文章摘要：教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識研究、數(shù)學(xué)課程知識研究和教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究三個階段。教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識通過對數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動進(jìn)行分析，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。它是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)，應(yīng)該成為教師教育的主要內(nèi)容。

一、數(shù)學(xué)知識研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數(shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

二、教材分析研究

論文摘要：教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識研究、數(shù)學(xué)課程知識研究和教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究三個階段。教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識通過對數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動進(jìn)行分析，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。它是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)，應(yīng)該成為教師教育的主要內(nèi)容。

論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識；教師教育

一、數(shù)學(xué)知識研究

傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識是不夠的?！酥猓處熯€要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實(shí)體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實(shí)體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計(jì)角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。

主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進(jìn)位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實(shí)解法和尋求一般化。

對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數(shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。

一、加強(qiáng)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)思維是指導(dǎo)人類一切活動的最終向?qū)?，其中，邏輯思維對人類的影響也是很長遠(yuǎn)的，它主要體現(xiàn)在人們生活中的方方面面。也正因?yàn)槿绱?，現(xiàn)代教育對于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的要求也在不斷地加強(qiáng)。作為一名數(shù)學(xué)教師，在傳授給學(xué)生知識的過程中還要為學(xué)生創(chuàng)造一些真實(shí)的情境，讓學(xué)生在特定的情境教學(xué)中探索數(shù)學(xué)知識的同時，鍛煉自己的邏輯思維能力，讓學(xué)生更好地將所學(xué)習(xí)的知識應(yīng)用于實(shí)際的生活中，并且還要利用生活中的一些問題來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣。比如，教師在授課的過程中，可以舉一些生活中的實(shí)例，更好地吸引學(xué)生學(xué)習(xí)的注意力，在課堂上多為學(xué)生提供一些參與的機(jī)會，進(jìn)而再全面地開發(fā)他們的邏輯思維能力。教師在傳授一些新知識的過程中，還要注重引導(dǎo)學(xué)生將原有的知識與之相聯(lián)系起來，進(jìn)行有效的結(jié)合、整改成新的知識體系，這樣也有利于他們更好地去理解這些新學(xué)的知識，在使用新知識的同時還能夠及時地鞏固舊知識。這樣也能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。

二、激發(fā)學(xué)生的興趣愛好

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)情感初中數(shù)學(xué)是一門枯燥而繁瑣的學(xué)科，又是學(xué)生比較畏難的一門學(xué)科，因?yàn)樗哂泻軓?qiáng)的邏輯性，學(xué)習(xí)起來也比較的枯燥，導(dǎo)致很多學(xué)生在數(shù)學(xué)課上提不起精神來，時間久了，就會影響他們的數(shù)學(xué)成績。因此，培養(yǎng)、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的興趣，能夠幫助學(xué)生在主觀的思想意識里添加一份對數(shù)學(xué)的愛好，還能夠激發(fā)他們自覺主動地去學(xué)習(xí)和鉆研教材內(nèi)容。一旦學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識充滿感情，他們就會喜歡上數(shù)學(xué)課，而且他們還會把數(shù)學(xué)課堂當(dāng)成他們發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的舞臺。因此，教師要善于用情境教學(xué)來烘托出數(shù)學(xué)內(nèi)容中的情感氣氛來，教師還可以配合教學(xué)的內(nèi)容，結(jié)合一定的數(shù)學(xué)手段，創(chuàng)設(shè)出某種教學(xué)情境，讓學(xué)生更好地去體驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容中的情境，并且有效地理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的意義。同時，對一些本身不含情感因素的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)教師也要盡可能地從外部賦予它以某些情感色彩，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些知識的過程中，還是能夠感受到某些情感因素，慢慢地增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的熱情。

三、鼓勵學(xué)生去探索數(shù)學(xué)知識

提高學(xué)生鉆研問題的能力在教授數(shù)學(xué)知識的過程中實(shí)施素質(zhì)教育時，教師要注重對學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，因?yàn)槲覀冃枰囵B(yǎng)一些善于鉆研、發(fā)現(xiàn)未知的數(shù)學(xué)定理的人才，因此，這也就決定了數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)已有的數(shù)學(xué)知識的同時，還要注重培養(yǎng)學(xué)生鉆研知識的能力和創(chuàng)新的能力。比如，在教會學(xué)生某一個定理知識的時候，還可以讓學(xué)生對這個定理的發(fā)現(xiàn)過程和研究方法適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行探索，并且教師還要耐心地給學(xué)生講解，教會他們探究知識的方法，因?yàn)椤笆谥贼~，不如授之以漁”。在教授給學(xué)生數(shù)學(xué)知識的同時，培養(yǎng)他們探究鉆研教材知識和創(chuàng)新的能力，最終為提高學(xué)生的綜合素質(zhì)打好基礎(chǔ)。綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與品質(zhì)并不與學(xué)生的基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)相沖突，他們的關(guān)系是相輔相成、相互作用的。當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識扎實(shí)后，可以更好的培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)；當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)上升到一定的高度后，又能夠反過來輔助他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識。作為數(shù)學(xué)教師，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的同時，還需要講究一個“度”字，就是要堅(jiān)持具體問題具體分析的原則，和適度的原則，只有這樣，才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與數(shù)學(xué)品德，進(jìn)而才能更好地為他們的學(xué)習(xí)服務(wù)。

摘要:物理與數(shù)學(xué)是兩個聯(lián)系較為緊密的學(xué)科，其中數(shù)學(xué)知識常作為解答物理習(xí)題的理論依據(jù)．高中物理解題中應(yīng)認(rèn)識到物理與數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，具備跨學(xué)科聯(lián)想意識，善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行相關(guān)習(xí)題的解答，促進(jìn)高中物理解題能力以及學(xué)習(xí)成績的明顯提升．

關(guān)鍵詞:高中物理;解題;數(shù)學(xué)知識;運(yùn)用

高中物理很多習(xí)題都可運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答，如力學(xué)、運(yùn)動學(xué)、電學(xué)等習(xí)題都能看到數(shù)學(xué)知識的身影，因此為更好的提升物理解題能力與效率，應(yīng)善于做好物理學(xué)習(xí)的總結(jié)，尤其認(rèn)真反思其應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識，掌握相關(guān)的破題技巧，在以后的解題中能夠加以靈活、巧妙的應(yīng)用．

一、相似三角形知識的應(yīng)用

三角形相似是重要的數(shù)學(xué)知識，用于解答受力分析相關(guān)的物理習(xí)題，能夠有效地簡化解題步驟，提高解題正確性．解題時只需找到兩個相似的三角形，運(yùn)用對應(yīng)邊成比例便可構(gòu)建相關(guān)的物理方程，順利的求解相關(guān)參數(shù)以及尋找參數(shù)之間的關(guān)系．如圖1所示，小圓環(huán)A吊著一個質(zhì)量為m2的物塊，并套在另一豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)線一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個小滑輪后吊著一個質(zhì)量為m1的物塊，忽略摩擦力，而且繩子不可伸長，平衡時弦AB所對的圓心角為α，則兩物塊的質(zhì)量比m1∶m2應(yīng)為()．該題目運(yùn)用正交分解雖然能夠得出答案，但較為繁瑣．如使用三角形相似知識可明顯提升解題效率．根據(jù)已知條件對A進(jìn)行受力分析，由平衡條件容易得到。

二、三角函數(shù)知識的應(yīng)用

高中地理教學(xué)中涉及到的數(shù)學(xué)知識很多，因此，對高中地理教材中數(shù)學(xué)知識的研究可以為中學(xué)地理教學(xué)中教師的教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)提供理論依據(jù)。目前，有關(guān)數(shù)學(xué)知識在地理教學(xué)中的應(yīng)用方面，之前研究重點(diǎn)在于運(yùn)用數(shù)學(xué)思維和方法解決地理典型計(jì)算題的方法，而對于高中地理教材中的數(shù)學(xué)知識的功能作用研究文獻(xiàn)目前還比較缺乏。由于教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)人教版高中地理三本必修教材中很多內(nèi)容偏理科性質(zhì)，所涉及到的數(shù)學(xué)知識最多，且近些年高考考查頻率較高。因此，本研究結(jié)合人教版高中地理教材和近些年高考試題，分析了數(shù)學(xué)知識在該教材中功能作用，并對高中地理教師和高中學(xué)生分別提出了一些建議。

一、數(shù)學(xué)知識在地理教學(xué)和學(xué)習(xí)中的功能作用

1.用數(shù)學(xué)知識解釋地理概念

主要體現(xiàn)在用數(shù)學(xué)公式、方程或數(shù)學(xué)基本圖形來解釋地理概念。一般在有面積、距離之間的分布與變化，部分和全體、個別和總量以及平面和空間幾何的相關(guān)概念時應(yīng)用。高中地理必修I中可用數(shù)學(xué)基本公式來說明的地理概念很多，包括光年、線速度、角速度、比例尺、晝長、夜長、正午太陽高度、相對高度、坡度等。比如光年的定義：光在真空中沿直線傳播一年的距離約為94605億千米?？捎脭?shù)學(xué)基本圖形來說明的地理概念也很多，包括太陽系的組成、地球內(nèi)部圈層結(jié)構(gòu)、太陽輻射到達(dá)地球的過程、全球氣壓帶和風(fēng)帶的分布、黃金夾角、太陽直射點(diǎn)的移動規(guī)律等。

2.用數(shù)學(xué)知識解決地理計(jì)算

主要涉及到時間、正午太陽高度角、等值線和氣溫垂直遞減率的計(jì)算。以時間的計(jì)算為例，2014年四川地理高考第1題：“我國嫦娥三號月球探測器于北京時間2013年12月2日1時30分，在四川西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射。據(jù)此回答1-2題。1.發(fā)射時刻的國際標(biāo)準(zhǔn)時間（世界時）是2013年12月”，本題考查了學(xué)生對于時差的理解和計(jì)算能力。題干上給出已知時間為北京時間（東8區(qū)區(qū)時），所求時間為國際標(biāo)準(zhǔn)時間（0時區(qū)區(qū)時），0時區(qū)在東8區(qū)西邊，用已知時間減去8個小時，所求結(jié)果是A選項(xiàng)：1日17時30分。再比如關(guān)于等值線的計(jì)算，2014年四川地理高考第7題和第13題，第7題考查地形對氣候的影響，第13題考查地形的基本特征及其氣候特征，兩題均考查了學(xué)生從等高線中獲取地理知識并分析解決地理問題的能力。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決地理計(jì)算問題廣泛存在于平時地理學(xué)習(xí)和高考中。因此，關(guān)于時間、正午太陽高度角、等值線和氣溫垂直遞減率所涉及的數(shù)學(xué)知識在近年高考中頻繁出現(xiàn)，應(yīng)當(dāng)引起教師和學(xué)生的重視。