前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇方程的意義范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發(fā)現更多的寫作思路和靈感。

方程的意義范文第1篇

（一）活動，感受平衡

師：天平有這樣的現象嗎？那就試試看。學生活動，小組中進行天平的操作。師：通過活動，你感覺到了什么？生：天平兩邊的重量不同時，天平是歪的；兩邊的重量相等時是平的。師：很棒！天平有時是平衡的，有時是不平衡的。天平平衡了，你會用式子表示出來嗎？學生展示自己小組的活動，匯報寫出的式子：10克+10克=20克，20克+30克=50克

（二）辨析，明晰平衡

師：你認為這些式子寫得對嗎？它們都有什么共同點呢？學生再度解讀式子，發(fā)現這些式子都有“等于號”；式子左右兩邊計算的結果是相等的師：能用同樣的策略寫出那些左、右不相等的式子嗎？學生小組合作，嘗試寫出不等式（設計說明：以活動為媒，促進數學學習與數學活動的有機融合。一方面引導學生進行保持天平平衡的活動，并通過觀察寫出相等的式子，不僅能豐富學生的感知，更能促進平衡與等式關系的理解，而且還能誘發(fā)學習思考，促使學生去思考：天平平衡意味著什么？這些式子表示的意義又是什么等，從而讓活動與思考有機地連接在一起。另一方面引導學生觀察天平不平衡的例子，嘗試用式子表現出來，這個過程就是錘煉思維的過程，讓學生明白式子有的左、右兩邊是相等的，有的左、右兩邊是不相等的，進而強化等式的建構，幫助學生形成天平平衡與等式之間的必然聯(lián)系，形成扎實的學習記憶。活動豐富了學習感知，更促進學習思維的跟進，更利于認知表象的積累，促進等式等知識的科學建構。）

二、探究，理解方程

（一）借助天平，感受未知數的存在

師：老師這里也有一組天平圖，你能根據前面的學習寫出相應的式子嗎？課件出示：學生依據圖例，寫出對應的式子。①x+50>100，②x+50=100，③x+50<200，④x+x=200（或2x=200）。師：請說出自己寫這些式子的想法，好嗎？學生交流自己寫這些式子的理由。（設計說明：再度借助天平圖，讓學生在熟悉的情境中體會到新的氣息。同時，利用4組天平圖有效地拓展了原有的學習認知面，為提煉未知數、方程提供孕伏，豐富學習感知。再引導學生解讀天平平衡、不平衡所對應的式子，讓未知數、等式等概念得到深化。）

（二）比較式子，感知方程的存在

師：我們又寫出了一組關于天平的式子，請仔細比較一下前后兩組式子，說說你的新發(fā)現。學生觀察前后兩組式子，交流自己的理解。生：前面的式子都是數據構成的，后面這4個中都有字母x。生：前面的每一個都是具體的數，而后面的4個中都有不知道的。生：老師我知道，這里的x叫作未知數。師：新說法——“未知數”。你們知道嗎？查查資料或小組中交流一番，看看什么是未知數。學生活動，有的查閱資料，有的議論交流。師：這4個式子都有未知數，它們都是一樣的嗎？生：不一樣，①、③用的是大于號和小于號，而②、④是等于號。生：①、③叫不等式，②、④叫作等式。師：很棒的解釋。還有其他認識嗎？生：②、④還叫作方程。師：是的，像這樣有未知數的等式，它們是方程。

（三）解讀式子，領悟方程的意義

師：剛才這位同學給我們帶來了一個新名字，“方程”。老師想問一問，你們知道這個名詞嗎？它到底有什么特定的意義呢？學生小組活動，發(fā)表自己的見解，引發(fā)學習爭論。生：我認為只要有字母就行了，它就是方程。生：不對！應該是等式。生：都不對！像A+B=B+A，這個是等式，我爸爸昨天和我講，它就不是方程。師：有這么多的意見，那到底怎樣的式子才是方程呢？生：就像剛才的②、④一樣，它們是等式，而且含有x。生：老師我的理解是方程必須是等式，含有未知數，就是有不知道的數，不一定就是x。像（）+2=5我認為也是方程。生：他的說法我贊同。我還見過這樣的：a+8=10，b-25=56師：有這么多的辯論，從中你收獲了什么？生：方程一定是等式，但是等式不一定是方程。如1+2=3，因為它沒有未知數。生：方程中一定有未知數，但不一定都用x來表示。生：方程是等式，一定含有未知數。師：總結得很好，抓住了方程的意義的要領。你能根據自己的理解寫出一組方程嗎？學生自主練習，寫出自己的方程，并在小組中交流討論。展示學生的學習成果，總結方程的意義。突出方程的兩個核心要點。（設計說明：讓學生經歷等式、不等式的解讀與辨析，促進學生思維的深化，也使方程的概念在交流比較中展現出來，在自主分析中凸顯出來。學生一方面能把握等式與不等式的關系，能夠辨析等式的存在；另一方面還有利于學生發(fā)現這些式子都含有字母x，明白未知數的存在。并把等式、未知數融合在方程的感知當中，當學生提出質疑，師生在互動釋疑過程中，進一步把握方程的本質要義，促進對方程意義的理解。同時，讓學生寫出自己喜歡的方程，不僅有利于學生對方程的理解，更有助于學生領悟未知數的多元性，還能拓展方程的視角，讓學生獲得最科學、最有意義的方程知識。）

三、引用，深化理解

（一）讀一讀式子，歸歸類別

①4+3y=10②6+2a③17-8=9④7-b＞3⑤8x=0⑥18÷a=2⑦3y+2x=15⑧4×80=2x-60上面的8個式子中：不等式有（），等式有（），方程有（）。

（二）明眼辨真?zhèn)?，判斷對錯

①等式都是方程。（）②÷8=8，它是一個方程。（）③2x=0也是方程。（）④方程是含有未知數的式子。（）⑤含有字母的等式叫方程。（）

（三）編一編，寫寫式子

①100元不夠買一臺電子琴。（學生推斷出只能寫出不等式，不能用方程表示。）②320元正好買4只籃球。（學生找準等量關系，學習用方程表示。）（設計說明：通過不同形式的訓練，旨在讓學生進一步理解方程的基本意義，明晰等式、不等式、方程之間的內在關聯(lián)性，從而建構正確的方程觀。訓練階段安排三組練習，第一組是基本的選擇，目的在區(qū)分等式、方程等概念，使概念更加清晰；第二組是判斷，主要是幫助學生理清概念的本質意義，從而明晰方程的意義；第三組是利用給定的條件引發(fā)編寫方程的思考，通過能否找出等量關系的思考來幫助學生建構初步的方程思想，讓學生感受方程意識的作用，也為后續(xù)列方程解決問題提供一種思維范式。）

四、反思，提升學習

（一）本節(jié)課學習了什么內容？你有哪些收獲？

（二）討論：等式、不等式、方程你是怎么理解的？

（三）說說方程的基本要素，理一理字母與未知數之間的聯(lián)系。

方程的意義范文第2篇

例1

已知兩點A（0, －5）， B（3, －2）,直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，且過點C（0, 1），求直線l的方程.

錯解

由已知直線AB的斜率k=－2+53=3，因為直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，所以直線l的斜率為k=32，從而直線l的方程為y=32x+1，即3x－2y+2=0.

剖析

上述解法中直線AB的斜率為3，可知其傾斜角為60°，因為直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，可知其傾斜角為30°，所以其斜率應為33，而學生誤認為“直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半”意味著“直線l的斜率也是直線AB斜率的一半”，混淆了斜率與傾斜角這兩個概念.因此，我們要謹防走入：

誤區(qū)一 忽視斜率與傾斜角的定義及其關系而致錯

為了避免此類錯誤，要深入理解直線傾斜角、斜率的定義及其二者的關系.(1)在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉過的最小正角稱為這條直線的傾斜角，因此直線傾斜角的范圍是［0°, 180°）（不直接引用定義，而是說明斜率與傾斜角兩者意義上的區(qū)別）；(2)直線的斜率與傾斜角的關系是：若α≠90°，則k=tanα，若α=90°，則k不存在.直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半不同于l的斜率是直線AB斜率的一半.

正解

由已知直線AB的斜率k=－2+53=3，所以直線AB的傾斜角為60°，因為直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，所以直線l的傾斜角為30°，故直線l的斜率為k=tan30°=33，從而直線l的方程為y=33x+1，即3x－3y+3=0.

例2

求經過點A（－5, 2）且在x軸上的截距等于y軸上截距的2倍的直線的方程.

錯解

設直線的方程為x2a+ya=1，把點A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直線的方程為x+2y+1=0.

剖析

上述解法中，設直線的截距式方程是有限制條件的，即截距不能為0，否則無意義，實際上本題中的截距可為0，這時方程就不適用了，造成錯解的原因是沒有深刻理解直線截距式方程成立的前提條件.因此，我們要謹防走入：

誤區(qū)二 忽視截距式方程的限制條件而致錯

為了避免此類錯誤，需要深入理解直線的截距式方程成立的條件.若直線的橫截距和縱截距分別為a, b，且截距均不為0，這時可設直線的截距式方程為xa+yb=1，然后根據已知條件列出相應的方程，待定系數a, b；當直線的截距其中之一為0時，此方程不成立，這時可選擇直線方程的其他形式.選擇直線某一方程務必要注意方程成立的前提條件，以免因忽視限制條件而致錯.

正解

若截距不為0，可設直線的方程為x2a+ya=1，把點A（－5, 2）代入得：－52a+2a=1，即a=－12，所以所求直線的方程為x+2y+1=0；若截距為0，可設直線的方程為y=kx，把點A（－5, 2）代入得k=－25，所求直線方程為2x+5y=0，故所求直線的方程為2x+5y=0和x+2y+1=0.

例3

已知直線l1:ax+2y+3a=0與直線l2:3x+（a－1）y=a－7平行，求a的值.

錯解

因為l1∥l2，所以3a=a－12，即a2－a－6=0,解得a=3或-2.

剖析

上述解法中，若a=－2，此時直線l1的方程為－2x+2y－6=0即x－y+3=0，直線l2的方程為3x－3y=－9，即x－y+3=0，此時兩條直線是同一條直線，造成此題錯誤的原因在于判斷兩直線位置關系時忽視了成立的條件.因此，我們要謹防走入：

誤區(qū)三 忽視直線位置關系成立的條件而致錯

兩直線平行可分為兩種判斷情況：

（1） 已知直線l1:y=k1x+b1與直線l2:y=k2x+b2，若兩直線平行則k1=k2, b1≠b2（假設其中兩直線的斜率均存在）；

（2） 已知直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0，若兩直線平行則A1A2=B1B2≠C1C2（其中系數均不為0,否則另行考慮），因此本題中的條件還應考慮到是否重合這一條件，需要檢驗，避免因忽視直線位置關系成立的條件而致錯.

正解

若a=0時兩條直線顯然不平行；

若a≠0，則3a=a－12≠a－7－3a，解得a=3，故所求a的值為3.

例4

求經過點A（2, －1）,且到點B（－1, 1）的距離為3的直線方程.

錯解

由點斜式可設所求直線方程為y+1=k（x－2）,即kx－y－2k－1=0.由題設,點B（－1, 1）到此直線的距離為3,即|－k－1－2k－1|1+k2=3,解得k=512,于是所求直線的方程為y+1=512（x－2）,即5x－12y－22=0.

剖析



方程的意義范文第3篇

關于代數或超越方程求根的具有大范圍收斂的迭代方法，是指對初始值的選取無特殊限制，而迭代所得的數列恒具有收斂性的一類迭代方法。這給求解代數或超越方程的數值根帶來極大的方便。故近年來，對具有大范圍收斂的迭代方法的研究受到廣泛重視，出現了許多有意義的成果[1~51。但在這些方法中，有的需要計算函數的二階導數，有的需要計算多個點的函數值，使得計算復雜。徐利治、朱自強曾提出：“在一定條件下，能否利用差分算子，以降低公式中導數的階數，而仍保持某種意義的大范圍收斂。”的設想。

本文構造了一個不需要計算函數導數的迭代公式，并論證了該公式的大范圍收斂性及收斂速度。最后給出了數值例子。

迭代公式的建立

方程的意義范文第4篇

一、忽視二次項系數不為零

例1 方程（m-2）xm2-5m+8+（m-3）x+5=0是一元二次方程，求 m 的值.

誤解：當 m2-5m+8=2，即 m=2 或 m=3時，該方程為一元二次方程.

剖析：忽視一元二次方程 ax2+bx+c=0中“a≠0”.應取 m=3.

例2 若 x 的方程 m2x2-（2m-3）x+1=0兩實根的倒數和是S，求S的取值范圍.

誤解：設原方程的兩實根為 x1、x2，則

S=1x1+1x2=x1+x2x1x2=2m-3，

所以 m=S+32.

又Δ=-12m+9≥0，

所以 m≤34.

即S+32≤34，因此S≤-32.

剖析：當S=-3時，m=0，原方程不是一元二次方程，故正確答案應是：S≤-32且S≠-3.

二、忽視二次項系數的討論

例3 方程 kx2+2kx+k-1=0無實數根，求 k 的取值范圍？

誤解：由Δ＜0得

（2k）-4k（k-1）＜0，

即 k＜0，所以當 k＜0，原方程無實數根.

剖析：此方程不一定是一元二次方程，二次項系數 k 也有可能等于0，所以應分為 k≠0和 k=0來考慮.

例4 已知關于 x 的方程（k-2）x2-（2k-1）x+k=0有實數根，求 k 的取值范圍？

誤解：因為原方程有實數根，

所以 k-2≠0，

且Δ=［-（2k-1）］-4k（k-2）≥0，

所以 k≥-14且 k≠2，

所以當 k≥-14且 k≠2時原方程有實數根.

剖析：題目在措詞上值得注意的是，題中條件僅僅為“關于 x 的方程”和“有實數根”，并沒有指出是否為二次方程和有二個實數根.因此所給的方程可能是一元二次方程有二個實數根；也可能是一元二次方程有一個實數.所以除了考慮“a≠0”外，還應考慮“a=0”的情況.

三、忽視一元二次方程有根的條件Δ≥0

例5 若 x1、x2 是關于 x 的方程 x2+（2m-1）x+m2=0的兩實根，且（x1+1）（x2+1）=17，求 m 的值.

誤解：由 x1+x2=1-2m，x1x2=m2，

又 （x1+1）（x2+1）=17，

得 m2-2m-15=0，

即 m=-3 或 m=5.

剖析：忽視一元二次方程有根的條件Δ≥0，即 m≤14，故 m=5舍去.取 m=-3.

四、忽視系數中的隱含條件

例6 已知關于 x 的方程（1-2k）x2-2k+1x-1=0有兩個不相等的實數根，求 k 的值.

誤解：由題意得Δ=（-2k+1）2+4（1-2k）＞0，得 k＜2，

所以當 k＜2時原方程有兩個不相等的實數根.

剖析：誤解忽視二次項系數1-2k≠0的條件和k+1必須有意義，故應補充 k≥-1 且 k≠12.

故正確答案應是-1≤k＜2且 k≠12.

例7 已知 p2-2p-5=0，5q2+2q-1=0，其中 p、q 為實數，求 p2+1q2的值.

誤解：雖然 q≠0，由5q2+2q-1=0，得

1q2-21q-5=0，

又 p2-2p-5=0.

所以 p 和1p是方程 x2-2x-5=0的兩個根.

由根與系數之間的關系有：

p+1p=2，p?1p=-5，

所以 p2+1p2=（p+1p）2-2?p?1p

=22-2×（-5）=14.

剖析：這里忽視了 p 和 1p 相等和不等的討論，上面解法僅承認了 p≠1p的情況，而漏掉了 p=1p的情況，應補充.當 p=1p時，p 和1p是原方程的同一個根，而方程的根 x=1±6.

則有 p2+1p2=2p2=2（1±6）2=14±46，

所以 p2+1p2的值應為14或14±46.

五、用根與系數關系解題時，忽視“a≠0”與“Δ≥0”

例8 關于 x 的方程 k2x2+（2k-1）x+1=0的兩根互為倒數，求 k 的值？

誤解：因為 x1 與 x2 互為倒數，

所以 x1x2=1，即 1k2=1，

所以 k=±1.

所以所求的 k 的值為：k=±1.

剖析：本題的隱含條件“二次項系數 k2≠0”和“方程必須有實根即Δ≥0”被忽視了，正確答案應為：k=-1.

六、忽視兩根的符號

例9 已知方程 x2+3x+1=0的兩個根為α、β，求αβ+βα的值.

誤解：因為Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根與系數的關系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以αβ+βα=αβ+βα

=α+βαβ=-31=-3.

剖析：上述解法，沒有應用根與系數的關系判斷方程 x2+3x+1=0的兩根的符號，算術平方根的概念也沒有搞清楚.正確答案應為：

因為Δ=32-4×1×1=5＞0，

所以α≠β.

由一元二次方程的根與系數的關系得：

α+β=-3，αβ=1.

所以α＜0，β＜0.

所以原式=-α-β+-β-α=-α-βαβ

=-α+βαβ=--31=3.

方程的意義范文第5篇

關鍵詞：廣義逆矩陣；矛盾方程組

【中圖分類號】G642

1.引言

逆矩陣的概念只對非奇異方陣才有意義。但是，在很多實際問題中，我們碰到的矩陣并不都是方陣，即使是方陣，也不都是非奇異的。因此，有必要推廣逆矩陣的概念。為此，本文給出了廣義逆矩陣的定義，并利用廣義逆的性質，求出了矛盾方程組的最小二乘解。

2.廣義逆矩陣的定義

定義2.1設A是m×n的矩陣，若n×m的矩陣G滿足如下四個Penrose方程的全部或者一部分，則稱G為A的廣義逆矩陣，簡稱廣義逆。

AGA=A(1)

GAG=G(2)

(GA)H=GA(3)

(AG)H=AG(4)

如果某個G只滿足（1）式，G為A的{1}廣義逆，記為A(1)；如果另一個G′滿足（1）和（2）式，則稱G′為A的{1,2}廣義逆，記為A(1,2)，常用的5種廣義逆：A{1},A{1,2}，A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}，其中常記A{1,2,3,4}為A+。

3.廣義逆矩陣在矛盾方程組中的應用

考慮非齊次線性方程組

Ax=b（3.1）

其中A∈Cm×n，b∈Cm給定，而x∈Cn為待定向量。如果不存在向量x使方程組（3.1）成立，則稱方程組矛盾。關于方程組求解問題，常見的有以下幾種情況：

如果方程組（3.1）不相容，則不存在通常意義下的解，但在許多實際問題中，需要求出極值問題

（3.2）

的解x，其中||?||為歐氏范數，稱這個極值問題為求矛盾方程組的最小二乘問題，相應的x稱為矛盾方程組的最小二乘解。

一般說來，矛盾方程組的最小二乘解也不是唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有極小范數的解

（3.3）

是唯一的，稱之為極小范數最小二乘解。

定理3.1若方程組（3.1）不相容，則方程組存在最小二乘解

其中A(1,3)∈A{1,3}.

證明：因為，而

，所以

(3.4)

其中||?||是歐氏范數。顯然，式(3.4)取得極小值的充要條件是

Ax=PR(A)b，（3.5）

任取A(1,3)∈A{1,3}，有R(AA(1,3))=R(A)，

，

所以，AA(1,3)=PR(A)，故當x=A(1,3)b時，Ax=AA(1,3)b=PR(A)b，即式（3.5）成立。

例3.1求方程組Ax=b的最小二乘解和極小范數最小二乘解，其中，，.

解這里rankA=2，rank(A,b)=3，所以方程組為矛盾方程組，最小二乘解為

極小范數最小二乘解為

參考文獻

[1]北京大學數學力學系.高等代數[M].北京:高等教育出版社，1978

[2]吳昌愨,魏洪增.矩陣理論與方法[M].北京:電子工業(yè)出版社,2006

[3]張凱院,徐仲.矩陣論[M].北京:科學出版社,2013