前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇排列組合例題范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發(fā)現(xiàn)更多的寫作思路和靈感。

排列組合例題范文第1篇

下面我們給出容斥原理的兩種等價形式，即以下的定理1和定理2，其中

表示有限集合A中的元素個數(shù)．

當k=3時，A∪B∪C=A+B+C－A∩B－A∩C－B∩C+A∩B∩C．

定理2設(shè)A1，A2，A3，…，Ak是集合S的k個子集合，則

由這兩個定理，我們可以解決一些需要討論多次的題目．

用容斥原理來解題時，關(guān)鍵在于能否用集合語言或符號語言將所要解決的問題表示出來．

一、在排列中的應(yīng)用

先來看一道老題.

某市的4個化工廠，為了降低成本，適應(yīng)市場變化，合并成一個化工集團公司，公司董事會由7名董事組成.

產(chǎn)生的7名董事全部分到各工廠進行生產(chǎn)管理，每廠至少一名，有幾種分法？

解析：方法一 ―― 分情況討論

最后的分配方式有三種可能，（1）一個工廠4個，其余各1個；（2）一個工廠3個，一個工廠2個，其余各一個；（3）一工廠1個，其余各2個．

可得最后結(jié)果為CCA+CCCCA+CCCCC=8 400種．

方法二 ―― 容斥原理

將這四個化工廠命名為A1，A2，A3，A4，設(shè)B1表示工廠A1無董事派入，B2表示工廠A2無董事派入，B3表示工廠）=47－4?37+C?27－C?17+C?0=8 400．

由此可知，容斥原理主要用于多個獨立條件共同作用的計數(shù)問題中．在高中數(shù)學中最常見的就是有限制的排列問題，下面，筆者列舉數(shù)例．

例19個人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，則有幾種排法？（禁位排列）

解析：設(shè)A表示甲站在第一排左端，B表示乙站在第三排右端，則有A=B=A，A∩B=A，依題意有，滿足條件的排法總=A－2A+A.

與容斥原理相同的思路，我們還可以得到下面幾個關(guān)系式．

上述公式可以用韋恩圖進行驗證．

例29個人站成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，其中甲不在第一排左端，乙不在第三排的右端，丙必須站在第三排，問此時有幾種排法？

解析：此題用分類討論的方法可以得到解決，但靈活性較強． 同時此題也可以用上面所給出的公式直接求解．

方法一 ―― 分類討論

對丙的情況進行討論，（1）當丙不在第三排右端時，排法先排丙有A種排法，再排剩下8人，按容斥原理（同例1）可得剩下8人的排法總數(shù)為A－2A+A，則這種情況的排法總數(shù)為A?（A-2A+A）=92 880；（2）當丙排在第三排右端時，分兩種情況進行討論：①當乙排在第一排左端時，有A=5 040種排法，②當乙不在第一排左端時有A?A?A=30 240種排法． 綜上，滿足條件的排法有92 880+5 040+30 240=128 160種排法．

方法二 ―― 直接套用公式

設(shè)A1表示丙在第三排；A2表示甲在第一排左端；A3表示乙在第三排右端． 依題意有

二、在古典概型中的應(yīng)用

因為古典概型和排列組合是一脈相承的，所以容斥原理也可以應(yīng)用于概率問題． 對于獨立事件來說有如下公式．

設(shè)A，B是兩相互獨立的事件，P（A），P（B）表示A，B發(fā)生的概率，A+B表示A或B發(fā)生，A?B表示A和B同時發(fā)生，則有

P（A+B）=P（A）+P（B）－P（A）?P（B）.

對其進行推廣，當A1，A2，A3，…，An為n個相互獨立的事件，則有

P（A1＋A2＋A3＋…＋An）=P（Ai）－P（Ai）P（Aj）+P（Ai）? P（Aj）P（At）+…+（-1）n-1P（A1）P（A2）P（A3）?…?P（An），由數(shù)學歸納法可得上述結(jié)論．

和計數(shù)問題的思路一致，先將滿足條件的事件寫出，再套用公式即可解答概率問題．

例3甲、乙、丙三人各進行一次射擊，如果三人擊中目標的概率都是0.6，求

（Ⅰ）三人都擊中目標的概率；

（Ⅱ）至少有一人擊中目標的概率．

解析：（Ⅰ）P（A?B?C)=P（A）?P（B）?P（C）=0.63=0.216；

（Ⅱ）P（A+B+C）=P（A）+P（B）+P（C）－P（A）P（B）－P（B）P（C）－P（A）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.6×3－3×0.62+0.63=0.936．

例4如圖1所示，電路中五個方框均為保險匣，A，B，C，D，E各個保險絲被燒斷的概率分別為，，，，，且通電后保險絲是否燒斷是相互獨立的，則通電后不斷路的概率為多少？

[A][B][C][D][E]

圖1

解析：若我們設(shè)A′，B′，C′，D′，E′分別表示A，B，C，D，E不被燒斷這一事件． 依題意得，P（A′）=，P（B′)=，P（C′）=，P（D′）=，P（E′）=，通電后不斷路這一事件可寫成（A′?B′＋C′）?（D′＋E′），由A′，B′，C′，D′，E′相互獨立，則所求概率為

P［（A′?B′＋C′）?（D′＋E′）］

＝P（A′?B′＋C′）?P（D′＋E′）

=［P（A′?B′）+P（C′）－P（A′?B′?C′）］［P（D′）+P（E′）－P（D′?E′）］

=

對于可以用容斥原理及相關(guān)推論解決的題來說，先準確地寫出事件，再套用公式可以避免解題中過多的討論．

參考文獻

排列組合例題范文第2篇

1 、把5個不同的小球放入5個不同的盒子（不限制盒子放球數(shù)，每盒最多可放5個）有幾種不同的放法？

分析：5個小球分5次放（5步），每一個小球有5種放法。

解：有分步計數(shù)原理得

評述：本題是利用分步原理求解，模型為n個不同的球放入m個不同的盒子中（每盒可以放n個）有mn

2、把5個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：本題就是5個不同的元素按一定順序排列的排列個數(shù)，是一個典型全排列問題。

解：

3、把3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

解： 或

評述：本題是球少盒子多（元素少，位置多），可以理解為從5個不同盒子中先取出3個盒子然后將3個小球一對一的放入每個盒子即為全排列

模型：把m個不同的元素放入n個不同的對象（ ）（每一個對象只能放一個元素）其排列數(shù)為 ，其實就是對排列概念的真正理解。

4、把7個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：先把7個小球分成5組，再把5組（5個元素）進行全排列，分組有兩類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各組的組數(shù)分別為 ， 因此：N=

評述：本題是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每個盒子至少放一個球，因此要先分組（把這些元素分成與位置一樣的組）后排列；要注意寫出有幾類不同的分組，同時分組要注意平均分組和局部平均分組的計算方法。（這里就不展開了）。

5、若5個不同的小球放入編號為1、2、3、4、5的五個盒子，每個盒子放一個，且要求乙球放入的盒子編號要比甲小，丙球放入的盒子編號要比乙球小，有幾種不同的放法？

分析：先在5個盒子中選出兩個放入另外兩個球有 ，剩下的3個盒子中按號從大到小放甲、乙、丙，只有一種方法。因此，N=

評述：本題對3個不同小球限制了條件?？瓷先ビ许樞蛳拗?，事實上是變成了與順序無關(guān)的組合問題。

6、把紅、黃、藍、白、黑5個小球放入5個不同的盒子中，每個盒子只能放一個：

若要求紅黃相鄰，有幾種不同的放法；

若紅、黃不相鄰，有幾種不同的放法；

紅球不在1號盒子，黃球不在5號盒子，有幾種不同的放法？

分析：（1）把紅黃兩個球看作一個整體與另外3個小球進行全排列有 ，又紅黃兩個小球可以進行全排列 ，故N=

（2）因為另外3個小球能制造4個空檔，所以先3個小球的全排列有 ，而紅、黃兩球的排法有 ，故N=

（3）本題可用間接法

評述：（1）（2）兩題是常見的相鄰與不相鄰問題，分別采用捆綁法和插空法，學生應(yīng)該比較熟悉。而（3）是常見的對元素（或位置）進行限制的問題。分別對兩個元素限制不能排在某兩個位置上的排列模型為： 或

7、3個相同的小球放入到5個不同的盒子，每個盒子只能放一個，有幾種不同的放法？

分析：先從5個盒子中任取3個盒子有 種，由于放入的是相同的元素，故是無序問題，所以N= 。

評述：本題突出了球相同，說的是把相同的元素放入到不同的位置，是組合問題，是對組合概念的具體化，不過其特點是球少盒子多。（元素少，位置多）

8、把7個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放一個，有幾種不同的放法？

分析：法一：先把7個小球分成5組有以下幾類：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2，元素是相同的，故第一種有 （或 ），第二種有 （或 ）N= + =15

法二：相同元素分配用擋板法，故有 =15種

評述：本題是相同小球m個放入n個不同的盒子（m>n），每個盒子中至少一個元素，用擋板法比較簡練，類似的有名額分配問題。

引申：若把12個相同的小球放入5個不同的盒子，要求每個盒子至少放2個，有幾種不同的放法？

分析：先在每個盒子上先放上1個小球，再將剩下的7個小球用擋板法分別放入到5個盒子中，有 =15種

排列組合例題范文第3篇

[關(guān)鍵詞]分球入箱常規(guī)特殊

中圖分類號:O29文獻標識碼:A文章編號:1671-7597(2009)1110003-01

排列組合問題的求解要求具備較強的空間想象能力和對問題內(nèi)涵的充分理解與認識,因此,從最基礎(chǔ)的知識入手,從不同角度對基礎(chǔ)問題的解法進行探究,往往能夠歸納總結(jié)出相應(yīng)的解題思路與方法,具有較強的理論與應(yīng)用價值。在排列組合問題中,分球入箱問題對綜合素質(zhì)的要求較高,因此也容易使得這類問題成為難點的重要原因。本文將從最基礎(chǔ)的分球入箱題型入手,對其常規(guī)與特殊解法進行探究。

例題:將n個相同的球放入m個不同的箱子中,如果不允許有空箱,有多少種不同的方法?若允許有空箱,有多少種不同的方法?

該例題是分球入箱問題中最為基礎(chǔ)的問題,常規(guī)解法較為抽象,對于第一問,是將n個球排列成一排,再將箱子想象成m-1個隔板,由于箱子中不能存在空箱,因此隔板之間不能存在相鄰的情況,即在n個球形成的n-1個空隙中,選取m-1個空隙,將各個隔板分別插入到這些空隙當中,因此得到的結(jié)果就是一共有 種方法。而第二問的常規(guī)解法更為抽象,原理同第一問相同,但是因為允許有空箱,因此隔板可以出現(xiàn)任意相鄰的情況,此時可以將隔板與球等同看待,將二者組成的n+m-1個物體中再插入m-1個與第一文中相同、無法相鄰的隔板,從而將其分開,得到的結(jié)果是共有 種方法。

可以看到,常規(guī)解法較為抽象,直觀性不強?？紤]到分球入箱問題是較為基礎(chǔ)的題型,與其他很多種題型具有較強的共通之處,因此本文認為,可以將這類問題作相應(yīng)的變形,轉(zhuǎn)化為另外的問題加以研究。

方法舉例一:題目轉(zhuǎn)型為黑白球排列問題

這種方法的特點在于,將球和隔板分別看做是不同顏色的小球,各個顏色的小球之間不存在差異,這樣,分球入箱問題就轉(zhuǎn)化為了相對較為簡單直觀的黑白球排列問題。例題中的第一個問題就轉(zhuǎn)化成為有n個白球和m-1個黑球,對這些小球的排列要求不能將黑球相鄰排列,且黑球不能排在首末的位置,求其排法,原理與分球入箱的常規(guī)解法相同,是將黑球分別排列于n個白球之間的n-1個空隙中,因此排法的總數(shù)為 。而第二問就轉(zhuǎn)化為將所有的黑球和白球任意排列的方法總數(shù),而解法就更為直觀,即可以想象有n+m-1個空格,將所有小球排列進去,不難發(fā)現(xiàn),只要將白球或黑球先進行排列,則剩余顏色的球的排列方式就將是一定的,因此若先排列白球,則方法的數(shù)量為;先排列黑球則方法的數(shù)量為,有組合數(shù)的對偶原則可以看到,二者是相等的,該題得解。

方法舉例二:隔板插入法的變形

常規(guī)解法中盡管使用了隔板插入法,但是在對第二問的求解過程當中,兩次插入隔板,容易造成解題過程中思路的混亂與概念混淆,因此,將隔板插入法作一個簡單的變形,將隔板編號,引入隔板插入的順序就可以解決這個問題。

該方法對第一問的解法與常規(guī)解法大致相同,將m-1個隔板插入到n個小球形成的n-1個空隙當中,但是由于不能有空箱,因此,隔板之間必須有小球而不能相鄰。從n-1個空隙中選取m-1個,按照不同的順序進行擺放,可以看到有 種方法。

而對于問題的第二問,兩次插入隔板的方法略微復(fù)雜,且其過程不夠清楚,對于題目的理解和解法的原理難以準確把握,因此,可以將隔板看作是與小球相同的另外m-1個小球,但是要對這些小球進行標號,因為在該問題中,可以有空箱的存在,因此無論這m-1個小球如何擺放都是可以的。此時將第一個小球插入到原有小球中時,有n+1個空隙可供選擇,相應(yīng)的也就有n+1中插入的方法;將第一個小球插入之后,排列的小球數(shù)量變?yōu)閚+1個,可供第二個小球插入的空隙相應(yīng)增加到n+2個,以此類推,可以看到,編號的小球插入的方法總數(shù)為(n+1)×(n+2)×(n+3)×…×(n+m-1)中,此時應(yīng)當注意,小球原先是沒有編號的,因此對于小球安放的順序帶來的方法總數(shù)的增加應(yīng)當被舍去,因此,實際上得到的方法

方法舉例三:分類累加法的一般規(guī)律

在分球入箱中給出數(shù)字較為具體的例題當中,分類累加法的運用較多,因為通過這種方法能夠直觀準確的判斷各種情況發(fā)生的可能與過程,從而對解決分球入箱問題的激勵有一個準確的把握。在本文的例題當中,使用n和m兩個未知數(shù)可以為這類問題提供分類累加法運用的一般規(guī)律,從而解決類似的所有問題。

首先來看第一問的解答方法,將所有的小球放置到盒子里并保證每個盒子都不空,如前文所述,得到的組合數(shù)為 個,由此可以類推,使得n個球在m-1個箱子里分布且保證箱子不空的方法數(shù)有 種。分類累加法的基本原理正是假設(shè)空箱子的個數(shù)。箱子的總數(shù)為m個,因此箱子最多只能有m-1個是空著的,因此,例題第二問的實質(zhì)就是求當空箱子的個數(shù)分別為0,1,2,…,m-1的時候,也就意味著除了這些空箱子之外,其他的箱子保證不空的方法數(shù)的總和,為:

根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可以得到,求得的N就是 。

通過本文對分球入箱問題常規(guī)與特殊解法的探究可見,這類問題的基礎(chǔ)性較強,可以通過很多不同的角度,與很多其他方面的知識相融合進而得到不同類型的解題思路與方法,并且這些方法的側(cè)重點不同,適于針對不同類型的學生群體進行教學,并通過這些方法的學習與掌握,提高對排列組合相關(guān)知識的掌握程度。

參考文獻:

[1]夏春盛,例談分球入箱問題的解法[J].中學生數(shù)學,2006(3).

[2]周勇俊,排列組合中分球入箱問題的幾種解法[J].上海中學數(shù)學,2009(4).

作者簡介:

排列組合例題范文第4篇

【關(guān)鍵詞】排列組合 解題策略

排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”。針對這一現(xiàn)象,筆者在日常教學過程中經(jīng)過嘗試總結(jié)出一些個人的想法跟各位同行交流一下。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉(zhuǎn)換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學生的主體意識和主觀能動性,能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性,可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:

1.占位子問題。例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

①仔細審題。在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學生興趣進入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題。這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學也都積極思考(充分發(fā)揮了學生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結(jié)。接著我讓學生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結(jié)。對于這一類占位子問題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2.分組問題。例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù),問這樣的五位數(shù)有幾個?

(本題我是先讓學生計算,有很多同學得出的結(jié)論是P×P)

①仔細審題。先由學生審題,明確組成五位數(shù)是一個排列問題,但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目。在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉(zhuǎn)換,有一位同學A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題。接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P×P .(同學們都表示同意,但是同學C說太蘩)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C×C×P(種)。

排列組合例題范文第5篇

關(guān)鍵詞:興趣;氣氛;積極性

中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1003-2851(2010)08-0206-01

在教學實踐過程中,筆者發(fā)現(xiàn)排列組合問題一直是影響學生取得高分的難點之一。排列組合作為高中代數(shù)課本的一個獨立分支,因為極具抽象性而成為“教”與“學”難點。有相當一部分題目教者很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽,有的即使教者覺得講清楚了,但是由于學生的認知水平,思維能力在一定程度上受到限制,還不太適應(yīng)。從而導(dǎo)致學生對題目一知半解,甚至覺得“云里霧里”,影響了學生學習的興趣。

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關(guān)鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉(zhuǎn)換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發(fā)了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發(fā)揮學生的主體意識和主觀能動性,能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發(fā),逐步適應(yīng)排列組合題的解題規(guī)律,從而做到以不變應(yīng)萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉(zhuǎn)換的等價性,可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:1、占位子問題例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

①仔細審題:在轉(zhuǎn)換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目:在審題的基礎(chǔ)上,為了激發(fā)學生興趣進入角色,我將題目轉(zhuǎn)換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

③解決問題:這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經(jīng)得到了極大的提高),班上其他同學也都積極思考(充分發(fā)揮了學生的主體地位和主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統(tǒng)一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C 種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據(jù)乘法原理得到結(jié)果為2×C =20(種)。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結(jié):接著我讓學生之間互相討論,根據(jù)自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

⑤老師總結(jié):對于這一類占位子問題,關(guān)鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象或者特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

2、分組問題例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數(shù)中分別選出3個和2個數(shù)組成五位數(shù),問這樣的五位數(shù)有幾個?

(本題我是先讓學生計算,有很多同學得出的結(jié)論是P ×P )

①仔細審題:先由學生審題,明確組成五位數(shù)是一個排列問題,但是由于這五個數(shù)來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉(zhuǎn)換。

②轉(zhuǎn)換題目:在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉(zhuǎn)換,有一位同學A將題目轉(zhuǎn)換如下:從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數(shù)學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

③解決問題:接著我就讓同學A來提出選人的方案同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P ×P 種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法;最后由乘法原理得出結(jié)論為(P ×P )×(P ×P )(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應(yīng)該是P ×P .(同學們都表示同意,但是同學C說太蘩)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C ×C ×P (種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結(jié)果就“浮現(xiàn)”出來C ×C ×P (種)。