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［摘要］概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是理工科相關(guān)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)必修課。針對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式，結(jié)合雨課堂采用線上線下結(jié)合的教學(xué)模式，引入實(shí)例到課堂，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和積極性，培養(yǎng)大學(xué)生利用概率統(tǒng)計(jì)思想解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

［關(guān)鍵詞］雨課堂；線上線下；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；貝葉斯公式

從2020年2月初開(kāi)始，全國(guó)很多學(xué)校在線教學(xué)，讓學(xué)生居家學(xué)習(xí)，使互聯(lián)網(wǎng)教學(xué)遍地開(kāi)花，從而線上線下教學(xué)相結(jié)合，使得傳統(tǒng)的課堂得到創(chuàng)新。讓我們看到互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入課堂，改變了我們的教學(xué)方法，增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了學(xué)習(xí)效率。本文以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為例。

一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)現(xiàn)狀

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)都是老師講，學(xué)生學(xué)，再去做作業(yè)。線上線下教學(xué)的開(kāi)展，很多老師打破了傳統(tǒng)的教學(xué)方法，重新調(diào)整了教學(xué)順序，把“先教后學(xué)”，改為“先學(xué)后教”的教學(xué)方法。讓學(xué)生先在原有資源或者網(wǎng)站學(xué)習(xí)，教師PPT和教學(xué)資料、試題到雨課堂，學(xué)生先去預(yù)習(xí)，然后教師根據(jù)學(xué)生情況有針對(duì)性地講解，課后再利用線上答疑。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)線上線下教學(xué)和大數(shù)據(jù)實(shí)例到課堂在國(guó)內(nèi)還處于積極探索的階段，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)線上線下教學(xué)和大數(shù)據(jù)實(shí)例到課堂的課程體系還沒(méi)有被充分地重視和發(fā)展。文章以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的貝葉斯公式為例進(jìn)行課程設(shè)計(jì)。

二、課程設(shè)計(jì)

（一）做好課前設(shè)計(jì)和構(gòu)思

以雨課堂上一節(jié)課為例進(jìn)行設(shè)計(jì)。

（二）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

以貝葉斯公式為例進(jìn)行課程設(shè)計(jì)1.引入思政元素我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈教授在非線性數(shù)學(xué)期望理論方面做出了巨大貢獻(xiàn)，他建立了動(dòng)態(tài)非線性數(shù)學(xué)期望理論：g-期望理論。這一期望是研究金融數(shù)學(xué)的非線性動(dòng)態(tài)定價(jià)問(wèn)題以及動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)度量問(wèn)題的重要工具，經(jīng)常被應(yīng)用到金融市場(chǎng)中。許寶騄教授在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課程中做出了重要的貢獻(xiàn)，是我國(guó)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的開(kāi)拓者。在多元分析、參數(shù)估計(jì)理論、假設(shè)檢驗(yàn)理論等方面許寶騄教授都取得了卓越的成就，成了世界公認(rèn)的多元統(tǒng)計(jì)分析的奠基人之一。通過(guò)這些名人事跡，讓學(xué)生了解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程發(fā)展的歷史以及取得的成績(jī)。了解我國(guó)的數(shù)學(xué)在歷史中的地位，增強(qiáng)民族自豪感和榮譽(yù)感，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。2.貝葉斯定理全概率公式是其中的重要公式，它將對(duì)一復(fù)雜事件A的概率求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題。全概率公式是將樣本空間Ω來(lái)進(jìn)行劃分，劃分為某一事件組A1，A2，A3，…，這個(gè)A1，A2，A3，…稱(chēng)為完備事件組，然后來(lái)計(jì)算某一事件B（B奐Ω）發(fā)生的概率；貝葉斯公式正好和全概率公式相反，要求推斷出哪一種原因A1，使產(chǎn)生的B結(jié)果的可能性大，即已知某一事件B發(fā)生了，求完備事件組中某個(gè)事件A1發(fā)生的條件概率。貝葉斯公式和證明：設(shè)A1，A2，…An為Ω的一個(gè)劃分，即A1，A2，…An互不相容，且∪Aii=1n=Ω，若P（B）>0，則對(duì)任意的B，則有P（Aj｜B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n證明：由條件概率的定義得，P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）上面式子分子用乘法公式，分母用全概率公式，得P（AjB）=P（Aj）P（B｜Aj）P（B）=nj=1ΣP（Aj）P（B｜Aj）得P（Aj｜B）=P（AjB）P（B）=P（Aj）P（B｜Aj）ni=1ΣP（Ai）P（B｜Ai），j=1，2，…n3.通過(guò)案例教學(xué)，學(xué)習(xí)貝葉斯公式的應(yīng)用例1假設(shè)在一個(gè)喜歡戴口罩的地區(qū)，經(jīng)常戴口罩的人有95%，不經(jīng)常戴口罩的人5%；在一個(gè)不喜歡戴口罩的地區(qū)，經(jīng)常戴口罩的人有5%，不經(jīng)常戴口罩的人有95%；佩戴口罩被感染的概率為3.1%，不戴口罩時(shí)被感染的概率17.4%，已知感染疾病，求沒(méi)戴口罩感染的概率哪個(gè)地區(qū)大？解：①在喜歡戴口罩的地區(qū)設(shè)用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染傳染疾病，則P（A）=95%，P（A）=5%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（A｜B）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=22.8%②在不喜歡戴口罩的地區(qū)設(shè)用A表示戴口罩，A表示不戴口罩，B表示感染傳染疾病，則P（A）=5%，P（A）=95%，P（B｜A）=3.1%，P（B｜A）=17.4%，P（A｜B）=P（AB）P（B）=P（A）P（B｜A）P（A）P（B｜A）+P（A）P（B｜A）=99.1%（引導(dǎo)學(xué)生自己列式）通過(guò)計(jì)算，在不偏好戴口罩的地區(qū)，沒(méi)戴口罩被感染的概率為99.1%，在偏好戴口罩的地區(qū)，沒(méi)戴口罩被感染的概率為22.8%。這個(gè)結(jié)果從概率角度解釋了戴口罩防護(hù)的必要性。所以號(hào)召大家戴口罩。選取真實(shí)的案例，讓相關(guān)專(zhuān)業(yè)和實(shí)際生活相互聯(lián)系，使得學(xué)生能學(xué)以致用，感受到數(shù)學(xué)和生活息息相關(guān)，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)思維分析生活中的相關(guān)數(shù)據(jù)和模型的建立。真正做到學(xué)以致用。讓學(xué)生自己利用公式分析和解決實(shí)際問(wèn)題，這道題演示完后可以追問(wèn)學(xué)生有什么應(yīng)用背景？如果答不出，教師可以給予引導(dǎo)，這種師生互動(dòng)，教師不僅傳授了知識(shí)，還學(xué)會(huì)了應(yīng)用理論解決實(shí)際問(wèn)題的能力。例2某人欲乘火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)去西安開(kāi)會(huì)，乘火車(chē)的概率為0.3，乘船概率為0.2，乘汽車(chē)概率為0.1，乘飛機(jī)的概率為0.4；但是他乘坐火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)遲到的概率分別為0.25、0.3、0.1和0，但最后他遲到了，試問(wèn)他乘坐那種交通工具導(dǎo)致他遲到的可能性最大？解：設(shè)B表示遲到，A1表示乘坐火車(chē)，A2乘船，A3乘汽車(chē)，A4乘飛機(jī)，由題已知：P（A1）=0.3P（A2）=0.2P（A3）=0.1P（A4）=0.4P（B｜A1）=0.25P（B｜A2）=0.3P（B｜A3）=0.1P（B｜A4）=0.4P（A1｜B）=P（A1B）P（B）=P（A1）P（B｜A1）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.250.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.5P（A2｜B）=P（A2B）P（B）=P（A2）P（B｜A2）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.3×0.20.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.4P（A3｜B）=P（A3B）P（B）=P（A3）P（B｜A3）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=0.1×0.10.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0.069P（A4｜B）=P（A4B）P（B）=P（A4）P（B｜A4）4i=1ΣP（Ai）P（B｜Ai）=00.3×0.25+0.2×0.3+0.1×0.1+0.4×0=0比較上面的4種結(jié)果，推測(cè)出他乘火車(chē)和船的可能性比較大，但是乘坐汽車(chē)的可能性比較小，乘飛機(jī)來(lái)是幾乎不可能的。貝葉斯公式被廣泛應(yīng)用到生活中，不只是機(jī)械的學(xué)習(xí)課本上的知識(shí)，通過(guò)實(shí)例用貝葉斯公式解決實(shí)際生活中的概率方面的問(wèn)題，有重要的意義，同時(shí)學(xué)以致用，將體會(huì)到求解概率問(wèn)題中無(wú)窮的樂(lè)趣，它將貫穿于我們的整個(gè)生活中。

（三）課后的跟蹤

授課結(jié)束后，可以根據(jù)參加課堂討論、課堂練習(xí)、課堂表現(xiàn)來(lái)了解學(xué)生的在課堂的學(xué)習(xí)情況，給出課后習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)鞏固知識(shí)點(diǎn)。課后，學(xué)生和老師可以在線上討論知識(shí)點(diǎn)和難點(diǎn)，來(lái)促進(jìn)教學(xué)效果?？傊?，如何定位概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)傳統(tǒng)教學(xué)模式與線上線下教學(xué)模式的關(guān)系，使二者互為補(bǔ)充，在課堂教學(xué)中引入大數(shù)據(jù)實(shí)例，并以微課的形式展現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)線上線下教學(xué)模式的相互結(jié)合問(wèn)題，必將為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革提供有益的借鑒。

參考文獻(xiàn)：

［1］曹建美，馮晨嬌，王鳳翔.將數(shù)學(xué)建模思想引入“貝葉斯公式”教學(xué)中的案例實(shí)施［J］.江蘇科技信息，2020，37（34）：57-59.

［2］賴(lài)怡冰.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》在線混合式教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.科技風(fēng)，2021（11）：78-79，98.

［3］包淑華，張健.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程應(yīng)用型教學(xué)法研究［J］.山西青年，2021（5）：36-37.

作者:王春茹 鄒佩 王蓉 單位:西安建筑科技大學(xué)