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他把這些與微積分聯(lián)系起來(lái)：一階差相當(dāng)于dy，它們的和等于y，如1＋3＋5＋7＝16。萊布尼茨認(rèn)為，這種和與差之間的互逆性，與依賴于坐標(biāo)之差的切線問(wèn)題及依賴于坐標(biāo)之和的求積問(wèn)題的互逆性是一樣的。差別僅在于帕斯卡算術(shù)三角形與調(diào)合三角形中的兩個(gè)元素之差為有限值，而曲線的縱坐標(biāo)之差是無(wú)窮小量。這說(shuō)明他在考慮無(wú)窮小量的和差運(yùn)算時(shí)，已將其與他早些時(shí)候關(guān)于有限量和差可逆性關(guān)系的研究聯(lián)系起來(lái)。（［10］，p．392）由此也可看出萊布尼茨研究微積分的代數(shù)出發(fā)點(diǎn)，而不是幾何出發(fā)點(diǎn)。（如［7］，p．101）

為解決求積問(wèn)題，萊布尼茨把流動(dòng)縱坐標(biāo)是y的平面曲線下的曲邊梯形的面積用符號(hào)y表示。這樣，曲線的縱坐標(biāo)就與面積變量明顯地聯(lián)系起來(lái)。過(guò)了幾年，他便用“sydx”表示面積，“∫”是“Sum（和）”的第一個(gè)字母“S”的拉長(zhǎng)。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646～1716）對(duì)數(shù)學(xué)有兩項(xiàng)突出貢獻(xiàn)：發(fā)明了符號(hào)邏輯和微積分。由于這兩項(xiàng)成就分屬不同的數(shù)學(xué)分支，人們也往往將其看作萊布尼茨的兩種不同工作，忽視了它們之間的一致性，這為萊布尼茨的數(shù)學(xué)思想、完整地理解數(shù)學(xué)史和發(fā)現(xiàn)的帶來(lái)不少困難。本文的目的就是試圖理解的揭示這種一致性。

一、符號(hào)邏輯：“通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言”

萊布尼茨對(duì)數(shù)學(xué)的最早探索和最初貢獻(xiàn)是試圖沿著笛卡爾和霍布斯的思路建構(gòu)所謂的“通用語(yǔ)言”。這種語(yǔ)言是一種用來(lái)代替語(yǔ)言的人工語(yǔ)言，它通過(guò)字母和符號(hào)進(jìn)行邏輯與綜合，把一般邏輯推理的規(guī)則改變?yōu)檠菟阋?guī)則，以便更精確更敏捷地進(jìn)行推理。（［1］，p．8）或者說(shuō)，“通用語(yǔ)言”是一套表達(dá)思想和事物的符號(hào)系統(tǒng)，利用這些符號(hào)可以進(jìn)行演算并推出各種知識(shí)。在《論組合術(shù)》中，二十歲的萊布尼茨曾立志要?jiǎng)?chuàng)設(shè)“一個(gè)一般的，在這個(gè)方法中所有推理的真實(shí)性都要簡(jiǎn)化為一種。同時(shí)，這會(huì)成為一種通用語(yǔ)言或文字，但與那些迄今為止設(shè)想出來(lái)的全然不同；因?yàn)樗锩娴姆?hào)甚至詞匯要指導(dǎo)推理；錯(cuò)誤，除去那些事實(shí)上的錯(cuò)誤，只會(huì)是計(jì)算上的錯(cuò)誤。形成或者發(fā)明這種語(yǔ)言或者記號(hào)會(huì)是非常困難的，但是可以不借助任何詞典就很容易懂得它?！保ǎ?］，p．123）在1679年9月8日給惠更斯的信中他又寫道，有一個(gè)“完全不同于代數(shù)的新符號(hào)語(yǔ)言，它對(duì)于精確而自然地在腦子里再現(xiàn)（不用圖形）依賴于想象的一切有很大的好處?！闹饕в迷谟谀軌蛲ㄟ^(guò)記號(hào)〔符號(hào)〕的運(yùn)算完成結(jié)論和推理，這些記號(hào)不經(jīng)過(guò)非常精細(xì)的推敲或使用大量的點(diǎn)和線會(huì)把它們混淆起來(lái)，因而不得不作出無(wú)窮多個(gè)無(wú)用的試驗(yàn)；另一方面，這個(gè)方法會(huì)確切而簡(jiǎn)單地導(dǎo)向〔所需要的〕結(jié)果。我相信力學(xué)差不多可以象幾何學(xué)一樣用這種方法去處理?！保ǎ?］，p．151～152）

綜合萊布尼茨零零碎碎的設(shè)想，他的宏偉規(guī)劃大體旨在創(chuàng)造兩種工具：其一是通用語(yǔ)言，其二是推理演算（calaulusratiocinator）。前者的主要使命是消除現(xiàn)存語(yǔ)言的局限性和不規(guī)則性，使新語(yǔ)言變成世界上人人會(huì)用的具有簡(jiǎn)明符號(hào)、合理規(guī)則的語(yǔ)言，規(guī)定符號(hào)的演變規(guī)則與運(yùn)算規(guī)則，使邏輯演變依照一條明確的道路進(jìn)行下去，進(jìn)而解決所有可用語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題。

為此，萊布尼茨做了兩方面的努力：一是尋找能夠代表所有概念并可認(rèn)作最根本的不可分析的符號(hào)；二是給出表述諸如斷定、合取、析取、否定、全稱、特殊、條件聯(lián)結(jié)等形式概念的設(shè)計(jì)。關(guān)于第一方面，萊布尼茨首次設(shè)想用數(shù)目代表原初概念，而邏輯演算則用如同算術(shù)中的乘或除來(lái)代替。他認(rèn)為用這種數(shù)字的不同方式排列組合，進(jìn)行各種運(yùn)算，就可產(chǎn)生無(wú)窮多的復(fù)合概念。這一思想后來(lái)改進(jìn)為以素?cái)?shù)代表基本概念，而復(fù)合詞項(xiàng)即可借分解相應(yīng)的數(shù)字成為它們的素?cái)?shù)因子來(lái)加以分析。以“人是理智動(dòng)物”為例，用素?cái)?shù)“3”代表“動(dòng)物”、“5”代表“理智”，則“人”即以“15＝3．5”代表。為了更好地構(gòu)設(shè)“通用語(yǔ)言”，萊布尼茨又以設(shè)想的“人類概念字母表”為語(yǔ)言詞匯基礎(chǔ)創(chuàng)制了一些邏輯符號(hào)，如“∪”（并）、“∩”（交）等，一直沿用下來(lái)。

關(guān)于第二方面，萊布尼茨的工作大致可以1679、1686、1690三個(gè)年代為標(biāo)志劃分為三個(gè)階段。（［4］，pp．271～273）

第一階段，萊布尼茨改進(jìn)從數(shù)字代替概念以其演算，代之以對(duì)普通命題經(jīng)驗(yàn)分析為基礎(chǔ)的代數(shù)邏輯。他以全稱肯定命題“a是b”的形式開(kāi)始，提出五條基本演算規(guī)則：（1）ab是ba（交換律）；（2）a是aa（重言律）；（3）a是a（同一原則）；（4）ab是a或ab是b（化簡(jiǎn)原則）；（5）如a是b且b是c，則a是c（傳遞原則）。以此為據(jù)，他證明了同一和包含兩個(gè)邏輯系詞之間的重要關(guān)系，即，如a是b且b是a，則a與b是同一的。進(jìn)而，他又提出四個(gè)定理：（1）如a是b且a是c，則a是bc；（2）如a是bc，則a是b且a是c；（3）如a是b，則ac是bc；（4）如a是b且c是d，則ac是bd。由此可見(jiàn)，萊布尼茨在第一階段的邏輯演算已相當(dāng)完善和科學(xué)化，為邏輯的系統(tǒng)化打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

第二階段，萊布尼茨用等式符號(hào)作系詞符號(hào)，借公式A＝BY表述全稱肯定命題（Y為一未確定的系數(shù)，用以修飾B而使B成為A的一部分），同時(shí)提出雙重否定之為肯定，即“非非A＝A”，并由此演釋出一系列定理。為了進(jìn)一步演算，萊布尼茨還試圖通過(guò)與屬性組合的關(guān)系，用代數(shù)方法來(lái)描述四個(gè)直言命題，甚至對(duì)四個(gè)直言命題的表示法提出了九個(gè)方案。

第三個(gè)階段，萊布尼茨最有價(jià)值的工作是羅列了十四個(gè)基本命題：（1）A＝A＋A“＋”表示邏輯相乘，下同）；（2）如A＝B且B＝C，則A＝C；（3）如A＝B且B≠C，則A≠C；（4）如A＝B，且B＜C，則A＜C；（5）如A＝B且C＜B，則C＜A；（6）如A＝B且C＝D；則A＋C＝B＋D；（7）如A＝B，則A＋C＝B＋C；（8）A＜B，則A＋C＜B＋C；（9）如A＋B＝A，則B＜A；（10）如B＜A，則A＋B＝A；（11）如A＜B且B＜C，則A＜C；（12）如A＜B且B＜A，則A＝B；（13）如A＜C且B＜C，則A＋B＜C；（14）如A＜B且C＜D，則A＋C＜B＋D。為適應(yīng)邏輯相除，他又引進(jìn)邏輯相減運(yùn)算，定義為：如B包含在A中且C包括除去B之外的整個(gè)A的內(nèi)容，則A－B＝C。如前例“人＝動(dòng)物＋理智”即可推為“人－理智＝動(dòng)物”。

上述符號(hào)構(gòu)設(shè)顯示，萊布尼茨的中心思想是致力于以符號(hào)表示普遍概念的“通用語(yǔ)言”和以代換法進(jìn)行數(shù)學(xué)演算他自稱的“通用數(shù)學(xué)”。就今天的眼光看來(lái)，他實(shí)際上已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了符號(hào)邏輯的若干重要原則和定理，觸及到后由哈米爾頓所闡發(fā)的謂項(xiàng)量化問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到在直言與假言命題之間的基本類比（即原因包含它的結(jié)果正如主項(xiàng)包含它的謂項(xiàng)），并且把握了邏輯相加的問(wèn)題，甚至討論過(guò)非三段論的關(guān)系推理。因此，萊布尼茨實(shí)際上已探察到后來(lái)為布爾和施羅德所發(fā)展的邏輯代數(shù)的整個(gè)基礎(chǔ)。數(shù)理邏輯學(xué)家有沒(méi)有看過(guò)萊氏的著作，知道不知道萊氏的計(jì)劃，但所作的研究大體上都是沿著萊氏所期望的方向進(jìn)行的?！保ǎ?］，p．10）所以，整個(gè)數(shù)學(xué)界都一致公認(rèn)他是數(shù)理邏輯的首創(chuàng)者和真正奠基人。

萊布尼茨的符號(hào)數(shù)學(xué)研究在生前沒(méi)有公布，結(jié)果使數(shù)理邏輯的發(fā)展延遲了一個(gè)半世紀(jì)。（［4］，p．119）可他關(guān)于微積分的成果卻由于較早發(fā)表而惠澤數(shù)學(xué)界并引發(fā)一場(chǎng)爭(zhēng)論持久的公案。

二、微積分：“理性的代數(shù)學(xué)”

1684年萊布尼茨在萊比錫的《教師學(xué)報(bào)》（ActaEruditorum）上首次發(fā)表了題為《關(guān)于求極大、極小和切線的新方法，也能用于分?jǐn)?shù)和無(wú)理量的情形及非尋常類型的有關(guān)計(jì)算》（簡(jiǎn)稱《新方法》）的文章。這是他關(guān)于微分計(jì)算要點(diǎn)的代表作，全文只有六頁(yè)。1686年萊布尼茨又在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了題為《論一種深邃的幾何學(xué)和不可分元分析以及無(wú)窮》一文。這是他最早發(fā)表的以討論積分學(xué)為主的文章，實(shí)際可看作《新方法》的續(xù)篇。

萊布尼茨把最初的微積分稱為求差的方法與求和的方法。他的基本思想是把一條曲線下的面積分割成許多小矩形與曲線之間微小直角三角形的兩邊分別是曲線上相鄰兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之差。當(dāng)這兩無(wú)限減小時(shí)，曲線上相鄰兩點(diǎn)便無(wú)限接近。聯(lián)結(jié)這樣兩點(diǎn)就得出曲線在該點(diǎn)的切線。這就是求差的方法。求差的反面就是求和。當(dāng)曲線下面的矩形被分割得無(wú)限小時(shí)，矩形上面的那個(gè)三角形可以忽略不計(jì)，此時(shí)就用這些矩形之和代表曲線下的面積。

早在1666年，萊布尼茨就發(fā)現(xiàn)帕斯卡算術(shù)三角形與調(diào)合三角形之間存在著有趣的關(guān)系。（［6］，pp．216～217）在帕斯卡三角形中，任意一個(gè)元素既等于其上一行左邊各項(xiàng)之和，又等于其下一行相鄰兩項(xiàng)之差；而在調(diào)合三角形中，任一元素均是其下一行右邊各項(xiàng)之和，也是緊靠其上兩項(xiàng)之差。

算術(shù)三角形調(diào)合三角形

萊布尼茨在筆記中寫出了各階的差和微分：

自然數(shù)0，1，2，3，4，5，…y

一階差1，1，1，1，1，1，…dy

二階差0，0，0，0，0，…

自然數(shù)平方0，1，4，9，16，…y

一階差1，3，5，7，…dy

二階差1，2，2，2，…d（dy）

三階差1，0，0，…

他把這些與微積分聯(lián)系起來(lái)：一階差相當(dāng)于dy，它們的和等于y，如1＋3＋5＋7＝16。萊布尼茨認(rèn)為，這種和與差之間的互逆性，與依賴于坐標(biāo)之差的切線問(wèn)題及依賴于坐標(biāo)之和的求積問(wèn)題的互逆性是一樣的。差別僅在于帕斯卡算術(shù)三角形與調(diào)合三角形中的兩個(gè)元素之差為有限值，而曲線的縱坐標(biāo)之差是無(wú)窮小量。這說(shuō)明他在考慮無(wú)窮小量的和差運(yùn)算時(shí)，已將其與他早些時(shí)候關(guān)于有限量和差可逆性關(guān)系的研究聯(lián)系起來(lái)。（［10］，p．392）由此也可看出萊布尼茨研究微積分的代數(shù)出發(fā)點(diǎn)，而不是幾何出發(fā)點(diǎn)。（如［7］，p．101）

為解決求積問(wèn)題，萊布尼茨把流動(dòng)縱坐標(biāo)是y的平面曲線下的曲邊梯形的面積用符號(hào)y表示。這樣，曲線的縱坐標(biāo)就與面積變量明顯地聯(lián)系起來(lái)。過(guò)了幾年，他便用“sydx”表示面積，“∫”是“Sum（和）”的第一個(gè)字母“S”的拉長(zhǎng)。

在求量的差即微分方面，萊布尼茨先是引進(jìn)了符號(hào)“x／d”表示x的微分，意思是求“差”要關(guān)系到量的同次的降低，并且他還認(rèn)為，如果同時(shí)出現(xiàn)不同階的微分，則只留下最低階的，而把所有高階的微分舍去。至于這樣做的理由，萊布尼茨雖提供了多種解釋，但都不充分，其實(shí)毋寧說(shuō)他是當(dāng)作“公理”來(lái)使用的。后來(lái)，他將“x／d”改為“dx”，一直沿用至今。

從上述思路出發(fā)，萊布尼茨給出了微積分的基本公式：

d（x±y）＝dx±dy（1）

d（xy）＝xdy＋ydx（2）

d（x／y）＝y(tǒng)dx－xdy／y［2］（3）

對(duì)于（2），他的推導(dǎo)是，令x、y分別成為x＋dx、y＋dy，則

（x＋dx）（y＋dy）＝xdy＋ydx＋dxdy＋xy于是d（xy）＝（x＋dx）（y＋dy）－xy＝xdy＋ydx＋dxdy

dxdy是比xdy＋ydx高一階的無(wú)限小量，可以舍去，所以d（xy）＝xdy＋ydx

用同樣的方法也可推導(dǎo)出公式（1）和（3）。

有了微分法的基本運(yùn)算律，對(duì)整指數(shù)的冪函數(shù)x［n］就有dx［n］＝nx［n－1］。又由于求和是求差的逆運(yùn)算，所以還有∫x［n］dx＝1／n＋1x［n＋1］（n≠－1）。這兩個(gè)公式雖只對(duì)n是正整數(shù)情況而言，但萊布尼茨卻斷然宣布它們當(dāng)n取其它數(shù)值時(shí)仍然成立。接著，萊布尼茨陸續(xù)地推導(dǎo)出指數(shù)和對(duì)數(shù)等超越函數(shù)的微分公式。

萊布尼茨的微積分算法是在解決幾何和物理問(wèn)題的過(guò)程中建立和完善起來(lái)的。他邊建立新算法，邊用這種算法解決當(dāng)時(shí)物與幾何學(xué)提出的疑難問(wèn)題，有時(shí)還用老方法來(lái)解決問(wèn)題以檢驗(yàn)新方法的正確性。除了切線問(wèn)題、極值問(wèn)題、曲率問(wèn)題、求積問(wèn)題等幾何問(wèn)題，他還曾用新方法證明了光的折射定律。所有這些都顯示了新算法比傳統(tǒng)方法更加優(yōu)越。

除了以上成果，萊布尼茨在微積分方面的具體研究還有：（1）復(fù)合函數(shù)的微分法則；（2）弧微分法則ds=根號(hào)下dx[,2]+dy[,2]；（3）對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的微分法則；（4）在積分號(hào)下對(duì)參變量求微分的方法；（5）曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體體積公式V＝π∫y［2］dx；（6）求切線、求最大值最小值以及求拐點(diǎn)的方法；（7）討論曲率，密切圓和包絡(luò)。（［8］，pp．394～395）

萊布尼茨微積分研究的背景與當(dāng)時(shí)整個(gè)西歐的數(shù)學(xué)家們是一致的，他的工作基礎(chǔ)也是建立在對(duì)無(wú)窮小的分析上。因此，此后很長(zhǎng)一段時(shí)間，人們一直把微積分叫無(wú)窮小分析。由于萊布尼茨從有限差值開(kāi)始無(wú)窮小的運(yùn)算，因而他最初曾試圖將實(shí)無(wú)窮小代之以與其成比例的有限數(shù)量，即不用dx、dy本身，而用它們的比值dy／dx。他以為把dx、dy看成有限量，問(wèn)題就解決了。但是，比值dy／dx的獲得同樣需要說(shuō)清dx、dy兩個(gè)量本身的實(shí)際情況，而不能有半點(diǎn)含糊。于是，萊布尼茨提出用“充分大”和“充分小”去代替無(wú)窮大和無(wú)窮小。他解釋說(shuō)：“我們可以不用無(wú)窮大、無(wú)窮小，而用充分大和充分小的量，使得誤差小于給定的誤差限度，所以我們和阿基米德方式的不同之處僅僅在于表達(dá)方面，而我們的表達(dá)更為直接，更適合于發(fā)明家的?！保ǎ?］，p．401）為了更好地說(shuō)明這一點(diǎn)，他不得不訴諸于感性的直觀——物理或幾何模型，用現(xiàn)實(shí)事物中量的不同層次的相對(duì)性解釋無(wú)窮大和無(wú)窮小。所以有人說(shuō)，萊布尼茨其實(shí)是半個(gè)理性主義，因?yàn)樗诶硇岳Ф蛑畷r(shí)，不得不借助經(jīng)驗(yàn)。（［9］，p．130）例如，他認(rèn)為點(diǎn)同直線不能相比，所以點(diǎn)加到直線上從直線上去掉等于不加也不減。于是，“當(dāng)我們談到有不同階的無(wú)窮大與無(wú)窮小時(shí)，就象對(duì)恒星的距離而言，把太陽(yáng)看成一個(gè)點(diǎn)；對(duì)地球半徑而言，把普通的球看做一個(gè)點(diǎn)。這樣，恒星的距離對(duì)于普通球的半徑而言是無(wú)窮的無(wú)窮大，或無(wú)窮倍的無(wú)窮大?！保?0］而“如果你不承認(rèn)無(wú)限長(zhǎng)、無(wú)限短線段具有形而上學(xué)的嚴(yán)密性，也不承認(rèn)它們是實(shí)在的東西，那么你一定可以把它們當(dāng)作一種能夠縮短論證的思想的東西來(lái)使用，正如在普通分析中使用虛根一樣，……老實(shí)說(shuō)，我不十分相信除了把無(wú)限大、無(wú)限小看作理想的東西，看作有根據(jù)的假設(shè)，還有什么必要去考察他們，”甚至“我不相信確有無(wú)限大量和無(wú)限小量存在，它們只是虛構(gòu)，但是對(duì)于縮短論證和在一般敘述中是有用的虛構(gòu)。”［（10）］可見(jiàn)，萊布尼茨主要是把微積分當(dāng)作了求得正確結(jié)果的一種方法，只要按這個(gè)方法去做，就能得出正確的結(jié)果，而不必關(guān)心基本概念怎樣。事實(shí)上，萊布尼茨對(duì)于微積分基礎(chǔ)的這種看似冒失的大膽相信態(tài)度，反倒可能促進(jìn)了微積分及其的迅速發(fā)展。（［11］，p．359）

三、單子論：理性的僭越

萊布尼茨是古往今來(lái)唯一的一位馳騁于數(shù)學(xué)思想的兩個(gè)寬廣的、對(duì)偶的領(lǐng)域——與組合或連續(xù)和離散領(lǐng)域的數(shù)學(xué)大師，而且在每個(gè)領(lǐng)域都表現(xiàn)了人類的最高能力。（［2］，p．119）這除了他的已為人所周知的天賦和勤勉以外，就數(shù)學(xué)內(nèi)部而言，最合理的解釋應(yīng)該是萊布尼茨數(shù)學(xué)的代數(shù)出發(fā)點(diǎn)和研究方式。他的“通用語(yǔ)言”工作，今天看來(lái)實(shí)際上是在創(chuàng)立一種普遍適用的邏輯代數(shù)（數(shù)學(xué)）。而在微積分上，盡管他贊同那種認(rèn)為無(wú)窮小需要一個(gè)幾何學(xué)基礎(chǔ)的偏見(jiàn)，但是他達(dá)到微積分的途徑卻是代數(shù)的和哲學(xué)的，而不是幾何的。萊布尼茨的發(fā)現(xiàn)起因于尋找一個(gè)無(wú)限聚斂數(shù)列或交錯(cuò)級(jí)數(shù)1／1－1／3＋1／5－1／7＋……之和（＝π／4）的（最后萊布尼茨給出了自己滿意的最一般的公式：arctgx=x=x[,3]/3+x[,5]/5+x[,7]/c+……）。在萊布尼茨看來(lái)：微分學(xué)就是確定這種數(shù)列極限的一種方法，所以他才習(xí)慣于將無(wú)窮小等視作有限量；積分學(xué)則是發(fā)現(xiàn)數(shù)列總和的一種方法，因而他的積分總是今天所說(shuō)的定積分，而不是牛頓的不定積分。（［6］，p．219）在萊布尼茨，幾何學(xué)由于笛卡爾和費(fèi)爾馬杰出的工作而倍受數(shù)學(xué)界歡迎，萊布尼茨抱著“通用數(shù)學(xué)”的信念，企圖運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)，結(jié)果卻將自己代數(shù)的觀點(diǎn)導(dǎo)入幾何學(xué)，從而做出了對(duì)“天地間通用的微積分”的發(fā)現(xiàn)。（［12］，p．170）因此，為了深入追索萊布尼茨數(shù)學(xué)創(chuàng)造的思想淵藪，必須訴諸他的數(shù)學(xué)觀及所接受的研究傳統(tǒng)。

萊布尼茨最早的思想活動(dòng)是在哲學(xué)領(lǐng)域，這與其父作為一個(gè)道德哲學(xué)教授的有關(guān)。少年萊布尼茨讀了不少古典哲學(xué)著作，入大學(xué)后又首先接受了雅可布·托馬修斯教授嚴(yán)格的經(jīng)院哲學(xué)訓(xùn)練。他的畢業(yè)論文Deprincipioindividui（《論個(gè)體原則》）就是維護(hù)經(jīng)院哲學(xué)中唯名論派觀點(diǎn)的。盡管萊布尼茨后來(lái)到巴黎去認(rèn)真和研究數(shù)學(xué)，并且首先在數(shù)學(xué)上有了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，但作為其全部研究起點(diǎn)的思維觀念與思想傳統(tǒng)卻是在早年打下的，而且一生基本沒(méi)有什么大的變化。（［13］，p．164）這在他的著作《新系統(tǒng)》（1695）中有明確表述。

雖然萊布尼茨生前沒(méi)有留下一部令自己滿意的哲學(xué)著作，他在哲學(xué)方面的所有主要著作都是為了某個(gè)人而寫，但他卻是第一個(gè)創(chuàng)立獨(dú)立哲學(xué)體系的德國(guó)人。這體系的“拱心石”通常稱為“單子論”，他自己則稱之為“前定和諧系統(tǒng)”。作為單子論核心范疇的單子是一種沒(méi)有部分的只是組成復(fù)合物的單純實(shí)體。（［14］，p．483）萊布尼茨認(rèn)為單子具有六種規(guī)定性：（1）單子是最小的精神實(shí)體，它是能動(dòng)的而又不具有廣延（可分）性，因而是世界的實(shí)（主）體；（2）單子是上帝創(chuàng)造的，因其不能通過(guò)組合而生，只能憑創(chuàng)造而生，憑毀滅而亡；（3）單子是徹底孤立的實(shí)體，絕對(duì)封閉，各自獨(dú)立；（4）每個(gè)單子各具不同的質(zhì)，因其沒(méi)有量的規(guī)定性，所以實(shí)際上存在著無(wú)限多樣的單子；（5）單子運(yùn)動(dòng)變化的原因在自身，每個(gè)單子都是一個(gè)“力的中心”；（6）單子的基本屬性是知覺(jué)，知覺(jué)反映自身和他物，因此每一個(gè)單子都是宇宙的一面永恒的鏡子。從單子的規(guī)定出發(fā)，萊布尼茨提出了他的本體論原則：第一，連續(xù)性原則，認(rèn)為宇宙是一個(gè)從低級(jí)到高級(jí)的過(guò)程；第二，前定和諧原則，認(rèn)為各自獨(dú)立的單子能同時(shí)一致行動(dòng)的原因來(lái)自前定和諧；第三，普遍聯(lián)系原則，認(rèn)為整個(gè)宇宙中的單子和事物均處于普遍的相互聯(lián)系之中。以上三個(gè)原則，連續(xù)性是用來(lái)調(diào)和事物質(zhì)的對(duì)立的，前定和諧是用來(lái)調(diào)和“不可分點(diǎn)”（間斷）與“連續(xù)性”的矛盾的，普遍聯(lián)系則為了調(diào)合有限與無(wú)限、個(gè)別與一般、部分與整體的矛盾。［15］

上述本體論承諾決定了萊布尼茨的認(rèn)識(shí)論必然是一種主張能動(dòng)性然而卻是唯心的先驗(yàn)論體系。它最終注定萊布尼茨的方法論只能是一種以邏輯為主干的多元方法論，既相信直覺(jué)，又看重形式。［15］他不僅承繼了笛卡爾、斯賓諾莎一貫的唯傳統(tǒng)，而且將理性主義原則擴(kuò)展到在前者的哲學(xué)中遭拒斥的許多領(lǐng)域。他從哲學(xué)出發(fā)去理解科學(xué)活動(dòng)及其本質(zhì)，數(shù)學(xué)也僅是其哲學(xué)探索的一種智力模型。譬如，他的微分就是“原形先蘊(yùn)”，通過(guò)形而上學(xué)的解釋假定的。萊布尼茨注重運(yùn)算的過(guò)程和探究結(jié)果。他在對(duì)待作為微積分邏輯基礎(chǔ)的無(wú)窮小時(shí)，既不怯懦回避，也不輕易神秘化，而是從有限差開(kāi)始，充滿自信地大膽使用無(wú)窮小量及其階，就如他自己所說(shuō)，僅僅訴諸智力，更注重這種方法的運(yùn)算性質(zhì)。［16］他相信，假如他清楚地給出了適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算法則，并且把它們得恰當(dāng)，就一定會(huì)得到某種合理的、正確的結(jié)果。他似乎覺(jué)得，根據(jù)充足理由（前定和諧）律，他就可以在這方面來(lái)實(shí)現(xiàn)從可能性到現(xiàn)實(shí)性的轉(zhuǎn)變。（［6］，p．222）為此，他特別強(qiáng)調(diào)理論的形式化問(wèn)題。他所建立的“通用數(shù)學(xué)”及無(wú)窮小量運(yùn)算都是符號(hào)和術(shù)語(yǔ)體系的極好范例，是真正的意義形式化的始祖。

于是，我們不難理解，萊布尼茨為什么在離散與連續(xù)或組合與分析兩個(gè)不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域都表現(xiàn)出了同樣的研究方式和最高創(chuàng)造力，因?yàn)樗鼈冊(cè)凇袄硇浴鄙鲜且恢碌摹＝永m(xù)以“離散”為基礎(chǔ)，是“離散”的連續(xù)，就如同“認(rèn)識(shí)”不過(guò)是單子的活動(dòng)而已。所以，萊布尼茨一直以代數(shù)的、有限的方法研究分析的、無(wú)限性的問(wèn)題。這種研究在觀念上從屬于按照準(zhǔn)確本體論原則建構(gòu)起來(lái)的認(rèn)識(shí)目的，它試圖“在理智活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的那些早期傳統(tǒng)間的看起來(lái)不可調(diào)和的矛盾沖突中創(chuàng)造出一個(gè)新的綜合?！保ǎ?7］，p．4）

當(dāng)然，萊布尼茨這種近于偏執(zhí)和幻想式的理性主義傳統(tǒng)，也使其數(shù)學(xué)研究遇到了許多困難。首先是在微積分的基本概念上，作為研究基礎(chǔ)的無(wú)窮小量始終不明確，要么看作要多小有多小，要么看作理想之物，要么看作是純粹然而有用的虛構(gòu)，將科學(xué)基礎(chǔ)概念的界定最終留給了信仰。其次是他的數(shù)學(xué)研究在邏輯上是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模M管他發(fā)展了邏輯學(xué)，但其推導(dǎo)是不嚴(yán)格的，有主觀臆造成分。特別是其微積分表示法的優(yōu)越性更強(qiáng)烈地掩蔽了這一學(xué)科的邏輯基礎(chǔ)，使之在嚴(yán)格論述方面走上了歧途。（［12］，p．234）至于他的理論推導(dǎo)中有時(shí)包含邏輯錯(cuò)誤，如曾認(rèn)為d（uv）＝dudv、d（u／v）＝du／dv（1675），這已屬情理之中的事。他的零亂的工作如果不經(jīng)Bernoulli兄弟整理加工，就很難有后來(lái)的局面。此外，英國(guó)科學(xué)家牛頓關(guān)于微積分嚴(yán)謹(jǐn)而扎實(shí)的工作更表明，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)明與創(chuàng)造而言，理性主義方法也并不是唯一有效和可靠的途徑。

四、流數(shù)術(shù)：數(shù)學(xué)需要兩種傳統(tǒng)

1705年《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇評(píng)述牛頓《求積術(shù)》的論文。文中說(shuō)到，在那本書里只不過(guò)是把萊布尼茨的微分換成了流數(shù)。言下之意，兩者實(shí)質(zhì)上不外是同一樣?xùn)|西。這在那個(gè)極重個(gè)人榮譽(yù)的時(shí)代，無(wú)疑于擲出一枚重磅炸彈，立刻激起軒然大波，引發(fā)了究竟牛頓和萊布尼茨誰(shuí)先發(fā)明了微積分的長(zhǎng)時(shí)間爭(zhēng)論。為此，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)還于1712年在其《通訊》上公布了評(píng)判結(jié)果：“微分法和流數(shù)法是一回事，只是名稱和記法不同而已；牛頓先生稱之為瞬或流數(shù)的那些量，萊布尼茨先生稱為微積分，并用牛頓先生不曾用過(guò)的記法，記作字母d。”（［6］，p．235）顯然，上述兩種看法是截然對(duì)立的。由于這種爭(zhēng)論只是涉及發(fā)明的優(yōu)先權(quán)問(wèn)題，所以對(duì)微積分的進(jìn)步?jīng)]有任何益處。但爭(zhēng)論也反映出一個(gè)問(wèn)題，即當(dāng)時(shí)的人們（包括牛頓和萊布尼茨本人）除了發(fā)覺(jué)兩種微積分在概念和記法上不同外，并沒(méi)有看出二者質(zhì)的聯(lián)系與差別。關(guān)于微積分的基礎(chǔ)工作，是兩個(gè)人去世后很久的事。

眾所周知，就牛頓而言，他首先是個(gè)物家或主要是力學(xué)家。這不僅可以從其科學(xué)成就看出，而且在其對(duì)待微積分的方式上也表露得十分清楚。他稱自己的微積分為流數(shù)術(shù)，即表明主要是為解決流體力學(xué)等問(wèn)題而探討和使用的新方法。牛頓關(guān)于微積分的主要著述有三部：《運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》（1669）、《流數(shù)法和無(wú)窮級(jí)數(shù)》（1671）、《曲線求積術(shù)》（1690）。此外，他的代表作《哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》（1687）中也有不少論述。這些成果大致反映了牛頓對(duì)微積分的研究和認(rèn)識(shí)的三個(gè)主要階段。第一個(gè)階段是靜態(tài)的無(wú)窮小量方法階段，他象費(fèi)爾馬等人一樣把變量看作是無(wú)窮小元素的集合；第二個(gè)階段是變量流動(dòng)生成法階段，認(rèn)為變量是由點(diǎn)、線或面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，因此把變量叫作流量，把變量的變化率叫流數(shù)；第三個(gè)階段是最初比和最終比方法階段，這種方法是牛頓對(duì)第一個(gè)階段無(wú)窮小量方法的排除，轉(zhuǎn)向極限觀點(diǎn)。牛頓的微積分（流數(shù)術(shù)）中有三個(gè)重要概念：流量、流數(shù)和瞬。其中“瞬”是剛剛產(chǎn)生的一種無(wú)窮小量。這幾個(gè)概念的提出，不僅使一切與變化率有關(guān)的問(wèn)題有了統(tǒng)一認(rèn)識(shí)和表述，而且直接揭示了原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的可逆關(guān)系。由此可見(jiàn)，盡管牛頓后來(lái)用幾何形式表述了微積分基本定理及其它一系列重要命題，但其把物理學(xué)作為出發(fā)點(diǎn)的做法卻是十分明顯的。就如他自己所說(shuō)：“這里，流數(shù)術(shù)賴以建立的主要原理，及是取自理論力學(xué)中的一個(gè)非常簡(jiǎn)單的原理，這就是：數(shù)學(xué)量，特別是外延量，就可以看成是由連續(xù)軌跡運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的；而且所有不管什么量，都可以認(rèn)為是在同樣方式之下產(chǎn)生的，至少經(jīng)過(guò)類比和調(diào)整后可以如此。因此在產(chǎn)生這些具有固定的、可確定的關(guān)系的量時(shí)，其相對(duì)速度一定有增減，因而也就可以作為一個(gè)問(wèn)題提出如何去求它們?！保ǎ?8］，p．Ⅺ）所以，“甚至最草率的牛頓研究者也明顯看到，牛頓是一位徹底的經(jīng)驗(yàn)主義者。”（［19］，p．198）

從物理經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，牛頓把速度、距離、加速度等作為中心概念，以變量x和y的無(wú)窮小增量作為求流數(shù)（導(dǎo)數(shù)）的手段（當(dāng)增量越來(lái)越小時(shí)，流數(shù)實(shí)際上就是增量比的極限）；牛頓更多關(guān)心微積分的實(shí)際內(nèi)容和基本方法，一些法則沒(méi)有充分推廣，對(duì)普通的討論較少；他從變化率出發(fā)解決面積和體積問(wèn)題，微分是其基礎(chǔ)，通過(guò)微分及其逆來(lái)解決微積分問(wèn)題。因此，作為自然科學(xué)家的牛頓處理問(wèn)題十分嚴(yán)謹(jǐn)小心，講究實(shí)在具體。人們認(rèn)為他遲遲不發(fā)表微積分研究成果的原因，可能是因?yàn)闆](méi)有為其基礎(chǔ)找到合理的解釋所致。德摩根甚至認(rèn)為牛頓是由“一種病態(tài)的害怕別人反對(duì)的心理統(tǒng)治了他的一生。”（［20］，p．67）這和萊布尼茨那種從幾何出發(fā)，整體求和的、注重推廣和演繹的理性化方式大為不同。由此直接導(dǎo)致了他們所發(fā)明的微積分的基本差別：（1）萊布尼茨的微積分是由人工符號(hào)語(yǔ)言表述的法則與公式系統(tǒng)，他花了很多時(shí)間選擇富有提示性的符號(hào)；牛頓的微積分主要是用自然語(yǔ)言進(jìn)行敘述的數(shù)學(xué)體系，很少涉及符號(hào)，他基本認(rèn)為符號(hào)無(wú)關(guān)緊要。（2）萊布尼茨的研究是從“整體”到“部分”，他首先討論“和”即積分，用和來(lái)得到面積、體積或重心，其出發(fā)點(diǎn)是反微分；牛頓的研究是由“部分”到“整體”其基礎(chǔ)是微分，他從變化率出發(fā)來(lái)解決面積和體積問(wèn)題。（3）萊布尼茨的微分是高階的，其積分是定積分；牛頓的微分是一階的，其積分是不定積分。

但是，盡管在出發(fā)點(diǎn)、研究方式和表述形式上有巨大的差別，兩人仍然創(chuàng)立了同一個(gè)微積分，并且彼此互補(bǔ)。經(jīng)過(guò)他們的工作，微積分再不象希臘時(shí)期所有數(shù)學(xué)都是幾何學(xué)的分支那樣，被束縛在幾何框架內(nèi)，而是成為一個(gè)嶄新的既不同于幾何也不同于代數(shù)的獨(dú)立的分析數(shù)學(xué)。并且，二人都不象他們的先驅(qū)那樣僅限于解決某些實(shí)際問(wèn)題，而是把微積分建立在一般問(wèn)題和運(yùn)算基礎(chǔ)上，使之成為具有普遍性的通用方法。他們不再把微分問(wèn)題和積分問(wèn)題看作互不相干，而是找到了彼此的互逆關(guān)系，建立起微積分基本定理，使面積、體積及以往作為求和來(lái)處理的各種問(wèn)題都?xì)w并為反微分，為求積運(yùn)算開(kāi)辟了一條新的便捷途徑。這樣，經(jīng)過(guò)二人不懈的努力，微積分作為“天地間通用”的學(xué)科終于獲得了資格證書。

在科學(xué)史上，幾個(gè)人同時(shí)創(chuàng)造一項(xiàng)科學(xué)成就的事例并不少見(jiàn)。但是，牛頓和萊布尼茨各自從不同的研究傳統(tǒng)出發(fā)發(fā)明了微積分，對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)步有著特別的意義。原因在于，微積分處于古代數(shù)學(xué)向近代數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)折的關(guān)節(jié)點(diǎn)上。經(jīng)過(guò)微積分，近代以來(lái)的數(shù)學(xué)觀及其方法論已大為改觀，所以許多討論近代數(shù)學(xué)的書往往稱“微積分以來(lái)的數(shù)學(xué)”。（［21］，p．51）牛頓的工作無(wú)疑再一次表明了數(shù)學(xué)與經(jīng)驗(yàn)的不可分割性，而萊布尼茨則以自己的探索證明了理性要素在近代數(shù)學(xué)發(fā)展中的增長(zhǎng)。300年后的今天，數(shù)學(xué)哲學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)真理的實(shí)在性與非實(shí)在性問(wèn)題的討論進(jìn)一步印證了兩種數(shù)學(xué)傳統(tǒng)對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展都是必不可少的。

同樣，萊布尼茨關(guān)于通用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的構(gòu)想，由于過(guò)份浪漫和理性化，也只是在200年后才找到自己數(shù)學(xué)的“經(jīng)驗(yàn)”基礎(chǔ)，從而經(jīng)過(guò)皮亞諾、羅素等人的工作部分地成為現(xiàn)實(shí)。其思想為后來(lái)的邏輯經(jīng)驗(yàn)主義者特別是卡爾納普等人所繼承和推廣，開(kāi)啟了人工語(yǔ)言學(xué)的先河。這種狀況與其說(shuō)是造成的，毋寧說(shuō)是數(shù)學(xué)和科學(xué)自身的特性使然。

數(shù)學(xué)的發(fā)展再一次證明了經(jīng)驗(yàn)主義傳統(tǒng)和理性主義傳統(tǒng)同為科學(xué)進(jìn)步的思想源泉，它們之間的一定的張力狀態(tài)是數(shù)學(xué)能夠順利發(fā)展的思維基礎(chǔ)，而牛頓治學(xué)的嚴(yán)肅審慎與萊布尼茨運(yùn)思的浪漫機(jī)警同為科學(xué)工作者的必備素養(yǎng)。

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