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摘要：冬季北方部分地區(qū)采取熱水供熱的供暖方式，研究如何控制進水流量使得室內溫度維持在一個相對穩(wěn)定的范圍具有實際意義。針對空間溫度分布問題，本文將三維空間節(jié)點化，建立了空間節(jié)點控制模型，將空間節(jié)點分為熱源節(jié)點與非熱源節(jié)點，分別基于熱傳導方程與非熱源節(jié)點由雅可比迭代法進行求解，得到該房間各高度所在平面的溫度分布圖可知，從南北方向來看，每個高度的分布圖都呈現靠近南、北墻兩端溫度相對較高、中間相對較低分布；而從東西方向來看，則呈現中間溫度相對較高、兩端溫度相對較低的分布。另外，高度越高，熱量分布相對越均勻。針對當水流量變化的問題，我們對暖氣片產熱量進行修正，以0.1m3/h為間隔求解不同進水流量的出水溫度，然后利用空間節(jié)點控制模型求解房間的動態(tài)溫度分布，得到平均溫度隨水流量的變化趨勢：隨著進水口流量每增加溫度提高的幅度逐漸變小。對于最小耗水量問題，本文以最小累計耗水量為單一目標，在約束條件下進行求解。并在室內平均溫度為21℃、標準差為1.5℃、進水口流量在0.1-1.0m3/h的約束條件利用lingo求解得到最小進水量為13.59m3。

關鍵詞：溫度分布；傅里葉熱傳導定律；能量守恒定律；雅克比迭代；單一目標規(guī)劃

1概述

供暖問題一向被許多人所關注，尤其在某些特殊領域，如醫(yī)療行業(yè)對室內溫度有嚴格要求。水暖是最流行的一種采暖方式，且在我國北方地區(qū)使用非常普遍，針對這種供暖方式，在外界溫度不斷變化的情況下，如何依靠控制進出水流量來控制室內溫度保持在一個合適的位置是一個具有實際意義的問題。由于封閉式內溫度場的測量點不計其數，目前多數的計算方式或是是采用具有代表意義的一個或幾個點代入計算，或是將三維空間轉化為二維求解[1]，有或是建立三維熱傳導方程對空間動態(tài)溫度進行求解[2]，前者可能會因為使用不穩(wěn)定的數據而對整個溫度場的計算造成影響，第二者則會因維度較低而對空間溫度分布計算不準確，后者又會因維度較高計算復雜。故本文將南北墻面視作面熱源進行計算，減少了選取特征點帶來的誤差，并將整個三維空間節(jié)點化，進一步降低了計算難度。

2模型建立

2.1問題重述

冬季供暖采取熱水供熱方式的每一戶中有一個進水口和出水口，可以通過控制水流量來使室內溫度維持在一個相對穩(wěn)定的范圍內。該房間參數如圖1。本文研究問題可描述為：（1）已知室外溫度為0℃，進水口流量為0.5m3/h，求房間的空間溫度分布。（2）當進水口流量在0.1m3/h-1.0m3/h范圍內變化，求房間的動態(tài)溫度分布。（3）根據一天之內室外溫度變化情況每一小時調整一次進水口量，在保證室內溫度達標的情況下合理調整進水口流量，并使得一天累計耗水量最小。

2.2問題假設

（1）進水口流量和外界溫度發(fā)生變化時，室內溫度達到穩(wěn)態(tài)的時間很短。（2）房間與室外的熱交換只發(fā)生在最外圍的熱源節(jié)點。（3）內墻散失的熱量忽略不計。

2.3空間節(jié)點溫度分布模型

2.3.1散失熱量的求解。由于磚面和玻璃的材質和厚度不同，所以兩者傳熱系數也不同，整個墻面（包括窗戶）散失的熱量需要分開求解。查詢材料導熱系數總表可得，墻面磚塊部分導熱系數λ1為1.0W/(m·k)，窗戶玻璃的導熱系數λ2為0.78W/(m·k)。根據常見房屋相關參數，假設墻面磚塊部分厚度σ1為30cm，窗戶玻璃的厚度σ2為0.4cm。墻面磚塊與窗戶部分的傳熱系數Ki為：(1)公式(1)中a1為21℃時的空氣對流換熱系數，a2為0℃時的空氣對流換熱系數。查詢不同溫度下空氣對流系數表可得，a1和a2分別為10W/(m2·k)、30W/(m2·k)。體積為V的空間在t1到t2的時間內散失的熱量為：(2)公式(2)中負號表示散失，K為傳熱系數，由于墻面磚塊部分和窗戶部分傳熱系數不同，兩個部分所占面積也不同，整體墻面的傳熱系數K定義為不同材質部分與其面積的加權值。2.3.2產熱量的求解。暖氣片向房間散熱，相當于一個散熱器。暖氣片熱量來源于熱水，所以產生的總熱量與進、出水的溫度、進水口的流量和進水總量有關。在t1到t2的時間內，進水口的流量為G，進水溫度為uin，出水溫度為uout，產生的總熱量為：(3)2.3.3室內熱量的求解室內的熱量主要來源于暖氣片的散熱，而室內某點的熱量與房間體積、室內空氣流動等因素有關。若室內一點（x，y，z）在t時刻的溫度為u（x，y，z，t），空氣密度為ρ，空氣比熱為c，則室內的熱量為：(4)根據能量守恒定律，散失的熱量Q1、房間內的熱量Q2和暖氣片產生的總熱量為Q3有如下關系：(5)將(2)式、(3)式和(4)式代入(5)式，簡單化簡后得到室內任意一點的溫度表達式為：(6)其Δu為溫度在x，y，z三個方向上的二階導數之和。2.3.4空間節(jié)點模型為求解空間溫度分布，本文將三維空間節(jié)點化，將房間劃分為51×101×29的節(jié)點集，即把房間劃分為50×100×28個小立方體區(qū)域，一個單位長度對應0.1m，網格的交點為節(jié)點，每一個節(jié)點都控制本身與周圍六個節(jié)點所占有空間，將這個空間稱為控制體，如圖2所示。我們將所有節(jié)點分為熱源節(jié)點與非熱源節(jié)點，熱源節(jié)點位于空間的邊界，他們的溫度只與自身前一刻的溫度決定，而非熱源節(jié)點的溫度受初始環(huán)境溫度與熱源節(jié)點的控制，由雅可比迭代法求解，對每一個節(jié)點分析，根據熱量守恒定律和傅里葉導熱定律，流入的熱量Qin與流出熱量Qout之差為該點熱量的增量Qst，其關系式如下：(7)當導熱達到穩(wěn)態(tài)時，從所有方向流入控制體的熱量與流出的熱量相等，表達式如下：(8)以房間中部節(jié)點為例，對于節(jié)點（x，y，z），根據熱量守恒定律有：(9)以第一項Q（x-1，y，z）為例(其他控制節(jié)點同理),假設溫度場線性分布，根據傅里葉定律有：(10)內熱源表達式為：(11)由于Δx=Δy=Δz，而且無熱源，有如下關系：(12)其余節(jié)點分析方法與上述一致。

2.4動態(tài)流量模型

模型二在模型一的基礎上使進水口流量在0.1-1m3/h之間變化，而由(4)式可知暖氣片產生的總熱量Q3與進水口流量直接相關，為了滿足基本供暖需求，其出水溫度也會發(fā)生變化。用傳熱系數、散熱器相關修正系數[3]和室內溫度表示暖氣片產生的總熱量與(3)式聯立可得如下表達式：(13)式中β1散為熱器組裝片數修正系數；β2散熱器連接形式修正系數；β3為散熱器安裝形式修正系數。

2.5最小耗水量模型

問題三要求每隔一小時調整一次進水口流量，在保證室內日均溫度達到21℃且標準差為1.5攝氏度的條件下，使得一天累計耗水量最小。設Gi（i=1，2，…，24）表示第i小時內的進水口流量，ui（i=1，2，…，24）表示第i時的平衡溫度。進水量與屋外溫度和室內溫度存在函數關系：令則有：假設零點時室內平衡溫度為平均溫度，即u0=21。因此目標函數為：根據題意，要求平均溫度為24℃，標準差為1.5℃，所以有如下約束條件：

3結果分析

3.1房間溫度分布

利用MATLAB軟件畫出高度為0m、0.5m、1.0m、1.5m、2.0m和2.8m的溫度空間分布圖。其中選取具有代表性的兩個高度0m、和3m的分布圖進行具體分析，如圖3所示。由圖3可知，從南北方向來看，每個高度的分布圖都呈現靠近南、北墻兩端溫度相對較高、中間溫度相對較低的分布；而從東西方向來看，通過觀察等溫線可知，每個高度的分布圖都呈現中間溫度相對較高、兩端溫度相對較低的分布。這是因為距離熱源越遠的地方，所獲的熱量越低。另外，每個高度的分布圖四個角落處溫度都相對較低，這不僅與距離熱源的位置有關，也與外墻與外界的熱量交換有關。再比較0m和2.8m的溫度分布圖，發(fā)現高度為2.8m所在平面中間低溫帶最窄且等溫線最密集，說明熱量在房間高處更易傳導，這與室內空氣流動快慢有一定關系。

3.2流量變化時的動態(tài)溫度

針對問題二進水口的流量以0.1m3/h等間隔依次利用雅克比迭代算法，其中進水溫度為40℃，出水溫度根據(13)式求得。利用MATLAB求解得到進水口流量依次增加0.1m3/h后房間的平均氣溫如表1所示。表1進水口流量所對應的平均氣溫表取x為2.5m,z為1.4m，溫度在y軸方向(南北方向)變化曲線如圖4所示。由表1和圖4可知，房間的平均溫度與進水口流量呈現正相關，而進水口流量從0.1m3/h增加到0.2m3/h時溫度提高的幅度最大，然后進水口流量每增加0.1m3/h溫度提高的幅度逐漸變小。所以在滿足室內正常溫度的情況下，進水口流量繼續(xù)增大對溫度提升的效果不明顯，且會造成耗水量的浪費。

3.3最小耗水量

利用lingo軟件求解得到最小累計進水量為13.59m3，每個小時具體的進水口流量如表2所示。

4結論

本文所研究熱水供暖的模型的目的是為了更好調整房間供暖系統(tǒng)的參數，并對系統(tǒng)的能源利用和溫度分布進行優(yōu)化，即動態(tài)選取最佳的水流量與合適的暖氣片參數及位置來達到達到滿足用戶需求并節(jié)約能源的目的，滿足可持續(xù)發(fā)展的要求，因此這類問題的研究具有一定的實際應用價值。

作者:王嗣淇 鄧睿翔 顏志雄 佟東霖 單位:南京信息工程大學人工智能學院 南京信息工程大學 自動化學院南京信息工程大學大氣科學學院