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周期函數(shù)范文第1篇

關(guān)鍵詞：可微；原函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)；周期性

命題：可微分的周期函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。

我們討論的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函數(shù)的周期一定是導(dǎo)函數(shù)的周期；反之，導(dǎo)函數(shù)的周期一定是原函數(shù)的周期），或者二者最小正周期相同。

文獻(xiàn)1中給出的“證明”，是由f（x+T）=f（x）得f'（x+T）=f'（x）[1]，這只能說明原函數(shù)的最小正周期T是導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)周期，即對導(dǎo)函數(shù)的最小正周期T '而言，有T=KT '（K為正整數(shù)）.至于T是否為導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)周期，即：是否T=T '，并未得證，尚需證T '一定也是原函數(shù)f（x）的一個(gè)周期：f（x+T '）=f（x），才有T=T '.許多書上的證明多是如此。

本文將指出：可微周期函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)最小正周期并非一定相同；同時(shí)，給出一個(gè)周期相同的一個(gè)充分條件。

1 現(xiàn)舉一反例

我們約定J表示整數(shù)集合，R表示實(shí)數(shù)集合，E（x）表示不超過x的最大整數(shù)。

例1 設(shè) ，考察定義在D上的函數(shù)f（x）=x-E（x） .

與正切函數(shù)類似，雖然f（x）在R上有可列間斷點(diǎn)，但f（x）在其定義域D中每點(diǎn)連續(xù)可微.

首先，1/2不會(huì)是f（x）的周期，這只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；

x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.

f（x）的導(dǎo)函數(shù)f '（x）=1，1/2是f '（x）的一個(gè)周期.因?yàn)?，對任意x∈D，x+1/2∈D，f'（x）= f '（x+1/2）=1.

這樣，我們已經(jīng)得到f（x）與f '（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不會(huì)相同.當(dāng)然，我們也可以分別證明，f（x）最小正周期為1，f '（x）最小正周期為1/2.

通過f（x）與f '（x）的圖像來對比，結(jié)論也是非常明顯的（如圖1）

圖1

例2設(shè)D={x|x∈R-J}.考察定義在D中的函數(shù)

同樣，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f '（x）=2[x-E（x）],x∈D

可以例1一樣，驗(yàn)證1是f '（x）的周期而不是f（x）的周期，從而二者周期不同.不過，現(xiàn)在我們采用另外的辦法，證明f（x）的最小正周期為2，而f '（x）的一個(gè)周期為1，則f '（x）的最小正周期T '≤1，便有T '≤1≤2=T，即T '=T.

對任意x∈D，有x+2∈D，且

可知，2是f（x）的一個(gè)周期.再證任何一個(gè)小于2的正整數(shù)ε不會(huì)是f（x）的周期.

若ε=1，對任意x∈D，也有x+1∈D，但

若ε≠1,0

故f（x）的最小正周期T=2.

再看導(dǎo)函數(shù)f '（x）=2[x-E（x）] .

對任意x∈D，有x+1∈D，且

于是，若T '為f '（x）的最小正周期，有

T '≤1≤2=T.

圖2

類似的例子還可舉出很多?？傊诙x域內(nèi)每點(diǎn)可微的周期函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的最小正周期并非總是相同。至于周期相同的例子則處處可見，本文不再例舉，現(xiàn)只給出周期相同的一個(gè)充分條件。

2 周期相同的一個(gè)充分條件

反例給我們提示，在整個(gè)R中可微的周期函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)很可能周期必然相同.

引理1 任意一個(gè)非常值連續(xù)周期函數(shù)必有最小正周期[2].

引理2 對具有最小正周期T 的周期函數(shù)f（x），若T '也是f（x）的一個(gè)正周期，則T '=KT（K為正整數(shù)）[3].

定理 非常值周期函數(shù)f（x）在R上有定義且在每點(diǎn)存在連續(xù)導(dǎo)函數(shù)f '（x）.則f '（x）也為周期函數(shù)，并且f（x）與f '（x）周期相同[4].

證明 可微必連續(xù)，由引理1，f（x）就有最小正周期，設(shè)為T，即對任意x∈R，有

f（x+T）= f（x）

求導(dǎo)

f '（x+T）= f '（x） （1）

可見，f '（x）也是R上的周期函數(shù)，又f '（x）已知連續(xù)，再由引理1，f '（x）也必有最小正周期T '.由（1）式，T是f '（x）的一個(gè)周期，據(jù)引理2，T=KT '（K為正整數(shù)）.

下面，要證K=1.

因f '（x）連續(xù)，對任意x0∈R，據(jù)牛頓-來卜尼茲公式，得

由積分域可加性，有

（2）

運(yùn)用積分替換t=u+（i-1）T '，并由T '是f '（x）的周期，得：

（2）式變?yōu)椋?/p>

再由牛頓-來卜尼茲公式，

知T '是f（x）的一個(gè)周期，由引理2，

T '=mT,T '=m（KT '） （m為正整數(shù)）

故mK=1，但m,K均為正整數(shù)，故

m=K=1 即得T=T '

f（x）與f '（x）最小正周期相同或周期的集合相等，即f（x）與f '（x）周期相同.

3 結(jié)束語

通過以上討論可知可微的周期函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的周期不盡相同，以后我們研究這方面的問題，不能簡單地對二者周期進(jìn)行互換。如果直接解決問題有麻煩，就需要換個(gè)角度尋求滿足互換的特定條件，問題得以解決。

參考文獻(xiàn)：

[1] 黃定暉，周學(xué)圣.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社.

[2] 于先金.關(guān)于原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)對稱性的聯(lián)系.中學(xué)數(shù)學(xué)研究.

周期函數(shù)范文第2篇

【關(guān)鍵詞】抽象函數(shù)；周期函數(shù)；遞推式；對稱性；奇偶性

抽象函數(shù)是相對于具體函數(shù)而言的，它沒有給出具體的函數(shù)解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征或性質(zhì)的式子的一類函數(shù).因?yàn)槌橄?，難以理解，它是高中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn)，所以解抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰?、抽象思維能力以及函數(shù)基本知識(shí)靈活運(yùn)用的能力.

近幾年高考中也常出現(xiàn)涉及抽象函數(shù)的題目，大多考查的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性和周期性.而在實(shí)際教學(xué)中學(xué)生對于抽象函數(shù)周期性的判定和運(yùn)用比較困難，所以本文嘗試歸結(jié)抽象函數(shù)的周期性問題的幾個(gè)常見的結(jié)論并給予簡單的證明，并通過幾個(gè)例題說明簡單的應(yīng)用，供大家參考.

一、三個(gè)結(jié)論

結(jié)論1 （遞推式與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）若f（x+a）=f（x+b），則T=|a-b|；{f[x+（a-b）]=f[（x-b）+a]=f[（x-b）+b]=f（x）}

（2）若f（x+a）=-1f（x），則T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-1f（x+a）=f（x）}

（3）若f（x+a）=-f（x），則T=2|a|；{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=-f（x+a）=f（x）}

（4）若f（x+a）=1+f（x）1-f（x），則T=4|a|.

{f（x+2a）=f[（x+a）+a]=1+f（x+a）1-f（x+a）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x）+1+f（x）1-f（x）-1-f（x）=2-2f（x）=-1f（x），

f（x+4a）=f[（x+2a）+2a]=-1f（x+2a）=f（x）}

結(jié)論2 （對稱性與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）若f（x）關(guān)于x=a及x=b對稱，則T=2|b-a|；

證明：f（x）關(guān)于直線x=a和x=b對稱，

f（x）=f（2a-x），x∈R，f（x）=f（2b-x），x∈R，f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

將上式的-x以x代換得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

f[x+2（b-a）]=f[（x-2a）+2b]=f[（x-2a）+2a]=f（x），x∈R.

f（x）是R上的周期函數(shù)，且2a-b是它的一個(gè)周期.

（2）f（x）關(guān)于x=b及Ma，0對稱，則T=4|b-a|；

證明：f（x）關(guān)于點(diǎn)M（a，0）對稱，f（2a-x）=-f（x），x∈R，

f（x）關(guān)于直線x=b對稱，f（x）=f（2b-x），x∈R，

f（2b-x）=-f（2a-x），x∈R，

將上式中的-x以x代換，得f（2b+x）=-f（2a+x），x∈R，

f[x+4（b-a）]=f[2b+（x+2b-4a）]=-f[2a+（x+2b-4a）]=-f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

f（x）是R上的周期函數(shù)且4b-a是它的一個(gè)周期.

（3）f（x）關(guān)于點(diǎn)Ma，0和Nb，0對稱，則T=2|b-a|.

證明：f（x）關(guān)于M（a，0），N（b，0）對稱，

f（2a-x）=-f（x），x∈R；且f（2b-x）=-f（x），x∈R.

f（2a-x）=f（2b-x），x∈R，

將上式中的-x以x代換，得f（2a+x）=f（2b+x），x∈R，

f[x+2（b-a）]=f[2b+（x-2a）]=f[2a+（x-2a）]=f（x），x∈R.

f（x）是周期函數(shù)且2b-a是它的一個(gè)周期.

結(jié)論3 （奇偶性與周期關(guān)系結(jié)論）

（1）f（x）是偶函數(shù)且關(guān)于直線x=a對稱，則T=2|a|；

證明 ：f（x）是偶函數(shù)，故f（x）關(guān)于x=0對稱，又關(guān)于x=a對稱，

由結(jié)論2中的（1）可知周期為T=2a-0=2a.

（2）f（x）是奇函數(shù)且關(guān)于直線x=a對稱，則T=4|a|；

證明：f（x）是奇函數(shù)，

f（x）關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱，又f（x）關(guān)于x=a對稱，

由結(jié)論2中的（2）可知周期為T=4a-0=4a.

二、應(yīng)用舉例

例1 （2001年高考數(shù)學(xué)（文科）第22題）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線x=1對稱.對任意x1，x2∈[0，12]都有f（x1+x2）=f（x1）?f（x2）.

（Ⅰ）設(shè)f（1）=2，求f12，f14；

（Ⅱ）證明f（x）是周期函數(shù).

分析 f（x）是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱，又f（x）的圖像關(guān)于x=1對稱，由結(jié)論2中的（1）可得f（x）是周期函數(shù).

解析 （Ⅰ）解略.

（Ⅱ）證明：依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對稱，故f（x）=f（2-x），x∈R，

又由f（x）是偶函數(shù)知f（-x）=f（x）.

f（-x）=f（2-x），x∈R.

將上式中-x以x代換，得f（x）=f（x+2），x∈R.

這表明f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期.

例2 （求值）（1）已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2008，求f（2009）的值.

（2）已知函數(shù)f（x）=f（x+2）+f（x-2）對于x∈R恒成立，且f（1）=5，求f（2005）的值.

解析 （1）由題可知f（x）≠1，則有f（x+2）=1+f（x）1-f（x），由結(jié)論1（4）得T=2×4=8，

f（2009）=f（8×251+1）=f（1）=2008.

（2）由f（x）=f（x+2）+f（x-2）①

得f（x+2）=f（x+4）+f（x）②

由①+②得f（x+4）=-f（x-2）.即f（x+6）=-f（x）.

由結(jié)論1（3）知T=12，故有f（2005）=f（1+12×167）=f（1）=5.

例3 （判斷奇偶性）若函數(shù)f（x）對于x∈R滿足f（x+1004）=-1f（x），f（1004+x）=f（1004-x），則f（x）（ ）.

A.是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)B.是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)

C.是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

解析 由f（x+1004）=-1f（x），結(jié)合結(jié)論1（2）知f（x）是周期函數(shù)且T=2008，

f（x）=f（2008+x）=f[1004+（1004+x）]=f[1004-（1004+x）]=f（-x）.

即f（-x）=f（x），又顯然f（x）≠0，y=f（x）是偶函數(shù)，故選B.

例4 （求解析式）已知偶函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=1對稱，且x∈[3，4]時(shí)f（x）=2x-1，求當(dāng)x∈[14，15]時(shí)，f（x）的解析式.

解析 由條件及結(jié)論3（1），知f（x）是周期函數(shù)且T=2，由f（x）是偶函數(shù)，知f（-x）=f（x）.

設(shè)14≤x≤15，則-15≤-x≤-14，即3≤18-x≤4.

有f（x）=f（-x）=f（-x+9×2）=f（18-x）=2×（18-x）-1=-2x+35.

即當(dāng)x∈[14，15]時(shí)，f（x）=-2x+35.

例5 已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實(shí)數(shù)x，y，有f（x+y）+f（x-y）=

2f（x）f（y），若存在實(shí)數(shù)c>0，使fc2=0.

（1）求證：對任意x∈R，有f（x+c）=-f（x）成立.

（2）試問函數(shù)f（x）是不是周期函數(shù)，如果是，找出它的一個(gè)周期；如果不是，請說明理由.

解析 （1）證明：分別用x+c2，c2代替x，y，有

f（x+c）+f（x）=2fx+c2fc2.

fc2=0，

f（x+c）=-f（x）.

（2）解：由f（x+c）=-f（x），得f（x+2c）=f[（x+c）+c]=-f（x+c）=f（x），

即f（x+2c）=f（x）.

f（x）是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期.

從以上例題可以發(fā)現(xiàn)，抽象函數(shù)周期性的考查往往與函數(shù)的奇偶性、對稱性等聯(lián)系在一起，范圍較廣，能力要求較高.但只要對函數(shù)基本性質(zhì)熟練，并掌握上述有關(guān)的結(jié)論和類型題目的相應(yīng)解法，則會(huì)得心應(yīng)手，事半功倍.

【參考文獻(xiàn)】

[1]祁正紅.抽象函數(shù)的周期[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（05）.

周期函數(shù)范文第3篇

1.f(x)=f(x+T)型

若f（x+a）=f(x+T)，則f(x)的周期為T。若對于x取定義域內(nèi)的任意一個(gè)值，都有f(x)=f(x+T)，則f(x)是周期函數(shù)，T為函數(shù)f(x)的周期。這是函數(shù)具有周期性的定義。

2.f(x+a)=－f(x)型

若f（x+a）=-f（x），則f(x)為周期函數(shù)，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－f(x+a)=－［－f(x)］=f(x)。

3.f(x+a)=f(x+b)型

若f（x+a）=f（x+b），則f(x)為周期函數(shù)，且周期為|b－a|。證明：f(x)=f［(x－a)+a］=f［(x－a)+b］=f［x+(b－a)］。

4、f(x+a)=－1f(x)型

若f(x+a)=－1f(x)，則 f(x)為周期函數(shù)，且周期為2a。證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=－1f(x+a)

=－1－1f(x)=f(x)。

5.f(x+a)=1f(x)型

若f(x+a)=1f(x)，則f(x)為周期函數(shù)，且周期為2a。

證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1f(x+a)

=11f(x)=f(x)。

6.f(x+a)=1+f(x)1－f(x)型

若f(x+a)=1+f(x)1－f(x)，則f(x)的周期為4a。

證明：f(x+2a)=f［(x+a)+a］=1+f(x+a)1－f(x+a)

=1+1+f(x)1－f(x)1－1+f(x)1－f(x)=－1f(x)，

f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］=－1f(x+2a)

=－1－1f(x)=f(x)。

7.關(guān)于兩線對稱型

若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a,x=b對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期是2|a－b|。

證明：由f(x)關(guān)于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關(guān)于x=b對稱，則f(2b－x)=f(x),

f(x)=f(2a－x)=f［2b－(2a－x)］=f［(2b－2a)+x］。

8.關(guān)于一點(diǎn)一線對稱型

若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=a及點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期是4|a－b|。

證明：由f(x)關(guān)于x=a對稱，則f(2a－x)=f(x),由f(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0）對稱，則f(2b－x)=－f(x),

f(x)=f(2a－x)=－f［2b－(2a－x)］,

即f［(2b－2a)+x］=－f(x)。

由f(x+a)=－f(x)型的證明過程可知，函數(shù)f(x)的周期是4|a－b|。

9.關(guān)于兩點(diǎn)對稱型

若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)及點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，且周期是2|a－b|。

證明：由f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，0）對稱，

則f(2a－x)=－f(x),

由f(x)關(guān)于點(diǎn)(b，0）對稱，

則f(2b－x)=－f(x),

周期函數(shù)范文第4篇

一、函數(shù)圖象的對稱性

函數(shù)圖象的對稱性的本質(zhì)仍然是點(diǎn)與點(diǎn)之間的對稱關(guān)系，包括點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于電對稱，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱。函數(shù)的奇偶性只不過是對稱性的特例而已。函數(shù)的對稱性有以下結(jié)論：

結(jié)論1：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（x）=f（2a-x）或者函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是f（a+x）=f（a-x）

一般的，若函數(shù)f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），則f（x）關(guān)于直線對稱

結(jié)論2：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=0對稱的充要條件是f（x）=f（-x）

即函數(shù)f（x）為偶函數(shù)充要條件是f（x）=f（-x）

結(jié)論3：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱的充要條件是f（x）=2b-f（2a-x）

結(jié)論4：函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（0，0）對稱的充要條件是f（x）=-f（-x）

即函數(shù)f（x）為奇函數(shù)的充要條件是f（x）=-f（-x）

結(jié)論5：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（2a-x）關(guān)于直線x=a對稱

結(jié)論6：函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）關(guān)于y軸對稱

結(jié)論7：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=f（-x）關(guān)于y軸對稱

結(jié)論8：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=-f（-x）關(guān)于原點(diǎn)對稱

結(jié)論9：函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=2b-f（2a-x）關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱

其中結(jié)論1，2，3，4反映一個(gè)函數(shù)自身的對稱性，結(jié)論5，6，7，8，9反映兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性

二、函數(shù)的周期性

如果函數(shù)f（x）對于定義域內(nèi)的每一個(gè)x，存在一個(gè)非零的常數(shù)T，都有f（x）=f（x+T）成立，就稱函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，其中T叫做周期函數(shù)的一個(gè)周期。如果在函數(shù)f（x）的所有周期中，存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱之為函數(shù)f（x）的最小正周期.對函數(shù)的周期性定義解讀如下：

（1）周期函數(shù)的定義域是一個(gè)無限區(qū)間

（2）f（x）=f（x+T）是一個(gè)恒等式，對于定義域內(nèi)的每一個(gè)x恒成立

（3）若T是函數(shù)f（x）的一個(gè)周期，則kT（k∈Z，k≠0）也是函數(shù)的周期

（4）周期函數(shù)未必就一定有最小正周期

（5）函數(shù)的周期性不是三角函數(shù)所專有的特殊性質(zhì)。有些函數(shù)通過遞推關(guān)系也能夠推導(dǎo)出周期性。比如f（x+1）=-f（x）可以得出f（x）是周期為2的周期函數(shù)。

三、對稱性與周期性之間的關(guān)系

具有對稱性的函數(shù)往往具有周期性，有以下結(jié)論成立：

結(jié)論1：如果函數(shù)f（x）關(guān)于兩條直線x=a，x=b對稱，則函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，周期T=2（b-a）

f（x）關(guān)于直線x=a對稱，f（x）=f（2a-x）

f（x）關(guān)于直線x=b對稱，f（x）=f（2a-x）

f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）

結(jié)論2：偶函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a（a≠0）對稱，那么f（x）是周期為2a的周期函數(shù).（這就是結(jié)論1中b=0時(shí)的特例）

結(jié)論3：函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，且函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=b（b≠a）對稱，那么f（x）是周期為4（b-a）的周期函數(shù)；

證明：f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）

又f（x）關(guān)于直線x=b對稱，f（x）=f（2b-x）

f[4（b-a）+x]=f[2b-（4a-2b-x）]=f（4a-2b-x）

=f[2a-（2b+x-2a）]=-f（2b+x-2a）=-f[2b-（2a-x）]

=-f（2a-x）=f（x）

結(jié)論4：奇函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=b對稱，那么f（x）是周期為4b的周期函數(shù)；（這就是結(jié)論3中a=0的特殊情況）

結(jié)論5：若函數(shù)f（x）關(guān)于兩點(diǎn)（a，0），（b，0）對稱，那么f（x）就是周期為2（b-a）的周期函數(shù)

f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）

又f（x）關(guān)于點(diǎn)（b，0）對稱，f（x）=-f（2a-x）

H！f[2（b-a）+x]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）

從而結(jié)論得證

結(jié)論6：奇函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0），（a≠0）對稱，那么f（x）就是周期為2a的周期函數(shù)。（這就是結(jié)論5中b=0的特殊情況）

結(jié)論7：偶函數(shù)若具有周期性，則必有與y軸平行的對稱軸.

略證：f（x）是偶函數(shù)，且周期為T

H！f（x）=f（-x），f（x+T）=f（x）H！f（x+T）=f（x）=f（-x）

H！f（x）關(guān)于x=對稱。

結(jié)論8：奇函數(shù)若具有對稱性，則不一定有對稱軸。比如函數(shù)y=tanx

結(jié)論9具有周期性和x=a（a≠0）對稱軸的函數(shù)，不一定具有奇偶性。

例如函數(shù)y=sin（x+）。就不具有奇偶性

四、應(yīng)用舉例

例1：設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）= ；

解：f（x+2）=-f（x）H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）

H！f（x）是周期為4的周期函數(shù)

f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5

例2：已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-1

（1）求f（x）在[-1，0]上的解析式；

（2）求f（log24）

解：（1）設(shè)x[-1，0]。則-x∈[0，1]

f（x）是上的奇函數(shù)，

f（x）=-f（-x）=-（2-x-1）=1-2-x，x∈[-1，0]

（2）由f（x+2）=-f（x）

H！f（x+4）=f[（x+2）+2]=-f（x+2）=f（x）

即f（x）是周期為4的周期函數(shù)。

周期函數(shù)范文第5篇

關(guān)鍵字：余弦函數(shù) 倍周期分支 混沌

中圖分類號(hào)：O174 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）11（c）-0188-01

從任何初始值出發(fā)迭代時(shí)，一般有個(gè)暫態(tài)過程，但當(dāng)?shù)螖?shù)很大，即當(dāng)n∞時(shí)，演化會(huì)導(dǎo)致一個(gè)確定的終態(tài)。終態(tài)可取無窮多種值，對初值極為敏感，成為不可預(yù)測，開始出現(xiàn)混沌現(xiàn)象。在此前終態(tài)都是周期的、可預(yù)測的，并與初值無關(guān)。

混沌（Chaos）是指發(fā)生在確定性系統(tǒng)中的貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)。一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測，這就是混沌現(xiàn)象?；煦缡欠蔷€性系統(tǒng)的固有特性，是非線性系統(tǒng)普遍存在的現(xiàn)象?；煦邕\(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性已經(jīng)被證明在描述和量化大量的復(fù)雜現(xiàn)象中非常有用，但是，由于混沌系統(tǒng)所固有的系統(tǒng)輸出對狀態(tài)初值的敏感性以及混沌系統(tǒng)和混沌現(xiàn)象的復(fù)雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰(zhàn)性。

這里我們主要考慮一類關(guān)于余弦函數(shù)迭代映射的模型

（1）

的倍周期分支問題，其中，均為參數(shù)。首先作變換，則可有：。（2）

1 倍周期分支

倍周期分支是指在某個(gè)特定的參數(shù)值的一側(cè)有穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，但當(dāng)參數(shù)經(jīng)過這個(gè)特定的參數(shù)值變化到另一側(cè)時(shí)，穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)變成不穩(wěn)定的，并同時(shí)產(chǎn)生了周期2軌道。在給出我們的倍周期分支結(jié)果之前，我們先給出關(guān)于倍周期分支存在的判別法：

引理：[1]設(shè)是充分光滑的函數(shù)，記，如果下列條件成立：（1）；（2）；

（3）；

（4）；那么在處發(fā)生倍周期分支。更為詳細(xì)的是，在附近存在一個(gè)不動(dòng)的曲線，在一邊是穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，而過了以后成為不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)；并且存在一條光滑的曲線在點(diǎn)與直線相切，而是關(guān)于的函數(shù)的圖像。當(dāng)時(shí)，新生成的周期2軌道是穩(wěn)定的，反之則是不穩(wěn)定的。

引理給出了函數(shù)關(guān)于參數(shù)在特定參數(shù)值處發(fā)生倍周期分支的充分條件。下面討論模型（1）也就是模型（2）關(guān)于參數(shù)發(fā)生倍周期分支的條件。

定理1：若模型（2）的固定參數(shù)滿足，參數(shù)是變化的，則在區(qū)間上，一定存在參數(shù)，模型的不動(dòng)點(diǎn)在處存在倍周期分支，而且產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

證明：定義函數(shù)，則有

.當(dāng)時(shí)，由于，從而，所以在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。又對任意的，都有

所以存在唯一的，滿足。于是對于每一個(gè)，都有唯一一個(gè)零點(diǎn)與之對應(yīng)，且關(guān)于是連續(xù)的。這是因?yàn)閷τ谌魏?，一定有。如果不然，則存在，也就有

。

于是我們根據(jù)倍周期分支引理，我們可以知道模型（2）在參數(shù)經(jīng)過時(shí)發(fā)生了倍周期分支，而且由可知所產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

若固定參數(shù)，，，不變，模型（2）對參數(shù)也會(huì)發(fā)生倍周期分支。

定理2：若模型（2）的固定參數(shù)滿足，參數(shù)是變化的，則在區(qū)間上，一定存在參數(shù)，模型的不動(dòng)點(diǎn)在處存在倍周期分支，而且產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

證明：定義函數(shù).

因?yàn)?/p>

所以存在，滿足。定義一個(gè)關(guān)于k的函數(shù).由于從而有，所以至少存在一個(gè)，使得，得出于是我們根據(jù)鞍-結(jié)點(diǎn)分支引理，我們可以知道模型在參數(shù)經(jīng)過時(shí)發(fā)生了倍周期分支，而且由可知所產(chǎn)生的周期2軌道是穩(wěn)定的。

2 結(jié)論

根據(jù)倍周期分支的判別法，該文分別給出了一類余弦函數(shù)迭代映射后關(guān)于參數(shù)和關(guān)于參數(shù)發(fā)生倍周期分支的充分條件，深刻討論了一類簡單的余弦函數(shù)發(fā)生倍周期分支的這種復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為。而倍周期分支是典型的一條通過混沌道路的途徑。這說明這類余弦函數(shù)經(jīng)過迭代也必然會(huì)發(fā)生復(fù)雜的混沌動(dòng)力學(xué)行為?；煦缡欠蔷€性科學(xué)中十分活躍、應(yīng)用前景極為廣闊的領(lǐng)域?；煦缡潜扔行颍ù颂幹附?jīng)典意義下的有序━━對稱、周期性）更為普遍的現(xiàn)象。它向我們揭示出一個(gè)形態(tài)和結(jié)構(gòu)的嶄新世界。這個(gè)看似簡單但又充滿神秘，激勵(lì)人們不斷地去探究。

參考文獻(xiàn)