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排列組合練習(xí)題范文第1篇

關(guān)鍵詞：考試；高中數(shù)學(xué)；排列組合

■引言

排列組合作為代數(shù)課中一個(gè)分支內(nèi)容，與其他教學(xué)模塊有著十分緊密的聯(lián)系，然而對(duì)于高中學(xué)生來(lái)說(shuō)這卻一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，教師也普遍反映在教學(xué)排列組合的時(shí)候很難用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言把要點(diǎn)闡釋清楚，因此學(xué)生在考試的時(shí)候往往會(huì)失分很多. 學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)遇到的學(xué)習(xí)障礙不僅在這一模塊失分，還會(huì)嚴(yán)重影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 因此教師必須對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)排列組合時(shí)遇到的各種問(wèn)題加以整理，并針對(duì)性提出解決策略，幫助學(xué)生克服這一學(xué)習(xí)難點(diǎn).

■契機(jī)

筆者所在學(xué)校數(shù)學(xué)調(diào)研組為了解學(xué)生對(duì)排列組合的學(xué)習(xí)掌握情況進(jìn)行了一次摸底考試，此次考試的內(nèi)容包含了高中階段排列組合的所有知識(shí)點(diǎn)和題型，尤其是將各班數(shù)學(xué)教師整理出來(lái)的錯(cuò)誤率較高的題目類(lèi)型包含在內(nèi). 為了節(jié)省學(xué)生們的時(shí)間，此次摸底考試，學(xué)校力求以最少的題目囊括最多的題型和知識(shí)點(diǎn). 由于此次摸底考試主要考查學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合中遇到的思維性問(wèn)題或知識(shí)性問(wèn)題，故考試題型全部設(shè)定為應(yīng)用題，要求學(xué)生把解題過(guò)程都明確寫(xiě)明.

經(jīng)過(guò)任課教師和調(diào)研組教師再三商討，最終此次摸底考試共設(shè)置9個(gè)題目. 題目的背景和學(xué)生們?nèi)粘Ｉ疃季o密關(guān)聯(lián)，例如獻(xiàn)血問(wèn)題、排隊(duì)問(wèn)題、分書(shū)問(wèn)題等等. 這幾個(gè)題目盡可能多包含了排列組合中知識(shí)點(diǎn)，例如對(duì)于特殊元素和位置的排列問(wèn)題、元素相鄰（或不相鄰）問(wèn)題、某些元素固定排列問(wèn)題、正難則反問(wèn)題等等. 對(duì)這次摸底考試答題結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和分析，我們看到了學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)出現(xiàn)的一些集中性問(wèn)題.

■問(wèn)題

對(duì)學(xué)生答題結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)以后我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的地方相對(duì)集中.

例如：“班上某小組共有5位男生和3位女生，現(xiàn)在要求對(duì)他們進(jìn)行排序，要求男生A不能站在隊(duì)首，男生B不能站在隊(duì)尾，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種方法.” 此次摸底考試中該題的正確率只有39.9%. 這題的答題結(jié)果能清楚反映出學(xué)生對(duì)排列組合中關(guān)于特殊元素和特殊位置的這一類(lèi)型的問(wèn)題掌握力度還不夠.

在深入對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤進(jìn)行分析以后，我們發(fā)現(xiàn)，做錯(cuò)該題的原因有多種.

1. 這其中有一部分學(xué)生是因?yàn)闆](méi)有正確理解題目的意思，所以在解題的時(shí)候根本無(wú)法下手，答題區(qū)域沒(méi)有涂涂改改，甚至一片空白，沒(méi)有任何解題頭緒. 這反映出學(xué)生們的數(shù)學(xué)閱讀理解能力較差，缺乏信心，不敢作答.

2. 有38%的學(xué)生沒(méi)有答對(duì)是因?yàn)闆](méi)有正確的列式. 這其中一部分學(xué)生是因?yàn)檫^(guò)于粗心，沒(méi)有認(rèn)真仔細(xì)讀題就將數(shù)學(xué)公式帶入計(jì)算；除了粗心以外絕大部分學(xué)生是對(duì)這一類(lèi)特殊元素和特殊位置的題目缺乏正確的解題思路. 有的學(xué)生簡(jiǎn)單地認(rèn)為A同學(xué)不站在隊(duì)首共有7種情況，B同學(xué)不站在隊(duì)尾也有7種情況，除去A、B兩位同學(xué)以后，只要將剩下6位同學(xué)進(jìn)行排列組合看看共有多少種排列方法即可. 這樣做的學(xué)生不在少數(shù)，原因是他們僅僅考慮了一種A不在隊(duì)首的站法，而事實(shí)上，A同學(xué)不站在隊(duì)首必須分為在隊(duì)尾和不在隊(duì)尾兩種情況，如果A同學(xué)站在隊(duì)尾，那么B同學(xué)就可以有7種站法；如果A同學(xué)沒(méi)有站在隊(duì)尾，那么B同學(xué)就有6種站法. 這兩種情況的計(jì)算結(jié)果是不一樣的，絕大多數(shù)的學(xué)生都沒(méi)有考慮到這一特殊情況，說(shuō)明對(duì)特殊元素和特殊位置題目掌握還不夠好.

3. 從一部分學(xué)生的答題結(jié)果來(lái)看，他們有基本的解題思路也考慮到了應(yīng)該將A同學(xué)的情況進(jìn)行分類(lèi)，但是卻在分類(lèi)的時(shí)候陷入了混亂. 有的學(xué)生不知道應(yīng)該按照什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)進(jìn)行分類(lèi). 有的學(xué)生在分類(lèi)的時(shí)候出現(xiàn)了遺漏和重復(fù)的現(xiàn)象，例如某位學(xué)生把該事件分為三類(lèi)：分別是①B站在隊(duì)首，A站在隊(duì)尾；②B站在隊(duì)首，A在中間；③B站在中間，A站在隊(duì)尾. 這樣的分類(lèi)方法得出來(lái)結(jié)果必然是不完整的，他沒(méi)有考慮當(dāng)B站在中間的時(shí)候A既可以站在隊(duì)尾，也可以站在中間的情況. 這一錯(cuò)誤原因反映出來(lái)學(xué)生們?cè)诳紤]這一類(lèi)型題目的時(shí)候還不夠全面細(xì)致.

除了上述這一小題存在問(wèn)題以外，類(lèi)似的問(wèn)題還存在于“將9本書(shū)平均分成3組”這樣的平均分配問(wèn)題；“將6個(gè)歌唱節(jié)目和4個(gè)舞蹈節(jié)目進(jìn)行排列，要求任何兩個(gè)舞蹈節(jié)目不得相鄰”這樣的元素不相鄰問(wèn)題；“8本中文書(shū)和2本英語(yǔ)書(shū)任選5本，要求至少有一本英語(yǔ)書(shū)”這樣的“至少”或“至多”的排列組合問(wèn)題.從此次摸底考試的結(jié)果分析中，我們可以總結(jié)出學(xué)生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)遇到的問(wèn)題.

首先是對(duì)題目概念理解存在障礙，很多學(xué)生還不能明確區(qū)分排列和組合以及分配這三個(gè)完全不同的概念. 在實(shí)際做題的時(shí)候有的學(xué)生往往把要求排列的問(wèn)題當(dāng)做是組合問(wèn)題去解決，把組合問(wèn)題當(dāng)做是分配問(wèn)題去解決.

其次是有的學(xué)生在數(shù)學(xué)閱讀理解上存在障礙. 由于高中排列組合問(wèn)題與生活都有一定的關(guān)系，學(xué)習(xí)排列組合實(shí)際上就是讓學(xué)生們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題. 因此，在排列組合中往往會(huì)遇到很多問(wèn)題情境，有的學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題情境如果較為陌生，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué)閱讀理解障礙. 高中生的數(shù)學(xué)閱讀理解障礙主要表現(xiàn)為對(duì)題目的意思無(wú)法理解從而不會(huì)列式或是隨意列式，也有些學(xué)生不會(huì)正確使用排列組合的符號(hào). 這些問(wèn)題都說(shuō)明了學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力還十分低.

在排列組合中學(xué)生最常見(jiàn)的問(wèn)題是無(wú)法找到正確的解題方法. 排列組合的題目是十分靈活的，題型也十分豐富，很多學(xué)生面對(duì)變幻復(fù)雜的題目找不到正確的解決策略，區(qū)分不了有序排列、無(wú)序組合，也不了解分類(lèi)用加、分步用乘這一基本問(wèn)題. 這必定導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法正確選擇解決方法或是在解決方法的運(yùn)用上存在明顯錯(cuò)誤.

運(yùn)算的錯(cuò)誤在排列組合中表現(xiàn)得也較為集中，一部分學(xué)生是因?yàn)樵谶\(yùn)用公式進(jìn)行運(yùn)算的時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤，另一部分學(xué)生是用排列組合公式化簡(jiǎn)的時(shí)候出現(xiàn)錯(cuò)誤.

以上這幾類(lèi)問(wèn)題，是高中生在學(xué)習(xí)排列組合時(shí)最常見(jiàn)的問(wèn)題，因此必須采用有效的策略加以解決.

■反思

針對(duì)上述問(wèn)題，筆者及時(shí)采用正確的解決策略來(lái)提高對(duì)排列組合理解和掌握程度.

1. 深化學(xué)生對(duì)概念的理解

對(duì)題目中所涉及的概念加以理解是解題的首要步驟，也是正確解答的根本保證. 因此筆者在復(fù)習(xí)加強(qiáng)課上首要就是幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解. 筆者為了消減學(xué)生對(duì)概念的陌生感，將一些日常生活中常見(jiàn)的情境引入了課堂教學(xué)當(dāng)中，例如，在復(fù)習(xí)課上給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了下列情境：“某列火車(chē)從本市出發(fā)，目的為北京，途經(jīng)多站”，然后再把排列組合的問(wèn)題添加進(jìn)去. 這樣的情境練習(xí)可以幫助學(xué)生深入理解排列組合的意義，避免死記硬背. 在深化概念的過(guò)程中，筆者還增設(shè)了易混淆問(wèn)題的辨析教學(xué).例如分組問(wèn)題和分配問(wèn)題，筆者就進(jìn)行了這樣的題目訓(xùn)練：“將6個(gè)蘋(píng)果分給三個(gè)同學(xué)，第一個(gè)同學(xué)有3個(gè)蘋(píng)果，第二個(gè)同學(xué)有2個(gè)，第三個(gè)同學(xué)有1個(gè)”讓學(xué)生明確這樣的問(wèn)題就是分組問(wèn)題，而“將3個(gè)蘋(píng)果分給A同學(xué)，將2個(gè)蘋(píng)果分給B同學(xué)，將1個(gè)蘋(píng)果分給C同學(xué)”這樣的問(wèn)題就是分配問(wèn)題.

2. 重視學(xué)生思維訓(xùn)練

排列組合問(wèn)題解決除了要對(duì)概念進(jìn)行正確理解之外，同時(shí)還要求學(xué)生有較強(qiáng)的思維能力. 筆者在以后教學(xué)中要求學(xué)生在解題的時(shí)候要有清晰的解題步驟，在每一步都要思考“我為什么要這么做”、“我這樣做符合題意么”、“我這樣的分類(lèi)完整嗎”，讓學(xué)生自己用這樣引導(dǎo)性的問(wèn)題訓(xùn)練自己的思維，在解題過(guò)程中及時(shí)找到正確的解題思路，克服自己思維的不嚴(yán)謹(jǐn)，提高自己的邏輯水平. 因?yàn)榕帕薪M合題是一種思維的組合，這類(lèi)題通常與實(shí)際生活相關(guān)，所以在排列組合的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)該注重學(xué)生思維的訓(xùn)練，將生活問(wèn)題抽象為排列組合數(shù)學(xué)模型，再應(yīng)用排列組合知識(shí)去解答.

3. 進(jìn)行科學(xué)的專(zhuān)題訓(xùn)練

排列組合問(wèn)題雖然靈活多變，但是有著基本的題目類(lèi)型和解題套路. 如果學(xué)生扎實(shí)掌握這些題目類(lèi)型，則能大大提高自己的解題能力. 這些基本題目類(lèi)型包括“分類(lèi)與分布問(wèn)題”. 分類(lèi)問(wèn)題要用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，而分布問(wèn)題要用分布計(jì)數(shù)原理；“特殊元素與特殊位置問(wèn)題”應(yīng)當(dāng)以元素分析為主，全面考慮特殊元素的位置，在此基礎(chǔ)上再處理其他元素；“元素相鄰問(wèn)題”可用捆綁法進(jìn)行，將若干元素當(dāng)做一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行排列；“相離問(wèn)題”的主要做法是先解決其他元素，再把題目要求不能相鄰的元素進(jìn)行排列. 此外，還有“正難則反”問(wèn)題、“定序問(wèn)題”等等.

■小結(jié)

排列組合練習(xí)題范文第2篇

一、創(chuàng)設(shè)研究情境，激發(fā)研究欲望

創(chuàng)設(shè)一定的教學(xué)情境是實(shí)施“研究性學(xué)習(xí)”的基礎(chǔ)。蘇霍姆林斯基說(shuō)：“人的內(nèi)心深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者”，因此教師在教學(xué)中必須注重學(xué)生的這種“根深蒂固”的心理需求，為研究性學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的情感基礎(chǔ)。然而，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于其生活經(jīng)驗(yàn)有限，所以更應(yīng)該用學(xué)生熟悉的且比較容易引入課堂的內(nèi)容、材料或生活情境來(lái)創(chuàng)設(shè)一定的研究情境，以激發(fā)學(xué)生的“研究”欲望。如在教學(xué)“平均分”一課時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)故事情境“兩只笨熊分餅”。通過(guò)教師生動(dòng)形象的故事講述來(lái)激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地探索問(wèn)題，“為什么兩只笨熊最后都沒(méi)有吃到餅？”從而聯(lián)系生活探索“平均分”的概念和生活中的“平均分”現(xiàn)象。再如，在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”的時(shí)候，教師可以從兩副三角板入手，讓學(xué)生提出猜想“是不是所有的三角形的內(nèi)角和都是180O呢？”然后，學(xué)生可通過(guò)親自動(dòng)手畫(huà)任意的三角形進(jìn)行測(cè)量驗(yàn)證，也可以任意剪一個(gè)三角形通過(guò)折一折，或剪掉三個(gè)角拼一拼來(lái)驗(yàn)證。在此動(dòng)手操作的過(guò)程中，學(xué)生不僅興趣高漲，且讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程。

二、提供研究材料，體現(xiàn)研究?jī)r(jià)值

讓學(xué)生進(jìn)行“研究性學(xué)習(xí)”，必須有一定的載體，而開(kāi)放性的學(xué)習(xí)材料則是實(shí)施“研究性學(xué)習(xí)”的有效保證。當(dāng)然，開(kāi)放性的學(xué)習(xí)材料有很多，但對(duì)低年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施“研究性學(xué)習(xí)”來(lái)說(shuō)，主要是向?qū)W生提供一些開(kāi)放性的練習(xí)題。因?yàn)閿?shù)學(xué)開(kāi)放題的條件可以是多余的，答案可以不是唯一的，解題的策略和方法也比較靈活，即它有開(kāi)放性的特點(diǎn)，發(fā)揮各自想象力，展開(kāi)數(shù)學(xué)思維和方法交流的機(jī)會(huì)，并且大部分學(xué)生都能參與，都樂(lè)于參與，這樣學(xué)生的主動(dòng)性才能得到充分發(fā)揮，從而也就體現(xiàn)了“研究性學(xué)習(xí)”的根本宗旨。如在教學(xué)“排列組合”一課后，我上了一節(jié)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，主題內(nèi)容是“我是小小研究者”，將數(shù)學(xué)課上學(xué)的知識(shí)進(jìn)行拓展延伸。教師根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容出示問(wèn)題：（1）四人握手每?jī)扇宋找淮?，能握幾次?人、6人、7人、100人呢？（2）3個(gè)數(shù)字可以排列成幾個(gè)兩位數(shù)？4個(gè)數(shù)、5個(gè)數(shù)、6個(gè)數(shù)……各能排列多少個(gè)兩位數(shù)？教師提供出有價(jià)值的探索問(wèn)題后，學(xué)生通過(guò)動(dòng)手、合作、實(shí)踐，自主探索出了排列組合的規(guī)律，學(xué)會(huì)了用式子計(jì)算，使得復(fù)雜問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化。

三、倡導(dǎo)合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)研究能力

排列組合練習(xí)題范文第3篇

一、引起中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力差的原因

1、對(duì)數(shù)學(xué)的價(jià)值認(rèn)識(shí)不足。

“科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力”，“科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)是應(yīng)用科學(xué)，而應(yīng)用科學(xué)的基礎(chǔ)是數(shù)學(xué)”。這一論述揭示了數(shù)學(xué)在生產(chǎn)力中的巨大作用。數(shù)學(xué)作為從量的方面處理現(xiàn)實(shí)世界中各種關(guān)系的科學(xué)，當(dāng)然也要處理有關(guān)生產(chǎn)關(guān)系的問(wèn)題。這就是數(shù)學(xué)的價(jià)值。但由于歷史的影響，教師們?cè)谶^(guò)去的教學(xué)中過(guò)份強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的邏輯性、嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性和理論性，寧可一遍遍地去重復(fù)那些嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)概念、講授那些主要為解題服務(wù)的技巧，卻很少去講數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的價(jià)值、數(shù)學(xué)結(jié)論的形成與發(fā)現(xiàn)過(guò)程、數(shù)學(xué)對(duì)科學(xué)進(jìn)步所起的作用等等內(nèi)容。這使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)片面化、狹隘化，比如許多學(xué)生就認(rèn)為“數(shù)學(xué)不過(guò)是一些邏輯證明和計(jì)算，”甚至認(rèn)為“數(shù)學(xué)只是一個(gè)考試科目。”

2、用數(shù)學(xué)的意識(shí)差

用數(shù)學(xué)的意識(shí)，簡(jiǎn)言之就是用數(shù)學(xué)的眼光，從數(shù)學(xué)的角度觀察事物、闡釋現(xiàn)象、分析問(wèn)題。

意識(shí)是一個(gè)思想認(rèn)識(shí)問(wèn)題，也是一種心理傾向，其重在自覺(jué)性、自主選擇性，它需要在較長(zhǎng)時(shí)間中通過(guò)一定量的實(shí)踐才能形成。

3、數(shù)學(xué)的能力弱（不善于建立數(shù)學(xué)模型）

數(shù)學(xué)課中要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力，數(shù)學(xué)的建模是關(guān)鍵。我們面對(duì)的是學(xué)生，首先應(yīng)從學(xué)生的實(shí)際情況分析，學(xué)生的閱歷有限，對(duì)應(yīng)用問(wèn)題的背景不熟，難以從中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，阻礙了對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決。

二、 培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)以數(shù)學(xué)教材中的應(yīng)用問(wèn)題為切入點(diǎn)

1、教材貼近現(xiàn)實(shí)，每一章的序言都編排了一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用問(wèn)題，引入該章的知識(shí)內(nèi)容，以突出知識(shí)的實(shí)際背景。如在第三章《數(shù)列》以趣味話題：“國(guó)王對(duì)國(guó)際象棋棋盤(pán)發(fā)明者獎(jiǎng)勵(lì)的麥粒數(shù)”的計(jì)算作為章頭序言，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望，增加教材內(nèi)容的趣味性。

2、以實(shí)際例子引入“具體問(wèn)題”的研究。高中數(shù)學(xué)的十章內(nèi)容中，分別就概念引入、實(shí)例說(shuō)明、數(shù)學(xué)表示等方面有三十一處都恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用了實(shí)際問(wèn)題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問(wèn)題”表示分段函數(shù)，用功和位移的關(guān)系引入向量數(shù)量積的概念等。實(shí)例引入增強(qiáng)了問(wèn)題的實(shí)際背景，為順利解決問(wèn)題作了鋪墊。

3、例題中的應(yīng)用問(wèn)題。例題中安排應(yīng)用問(wèn)題，一方面可以培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，而且通過(guò)范例講解，使學(xué)生掌握解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思想和方法。

4、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了應(yīng)用問(wèn)題的分量。為使學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，逐步提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，新教材在練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題中增加了大量的應(yīng)用問(wèn)題，量大面寬，情景新穎，融知識(shí)性、趣味性、自主實(shí)踐性于一體。

三、以數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐為著力點(diǎn)

1、注重培養(yǎng)學(xué)生基本方法和解題思路。只有在教學(xué)中結(jié)合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過(guò)程、建模思想，才能為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實(shí)際問(wèn)題抽象、概括、轉(zhuǎn)化――數(shù)學(xué)問(wèn)題――解決數(shù)學(xué)問(wèn)題――回答實(shí)際問(wèn)題。具體可按以下程序進(jìn)行：

（1）審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實(shí)際問(wèn)題非數(shù)學(xué)情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問(wèn)題，舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細(xì)研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問(wèn)題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系。

（2）建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建成數(shù)學(xué)模型。

（3）求解數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。

（4）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實(shí)際意義適當(dāng)增刪，還原為實(shí)際問(wèn)題。

2、引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成善于歸納總結(jié)的良好習(xí)慣。為了增強(qiáng)學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，及時(shí)結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)使學(xué)生掌握熟悉的實(shí)際原型，發(fā)揮“定勢(shì)思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長(zhǎng)率（或減少率）問(wèn)題；②行程問(wèn)題；③合力的問(wèn)題；④排列組合問(wèn)題；⑤最值問(wèn)題；⑥概率問(wèn)題等。這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題情景，就可以通過(guò)類(lèi)比尋找記憶中與題目相類(lèi)似的實(shí)際事件，利用聯(lián)想建立數(shù)學(xué)模型。

3、選擇合適的教學(xué)方法。高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題遍及教材的各個(gè)方面，教學(xué)時(shí)針對(duì)不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會(huì)取得較好的效果。

（1）章頭序言，指導(dǎo)閱讀，留下懸念。對(duì)圖文并茂的章頭序言，由教師簡(jiǎn)單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強(qiáng)解決問(wèn)題的欲望。

（2）重視例題的示范作用。例題是連接理論知識(shí)與問(wèn)題之間的橋梁，示范性強(qiáng)。因此在講解例題時(shí)應(yīng)在分析題目各個(gè)量的特點(diǎn)關(guān)系、建模、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、還原為實(shí)際問(wèn)題諸環(huán)節(jié)都應(yīng)很好地起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、尋求基本實(shí)際模型的能力，重視數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系。

（3）指導(dǎo)練習(xí)，鞏固方法。充分運(yùn)用課本的練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。練習(xí)題位于具體的理論知識(shí)后面，建模方向性強(qiáng)，教師只需稍作指導(dǎo)；而習(xí)題則更多利用教師批改作業(yè)的機(jī)會(huì)，主要糾正數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化過(guò)程及解題的規(guī)范過(guò)程；復(fù)習(xí)題由于綜合性強(qiáng)，學(xué)生解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。

排列組合練習(xí)題范文第4篇

一、訓(xùn)練問(wèn)題解題法

為培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，教學(xué)中首先應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題，教給學(xué)生解答應(yīng)用題的基本方法、步驟和建模過(guò)程、建模思想。

教學(xué)應(yīng)用題的常規(guī)思路是：將實(shí)際問(wèn)題抽象、概括、轉(zhuǎn)化——數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、 回答實(shí)際問(wèn)題。具體可按以下程序進(jìn)行：

（1）審題：由于數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性及實(shí)際問(wèn)題的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問(wèn)題，舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系。為此，引導(dǎo)學(xué)生從粗讀到細(xì)研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問(wèn)題中所含的量及相關(guān)量的數(shù)學(xué)關(guān)系。對(duì)生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化。

（2）建模：明白題意后，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析題目中各量的特點(diǎn)，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數(shù)式表示，它們之間存在著怎樣的聯(lián)系？將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言，找到與此相聯(lián)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，建成數(shù)學(xué)模型。

（3）求解：解出數(shù)學(xué)問(wèn)題，得出數(shù)學(xué)結(jié)論。

（4）還原：將得到的結(jié)論，根據(jù)實(shí)際意義適當(dāng)增刪，還原為實(shí)際問(wèn)題。

例：某城市現(xiàn)有人口總數(shù)100萬(wàn)人，如果年自然增長(zhǎng)率為1.2％，寫(xiě)出該城市人口總數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式。

這是一道人口增長(zhǎng)率問(wèn)題，教學(xué)時(shí)為幫助學(xué)生審題，我在指導(dǎo)學(xué)生閱讀題時(shí)，提出了以下要求：

——粗讀，題目中涉及到哪些關(guān)鍵語(yǔ)句，哪些有用信息？解釋“年自然增長(zhǎng)率”的詞義，指出：城市現(xiàn)有人口、年份、增長(zhǎng)率，城市變化后的人口數(shù)等關(guān)鍵量。

——細(xì)想，問(wèn)題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關(guān)系？

——建模，啟發(fā)學(xué)生分析這道題與學(xué)過(guò)的、見(jiàn)過(guò)的哪些問(wèn)題有聯(lián)系，它們是如何解決的？對(duì)此有何幫助？

學(xué)生討論后，從特殊的1年、2年…抽象歸納，尋找規(guī)律，探討x年的城市總?cè)丝趩?wèn)題： y=100·(1+1.2%)x。

二、引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)

為了增強(qiáng)學(xué)生的建模能力，在應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)中，及時(shí)結(jié)合所學(xué)章節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生將應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)使學(xué)生掌握熟悉的實(shí)際原型，發(fā)揮“定勢(shì)思維”的積極作用，可順利解決數(shù)學(xué)建模的困難，如將高中的應(yīng)用題歸為：①增長(zhǎng)率（或減少率）問(wèn)題②行程問(wèn)題③合力的問(wèn)題④排列組合問(wèn)題⑤最值問(wèn)題⑥概率問(wèn)題等。這樣，學(xué)生遇到應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題情景，就可以，通過(guò)類(lèi)比尋找記憶中與題目相類(lèi)似的實(shí)際事件，利用聯(lián)想，建立數(shù)學(xué)模型。

三、針對(duì)不同內(nèi)容采取不同教法

高中新教材的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題遍及教材的各個(gè)方面，教學(xué)時(shí)只要針對(duì)不同內(nèi)容，有的放矢，各有側(cè)重，就會(huì)取得較好的效果。

1.章頭序言，指導(dǎo)閱讀，留下懸念。對(duì)圖文并茂的章頭序言，由教師簡(jiǎn)單提出或由學(xué)生閱讀，使學(xué)生稍作碰壁，留下解題懸念，增強(qiáng)解決問(wèn)題的欲望。

2.重視例題的示范作用。例題是連接理論知識(shí)，與問(wèn)題之間的橋梁，示范性強(qiáng)。因此在講解例題時(shí)應(yīng)在分析題目各個(gè)量的特點(diǎn)關(guān)系，建模，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、還原為實(shí)際問(wèn)題的諸多環(huán)節(jié)都應(yīng)很好的起示范作用，教師應(yīng)重視例題的分析與講解，積極進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題、尋求基本實(shí)際模型的能力，重視數(shù)學(xué)理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用的聯(lián)系。

3.指導(dǎo)練習(xí)，鞏固方法。充分運(yùn)用課本的練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)題，讓學(xué)生自己動(dòng)手、動(dòng)腦，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。練習(xí)題位于具體的理論知識(shí)后面，建模方向性強(qiáng)，教師只需稍作指導(dǎo)；而習(xí)題則更多利用教師批改作業(yè)的機(jī)會(huì)，主要糾正數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化過(guò)程，及解題的規(guī)范過(guò)程；復(fù)習(xí)題由于綜合性強(qiáng)，學(xué)生獨(dú)自解決有困難，教師要給予必要的指導(dǎo)、提示。

4.課外閱讀，補(bǔ)充提高。對(duì)于不作教學(xué)要求的閱讀材料，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度提出閱讀要求，布置學(xué)生進(jìn)行課外閱讀，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，擴(kuò)大知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5.實(shí)習(xí)作業(yè)，重視實(shí)際操作與團(tuán)結(jié)協(xié)作。完成實(shí)習(xí)作業(yè)，可以打破單一沉寂的課堂教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和創(chuàng)新能力。但實(shí)際問(wèn)題的因素是錯(cuò)綜復(fù)雜的，這就要求學(xué)生在調(diào)查、分析、研究的基礎(chǔ)上，抓住本質(zhì)，通過(guò)篩選，去粗取精，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行建模解決實(shí)際問(wèn)題。如第五章《三角函數(shù)》中的實(shí)習(xí)作業(yè)，對(duì)不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)的距離，教師選定符合要求的地點(diǎn)，組織學(xué)生實(shí)際測(cè)量，通過(guò)計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生興致很高，特別是對(duì)“已知兩邊和一對(duì)角”解三角形的三種情況，通過(guò)動(dòng)手操作，實(shí)地測(cè)量，加深影響，激發(fā)了學(xué)生的探索精神，增強(qiáng)了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。

6.研究性課題，重視自主探究。“研究性課題”是新教材中的一個(gè)專(zhuān)題性欄目，具有探究性和應(yīng)用性的特點(diǎn)，它既是所學(xué)內(nèi)容的實(shí)際綜合應(yīng)用，又對(duì)學(xué)生探究和解決問(wèn)題具有較好的訓(xùn)練價(jià)值。

“研究性課題”，一個(gè)有關(guān)分期付款的問(wèn)題，因?yàn)楹芏嗳艘淮涡缘刂Ц妒蹆r(jià)較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進(jìn)營(yíng)銷(xiāo)策略，方便顧客購(gòu)物和付款，它與每個(gè)家庭的日常生活密切相關(guān)，在今天的商業(yè)活動(dòng)中應(yīng)用日益廣泛。對(duì)它的探究將會(huì)引起學(xué)生極大的興趣，教學(xué)這一課題時(shí)，應(yīng)突出以學(xué)生探究為主，教師點(diǎn)拔、介紹為輔，教師不斷提出問(wèn)題，介紹情況，啟發(fā)誘導(dǎo)。鼓勵(lì)學(xué)生研究和探索。

第一步，讓學(xué)生閱讀教材中的方案表，明確每個(gè)付款方案的次數(shù)、方式。

第二步，引導(dǎo)學(xué)生探究第二種方案，即分6次付清，購(gòu)買(mǎi)后第2個(gè)月第一次付款，再過(guò)2個(gè)月第2次付款……購(gòu)買(mǎi)后12個(gè)月第6次付款，月利率為0.89％，每月利息按復(fù)數(shù)計(jì)算。

首先，學(xué)生根據(jù)要求試做，不少學(xué)生得出每期付款多少元，也有學(xué)生得出每期付款多少元。這時(shí)教師不必指出對(duì)錯(cuò)，進(jìn)一步分析、調(diào)整學(xué)生思維，這兩種方式對(duì)誰(shuí)有利？學(xué)生計(jì)算后，自然得出前者對(duì)顧客有利，商家吃虧，而后者對(duì)商家有利，顧客吃虧，都不符合買(mǎi)賣(mài)公平的原則。

排列組合練習(xí)題范文第5篇

【關(guān)鍵詞】 有序思考 滲透 數(shù)學(xué)思想方法

“滲透”就是把某些抽象的數(shù)學(xué)思想逐漸“融進(jìn)”具體的、實(shí)在的數(shù)學(xué)知識(shí)中，使學(xué)生對(duì)這些思想有一些初步的感知或直覺(jué)，但還沒(méi)有從理性上開(kāi)始認(rèn)識(shí)它們。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，又是把知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。一個(gè)充滿教育智慧的教師，不僅要教給學(xué)生前臺(tái)的基礎(chǔ)知識(shí)，更要教給學(xué)生后臺(tái)的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生真真地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考。讓學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)思想方法，是小學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)改革的新視角之一，課標(biāo)還在關(guān)于“數(shù)學(xué)思考”的目標(biāo)中提出“在解決問(wèn)題的過(guò)程中能進(jìn)行簡(jiǎn)單的，有條理的思考”。那么，怎樣培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行有序思考？怎樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生問(wèn)題解決利用“有序性”思考的效果好些呢？筆者進(jìn)行了一一梳理。

1 培養(yǎng)學(xué)生“有序性”思考能力是可行的也是必要的

有序思考是學(xué)生按照一定的順序，使其不遺漏又不重復(fù)的一種思維方法。學(xué)生的有序思考能力不是與生俱來(lái)的，也不是在哪天突然間就會(huì)了的。而是通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)中有意識(shí)的培養(yǎng)逐步形成的。北師大版實(shí)驗(yàn)教材中，有序性思考的教學(xué)內(nèi)容，在各個(gè)領(lǐng)域的教學(xué)中都有滲透，幾乎每個(gè)年級(jí)都滲透“有序思考”的方法，（如下表）這使學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中自覺(jué)地運(yùn)用了這一思想方法。

以一年級(jí)的學(xué)生為例，由于年齡小，他們的思考常常是無(wú)序的，想到哪兒就說(shuō)到哪兒。這更需要教師在平時(shí)的教學(xué)中逐步的滲透，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成有序思考的習(xí)慣，使學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和有序的思考。

例如：小學(xué)數(shù)學(xué)北師大版一下的數(shù)學(xué)書(shū)上第60頁(yè)中有這樣一道題：下面（ ）里可以填什么數(shù)？10+30>（ ）、20+（ ）

在做這道練習(xí)時(shí)，我還是多留了個(gè)心眼。我先讓學(xué)生獨(dú)立思考，自己嘗試。正如同事所言，我發(fā)現(xiàn)大部分同學(xué)只寫(xiě)了一種方法。但學(xué)生真的只是這么想的嗎？在討論交流10+30>（ ）的時(shí)候，學(xué)生爭(zhēng)先恐后地發(fā)言，說(shuō)出了很多的答案，結(jié)果括號(hào)里寫(xiě)不下了。我故意把問(wèn)題拋給學(xué)生：“怎么想，不重復(fù)，也不漏掉，能一下子說(shuō)出所有的答案。有什么好辦法嗎？”學(xué)生陷入了沉思，馬上有一個(gè)同學(xué)首先舉手了：“括號(hào)里的數(shù)只要小于40就行了?！闭娴娜绱藛?？我讓學(xué)生討論一下，大家興奮地發(fā)現(xiàn)，果然可以按照這樣的規(guī)律寫(xiě)，一下子寫(xiě)出所有的數(shù)了。完成第2題就簡(jiǎn)單了。經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，20+（ ）（ ）、60+（ ）

總之，只要我們教師細(xì)心地觀察、積極地引導(dǎo)和訓(xùn)練，一年級(jí)的學(xué)生也會(huì)在我們的數(shù)學(xué)課堂上張開(kāi)有序思考的翅膀。在開(kāi)放練習(xí)中，學(xué)生有序思考的能力得到提高，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，提升了思維的層次。只要我們能做個(gè)有心人，能持之以恒，學(xué)生就能逐步形成有序地、全面地思考問(wèn)題的意識(shí)，進(jìn)而達(dá)到《課標(biāo)》要求，使學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活、社會(huì)實(shí)踐中觀察事物、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題等各方面形成有序思考的能力。

2 在探究中滲透“有序性”思想，培養(yǎng)學(xué)生的有序思考習(xí)慣

邏輯思維能力應(yīng)該從小抓起，通過(guò)各個(gè)教育環(huán)節(jié)，潛移默化地、循序漸進(jìn)地、不間斷地進(jìn)行。首先要從培養(yǎng)學(xué)生潛在的有序性思考入手，經(jīng)過(guò)發(fā)展?jié)搫?chuàng)造力，培養(yǎng)良好的創(chuàng)造情境動(dòng)機(jī)，然后轉(zhuǎn)變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)創(chuàng)造力，實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。在有序性的教學(xué)過(guò)程中，我們用創(chuàng)造學(xué)理論指導(dǎo)教學(xué)，注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的人格特征的培養(yǎng)。

例如：北師大版五上《旅游費(fèi)用》一課的教學(xué)中，學(xué)生在計(jì)算這樣一道題：某小學(xué)四年級(jí)155人去秋游，大客車(chē)40個(gè)座位，車(chē)費(fèi)1000元；面包車(chē)25個(gè)座位，車(chē)費(fèi)650元，有哪些租車(chē)方案？哪種方案最省錢(qián)？結(jié)果在全班匯報(bào)時(shí)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的思考都是無(wú)序的，想到一種方案就算一種，出現(xiàn)了重復(fù)和遺漏。生1：我有兩種方案。第一種全租大客車(chē)4輛，共4000元，第二種全租面包車(chē)7輛共4550元，所以全租大客車(chē)省錢(qián)。生2：我還有補(bǔ)充。還可以租3輛大客車(chē)，2輛面包車(chē)，共4300元……

在這樣的情況下，教師有意設(shè)置認(rèn)知沖突，促使顯示另辟蹊徑，進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。于是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：怎樣才能做到不重復(fù)又不遺漏呢？在引導(dǎo)學(xué)生有序的思考后，得出所有的方案，并列成表格。（如下表）

最后得出：租2輛大客車(chē)，3輛面包車(chē)最省錢(qián)。

這樣的探究才是學(xué)生最迫切需要的，是在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，才能最充分地調(diào)動(dòng)學(xué)生的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，而探究的結(jié)果也將成為學(xué)生記憶最深刻的知識(shí)。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，比較其前后兩種方法的異同，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，學(xué)會(huì)有序思考，從而提高學(xué)生思維的質(zhì)量，培養(yǎng)學(xué)生高水平的數(shù)學(xué)思維?！坝行蛐浴睌?shù)學(xué)思想方法也得到了滲透，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成了有序思考的習(xí)慣，使學(xué)生在潛移默化中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和思考。

又如：《搭配中的學(xué)問(wèn)》一課，課中出現(xiàn)的搭配衣褲的情境，我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生從這些生活現(xiàn)象中提取數(shù)學(xué)信息，使學(xué)生學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單、易行的有序性思考方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，這是我們應(yīng)該重點(diǎn)關(guān)注的。從事件現(xiàn)象到數(shù)學(xué)符號(hào)，這個(gè)產(chǎn)生過(guò)程非常重要。教學(xué)中，教師盡可能請(qǐng)學(xué)生根據(jù)要求，用卡片動(dòng)手?jǐn)[一擺。之后設(shè)置了衣服卡片不夠用的情況，師問(wèn)：“沒(méi)有卡片怎么解決？”學(xué)生就可能會(huì)用許多符號(hào)來(lái)表示這些實(shí)物、字母、數(shù)字、幾何圖形等，在反饋時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)有了多種表示方法，我就讓學(xué)生展示這些方法。

方法1：

方法4：3×3=9（套）。生：第一件上衣分別搭配三條褲子有三套，一共有三件上衣和三條褲子，是3個(gè)3，就是9套。

生：上衣有三件，只寫(xiě)一個(gè)字不能分出是哪件，寫(xiě)多了字又太麻煩，所以，我用衣1、衣2、衣3來(lái)表示，褲子有三條，同樣用褲1、褲2、褲3來(lái)表示，這樣連線搭配后，也是3個(gè)3，就是9套……

這樣，可以充分暴露學(xué)生個(gè)性化的思維習(xí)慣方式，且他們主動(dòng)參與的熱情也將會(huì)更高。學(xué)生可以從上衣出發(fā)考慮，也可以從褲子出發(fā)，滲透有序思考的意識(shí)，思維層次就更高了。“排列與組合”是一種思維有序性的教學(xué)。這部分知識(shí)有許多生活原型，縱觀“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境――建立數(shù)學(xué)模型――解釋與應(yīng)用”的過(guò)程，讓學(xué)生充分經(jīng)歷“排列與組合”這一數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過(guò)程，激勵(lì)和尊重學(xué)生多樣化的獨(dú)立思維方式，實(shí)現(xiàn)個(gè)性化的學(xué)習(xí)。由此想到，教學(xué)有三重境界：一是教知識(shí)；二是教方法；三是教思想。新課程下的小學(xué)數(shù)學(xué)比以往更加重視了數(shù)學(xué)思想方法的蘊(yùn)涵，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中也應(yīng)該及時(shí)地對(duì)數(shù)學(xué)思想、方法進(jìn)行提煉、歸納和概括，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)思想方法逐步深入人心，最終內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

3 在練習(xí)中滲透“有序性”思想，提高學(xué)生的解題策略能力

練習(xí)題是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，是學(xué)生進(jìn)行有效學(xué)習(xí)的重要載體。在課改實(shí)踐中，有些教師比較重視例題的教學(xué)，卻不屑對(duì)課本習(xí)題作精細(xì)化的研究，以致習(xí)題的功能被弱化，習(xí)題中隱含的一些有價(jià)值的因素未能被充分開(kāi)發(fā)與利用，教材的意圖不能凸顯。其實(shí)，只要我們多思考它對(duì)提升學(xué)生思維、促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的價(jià)值，則看似簡(jiǎn)單的習(xí)題背后蘊(yùn)藏著豐富、深刻和生動(dòng)，一些練習(xí)題還大有文章可做。

3.1 善于運(yùn)用針對(duì)性練習(xí)。幾乎每個(gè)年級(jí)都安排了不少“有序思考”的練習(xí)，如（以北師大教材為例）一年級(jí)上冊(cè)書(shū)上的+=6，7-=；三年級(jí)上冊(cè)“搭配中的學(xué)問(wèn)”；四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)圖形中的學(xué)問(wèn)”、“圖形中的規(guī)律”等等。教師應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)這部分針對(duì)性練習(xí)，做到心中有數(shù)。例如有這樣一道練習(xí)題：給一本書(shū)編頁(yè)碼，一共用去732個(gè)數(shù)字，這本書(shū)一共有多少頁(yè)？按照每個(gè)頁(yè)碼所用數(shù)字的個(gè)數(shù)分類(lèi)：①只用一個(gè)數(shù)字的有1～9頁(yè)，共用了9個(gè)數(shù)字；②用兩個(gè)數(shù)字的有10～99頁(yè)，共用了2×（99-9）=180（個(gè)）數(shù)字；③余下的（732-180-9）個(gè)數(shù)字用來(lái)編三位數(shù)的頁(yè)碼，可以編（732-180-9）÷3=181（個(gè)）頁(yè)碼。于是可以求出這本書(shū)一共有9+90+181=280（頁(yè)）。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，由于條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系不是單一的，情況比較復(fù)雜，為了解決問(wèn)題的方便，需要對(duì)各種情況加以分類(lèi)，有序的逐類(lèi)求解，然后綜合得解。

通過(guò)一些針對(duì)性練習(xí)，使學(xué)生能按照一定的條理，朝著有利于解題的思維方向去思考。教師對(duì)教材中練習(xí)的深入思考，對(duì)自己閱讀教材的能力是一種提升，教師有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生有序地思考，學(xué)生的學(xué)習(xí)會(huì)更加的有效。一次小練習(xí)，對(duì)教師和學(xué)生來(lái)說(shuō)都是一次思考的提升，有思有得，在不斷的思考中教學(xué)相長(zhǎng)。

3.2 充分挖掘練習(xí)的內(nèi)在價(jià)值。我們平時(shí)在做練習(xí)時(shí)往往滿足于得到正確答案，而忽略了答案背后所隱含著的更為深刻的思維引導(dǎo)價(jià)值。學(xué)生的有序思考能力正是通過(guò)數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)和課堂教學(xué)中有意識(shí)的培養(yǎng)逐步形成的。因此，教師要走出“為練而練”的誤區(qū)，合理地對(duì)習(xí)題進(jìn)行深度挖掘，舉一反三。像上面的20+（ ）

3.3 對(duì)一題多解合理優(yōu)化。一題多解，有利于挖掘題目信息，聯(lián)貫所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維；改變問(wèn)題背景，多題一解，建模歸類(lèi)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的收斂思維，從而加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解，更重要的是它擴(kuò)大了學(xué)生的認(rèn)知空間，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造靈感，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新欲望，訓(xùn)練學(xué)生思維的變通和求異性。但我們要引導(dǎo)學(xué)生（特別是中下學(xué)生）從多種解法中比較出方法的優(yōu)劣。

例如：前面《搭配中的學(xué)問(wèn)》搭配衣褲的情境，學(xué)生展示了5種比較典型的方法，教師組織比較，問(wèn)：“這些方法你喜歡哪一個(gè)，為什么？”生1：第1種方法好。因?yàn)樗帽硎旧弦?，用表示褲子，看起?lái)很清楚。生2：第5種方法好。因?yàn)樗形淖钟钟袛?shù)字，每一件衣服的編號(hào)都不一樣，一看就知道有三件。生3：第4種方法最好。因?yàn)橐患路謩e搭配三條褲子有三套，一共有三件衣服，就是3個(gè)3，列式就是3×3=9（套）……

方法本身沒(méi)有好壞，但在具體題目中有運(yùn)算繁簡(jiǎn)之分，思維上有難易之別，書(shū)寫(xiě)上有長(zhǎng)短之分，不同的同學(xué)，元認(rèn)知起點(diǎn)不同，選擇也不一樣，但我們要學(xué)會(huì)去選擇。因此，我們要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，比較其異同，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，學(xué)會(huì)有序思考，使多種多樣的算法不再僅僅是某些學(xué)生的突發(fā)奇想，而成為按照一定方法有序思考的必然產(chǎn)物，從而提高思維質(zhì)量，培養(yǎng)高水平的數(shù)學(xué)思維。

3.4 重視方法的具體指導(dǎo)。教學(xué)時(shí)，教師不能孤立地教學(xué)其中的某種策略，而應(yīng)了解編者的意圖，有機(jī)地將前后策略聯(lián)系起來(lái)，提高策略教學(xué)的有效性。？要培養(yǎng)學(xué)生的有序思考能力，特別是對(duì)于低年級(jí)的孩子來(lái)說(shuō)，方法的具體指導(dǎo)是十分重要的。例如：在數(shù)的組成這一練習(xí)中，為了幫助學(xué)生有序化地思考，教師需要借用一種簡(jiǎn)便易行的方法幫助學(xué)生分析。如圖： 可以先打框，問(wèn)學(xué)生怎么排比較好。有了這個(gè)模式，學(xué)生的思維更有序了。

同時(shí)，我們需要對(duì)學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)作必要的了解，從而來(lái)修正自己的教學(xué)設(shè)計(jì)。比如，學(xué)生在學(xué)習(xí)《排列組合》之前是否接觸過(guò)類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在二年級(jí)的《直線和線段》這一課中，教師教學(xué)數(shù)線段方法并使之優(yōu)化時(shí)，就曾經(jīng)講過(guò)通過(guò)計(jì)算的方法。如：下圖里有幾條線段？

這實(shí)際上已經(jīng)蘊(yùn)涵著組合的思想，即點(diǎn)與點(diǎn)的組合。用“4+3+2+1=10”的方法計(jì)算，很快地就可以算出結(jié)果。這為數(shù)三角形、長(zhǎng)方形奠定基礎(chǔ)。不過(guò)小學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)還是經(jīng)歷這種探究過(guò)程，不能急于概括算法。我們?nèi)绾斡行У乩脤W(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)為學(xué)生的思維能力發(fā)展服務(wù)，這是一個(gè)永遠(yuǎn)值得研究的課題。

總之，要抓住每次練習(xí)機(jī)會(huì)，給學(xué)生充足的思考時(shí)間，并給學(xué)生一些具體的指導(dǎo)，讓他們漸漸養(yǎng)成并學(xué)會(huì)有序思考。有序思考的步驟一般如下：①有序地思考的第一步：提取信息，瞄準(zhǔn)目標(biāo)。②有序地思考的第二步：觀察聯(lián)想，盤(pán)點(diǎn)家底。③有序地思考的第三步：關(guān)聯(lián)利用，擇決途徑。④有序地思考的第四步：鑒別優(yōu)劣，規(guī)范表述。

4 及時(shí)總結(jié)梳理所滲透的數(shù)學(xué)思想及方法，深化學(xué)生的思維

對(duì)本節(jié)課所滲透的數(shù)學(xué)思想及方法進(jìn)行總結(jié)梳理。這是深化學(xué)生思維的重要內(nèi)容。學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有無(wú)深刻的理解和認(rèn)識(shí)，就要看他對(duì)整節(jié)課堂學(xué)習(xí)中知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)程度。對(duì)學(xué)生的發(fā)展而言，學(xué)習(xí)的價(jià)值不只是記住幾個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，解決幾個(gè)習(xí)題而已，而是讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到解決問(wèn)題是可以有不同策略的，這些解決問(wèn)題的策略，滲透著數(shù)學(xué)的思想方法在里面。當(dāng)學(xué)生能用自己的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)問(wèn)題的理解，對(duì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法有一定認(rèn)識(shí)的時(shí)候，學(xué)生的思維才能真正得到升華。

例如：“用0、3、5、6能組成哪些四位數(shù)？”這一練習(xí)題，學(xué)生看完題目就開(kāi)始寫(xiě)了，有些學(xué)生的思考是無(wú)序的，寫(xiě)出的數(shù)字都是雜亂無(wú)章的，如3560、6530、5036等，但有些學(xué)生的思考是有序的，在匯報(bào)時(shí)，根據(jù)學(xué)生匯報(bào)板書(shū)：

生1：3056、3560、6530、6053、5630、6035

生2：3056、3065、3506、3560、3605、3650

5036、5063、5306、5360、5603、5630

6035、6053、6305、6350、6503、6530

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩種方法進(jìn)行比較，師問(wèn)：為什么兩組數(shù)字相差這么多？你能比較出兩種方法的不同嗎？學(xué)生討論后，教師進(jìn)行總結(jié)：用一些給定的數(shù)字組成多位數(shù)時(shí)，先確定最高位上的數(shù)字，然后依次往下排列，這樣可以使得到的數(shù)比較完整，而且易于比較。這是一種有序思考問(wèn)題的方法，有了這種有序思想，就有了思維的方向，也就有了行動(dòng)的方向。

在小結(jié)時(shí)都應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合過(guò)程知識(shí)進(jìn)行高度概括。讓學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)思想這個(gè)“隱身人”在解決問(wèn)題中的作用。在小結(jié)中不斷讓學(xué)生體會(huì)常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，如：函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類(lèi)討論思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想。等等，能讓學(xué)生的思維能達(dá)到一個(gè)較高的思維水平，能讓學(xué)生用數(shù)學(xué)來(lái)思考問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題，從而提高學(xué)生的整體數(shù)學(xué)水平。

總之，有序性思考是最有利于培養(yǎng)學(xué)生的右腦智力，使左右腦協(xié)調(diào)發(fā)展，把抽象思維和形象思維有機(jī)的結(jié)合起來(lái)的一種教學(xué)模式。作為小學(xué)教育工作者，要在課堂上有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生，滲透有序思考的數(shù)學(xué)思想，來(lái)解決一些有序性思考的問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。只有經(jīng)過(guò)邏輯思維，人們才能達(dá)到對(duì)具體對(duì)象本質(zhì)規(guī)定的把握，進(jìn)而認(rèn)識(shí)客觀世界。因此，我們的課堂應(yīng)該是學(xué)生感受數(shù)學(xué)思想的啟迪課、運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的訓(xùn)練課。它對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)、其他學(xué)科的探究學(xué)習(xí)乃至終身學(xué)習(xí)的能力發(fā)展都將大有裨益。

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