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1SIS-CA模型

文獻(xiàn)［12］使用元胞自動(dòng)機(jī)建立的病毒傳播隨機(jī)模型如下:CA=(C，Q，V，f)(1)此模型建立在病毒傳播機(jī)制具有隨機(jī)特性的基礎(chǔ)上，即感染節(jié)點(diǎn)以相同的概率感染它的所有鄰居節(jié)點(diǎn)，其中C表示元胞空間，Q表示有限狀態(tài)集，V表示節(jié)點(diǎn)的鄰域，f代表狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)則函數(shù)。該模型中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)只有兩種:健康狀態(tài)(susceptible)和感染狀態(tài)(infected)之一。節(jié)點(diǎn)狀態(tài)變換關(guān)系:suscep-tible→infected→susceptible。網(wǎng)絡(luò)G=(N;E)，N表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，E表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)的邊，令A(yù)表示網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣，它反映網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)湫畔?。根?jù)元胞自動(dòng)機(jī)4要素，建立模型:元胞空間C:建立包含N個(gè)元胞的一維元胞空間，一維元胞空間中的一個(gè)元胞即代表網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn);鄰域V:該模型中以網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣A定義各元胞鄰居關(guān)系，所以節(jié)點(diǎn)i的鄰域Vi就被定義為A中的第i行的向量，即Vi={aij|aij∈A，j=1，2，…，N};若aij=1，表示節(jié)點(diǎn)i和j之間存在連接。

2本文所提SIS-CA模型

2．1傳播策略

在上述的SIS-CA模型中，感染節(jié)點(diǎn)在單位時(shí)步以相同的概率感染它的所有鄰居，而實(shí)際情況并非如此，例如在Internet網(wǎng)絡(luò)中，兩個(gè)主機(jī)之間雖然有通信連接但是沒有數(shù)據(jù)包的傳輸，那么也就不會(huì)有病毒的傳播;在人際網(wǎng)絡(luò)中，互為朋友(鄰居)的兩個(gè)人，在一方患病期間并沒有和他的這個(gè)朋友(鄰居)有任何聯(lián)系，那么他的這個(gè)朋友也不會(huì)被感染。考慮到網(wǎng)絡(luò)中通信流量的不均衡特性以及數(shù)據(jù)包傳輸路徑的選取與具體的路由轉(zhuǎn)發(fā)協(xié)議有關(guān)的特點(diǎn)，我們對(duì)上述SIS-CA模型進(jìn)行改進(jìn)。為了便于問題的分析，假設(shè)網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)生成數(shù)據(jù)包的平均速率為α，則在每一個(gè)時(shí)步，網(wǎng)絡(luò)中生成新數(shù)據(jù)包的總量即網(wǎng)絡(luò)通信流量［13］為Nα。在每個(gè)時(shí)步，網(wǎng)絡(luò)中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)生成的數(shù)據(jù)包都隨機(jī)選擇目的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行發(fā)送，數(shù)據(jù)包傳輸路徑的選取則采用最短路徑優(yōu)先(ShortestPathFirst，SPF)算法［14］實(shí)現(xiàn)，基于此定義網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)算法介數(shù)［15］(algorithmicbetween-ness)balg為穿過一個(gè)節(jié)點(diǎn)的所有最短數(shù)據(jù)包傳輸路徑的總和。那么，網(wǎng)絡(luò)中任一健康節(jié)點(diǎn)i在單位時(shí)步被感染的概率取決于單位時(shí)步穿過這個(gè)節(jié)點(diǎn)的帶病毒的數(shù)據(jù)包的個(gè)數(shù)Ni。顯然Ni的值與網(wǎng)絡(luò)通信流量Nα和節(jié)點(diǎn)算法介數(shù)balg有關(guān):網(wǎng)絡(luò)通信通量越大，帶病毒的數(shù)據(jù)包數(shù)目發(fā)送量越多，Ni的值就會(huì)越大;節(jié)點(diǎn)算法介數(shù)balg越大，穿過這個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)包越多，Ni的值就會(huì)越大。在這里，一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)收到或者轉(zhuǎn)發(fā)的帶病毒的數(shù)據(jù)包的個(gè)數(shù)Ni來自以下幾個(gè)方面:(1)感染鄰居節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包數(shù)，這樣的數(shù)據(jù)包一定帶有病毒;(2)感染鄰居節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)發(fā)的帶有病毒的數(shù)據(jù)包，這樣的數(shù)據(jù)包一定帶有病毒;(3)感染鄰居節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)發(fā)的不帶病毒的數(shù)據(jù)包，這樣的數(shù)據(jù)包以一定的概率β變?yōu)閹Р《镜臄?shù)據(jù)包，可見感染鄰居節(jié)點(diǎn)發(fā)送的數(shù)據(jù)包也是有可能不攜帶病毒的;(4)健康鄰居節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)發(fā)的帶有病毒的數(shù)據(jù)包，這樣的數(shù)據(jù)包一定帶有病毒，可見健康節(jié)點(diǎn)發(fā)送的數(shù)據(jù)包也可能是帶有病毒的。以上第(3)、(4)兩個(gè)方面顯然與以往的沒有考慮網(wǎng)絡(luò)通信流量的SIS-CA病毒傳播模型不同。當(dāng)然，健康鄰居產(chǎn)生的數(shù)據(jù)包和健康鄰居轉(zhuǎn)發(fā)的健康數(shù)據(jù)包都是不攜帶病毒的。我們假設(shè)一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)接受或者轉(zhuǎn)發(fā)一個(gè)帶病毒的數(shù)據(jù)包，這個(gè)健康節(jié)點(diǎn)被感染的概率和一個(gè)健康數(shù)據(jù)包經(jīng)過一個(gè)感染節(jié)點(diǎn)，這個(gè)數(shù)據(jù)包被感染的概率都為β。那么一個(gè)健康節(jié)點(diǎn)i在單位時(shí)步被感染的概率為1－(1－β)N?？梢?，任何節(jié)點(diǎn)僅能被它的鄰居發(fā)送的帶病毒的數(shù)據(jù)包感染，健康節(jié)點(diǎn)在單位時(shí)步被感染的概率不僅與其鄰居在上一時(shí)刻自身的狀態(tài)有關(guān)(健康鄰居產(chǎn)生并發(fā)送健康數(shù)據(jù)包，感染鄰居產(chǎn)生并發(fā)送帶病毒的數(shù)據(jù)包)，還與鄰居轉(zhuǎn)發(fā)的數(shù)據(jù)包的狀態(tài)有關(guān)(健康鄰居也可能轉(zhuǎn)發(fā)帶病毒的數(shù)據(jù)包，感染鄰居也可能轉(zhuǎn)發(fā)不帶病毒的數(shù)據(jù)包)。

2．2算法描述

本文所提模型的關(guān)鍵之處在于求任一時(shí)步內(nèi)，穿過網(wǎng)絡(luò)中任一節(jié)點(diǎn)i的帶病毒的數(shù)據(jù)包的個(gè)數(shù)。假設(shè)單位時(shí)步網(wǎng)絡(luò)中有N個(gè)數(shù)據(jù)包傳輸，我們使用最短路徑優(yōu)先算法求出所有數(shù)據(jù)包傳輸?shù)穆窂?，并把它們存放在?shù)組R(N，N)中，數(shù)組R(N，N)的每一行表示每個(gè)數(shù)據(jù)包從源節(jié)點(diǎn)經(jīng)過一系列中間節(jié)點(diǎn)到達(dá)目的節(jié)點(diǎn)的所有結(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，目的節(jié)點(diǎn)后的元素值取0。我們使用數(shù)組C(1，N)表示網(wǎng)絡(luò)中N個(gè)節(jié)點(diǎn)在單位時(shí)步接收的帶病毒的數(shù)據(jù)包數(shù)目，C(1，i)表示節(jié)點(diǎn)i單位時(shí)步內(nèi)接收到的帶病毒數(shù)據(jù)包數(shù)。

3仿真結(jié)果與討論

本節(jié)分別以NC網(wǎng)絡(luò)、WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)為例，通過數(shù)值仿真研究本文提出新的SIS-CA模型在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性。仿真過程中選取參數(shù)如下:網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為N=200，病毒在網(wǎng)絡(luò)中傳播的初始時(shí)刻為0，隨機(jī)選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為感染節(jié)點(diǎn);在NC網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為6;在WS網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)化重連概率p的取值為0．2，網(wǎng)絡(luò)的平均度＜k＞=6;在BA網(wǎng)絡(luò)中m和m0的取值分別為m0=8，m=3，這里的m0為網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)數(shù)，m為與網(wǎng)絡(luò)中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)相連的最少節(jié)點(diǎn)數(shù)。假設(shè)初始時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中感染病毒的節(jié)點(diǎn)數(shù)為1，I(t)表示t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中受感染節(jié)點(diǎn)數(shù)目，即I(0)=1，其它參數(shù)取值如下:β=0.3，μ=0．5，α分別取1、2、3、4。仿真過程中轉(zhuǎn)發(fā)數(shù)據(jù)包的路由選擇協(xié)議采用開放最短路徑優(yōu)先協(xié)議，即OSPF協(xié)議。分別在NC網(wǎng)絡(luò)、WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中，針對(duì)不同的α值分別執(zhí)行100次仿真試驗(yàn)，i(t)表示t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中受感染節(jié)點(diǎn)比率，對(duì)仿真所得數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，得到病毒的傳播演化曲線。網(wǎng)絡(luò)通信流量對(duì)病毒傳播行為的影響是顯著的:隨著網(wǎng)絡(luò)通信流量增大，病毒在不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中傳播速度都明顯加快，病毒在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定的更高的感染規(guī)模。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)通信流量很少的時(shí)候，例如在單位時(shí)步里每個(gè)節(jié)點(diǎn)只產(chǎn)生一個(gè)數(shù)據(jù)包時(shí)，即圖中α=1時(shí)，在WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)中，病毒傳播最早期就趨于消亡的可能性是很大的，仿真結(jié)果顯示100次仿真結(jié)果中WS網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)了46次消亡、BA網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)了60次消亡。這告訴我們，在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中，減少網(wǎng)絡(luò)的通信流量可以有效地降低病毒爆發(fā)的可能性。隨著網(wǎng)絡(luò)中通信流量的增加，即在單位時(shí)步里網(wǎng)絡(luò)中產(chǎn)生并發(fā)送的數(shù)據(jù)包數(shù)量的增加，病毒爆發(fā)的可能性明顯增大，但是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)通信流量達(dá)到一定的值后，再增加網(wǎng)絡(luò)通信流量，對(duì)病毒感染規(guī)模的影響卻不再明顯，這一點(diǎn)NC最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)得最為明顯?？梢姴《咀罱K感染規(guī)模并不是隨網(wǎng)絡(luò)通信流量的增加而線性增加的。仿真結(jié)果中還有一點(diǎn)必須指出:在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)論網(wǎng)絡(luò)通信流量為多少，始終沒有觀察到病毒消亡的現(xiàn)象，這說明病毒在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)中最易傳播。為了說明本文所提新SIS-CA模型中網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)病毒傳播行為的影響，下面我們研究不同網(wǎng)絡(luò)通信流量下不同網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞牟《颈l(fā)率。仿真中網(wǎng)絡(luò)通信流量分別取N、2N、3N、4N，對(duì)NC網(wǎng)絡(luò)、WS網(wǎng)絡(luò)和BA網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真。在本文所提新的SIS-CA模型中，在給定網(wǎng)絡(luò)通信流量和路由選擇算法下，病毒在節(jié)點(diǎn)度異質(zhì)化程度較高的BA無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中最不易傳播，而在節(jié)點(diǎn)度分布均勻的同質(zhì)網(wǎng)絡(luò)最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)中最易爆發(fā)，這恰好與以往的研究結(jié)果相反:病毒更加容易在度分布異質(zhì)化程度更高的網(wǎng)絡(luò)中傳播。這是因?yàn)楸疚目紤]網(wǎng)絡(luò)中數(shù)據(jù)包的傳輸遵循一定的路由選擇協(xié)議，而不是單位時(shí)步里每個(gè)節(jié)點(diǎn)都向它的所有鄰居發(fā)送發(fā)送相同數(shù)目的數(shù)據(jù)包，由于源節(jié)點(diǎn)隨機(jī)選擇目的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行發(fā)送，在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)中，隨機(jī)選擇的目的節(jié)點(diǎn)離發(fā)送節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，數(shù)據(jù)包達(dá)到目的節(jié)點(diǎn)所要經(jīng)過的中間節(jié)點(diǎn)就會(huì)越多，那么帶有病毒的數(shù)據(jù)包經(jīng)過的中間節(jié)點(diǎn)的數(shù)目也會(huì)越多，那么在單位時(shí)步內(nèi)，節(jié)點(diǎn)接受或者轉(zhuǎn)發(fā)的帶病毒的數(shù)據(jù)包就會(huì)增多，這樣就更有利于病毒的傳播;而在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，由于節(jié)點(diǎn)分布的異質(zhì)化程度較高，節(jié)點(diǎn)很有可能與它較遠(yuǎn)的節(jié)點(diǎn)直接相連，這樣就會(huì)大大減少數(shù)據(jù)包傳輸所經(jīng)歷的中間節(jié)點(diǎn)數(shù)目，從而使病毒不易爆發(fā)。

4結(jié)束語(yǔ)

在許多復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)病毒傳播過程中，病毒的傳播特性會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)通信流量的影響。為此本文提出了一種新的SIS-CA傳播模型，研究了該模型在最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)、小世界和無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn):隨著網(wǎng)絡(luò)通信流量的增大，病毒在不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中的傳播速度都明顯加快，病毒可以在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到穩(wěn)定的更高的感染規(guī)模。研究還發(fā)現(xiàn)，在考慮一定通信流量和路由協(xié)議的情況下，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是影響病毒傳播行為的關(guān)鍵要素，病毒在節(jié)點(diǎn)度分布異質(zhì)化程度較高的網(wǎng)絡(luò)中最不易爆發(fā)，這恰好與以往的研究結(jié)果相反。原因在于本文所提模型中健康節(jié)點(diǎn)能否被其鄰居節(jié)點(diǎn)感染是由其鄰居是否發(fā)送了帶病毒的數(shù)據(jù)包決定，而不是由其鄰居自身的狀態(tài)決定。