn)生，而對(duì)辯證思維要求的提高，是導(dǎo)致后兩大難關(guān)的重要因素，因?yàn)檫@要經(jīng)受由相對(duì)穩(wěn)定－－運(yùn)動(dòng)變化－－無限領(lǐng)域的一系列重大變革，數(shù)學(xué)中的靜與動(dòng)、有限與無限等矛盾在運(yùn)動(dòng)中被一一揭示出來，在思想方向上使中學(xué)生經(jīng)受一次又一次的重大洗禮。由此可見，思維方式的轉(zhuǎn)變是“難關(guān)”的重要成因。

二、對(duì)策

（1）廣泛聯(lián)系、挖掘量變因素

前面已經(jīng)指出，“難關(guān)”的出現(xiàn)其實(shí)質(zhì)是一個(gè)質(zhì)變過程，它需要量變的積累，如果量變有了充分準(zhǔn)備，質(zhì)變就顯得自然，“難關(guān)”也就容易克服。因此，就需要深刻挖掘量變因素，將教材抽象程度加工到使學(xué)生通過努力能夠接受的水平上來。在代數(shù)關(guān)系的研究中，積極注意挖掘與幾何結(jié)合較緊密的內(nèi)容，廣泛聯(lián)系，縮小接觸新內(nèi)容時(shí)的陌生度，避免因研究對(duì)象的變化而產(chǎn)生的心理障礙。

（2）重點(diǎn)深入，合理設(shè)置問題

要將“難關(guān)”分散到普通教材中來，就需要注意對(duì)普通教材由微觀到宏觀的透徹研究與重點(diǎn)深入。首先，明確局部?jī)?nèi)容在整體數(shù)學(xué)教材體系中的地位和作用；其次，運(yùn)用前文所述的教材研究方法，合理設(shè)置問題，使問題的步子與學(xué)生的思維水平同步前進(jìn)，以局部知識(shí)的掌握為整體服務(wù)，例如，針對(duì)某一概念，可圍繞下面幾個(gè)角度設(shè)置問題：概念的構(gòu)成；概念所涉及的子概念；概念的外延；概念的內(nèi)涵；概念的確定與否定；概念之間的關(guān)系；概念的應(yīng)用以及由概念而設(shè)計(jì)的一些構(gòu)造性問題等等。當(dāng)然有些問題可設(shè)置一些啟發(fā)性的提問以使學(xué)生獨(dú)立獲得知識(shí)。問題與問題之間要有一定的梯度，以利于教學(xué)時(shí)啟發(fā)學(xué)生思維。

（3）合理吸收，突出思想方法

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教材研究為了服務(wù)于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，適應(yīng)在“難關(guān)”中思維方式的轉(zhuǎn)變，除了在教材中深入挖掘能突出思想方法的內(nèi)容之外，還應(yīng)合理吸收生活中、其它學(xué)科中甚至游戲中的一些問題，并從數(shù)學(xué)角度去分析，以潛移默化的方式培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)也可起到在教材中降低“難關(guān)”中所出現(xiàn)的大跨度的抽象落差的作用。例如，有這樣的一個(gè)游戲：有兩堆火柴，兩個(gè)人輪流去拿，每人每次只能從其中一堆中拿任意根，規(guī)定拿到最后一根者為勝。將這一游戲拿來讓學(xué)生做，并幫助它們分析，就可以訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般的思考方法（即先考慮最簡(jiǎn)單的情況：兩堆火柴各有一根的情況）和化歸轉(zhuǎn)化的推理意識(shí)；再如，在抽象落差較大的內(nèi)容之間增加一些直觀材料（為學(xué)生所熟悉的）以作緩減，也是重要的教材加工手段，從中培養(yǎng)學(xué)生觀察、總結(jié)、概括的能力?？傊?，合理吸收教材之外的輔助材料，突出數(shù)學(xué)思想方法的挖掘，是教材研究的重要手段，它在幫助學(xué)生克服難關(guān)中也起到了很重要的作用。