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【摘要】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門實(shí)際生活和工程應(yīng)用中都有重要意義的課程。在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的課堂教學(xué)中，如何引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生深入了解本門課程的實(shí)際意義是決定學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵因素。本文結(jié)合實(shí)際課堂教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)，以幾個(gè)實(shí)際案例為例子，提出了幾點(diǎn)建議。

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；啟發(fā)式教學(xué)；案例教學(xué)

國內(nèi)多數(shù)高校工科本科生都開設(shè)了概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門課程[1－2]。該課程無論是在經(jīng)濟(jì)、管理、力學(xué)、軍事科學(xué)等眾多學(xué)科和實(shí)際生活中都有廣泛的應(yīng)用，而且是控制、計(jì)算機(jī)等一些專業(yè)課的基礎(chǔ)課。但是作為一門數(shù)學(xué)專業(yè)課，學(xué)習(xí)有一定難度，如果不注意教學(xué)中的方式方法，容易讓學(xué)生感到枯燥難懂，失去學(xué)習(xí)興趣，影響教學(xué)效果。因此，當(dāng)對工科學(xué)生講授這門課程時(shí)，應(yīng)盡可能豐富教學(xué)方式，讓學(xué)生多了解這門課的實(shí)際意義，并更多地親身參與到教學(xué)當(dāng)中。本文就此問題，結(jié)合筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做幾點(diǎn)探討。

1啟發(fā)式教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中有較多的公式推導(dǎo)，如果單純采用板書或ppt推導(dǎo)的方式進(jìn)行授課，學(xué)生很容易會感到枯燥乏味，教學(xué)效果不好。因此比較好的方式是逐步啟發(fā)學(xué)生思考問題，讓學(xué)生跟隨老師的思路一步一步進(jìn)行思考，由此體驗(yàn)在老師的幫助下自己解決問題的成就感。以幾何概型部分的布豐投針問題為例。公元1777年的一天，法國科學(xué)家布豐邀請很多朋友一起做了一個(gè)實(shí)驗(yàn)：紙上預(yù)先畫好了一條條等距離的平行線。接著他又抓出一大把原先準(zhǔn)備好的小針，這些小針的長度都是平行線間距離的一半。把這些小針一根一根往紙上扔，記錄了所有人的投針結(jié)果，共投針2212次，其中與平行線相交的有704次?？倲?shù)2212與相交數(shù)704的比值為3.142，即π的近似值。這是古典概型的經(jīng)典應(yīng)用。在課堂上，在古典概型部分的最后講解這個(gè)例子，讓學(xué)生把所學(xué)知識應(yīng)用到實(shí)際當(dāng)中，體驗(yàn)數(shù)百年前科學(xué)家的思想。首先讓學(xué)生考慮將這個(gè)實(shí)驗(yàn)抽象成數(shù)學(xué)問題，大致可以總結(jié)成為：設(shè)平面上畫著一些有相等距離2a（a>0）的平行線，向此平面上投一枚質(zhì)地勻稱的長為2（ll<a）的針，求針與直線相交的概率。而這是一個(gè)典型的幾何概型問題。根據(jù)在此之前所說解決幾何概型問題的關(guān)鍵方法，要找到幾個(gè)自變量，使得它能夠用來刻畫整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程。引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖看清楚針與線相交與否在幾何關(guān)系上的差別，此時(shí)學(xué)生一般能夠逐漸想到除距離外，針與線的夾角也是重要的參數(shù)，因此，需要用距離和夾角兩個(gè)自變量來刻畫整個(gè)試驗(yàn)。完成這一過程后，再讓學(xué)生利用這兩個(gè)自變量，分別給出試驗(yàn)的幾何度量和事件（針與線相交）的幾何度量。這樣通過較簡單地積分計(jì)算即可得到本問題要求的概率，即π值。通過這一過程，讓學(xué)生逐步體會古典概型中較難解決的幾何概型問題的求解過程，避免教師一言堂，單純語言敘述和公式推導(dǎo)的枯燥乏味。

2在教學(xué)中增加互動

除了采用啟發(fā)式教學(xué)，讓學(xué)生在老師的提示下獨(dú)立思考外，在課堂中設(shè)置一些互動，讓學(xué)生親身參與其中也有利于讓學(xué)生更深刻體會教學(xué)內(nèi)容。例如，曾在美國多次引起大范圍討論的“三門問題”[3]。該問題亦稱為蒙提霍爾問題，出自美國一個(gè)電視節(jié)目。有三個(gè)門，其中兩個(gè)門后面是羊，一個(gè)門后面是汽車，參賽者選中其中一個(gè)門后，主持人開啟剩余兩扇門中一個(gè)后面是羊的門，此時(shí)參賽者可以選擇換另一個(gè)門。主持人是知道每個(gè)門后面的情況的，那么參賽者選擇換門是否可以增加得到汽車的概率？答案是肯定的，如果參賽者不換門，得到汽車的概率是1/3，而換門后得到汽車的概率是2/3。大多數(shù)人直觀的感受是換門與不換門的結(jié)果不應(yīng)該有區(qū)別的，即各有一半的概率。因此本問題是數(shù)學(xué)上直觀感受與理論分析明顯不相符的一個(gè)有代表性的問題。而且本問題可以從概率論的多個(gè)角度去分析，如可以采用窮舉法、古典概型的基本算法或條件概率等不同的角度驗(yàn)證。因此有利于學(xué)生展開大范圍討論并結(jié)合概率論中的多種知識去思考，讓學(xué)生熟練運(yùn)用以前學(xué)過的知識。而且，在討論結(jié)束后，本問題可以很容易地通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證。可以找學(xué)生進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，比如選擇兩黑一紅三張撲克牌，抽到紅色牌算是中獎，模仿三門問題的抽獎過程，如此反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)30-50次并統(tǒng)計(jì)結(jié)果，即可明顯看出換牌與不換牌中獎概率的差別。在這方面類似的問題如“三張卡牌的騙局”等等不再贅述。如此讓學(xué)生從多方面參與到教學(xué)當(dāng)中，有利于學(xué)生集中注意力，并可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動性。

3采用案例教學(xué)方法

概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識在生活的各個(gè)角落都可以找到應(yīng)用，讓學(xué)生了解這一點(diǎn)對引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣有很大幫助，而且有利于幫助學(xué)生將課堂學(xué)習(xí)的知識真正應(yīng)用于實(shí)際的生產(chǎn)生活中。因此采用案例教學(xué)方法，在教學(xué)中采用與實(shí)際生產(chǎn)生活緊密聯(lián)系的例子有助于提高教學(xué)效果。例如，著名的美國橄欖球運(yùn)動員辛普森殺妻案的庭審中，就在很多處與概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的知識有重要關(guān)聯(lián)[4]。例如，在庭審最初階段，控方反復(fù)強(qiáng)調(diào)辛普森曾有家暴現(xiàn)象，因此有殺妻的動機(jī)。而辯方的律師引用數(shù)據(jù)顯示，有家暴的男性中，最終殺妻的比例不足1/2500。但是，如果仔細(xì)思考這個(gè)問題就會發(fā)現(xiàn)，辯方的論據(jù)與實(shí)際問題是不相符的。辯方所說的是丈夫有家暴前提下殺妻的概率，而實(shí)際的問題應(yīng)該是：在丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率。通過當(dāng)時(shí)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，有43位被家暴且被謀殺的女性，其中40人是被丈夫所殺，即丈夫有家暴且妻子死于謀殺的前提下，妻子是被丈夫所殺的概率高達(dá)93%！這就是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的條件概率問題，盡管算法并不復(fù)雜，但是認(rèn)清條件和事件是問題的關(guān)鍵。另外，盡管眾多證據(jù)顯示辛普森是兇手的可能性很大，但是由于本案仍有一些疑點(diǎn)顯示辛普森也存在被人陷害的可能，根據(jù)美國法律疑罪從無的思想，辛普森最終被判無罪釋放。這是本案最終受到大量爭議的關(guān)鍵之一。而這種疑罪從無的思想，與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中假設(shè)檢驗(yàn)中降低受偽錯(cuò)誤的思想是類似的。既然在已有條件固定情況下，受偽錯(cuò)誤（將無罪的人判為有罪）和去真錯(cuò)誤（將有罪的人無罪釋放）不可以同時(shí)降低，那么如果為了保護(hù)人權(quán)想盡可能降低受偽錯(cuò)誤，那么有較高的去真錯(cuò)誤也就無法避免了，美國法律即是如此。假設(shè)檢驗(yàn)的理論是比較難以理解的，因此在理論講解中引入類似的實(shí)際案例進(jìn)行類比，有助于學(xué)生較快的理解。

4結(jié)語

綜上所述，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程在工程和生活中的實(shí)用性較強(qiáng)，對工科學(xué)生普遍開展本課程有重要意義。但是本門課在很多部分較難理解，有必要采取多種方法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，并讓學(xué)生學(xué)習(xí)將這門實(shí)用性較強(qiáng)的課程真正與實(shí)際生活聯(lián)系起來，從而提高學(xué)習(xí)效果

參考文獻(xiàn)：

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2014.

［2］陳希孺.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009.

［3］謝騰.三門問題的理論縱觀[J].福建論壇(人文社會科學(xué)版)，2010（S1）：222-223.

［4］史蒂夫•斯托加茨.魯冬旭，譯.x的奇幻之旅[M].北京：中信出版社，2014.

作者：劉雪峰 常冬梅 單位：中國民航大學(xué)航空工程學(xué)院 天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)天津市高速切削與精密加工重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室