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實數(shù)集范文第1篇

1、數(shù)學(xué)R代表集合實數(shù)集。實數(shù)集是包含所有有理數(shù)和無理數(shù)的集合，通常用大寫字母R表示。

2、數(shù)學(xué)r的意思是半徑。半徑是指在一個圓中，圓心到弧的距離。在古典幾何中，圓或圓的半徑是從其中心到其周邊的任何線段，并且在更現(xiàn)代的使用中，它也是其中任何一個的長度，用r表示。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

實數(shù)集范文第2篇

函數(shù)概念及表示方法是函數(shù)部分的基礎(chǔ)知識，主要以概念和函數(shù)的三要素及表示方法為主.近年來，函數(shù)的圖象、分段函數(shù)也成為了高考考查的熱點.在高考中，這部分內(nèi)容對學(xué)生的要求不是很高，是很好的得分點，函數(shù)的表達(dá)式及對應(yīng)法則等內(nèi)容，仍然是高考的重要內(nèi)容.下面將這一節(jié)中的知識點和考點進(jìn)行梳理，并總結(jié)一些方法.

一、有關(guān)函數(shù)的一些基本概念梳理

1. 函數(shù)的定義：設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)就叫做集合A到B的一個函數(shù).也可簡單地理解為“不能一對多，可以多對一”.記作：y=f（x），x∈A.函數(shù)的定義是一種理解型的內(nèi)容，主要在選擇題中考查.

2. 函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y=f（x），x∈A中，自變量x的取值范圍A就是函數(shù)的定義域，而與x的值對應(yīng)的y值就是函數(shù)值，函數(shù)值y的集合就是值域.

函數(shù)的定義域和值域考查的形式有很多，選擇題、填空題、以及解答題都會有出現(xiàn)，是高考?？嫉膬?nèi)容.在求函數(shù)的定義域時，可以按照下面這幾種方法來快速判斷和求解：

①函數(shù)是整式時，自變量x可以取任意的值，也就是定義域是全體實數(shù).

②函數(shù)是分式函數(shù)時，一定要注意，分母不能為0，那么定義域就是除使分母為零外的一切實數(shù).

③如果函數(shù)是偶次根式時，就要注意被開方數(shù)不能為負(fù)；是奇次根式時，被開方數(shù)可以是任意實數(shù).

④當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，x≠kπ+

π2 （k∈Z）.

⑥含有零（負(fù)）指數(shù)冪的時候，注意底數(shù)不能為0.

⑦若函數(shù)中包含了若干個基本初等函數(shù)的四則運算，那么該函數(shù)的定義域很可能就是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

3. 函數(shù)的三要素：函數(shù)定義域、值域以及對應(yīng)法則.

4. 相等函數(shù)：必須是除定義域相同外，函數(shù)的對應(yīng)法則也相同，這樣的兩個函數(shù)才是相等函數(shù).

二、函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

三、區(qū)間

設(shè)a，b是兩個任意實數(shù)，且a

四、分段函數(shù)

分段函數(shù)是由幾個不同區(qū)間段上的解析式組合而成的，所以分段函數(shù)的定義域是幾個不同定義域區(qū)間的并集.要注意的是：1.分段函數(shù)是一個函數(shù)，不能當(dāng)成幾個函數(shù)來看.在求解函數(shù)解析式時，要先分段求解，最后結(jié)果卻要把幾個解析式合并到一起.2.求分段函數(shù)的定義域，要先求出各段函數(shù)的定義域，最后求并集.3.在求分段函數(shù)的最大值與最小值時，要先把各段函數(shù)中的最大和最小值求出來，再加以比較，得出結(jié)論.

五、映射的概念

映射的概念與函數(shù)的概念是相互聯(lián)系的，如果A、B是兩個非空集合，按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫做集合A到B的映射.

映射的概念不太好理解，主要可以從以下幾方面去理解：

①對于集合A、B的對應(yīng)法則f是一個確定的整體系統(tǒng).

②對應(yīng)法則f有“方向性”，也就是集合A到集合B的對應(yīng)，不能簡單地理解成A與B的對應(yīng)關(guān)系.

③集合A中的每一個元素由對應(yīng)法則都可以在集合B中找到一個唯一的象.

④集合A中的不同元素在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個，但集合B中不同的象在集合A中不可能有相同的原象.

⑤集合B中的每一個元素在集合A中不一定都有原象.

六、復(fù)合函數(shù)

如果y是u的函數(shù)，記為y=f（u），u又是x的函數(shù)，記為u=g（x），且g（x）的值域與f（u）的定義域的交集非空，則確定了一個y關(guān)于x的函數(shù)y=f（g（x）），這時y叫做x的復(fù)合函數(shù)，其中u叫做中間變量，y=f（u）叫做外層函數(shù)，u=g（x）叫做內(nèi)層函數(shù).

求抽象的復(fù)合函數(shù)的定義域主要有如下三種情形：

①已知f（x）的定義域為[a ，b]，求 f [u （x）]的定義域，只需求不等式a≤u（x）≤b 的解集即可.

②已知f [u（x）]的定義域為[a，b]，求 f （x）的定義域，只需求u（x）的值域.

③已知f [u （x）]的定義域為[a，b]，求f [g（x）]的定義域，就要先用上一步的方法求出f （x）的定義域然后再求解.

實數(shù)集范文第3篇

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

(1)

若U={1,2,3,4},

M={1,2},N={2,3},

則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{2}

(C)

{1,3,4}

(D)

{4}

(2)

點P從(1,0)出發(fā),沿單位圓逆時針方向運動弧長到達(dá)Q點,則Q的坐標(biāo)為

(A)

(B)

(

(C)

(

(D)

(

(3)

已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,

則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

(4)曲線關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設(shè)z=x—y

,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

(A)

1

(B)

–1

(C)

3

(D)

–3

(6)

已知復(fù)數(shù),且是實數(shù),則實數(shù)t=

(A)

(B)

(C)

--

(D)

--

(7)

若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是

(A)

8

(B)

9

(C)

10

(D)

12

(8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA>”的

(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）設(shè)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=的圖象

如圖所示，則y=

f(x)的圖象最有可能的是

（12）若和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式≤5的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳1個單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點（3，0）（允許重復(fù)過此點）處，則質(zhì)點不同的運動方法共有

種（用數(shù)字作答）

（16）已知平面α和平面交于直線，P是空間一點，PAα，垂足為A，PBβ，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在β內(nèi)的射影與點B在α內(nèi)的射影重合，則點P到的距離為

三.

解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（18）

（本題滿分12分）

盒子中有大小相同的球10個，其中標(biāo)號為1的球3個，標(biāo)號為2的球4個，標(biāo)號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設(shè)取到每個球的可能性都相同）記第一次與第二次取到球的標(biāo)號之和為ε

（Ⅰ）求隨機(jī)變量ε的分布列；

（Ⅱ）求隨機(jī)變量ε的期望Eε

（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大??；

（20）（本題滿分12分）

設(shè)曲線≥0）在點M（t,c--1）處的切線與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）

（Ⅰ）求切線的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值

（21）（本題滿分12分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數(shù)m的

取值范圍；

（Ⅱ）當(dāng)時，ΔAPQ的內(nèi)心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

（22）（本題滿分14分）

如圖，ΔOBC的在個頂點坐標(biāo)分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設(shè)P為線段BC的中點,P為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標(biāo)為(xn,yn),

（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）證明

(Ⅲ)若記證明是等比數(shù)列.

2004年普通高等學(xué)校招生浙江卷理工類數(shù)學(xué)試題

參考答案

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.

1.

D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.C

12.B

二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.

13.

14.

--25

15.

5

16.

三.解答題:本大題共6小題,滿分74分.

17.

(本題滿分12分)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

,

又

當(dāng)且僅當(dāng)

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.

(18)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由題意可得,隨機(jī)變量ε的取值是2、3、4、6、7、10

隨機(jī)變量ε的概率分布列如下

ε

2

3

4

6

7

10

P

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

隨機(jī)變量ε的數(shù)學(xué)期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,

O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

四邊形AOEM是平行四邊形，

AM∥OE

平面BDE，

平面BDE，

AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作ASDF于S，連結(jié)BS，

ABAF，

ABAD，

AB平面ADF，

AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BSDF

∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，

二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQAB于Q，則PQ∥AD，

PQAB，PQAF，，

PQ平面ABF，平面ABF，

PQQF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，

PF=2PQ

ΔPAQ為等腰直角三角形，

又ΔPAF為直角三角形，

，

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，連接NE，

則點N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,

=(,

又點A、M的坐標(biāo)分別是

（）、（

=（

=且NE與AM不共線，

NE∥AM

又平面BDE，

平面BDE，

AM∥平面BDF

（Ⅱ）AFAB，ABAD，AF

AB平面ADF

為平面DAF的法向量

=（·=0，

=（·=0得

,NE為平面BDF的法向量

cos=

的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得

=（，0，0）

又PF和CD所成的角是60o

解得或（舍去），

即點P是AC的中點

（20）（滿分12分）

解：（Ⅰ）因為

所以切線的斜率為

故切線的方程為即

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,

又令x=0得

所以S（t）=

=

從而

當(dāng)（0，1）時，>0,

當(dāng)（1,+∞）時,

所以S(t)的最大值為S(1)=

(21)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程

即

因為點M到直線AP的距離為1,

即.

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

m的取值范圍是

(Ⅱ)可設(shè)雙曲線方程為

由

得.

又因為M是ΔAPQ的內(nèi)心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設(shè)P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,

解得P的坐標(biāo)是（2+，1+），將P點坐標(biāo)代入得，

所以所求雙曲線方程為

即

（22）（滿分14分）

解：(Ⅰ)因為，

所以，又由題意可知

=

=

為常數(shù)列

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又

（Ⅲ）

=

=

實數(shù)集范文第4篇

(1)了解數(shù)的概念發(fā)展的過程和動力;

(2)了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性和作用;理解i的性質(zhì).

(3)正確對復(fù)數(shù)進(jìn)行分類，掌握數(shù)集之間的從屬關(guān)系;

(4)了解數(shù)系從自然數(shù)到有理數(shù)到實數(shù)再到復(fù)數(shù)擴(kuò)充的基本思想.

教學(xué)建議

1.教材分析

(1)知識結(jié)構(gòu)

首先簡明扼要地對已經(jīng)學(xué)過的數(shù)集因生產(chǎn)與科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程作了概括;然后說明，數(shù)集的每一次擴(kuò)充，對數(shù)學(xué)學(xué)科本身來說，也解決了原有數(shù)集中某種運算不是永遠(yuǎn)可以實施的矛盾，使得某些代數(shù)方程在新的數(shù)集中能夠有解。從而引出虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，接著，將數(shù)的范圍擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，并指出復(fù)數(shù)后來由于在科學(xué)技術(shù)中得到應(yīng)用而進(jìn)一步發(fā)展。

①從實際生產(chǎn)需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展

自然數(shù)整數(shù)有理數(shù)無理數(shù)

②從解方程的需要推進(jìn)數(shù)的發(fā)展

負(fù)數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)虛數(shù)

(2)重點、難點分析

(一)認(rèn)識數(shù)的概念的發(fā)展的動力

從正整數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，從整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)，從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)，數(shù)的概念是不斷發(fā)展的，其發(fā)展的動力來自兩個方面。

①解決實際問題的需要

由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù);為了表示具有相反意義的量的需要產(chǎn)生了整數(shù);由于測量的需要產(chǎn)生了有理數(shù);由于表示量與量的比值(如正方形對角線的長度與邊長的比值)的需要產(chǎn)生了無理數(shù)(既無限不循環(huán)小數(shù))。

②解方程的需要。

為了使方程有解，就引進(jìn)了負(fù)數(shù);為了使方程有解，就要引進(jìn)分?jǐn)?shù);為了使方程有解，就要引進(jìn)無理數(shù)。

引進(jìn)無理數(shù)后，我們已經(jīng)能使方程永遠(yuǎn)有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當(dāng)時，方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解。為了使方程()有解，就必須把實數(shù)概念進(jìn)一步擴(kuò)大，這就必須引進(jìn)新的數(shù)。

(二)注意數(shù)的概念在擴(kuò)大時要遵循的原則

第一，要能解決實際問題中或數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾?，F(xiàn)在要解決的就是在實數(shù)集中，方程無解這一矛盾。

第二，要盡量地保留原有數(shù)集(現(xiàn)在是實數(shù)集)的性質(zhì)，特別是它的運算性質(zhì)。

(三)正確確認(rèn)識數(shù)集之間的關(guān)系

①有理數(shù)就是一切形如的數(shù)，其中，所以有理數(shù)集實際就是分?jǐn)?shù)集.

②“循環(huán)節(jié)不為0的循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)”.

③{有理數(shù)｝={分?jǐn)?shù)｝={循環(huán)小數(shù)｝，{實數(shù)｝={小數(shù)｝.

④自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、復(fù)數(shù)集C之間有如下的包含關(guān)系：

2.教法建議

(1)注意知識的連續(xù)性：數(shù)的發(fā)展過程是漫長的，每一次發(fā)展都來自于生產(chǎn)、生活和計算等需要，所以在教學(xué)時要注意使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)的發(fā)展的兩個動力.

(2)創(chuàng)造良好的課堂氣氛：由于本節(jié)課要了解擴(kuò)充實數(shù)集的必要性，所以，教師可以多向?qū)W生介紹一些數(shù)的發(fā)展過程中的一些科學(xué)史，課堂學(xué)習(xí)的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

數(shù)的概念的發(fā)展

教學(xué)目的

1.使學(xué)生了解數(shù)是在人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，了解虛數(shù)產(chǎn)生歷史過程;

2.理解并掌握虛數(shù)單位的定義及性質(zhì);

3.掌握復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的分類.

教學(xué)重點

虛數(shù)單位的定義、性質(zhì)及復(fù)數(shù)的分類.

教學(xué)難點

虛數(shù)單位的性質(zhì).

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

原始社會，由于計數(shù)的需要產(chǎn)生了自然數(shù)的概念，隨著文字的產(chǎn)生和發(fā)展，出現(xiàn)了記數(shù)的符號，進(jìn)而建立了自然數(shù)的概念。自然數(shù)的全體構(gòu)成自然數(shù)集.

為了表示具有相反意義的量引進(jìn)了正負(fù)數(shù)以及表示沒有的零，這樣將數(shù)集擴(kuò)充到有理數(shù)集

有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結(jié)果，無法用有理數(shù)表示，為解決這種矛盾，人們又引進(jìn)了無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)合并在一起，構(gòu)成實數(shù)集.

數(shù)的概念是人類社會的生產(chǎn)和生活中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)理論的研究和發(fā)展也推動著數(shù)的概念的發(fā)展，數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活和科學(xué)技術(shù)時刻離不開的科學(xué)語言和工具.

二、新課教學(xué)

(一)虛數(shù)的產(chǎn)生

我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程是無能為力的，只有把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集才能解決.對于復(fù)數(shù)(a、b都是實數(shù))來說，當(dāng)時，就是實數(shù);當(dāng)時叫虛數(shù)，當(dāng)時，叫做純虛數(shù).可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進(jìn)虛數(shù)的呢?

16世紀(jì)意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)(1501—1576)在1545年發(fā)表的《重要的藝術(shù)》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當(dāng)公式”.他是第一個把負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中的數(shù)學(xué)家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成，盡管他認(rèn)為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40.給出“虛數(shù)”這一名稱的是法國數(shù)學(xué)家笛卡爾(1596—1650)，他在《幾何學(xué)》(1637年發(fā)表)中使“虛的數(shù)’‘與“實的數(shù)”相對應(yīng)，從此，虛數(shù)才流傳開來.

數(shù)系中發(fā)現(xiàn)一顆新星——虛數(shù)，于是引起了數(shù)學(xué)界的一片困惑，很多大數(shù)學(xué)家都不承認(rèn)虛數(shù).德國數(shù)學(xué)家菜不尼茨(1664—1716)在1702年說：“虛數(shù)是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數(shù)學(xué)大師歐拉(1707—1783)說：“一切形如，習(xí)的數(shù)學(xué)式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負(fù)數(shù)的平方根.對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻.”然而，真理性的東西一定可以經(jīng)得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地.法國數(shù)學(xué)家達(dá)蘭貝爾(.1717—1783)在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規(guī)則對虛數(shù)進(jìn)行運算，那么它的結(jié)果總是的形式(a、b都是實數(shù))(說明：現(xiàn)行教科書中沒有使用記號而使用).法國數(shù)學(xué)家棣莫佛(1667—1754)在1730年發(fā)現(xiàn)公式了，這就是著名的探莫佛定理.歐拉在1748年發(fā)現(xiàn)了有名的關(guān)系式，并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創(chuàng)了用符號i作為虛數(shù)的單位.“虛數(shù)”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的.挪威的測量學(xué)家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給于這種虛數(shù)以直觀的幾何解釋，并首先發(fā)表其作法，然而沒有得到學(xué)術(shù)界的重視.

德國數(shù)學(xué)家高斯(1777—1855)在1806年公布了虛數(shù)的圖象表示法，即所有實數(shù)能用一條數(shù)軸表示，同樣，虛數(shù)也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對應(yīng)實數(shù)a的點A，縱軸上取對應(yīng)實數(shù)b的點B，并過這兩點引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點C就表示復(fù)數(shù).象這樣，由各點都對應(yīng)復(fù)數(shù)的平面叫做“復(fù)平面”，后來又稱“高斯平面”.高斯在1831年，用實數(shù)組(a，b)代表復(fù)數(shù)，并建立了復(fù)數(shù)的某些運算，使得復(fù)數(shù)的某些運算也象實數(shù)一樣地“代數(shù)化”.他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合.統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)—一對應(yīng)，擴(kuò)展為平面上的點與復(fù)數(shù)—一對應(yīng).高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復(fù)數(shù)與向量之間—一對應(yīng)的關(guān)系，闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法.至此，復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了.

經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復(fù)數(shù)理論，才使得在數(shù)學(xué)領(lǐng)域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來

面目，原來虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而實數(shù)集才擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集.

隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù).

(二)、虛數(shù)單位

1.規(guī)定i叫虛數(shù)單位，并規(guī)定：

實數(shù)集范文第5篇

2、因而有理數(shù)集的數(shù)可分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和零。

3、由于任何一個整數(shù)或分?jǐn)?shù)都可以化為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)，反之，每一個十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)也能化為整數(shù)或分?jǐn)?shù)，因此，有理數(shù)也可以定義為十進(jìn)制循環(huán)小數(shù)。

4、有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張。在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為零）4種運算通行無阻。

5、有理數(shù)的大小順序的規(guī)定：如果 是正有理數(shù)，當(dāng) 大于或小于 ，記作 或 。任何兩個不相等的有理數(shù)都可以比較大小。

6、有理數(shù)集與整數(shù)集的一個重要區(qū)別是，有理數(shù)集是稠密的，而整數(shù)集是密集的。將有理數(shù)依大小順序排定后，任何兩個有理數(shù)之間必定還存在其他的有理數(shù)，這就是稠密性。

7、整數(shù)集沒有這一特性，兩個相鄰的整數(shù)之間就沒有其他的整數(shù)了。

8、有理數(shù)是實數(shù)的緊密子集：每個實數(shù)都有任意接近的有理數(shù)。