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摘要：非標準分析法理論的研究直接或間接的影響著其他學科的發(fā)展。為了說明非標準分析方法的科學價值，首先簡述了非標準分析產(chǎn)生的背景和發(fā)展現(xiàn)狀；其次研究了非標準分析在圖論、拓撲學、概率論、物理學、經(jīng)濟學中的若干應用。所得到結論為今后利用非標準分析的方法研究其他相關學科奠定了一定的基礎。最后，希望非標準分析對其他學科產(chǎn)生更深遠的影響。

關鍵詞：非標準分析；圖論；拓撲空間；概率論；物理學

一、非標準分析概述

牛頓與Leibnizi在創(chuàng)建微積分時，虛構了無窮小數(shù)及無窮大數(shù)。他們打破常規(guī)的想法，推動了數(shù)學的發(fā)展。但是，那時對無窮小的解釋相當含糊，因此一些數(shù)學家不信任無窮小量這種方法。許多學者認為：無窮小缺乏必要的理論基礎。后來，柯西等終于尋找到“ε-δ方法”，回避了無窮小，解決了微積分的內在的根本的矛盾，也顯示了有限和無限的關系，但此方法仍有瑕疵，因為傳統(tǒng)的阿基米德域R是容納不了無窮小數(shù)，所以必須想辦法將數(shù)學從阿基米德的性質中解放出來，數(shù)學才會有更長遠的發(fā)展。經(jīng)過學者們不斷地探索，1960年羅賓遜發(fā)現(xiàn)：模型論中的一些成果和分析學中的無窮小數(shù)有著內在的聯(lián)系，因此他將實數(shù)域擴張為超實數(shù)域，從而建立了一門新的學科——非標準分析，使300年來一直被大家爭論的無窮小數(shù)問題得到了解決，進而為微積分奠定了一定的理論基礎。我國學者李邦河院士運用非標準分析的方法建立了廣義函數(shù)理論；馮漢橋教授利用非標準分析理論，對隱函數(shù)及內超實度量空間結構等進行了探索，他們所取得的成果對國際非標準分析的研究做出了突出的貢獻。從整個非標準分析的產(chǎn)生過程可以看出，非標準分析實際上是微分學逐漸完善的產(chǎn)物。

二、非標準分析的應用

隨著非標準分析理論的完善，非標準分析在圖論、概率論、物理學、拓撲學等都有著廣泛的應用。

（一）非標準分析在圖論中的應用圖論的快速發(fā)展使得有限圖備受大家關注，其研究成果也不斷涌現(xiàn)。一般來說，標準圖論只限于有限圖，方法也多為有限群、有限組合等。但近年來，學者逐漸重視了對無限圖的研究，這是由于無限圖的若干理論對數(shù)學的分支學科有著極為廣泛的應用，而將非標準分析用于圖論的研究，為圖論的發(fā)展提供了更好的方法。首先可以運用非標準分析的方法定義*-有限圖，得到一類為*-有限圖的充要條件，利用轉換原理把有限圖的部分理論應用到*-有限圖，將給定的無限圖嵌入到某個*-有限圖中，從而為無限圖的理論研究提供了一種新的想法。

（二）非標準分析在拓撲空間中的應用1.在模糊拓撲空間中的若干應用國內外許多學者們首先對模糊集合及其相關運算進行了非標準擴張，從而把非標準分析的部分理論應用到了模糊數(shù)學中。在此基礎上，隨后又通過共點原理，將非標準擴大的模型應用到了模糊數(shù)學里，使非標準的擴大模型具備了模糊運算的若干表現(xiàn)形式，還定義了模糊拓撲空間的定義,運用非標準分析的一個重要工具———轉換原理,對模糊濾子的極限點及其模糊濾子的收斂性進行了非標準的刻畫，證明了N-單子、R-單子和Q-單子對應的逼近定理及其相互間的關系，最后部分學者還對模糊拓撲空間中的緊性等進行了非標準的刻畫及證明，這些刻畫深刻的體現(xiàn)了非標準分析方法的好處，也使模糊拓撲學原有的定義、結論更清晰明。2.在一致拓撲中的若干應用目前，國內外部分學者利用非標準分析的方法和理論，對一致空間上的函數(shù)及一致收斂進行了非標準的刻畫，最終得到了一致空間上的函數(shù)的U-等度連續(xù)性、rs-連續(xù)性等若干結論，并在此基礎上，得到了這四種連續(xù)性之間存在的關系。并利用非標準分析的方法及理論定義了緊一致空間，得到了此空間上緊映射的部分性質，還利用U-微連續(xù)的定理，對一致空間上的函數(shù)的逼近定理做出了更加簡便的證明，對Cauchy濾子與一致結構單子兩者之間存在的內在關系進行了討論，得到了一致空間完備的充要條件，這些結果為今后繼續(xù)探討一致拓撲空間奠定了一定的基礎。3.在線性拓撲中的若干應用眾所周知，線性拓撲空間，是線性距離空間的更進一步推廣。學者們利用非標準的方法和理論對集合的稠密、無處稠密等問題進行了非標準的刻畫，并且利用這些結論證明了線性拓撲中凸包的部分性質。在Hausdorff拓撲中，通過非標準分析的方法及理論定義了集族上的Vietoris拓撲空間，還定義了兩種不同的新單子：C、I單子，應用這兩個單子對Haus-dorff拓撲中集網(wǎng)按Vietoris拓撲收斂的許多性質進行了討論和研究，現(xiàn)有的結果為今后線性拓撲的更進一步發(fā)展做出了的貢獻。

（三）非標準分析在概率論中的應用借助于非標準分析理論，首先建立了一個擴大模型中的內概率空間，由測度擴張定理，可以將其完備化，形成了Loeb概率空間，并且證明了存在*有限概率空間，而在標準的Radon空間上展開的概率論可以由Loeb概率空間得到。對于Loeb可測函數(shù)g，存在所謂可積的內函數(shù)G，使得0G=g,由此可知，概率論在本質上是可以通過*有限概率空間理論來表示。通過非標準分析理論建立起來的測度論基礎，為概率論給出了一個嚴密性的數(shù)學敘述，并在此基礎上正在做出新的研究。

（四）非標準分析在物理學中的應用量子力學是物理學的一個分支，主要研究的是微觀世界的運動的規(guī)律和狀態(tài)，非標準分析理論為其研究提供了重要的方法。Dirac,Schwarz,Gelqand等許多數(shù)學家引入了奇異函數(shù)：點Delta函數(shù)，其基本觀點是“*W的若干函數(shù)，它對于W中的若干函數(shù)具有篩取性質”，非標準分析理論使Delta函數(shù)定義中的一些漏洞得到了解決，被大家認可，從而為量子力學的研究注入了新的動力。

（五）非標準分析在經(jīng)濟學中的應用在規(guī)范經(jīng)濟學中，數(shù)學的用處確實不是很大，但近年來，數(shù)學在實證經(jīng)濟學中的應用越來越廣泛，實證經(jīng)濟學主要研究的是：通過各種經(jīng)濟手段及其機構使得稀缺資源滿足大眾的需求。在此，利用非標準分析理論的方法，研究了一般經(jīng)濟均衡理論和經(jīng)濟核心理論，并且建立了數(shù)學模型下的競爭模型，也就是經(jīng)濟均衡模型。在此基礎上，證明了經(jīng)濟均衡與經(jīng)濟核心相重合，使Edgeworth猜想得到了驗證，當然，非標準分析對于經(jīng)濟的影響有待進一步的探討。

三、結語

非標準分析理論是數(shù)學理論不斷發(fā)展和完善的產(chǎn)物，是數(shù)學發(fā)展中相對獨立的表現(xiàn)，雖然已經(jīng)取得的些許成果，但是如何利用非標準分析理論的方法，更好地來研究其他學科中問題，這還需要國內外學者共同努力，相信非標準分析將會對各學科的發(fā)展產(chǎn)生更大的影響。

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作者：韓嬋，張彥，馬婷 單位：西安建筑科技大學華清學院