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教學(xué)目標(biāo)

（1）掌握由一點(diǎn)和斜率導(dǎo)出直線方程的方法，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和直線方程的一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程．

（2）理解直線方程幾種形式之間的內(nèi)在聯(lián)系，能在整體上把握直線的方程．

（3）掌握直線方程各種形式之間的互化．

（4）通過直線方程一般式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、周密地分析、討論問題的能力．

（5）通過直線方程特殊式與一般式轉(zhuǎn)化的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn)．

（6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解直線斜率的意義和解析幾何的思想方法．

教學(xué)建議

1．教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

由直線方程的概念和直線斜率的概念導(dǎo)出直線方程的點(diǎn)斜式；由直線方程的點(diǎn)斜式分別導(dǎo)出直線方程的斜截式和兩點(diǎn)式；再由兩點(diǎn)式導(dǎo)出截距式；最后都可以轉(zhuǎn)化歸結(jié)為直線的一般式；同時一般式也可以轉(zhuǎn)化成特殊式．

（2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

①本節(jié)的重點(diǎn)是直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，以及根據(jù)具體條件求出直線的方程．

解析幾何有兩項根本性的任務(wù)：一個是求曲線的方程；另一個就是用方程研究曲線．本節(jié)內(nèi)容就是求直線的方程，因此是非常重要的內(nèi)容，它對以后學(xué)習(xí)用方程討論直線起著直接的作用，同時也對曲線方程的學(xué)習(xí)起著重要的作用．

直線的點(diǎn)斜式方程是平面解析幾何中所求出的第一個方程，是后面幾種特殊形式的源頭．學(xué)生對點(diǎn)斜式學(xué)習(xí)的效果將直接影響后繼知識的學(xué)習(xí)．

②本節(jié)的難點(diǎn)是直線方程特殊形式的限制條件，直線方程的整體結(jié)構(gòu)，直線與二元一次方程的關(guān)系證明．

2．教法建議

（1）教材中求直線方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程幾何特征明顯，但局限性強(qiáng)；一般形式的方程無任何限制，但幾何特征不明顯．教學(xué)中各部分知識之間過渡要自然流暢，不生硬．

（2）直線方程的一般式反映了直線方程各種形式之間的統(tǒng)一性，教學(xué)中應(yīng)充分揭示直線方程本質(zhì)屬性，建立二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，為繼續(xù)學(xué)習(xí)“曲線方程”打下基礎(chǔ)．

直線一般式方程都是字母系數(shù)，在揭示這一概念深刻內(nèi)涵時，還需要進(jìn)行正反兩方面的分析論證．教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)分析思路，還應(yīng)抓住這一有利時使學(xué)生學(xué)會嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的分類討論方法，從而培養(yǎng)學(xué)生全面、系統(tǒng)、辯證、周密地分析、討論問題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，同時培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)

（3）在強(qiáng)調(diào)幾種形式互化時要向?qū)W生充分揭示各種形式的特點(diǎn)，它們的幾何特征，參數(shù)的意義等，使學(xué)生明白為什么要轉(zhuǎn)化，并加深對各種形式的理解．

（4）教學(xué)中要使學(xué)生明白兩個獨(dú)立條件確定一條直線，如兩個點(diǎn)、一個點(diǎn)和一個方向或其他兩個獨(dú)立條件．兩點(diǎn)確定一條直線，這是學(xué)生很早就接觸的幾何公理，然而在解析幾何，平面向量等理論中，直線或向量的方向是極其重要的要素，解析幾何中刻畫直線方向的量化形式就是斜率．因此，直線方程的兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式在直線方程的幾種形式中占有很重要的地位，而已知兩點(diǎn)可以求得斜率，所以點(diǎn)斜式又可推出兩點(diǎn)式（斜截式和截距式僅是它們的特例），因此點(diǎn)斜式最重要．教學(xué)中應(yīng)突出點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式和一般式三個教學(xué)高潮．

求直線方程需要兩個獨(dú)立的條件，要依不同的幾何條件選用不同形式的方程．根據(jù)兩個條件運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想求直線方程．

（5）注意正確理解截距的概念，截距不是距離，截距是直線（也是曲線）與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)，它是有向線段的數(shù)量，因而是一個實(shí)數(shù)；距離是線段的長度，是一個正實(shí)數(shù)（或非負(fù)實(shí)數(shù)）．

（6）本節(jié)中有不少與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)有關(guān)的問題，是函數(shù)、不等式、三角與直線的重要知識交匯點(diǎn)之一，教學(xué)中要適當(dāng)選擇一些有關(guān)的問題指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力．

（7）直線方程的理論在其他學(xué)科和生產(chǎn)生活實(shí)際中有大量的應(yīng)用．教學(xué)中注意聯(lián)系實(shí)際和其它學(xué)科，教師要注意引導(dǎo)，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識和能力．

（8）本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能更好地掌握，而不是僅停留在觀念上．

教學(xué)設(shè)計示例

直線方程的一般形式

教學(xué)目標(biāo)：

（1）掌握直線方程的一般形式，掌握直線方程幾種形式之間的互化．

（2）理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明

（3）培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn)．

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：直線方程的一般式．直線與二元一次方程（、不同時為0）的對應(yīng)關(guān)系及其證明．

教學(xué)用具：計算機(jī)

教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)法，討論法

教學(xué)過程：

下面給出教學(xué)實(shí)施過程設(shè)計的簡要思路：

教學(xué)設(shè)計思路：

（一）引入的設(shè)計

前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法，看下面問題：

問：說出過點(diǎn)（2，1），斜率為2的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么？

答：直線方程是，屬于二元一次方程，因為未知數(shù)有兩個，它們的最高次數(shù)為一次．

肯定學(xué)生回答，并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述．再看一個問題：

問：求出過點(diǎn)，的直線的方程，并觀察方程屬于哪一類，為什么？

答：直線方程是（或其它形式），也屬于二元一次方程，因為未知數(shù)有兩個，它們的最高次數(shù)為一次．

肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元一次方程，都是因為未知數(shù)有兩個，它們的最高次數(shù)為一次”．

啟發(fā)：你在想什么（或你想到了什么）？誰來談?wù)劊扛餍〗M可以討論討論．

學(xué)生紛紛談出自己的想法，教師邊評價邊啟發(fā)引導(dǎo)，使學(xué)生的認(rèn)識統(tǒng)一到如下問題：

【問題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎？”

（二）本節(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計

這是本節(jié)課要解決的第一個問題，如何解決？自己先研究研究，也可以小組研究，確定解決問題的思路．

學(xué)生或獨(dú)立研究，或合作研究，教師巡視指導(dǎo)．

經(jīng)過一定時間的研究，教師組織開展集體討論．首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案：

思路一：…

思路二：…

……

教師組織評價，確定最優(yōu)方案（其它待課下研究）如下：

按斜率是否存在，任意直線的位置有兩種可能，即斜率存在或不存在．

當(dāng)存在時，直線的截距也一定存在，直線的方程可表示為，它是二元一次方程．

當(dāng)不存在時，直線的方程可表示為形式的方程，它是二元一次方程嗎？

學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是，此時教師引導(dǎo)學(xué)生，逐步認(rèn)識到把它看成二元一次方程的合理性：

平面直角坐標(biāo)系中直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式，與其它直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別，根據(jù)直線方程的概念，方程解的形式也是二元方程的解的形式，因此把它看成形如的二元一次方程是合理的．

綜合兩種情況，我們得出如下結(jié)論：

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一條表示這條直線的關(guān)于、的二元一次方程．

至此，我們的問題1就解決了．簡單點(diǎn)說就是：直線方程都是二元一次方程．而且這個方程一定可以表示成或的形式，準(zhǔn)確地說應(yīng)該是“要么形如這樣，要么形如這樣的方程”．

同學(xué)們注意：這樣表達(dá)起來是不是很啰嗦，能不能有一個更好的表達(dá)？

學(xué)生們不難得出：二者可以概括為統(tǒng)一的形式．

這樣上邊的結(jié)論可以表述如下：

在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一條表示這條直線的形如（其中、不同時為0）的二元一次方程．

啟發(fā)：任何一條直線都有這種形式的方程．你是否覺得還有什么與之相關(guān)的問題呢？

【問題2】任何形如（其中、不同時為0）的二元一次方程都表示一條直線嗎？

不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的一個方面，這個問題是它的另一方面．這是顯然的嗎？不是，因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究，得到明確的結(jié)論．那么如何研究呢？

師生共同討論，評價不同思路，達(dá)成共識：

回顧上邊解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路，即方程（其中、不同時為0）系數(shù)是否為0恰好對應(yīng)斜率是否存在，即

（1）當(dāng)時，方程可化為

這是表示斜率為、在軸上的截距為的直線．

（2）當(dāng)時，由于、不同時為0，必有，方程可化為

這表示一條與軸垂直的直線．

因此，得到結(jié)論：

在平面直角坐標(biāo)系中，任何形如（其中、不同時為0）的二元一次方程都表示一條直線．

為方便，我們把（其中、不同時為0）稱作直線方程的一般式是合理的．

【動畫演示】

演示“直線各參數(shù)．gsp”文件，體會任何二元一次方程都表示一條直線．

至此，我們的第二個問題也圓滿解決，而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個問題其實(shí)是一個大問題的兩個方面，這個大問題揭示了直線與二元一次方程的對應(yīng)關(guān)系，同時，直線方程的一般形式是對直線特殊形式的抽象和概括，而且抽象的層次越高越簡潔，我們還體會到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系．

（三）練習(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計在此從略