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分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文第1篇

關(guān)鍵詞：分類討論思想；一次函數(shù)；應(yīng)用

當(dāng)前，數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思想方法多種多樣。一個好的數(shù)學(xué)思想能輕松的解決生活中的實(shí)際問題，一種好的數(shù)學(xué)思想方法能便捷的使我們學(xué)習(xí)理解一個數(shù)學(xué)思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數(shù)及分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用。目前國內(nèi)外論述分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用的論文不勝枚舉，大多都是從函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像、實(shí)際應(yīng)用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數(shù)學(xué)思想方法之一。它是一種解決生活中的實(shí)際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)際就是“化整為零，各個擊破”的教學(xué)策略。這也是為什么教材每個章節(jié)需要分各個小節(jié)。同時，分類討論思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和邏輯的數(shù)學(xué)思維有重要意義。使學(xué)生掌握分類討論的思想方法有助于提高學(xué)生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數(shù)是重要的幾類函數(shù)之一，合理的利用好一次函數(shù)可以便捷的解決生產(chǎn)和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應(yīng)用書本知識解決實(shí)際問題的考點(diǎn)，諸如成本最小化、經(jīng)濟(jì)效益最大化、方案最優(yōu)化等等?？梢娬莆蘸瘮?shù)思想的重要性，因此學(xué)生應(yīng)該學(xué)好一次函數(shù)。最后，學(xué)習(xí)一次函數(shù)常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應(yīng)用到一次函數(shù)中使教學(xué)思路更有條理，教學(xué)方案更清晰明了。

一、淺談分類討論思想

（一）分類討論思想的起源

大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術(shù)》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學(xué)者的研究發(fā)展，數(shù)學(xué)思想方法已經(jīng)出現(xiàn)了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數(shù)學(xué)思想方法之一。

分類現(xiàn)象自古就存在。遠(yuǎn)古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養(yǎng)和不能圈養(yǎng)的動物。一個狩獵團(tuán)體根據(jù)體質(zhì)差異也有分工，行動敏捷的成員負(fù)責(zé)吸引獵物的注意力，身體壯實(shí)的負(fù)責(zé)對獵物造成傷害，臂力大的負(fù)責(zé)投擲標(biāo)槍等等?，F(xiàn)在分類現(xiàn)象隨處可見，各種各樣的職業(yè)共同推動社會發(fā)展，大小不一的零件使機(jī)器正常運(yùn)行。正是因?yàn)榉诸愃枷?，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現(xiàn)象。分類思想是古老文明的基本思想。

司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據(jù)對方的馬出場次序而相應(yīng)的對自己的馬出場次序作出調(diào)整的思想方法就是分類討論思想。正是因?yàn)檫@一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實(shí)與我們的生活息息相關(guān)。

現(xiàn)在已經(jīng)有很多的學(xué)者專家都有總結(jié)分類思想的含義，在《數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數(shù)學(xué)中的分類是按照數(shù)學(xué)對象的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎(chǔ)，通過比較識別出數(shù)學(xué)對象之間的異同點(diǎn)，然后根據(jù)相同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象歸并為較大的類，根據(jù)差異點(diǎn)將數(shù)學(xué)對象劃分為較小的類，從而將數(shù)學(xué)對象區(qū)分為具有一定從屬關(guān)系的等級系統(tǒng)?！?/p>

隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，分類討論思想方法逐漸演化成數(shù)學(xué)思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科使得分類思想方法更加地深化與細(xì)化。如今，分類討論思想方法已經(jīng)是中高考試中的?？键c(diǎn)。

（二）分類討論思想的概念界定

我們先了解分類討論思想的漢語釋義?！胺诸悺币辉~在辭海中的釋義為根據(jù)事物的特點(diǎn)分別歸類?！坝懻摗币辉~在辭海中的釋義為就某一問題進(jìn)行商量或辯論?！八枷搿币辉~在辭海中指思維活動的結(jié)果，屬于理性認(rèn)識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。

分類思想和分類討論有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？按從屬關(guān)系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它是人們早期認(rèn)識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態(tài)，即把復(fù)雜的事物依據(jù)其種類、性質(zhì)或品級進(jìn)行劃分或歸類。分類討論是分類思想實(shí)際應(yīng)用的一種具體形式，它要求把事物進(jìn)行劃分歸類，把分類的若干個種類進(jìn)行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結(jié)果歸納總結(jié)。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域各學(xué)者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數(shù)學(xué)思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題是比較繁瑣復(fù)雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）分類討論思想的分類原則與方法

分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內(nèi)容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應(yīng)該按同一標(biāo)準(zhǔn)分類（4）各個集域應(yīng)當(dāng)是互斥的，不出現(xiàn)重復(fù)的集域（5）分類必須逐級進(jìn)行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內(nèi)容，明_分類的標(biāo)準(zhǔn)，將對象正確進(jìn)行分類；逐級進(jìn)行討論，獲取階段性結(jié)果，歸納小結(jié)，綜合結(jié)論。

三、分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用

分類討論思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在一次函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像與實(shí)際應(yīng)用這幾個方面。

（一）分類討論思想在一次函數(shù)概念方面的應(yīng)用

如何來辨別一個函數(shù)關(guān)系是不是一次函數(shù)？前面已經(jīng)給出了一次函數(shù)的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)（linear function）.當(dāng)y=kx+b中的k是變量或者x的指數(shù)是變量時，該變量取不同的值會有不同的結(jié)果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。

那么我們來看這道例題：

例4 已知函數(shù)y=（m-5）x2m-1+3x-1，當(dāng)m為何值時，該函數(shù)是一次函數(shù)？

分析：根據(jù)函數(shù)概念，本題應(yīng)該分為三種情況討論：當(dāng)m-5=0時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=1時，函數(shù)是一次函數(shù)；當(dāng)2m-1=0時，函數(shù)是一次函數(shù)。綜上所述，m=5或1或 。

（二）分類討論思想在一次函數(shù)性質(zhì)方面的應(yīng)用

我們已經(jīng)知道一次函數(shù)具有單調(diào)增減性，一次函數(shù)的增減性在生活中經(jīng)常用到。一次函數(shù)要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。

例5 一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此題中一次函數(shù)的單調(diào)性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：

當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時，即當(dāng)x=5時，y=10，當(dāng)x=4時，y=14，因此k=2， b=6

故=3，當(dāng)函數(shù)是單調(diào)遞減時，即當(dāng)x=2時，y=14，當(dāng)x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分類討論在一次函數(shù)圖像位置方面的應(yīng)用

如果一次函數(shù)y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關(guān)問題。

例6 已知正比例函數(shù)y=x和一次函數(shù)y=kx+2的函數(shù)圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數(shù)的解析式。

分析：此題中一次函數(shù)的斜率并不明確，因此函數(shù)圖像的位置需要分為兩類。因?yàn)橐呀?jīng)知道兩個函數(shù)圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數(shù)經(jīng)過定點(diǎn)（0，2）根據(jù)斜率將一次函數(shù)分為遞增和遞減兩類：當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞增時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)A（-1，0），一次函數(shù)解析式為y=2x+2；當(dāng)一次函數(shù)單調(diào)遞減時，一次函數(shù)經(jīng)過x軸上的點(diǎn)E（2，0），一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。所以總結(jié)兩類討論，一次函數(shù)的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。

（四）分類討論在一次函數(shù)實(shí)際問題方面的應(yīng)用

一次函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問題中已經(jīng)是常考點(diǎn)，這使數(shù)學(xué)更貼近生活，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。

例7 小明準(zhǔn)備換電話卡，現(xiàn)在他已經(jīng)了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費(fèi)；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費(fèi)，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費(fèi)。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？

分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：

當(dāng)0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費(fèi)一樣。

當(dāng)100≤ x ≤ 200時，A卡有優(yōu)惠，B卡無優(yōu)惠，因此選擇A卡。

當(dāng)x>200時，設(shè)A、B兩卡消費(fèi)分別為y1、y2。A卡消費(fèi)為y1=0.16x+20，B卡消費(fèi)為y2=0.12x+40，當(dāng)y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當(dāng)x=500時，A、B兩卡消費(fèi)一樣，當(dāng)200500時，y1>y2選B卡更劃算。

分類討論思想這是數(shù)學(xué)基本思想方法之一。學(xué)生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數(shù)是最基本的函數(shù)，它對于解決實(shí)際生活生產(chǎn)需要有重要意義。教師在教學(xué)一次函數(shù)時應(yīng)當(dāng)科學(xué)的選取適當(dāng)?shù)慕蘔方法，務(wù)必是學(xué)生理解掌握一次函數(shù)，并將其遷移到實(shí)際問題中去。

參考文獻(xiàn)：

[1]司馬遷，史記，北京聯(lián)合出版社，2016.

[2]王鴻鈞，孫宏安，數(shù)學(xué)思想方法引論，人民教育出版社，1992.

[2]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教師學(xué)習(xí)指導(dǎo)，2011.

[3]數(shù)學(xué)八年級下冊，人民教育出版社，2013.

[4]顧泠沅，數(shù)學(xué)思想方法，中央廣播電視大學(xué)出版社，2004.

[5]潘興偉，初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，分類思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用，2015.

[6]姬梁飛，科教文匯，論分類討論思想方法，2017.

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文第2篇

一、符號表述與換元的思想王鵬方法

符號表述是數(shù)學(xué)語言的重要特色，它能使數(shù)學(xué)思維過程更加概括、簡明.一句復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言在用數(shù)學(xué)符號來表述時，讓人一看就明白.如“甲乙兩數(shù)和的三倍與它們差的兩倍的差”可簡單記為“3（x+y）-2（x-y）”，可見符號表述反映了數(shù)學(xué)思維的概括性和簡潔性.初一學(xué)生所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識剛剛從數(shù)過渡到式，用字母代替數(shù)的過程是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的轉(zhuǎn)化過程.列代數(shù)式、求代數(shù)式的值是換元思想方法的初始時期，由此開始，換元的思想方法便貫穿在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，如在方程、方程組、不等式教學(xué)中，都可強(qiáng)化對“元”的認(rèn)識，滲透換元的思想方法.

二、化歸的思想方法

化歸，就是把問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，將其轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或者比較容易解決問題的思想方法.這種方法的關(guān)鍵在于尋找待求問題與已有知識結(jié)構(gòu)的邏輯關(guān)系.中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為己知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想.在具體內(nèi)容上，有加法與減法的轉(zhuǎn)化，乘法與除法的轉(zhuǎn)化，乘方與開方的轉(zhuǎn)化，以及添加輔助線等都是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的具體手段.因此，在教學(xué)中首先要讓學(xué)生認(rèn)識到，常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)上就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的.其次要結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價值的思想方法.在具體教學(xué)過程中設(shè)出問題讓學(xué)生去觀察，探索轉(zhuǎn)化的路子.例如在求解分式方程時，運(yùn)用化歸的方法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，進(jìn)而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時的“消元”，解一元二次方程時的“降次”都是化歸的具體體現(xiàn).

三、數(shù)形結(jié)合的思想方法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛……”.數(shù)形結(jié)合的思想，可以使學(xué)生從不同的側(cè)面理解問題，加深對問題的認(rèn)識，提供解決問題的方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.

1.用“數(shù)”解“形”，利用數(shù)解決圖形的問題

利用數(shù)形結(jié)合思想解題時，常用代數(shù)知識去解決圖形問題.這時，應(yīng)利用代數(shù)知識的運(yùn)算法則或固定的數(shù)量關(guān)系圖分析圖形中的量，找到各個量之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而明確圖形特征.對相反數(shù)、絕對值的概念、有理數(shù)的大小比較、函數(shù)等知識的學(xué)習(xí)時，充分利用了數(shù)形結(jié)合的思想，很大程度上減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)這些知識的難度，更加便于對知識的理解.

2.以“形”示“數(shù)”，用形解決數(shù)的問題

對于一些較抽象的代數(shù)問題，我們常利用已知信息去構(gòu)造與之相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形特征來找到代數(shù)問題的答案.

例如若m，n（m

分析本題從方程的角度求解，難度較大，將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1=1和y2=（x-a）（x-b）圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即：利用函數(shù)圖象求解方程組.

解函數(shù)圖象如圖1.

所以，m，n，a，b 的大小關(guān)系是 m

3.“數(shù)”“形”結(jié)合

“數(shù)”“形”結(jié)合是指在一些問題中不僅僅只是以“數(shù)”解“形”，或以“形”示“數(shù)”，而是需要“數(shù)”“形”互變，既要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到直觀的“形”，還要由直觀的“形”聯(lián)系到“數(shù)”的嚴(yán)密，這類問題在解決過程中常需要同時從已知和未知條件入手，分析其中的聯(lián)系，找到“數(shù)”“形”的內(nèi)在聯(lián)系，這方面的運(yùn)用在解析幾何中較常見.例如：如在學(xué)習(xí)完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2時，我們可構(gòu)造出他們的直觀模型，通過“數(shù)”與“式”之間的對比來驗(yàn)證、理解，從而讓學(xué)生掌握公式.因此數(shù)形結(jié)合能夠更直觀、更形象地實(shí)現(xiàn)已知與未知之間的轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)解題的技巧性.

四、類比的思想方法

類比是最有創(chuàng)造性的一種思想方法，它是根據(jù)兩個或兩類對象之間有部分屬性相同，從而推出它們的某種屬性也相同的推理形式.類比不僅是思維的一種重要形式，而且是引入新概念的一種重要方法.例如，分式基本性質(zhì)的引入是通過具體例子引導(dǎo)學(xué)生回憶小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)通分、約分的根據(jù)――分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，再用類比的方法得出分式的基本性質(zhì).

五、分類的思想方法

中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)部分和幾何部分兩大類，采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)；從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類，式的分類，三角形的分類，方程的分類，函數(shù)的分類等等，也是分類思想的具體體現(xiàn).對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行分類，降低了學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對性，在教學(xué)需要時啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對同一對象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想.在初中數(shù)學(xué)中，分類討論的問題主要表現(xiàn)三個方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類問題需要分類討論，如幾何中三角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理等的證明，都涉及到分類討論.（2）解含字母系數(shù)或絕對值符號的方程、不等式，討論算術(shù)根，正比例和反比例函數(shù)中的比例系數(shù)，二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a與圖象的開口方向等，由于這些系數(shù)的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結(jié)果，這類問題需要分類討論.（3）有的數(shù)學(xué)問題，雖然結(jié)論唯一，但導(dǎo)致這結(jié)論的前提不盡相同，這類問題也要分類討論.分類時要注意①標(biāo)準(zhǔn)相同；②不重不漏；③分類討論應(yīng)當(dāng)逐級進(jìn)行，不能越級.

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文第3篇

王云冰

（揚(yáng)中新壩中學(xué)，江蘇  鎮(zhèn)江  212211）  

摘  要：數(shù)學(xué)思想來源于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及常用的數(shù)學(xué)方法, 在運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識及方法處理數(shù)學(xué)問題時，具有指導(dǎo)性的地位。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一，學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)思想方法，才能有效地應(yīng)用知識，形成能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。所以在平時的教學(xué)中，應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；思想方法；輸血思維

一、分類討論思想方法

例1    已知 ，函數(shù) ，試解關(guān)于 的不等式

[分析]  當(dāng) 時，函數(shù) 是關(guān)于 的一次函數(shù)， 即 ，

為關(guān)于 一次不等式，解得

當(dāng) 時，函數(shù) 是關(guān)于 的二次函數(shù)， 即 ，為關(guān)于 二次不等式，繼續(xù)對 討論

若 時，不等式化為 ，解得

若 時，不等式化為 ，解得

[小結(jié)]   分類討論要做到“不重不漏”，考慮問題要周到縝密，對相關(guān)知識點(diǎn)涉及的概念、定理、結(jié)論成立的條件要牢固把握，這樣才能在解題時思路清晰，才知道何時必須經(jīng)行分類討論，而何時無需討論，從而可以知道怎樣討論。

例2   設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，前 項(xiàng)和 ，求 的取值范圍。

[分析]  為等比數(shù)列，且前 項(xiàng)和 ，

        ,且

        當(dāng) 時， ；

        當(dāng) 時， ，即

       上式等價于 或     所以 或

        綜上

[小結(jié)]   在應(yīng)用等比數(shù)列前 項(xiàng)和的公式時，要注意公式分為 和 兩種情況，本題正是分類討論中運(yùn)用定義、概念和性質(zhì)是分類給出的體現(xiàn)，注意條件是否滿足，要逐個驗(yàn)證，分類討論。

二、轉(zhuǎn)化與化歸思想方法

例3    已知 ，函數(shù) ，若對于 ，不等式 恒成立，試求實(shí)數(shù) 的取值范圍。

[分析]   對于 ，不等式 恒成立，

可化為 ，對于 恒成立，

所以 ，解得

[小結(jié)]   本題利用主元與參變量的關(guān)系，視參變量 為主元（即變量與主元的角色換位），將關(guān)于 的不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于 的不等式，從而將問題化為熟悉的，簡單的問題，是典型的轉(zhuǎn)化與化歸思想方法。

例4    設(shè)數(shù)列 中 ，試求通項(xiàng)公式

[分析]   用 代替 ，把數(shù)列遞推關(guān)系進(jìn)行變形，化為熟悉的問題來解決。

      令 ，則

        代入遞推關(guān)系得 ，即

          

             

       令    則 ，

故 ，

故

[小結(jié)]     本題采用換元的方法，把關(guān)于數(shù)列 的遞推式化為數(shù)列 遞推式，再構(gòu)造數(shù)列 ，求出 的通項(xiàng)公式，從而求出 ，利用構(gòu)造法將不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題解決，是轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的運(yùn)用

三、函數(shù)與方程思想方法

例5    方程 有解，求實(shí)數(shù) 的范圍。

[分析]   先分離參數(shù) ，再構(gòu)造函數(shù) ，

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文第4篇

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 數(shù)學(xué)思想方法 教學(xué)策略

一、數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵、重要性及中學(xué)數(shù)學(xué)中常用思想方法

1.內(nèi)涵。

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)認(rèn)識，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是人們認(rèn)識、理解、掌握數(shù)學(xué)的意識，是在一定的數(shù)學(xué)知識、方法的基礎(chǔ)上形成的，是數(shù)學(xué)方法的靈魂，并指導(dǎo)方法的運(yùn)用。數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法同屬于數(shù)學(xué)方法論的范疇，它們有時是等同的，并沒有明顯的界限，基于它們的這種關(guān)系，在中學(xué)數(shù)學(xué)中把它們統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。

2.重要性。

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的精髓，是溝通數(shù)學(xué)各分支、各部分的紐帶，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的源泉，也是數(shù)學(xué)教育價值的根本所在。為此，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)極其重要，能幫助學(xué)生更好地確立數(shù)學(xué)思想方法的意識，學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法處理數(shù)學(xué)問題，能起到很好的啟迪作用，提高個體思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)能力，是培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的基礎(chǔ)，也是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)涵之一。

3.中學(xué)數(shù)學(xué)中主要的數(shù)學(xué)思想方法。

用字母代替數(shù)、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、分析與綜合等思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中比較基本、重要的數(shù)學(xué)思想方法。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中存在的問題

1.重知識記憶，輕思想指引。

表現(xiàn)為偏重于概念、定理和公式的死記硬背，忽視對知識形成或背景的表現(xiàn)。重視對數(shù)學(xué)內(nèi)容的講解，忽視數(shù)學(xué)思想方法的歸納提高。在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時，缺乏對數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)指導(dǎo)和點(diǎn)撥。例如：講解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時，在黑板上羅列出所有誘導(dǎo)公式，讓學(xué)生記憶，而不對推導(dǎo)加以論證或說明。這種讓學(xué)生死記硬背的方法，只會加重學(xué)生的記憶負(fù)擔(dān)，卻沒有教給學(xué)生合理的思考方法，導(dǎo)致學(xué)生只能機(jī)械模仿。其實(shí)這節(jié)課教師只需強(qiáng)調(diào)兩個字：畫圖，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想解決這個問題，在圖形的基礎(chǔ)上根據(jù)三角函數(shù)的定義便可得出誘導(dǎo)公式。這樣即使日后學(xué)生忘了誘導(dǎo)公式，也還是能通過數(shù)形結(jié)合的方法獲得。

2.重結(jié)論獲取，輕過程探索。

表現(xiàn)為在定理和公式的教學(xué)中，只注重定理和公式的證明過程，忽視定理和公式的探索發(fā)現(xiàn)過程。在例題、習(xí)題的教學(xué)中只看重解題結(jié)果的正誤，忽視解題方法的探索，少考慮所運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的合理性。例如：“兩角和與差的正弦、余弦、正切”一課中兩角和的余弦公式的推導(dǎo)，其思路是：運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，把兩角和的余弦cos（α+β）用α、β的三角函數(shù)表示。大部分老師都是按教材中的這種方法推導(dǎo)出余弦公式的，這種重公式證明過程的教學(xué)，結(jié)果使得學(xué)生只知道公式的推導(dǎo)過程，可為什么要構(gòu)造出距離等式呢？對此學(xué)生感到難以理解，其實(shí)這就是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)中忽視了公式的探索發(fā)現(xiàn)過程。

3.重題型的套路，輕思想方法的歸納和提高。

表現(xiàn)為把注意力集中在題型套路及一招一式的總結(jié)，忙于套題型、按規(guī)定步驟訓(xùn)練求解，忽視數(shù)學(xué)思想方法的升華和提高，數(shù)學(xué)方法的概括和總結(jié)；注重個別、特殊的技巧，忽視通性通法的運(yùn)用。例如：證明立體幾何相關(guān)問題時，只強(qiáng)調(diào)記住定理，抓住定理中的條件，而忽視轉(zhuǎn)化化歸思想在其間的運(yùn)用。立體幾何中相關(guān)問題的解決就是轉(zhuǎn)化化歸思想，將面、面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線、面關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為線、線關(guān)系，從而通過解決線、線關(guān)系解決問題。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

1.制定教學(xué)目標(biāo)時，重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求。

教學(xué)中應(yīng)掌握如下兩點(diǎn)：

①明確教材中的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是隱性的本質(zhì)的知識內(nèi)容，它是前人探索數(shù)學(xué)過程的積累，但教材對完美演繹形式的追求往往掩蓋了內(nèi)在的思想方法，因此一定要深入分析教材才能明確教材內(nèi)在的思想方法。如，平行線分線段成比例定理一課，用面積法給出該定理的證明，把線段比轉(zhuǎn)換為面積比，這里就蘊(yùn)涵了由未知化為已知的轉(zhuǎn)化化歸思想方法。

②明確教材中的數(shù)學(xué)思想方法是屬于哪個層次的要求。中學(xué)教材中數(shù)學(xué)思想方法很多，有些思想方法是很重要很基本的，運(yùn)用其分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題的機(jī)會比較多，而有些思想方法出現(xiàn)的頻率很小，也就是說數(shù)學(xué)思想方法有輕重之分。故在制定教學(xué)目標(biāo)前要明確數(shù)學(xué)思想方法屬于哪個層次的要求，是了解、理解、掌握，還是靈活運(yùn)用。具體屬于哪個層次要求就要看該思想方法在這節(jié)課中的重要性和對以后學(xué)習(xí)影響的大小而定。如一元一次方程的應(yīng)用一課，方程思想要求在了解感受層次上，而等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式一課，方程思想要求在運(yùn)用層次。

只有明確了以上兩點(diǎn)才能更準(zhǔn)確更全面地把數(shù)學(xué)思想方法真正體現(xiàn)在教學(xué)目標(biāo)要求上，從而為更好地設(shè)計(jì)教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

2.教學(xué)時，重視知識形成過程中數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。

數(shù)學(xué)思想方法蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)知識中，沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識。

①在概念教學(xué)中，由于概念是抽象、枯燥、難于記憶的，這就要求教師要向?qū)W生提供豐富、典型、正確、直觀的背景材料，引導(dǎo)學(xué)生對其進(jìn)行分析、綜合、比較、分類、抽象、概括、系統(tǒng)化、具體化，使學(xué)生弄懂概念的涵義，搞清與相關(guān)概念的區(qū)別和聯(lián)系。有時也可借助圖形理解概念，因?yàn)閳D形是形象直觀的，將概念與圖形之間建立對應(yīng)關(guān)系，使學(xué)生想到概念就能在頭腦中出現(xiàn)相應(yīng)的圖形，看到圖形就能聯(lián)系其學(xué)過的概念，這樣必然會使概念更容易理解、記憶，也使運(yùn)用概念解決實(shí)際問題更便捷。如，講橢圓概念時，可用實(shí)物教具讓學(xué)生觀察橢圓的作圖過程，然后把實(shí)物模型化為數(shù)學(xué)圖形，通過觀察、分析圖形概括出橢圓的定義，這里觀察、分析、模型、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法都得到了訓(xùn)練。

②對于規(guī)律（定理、公式、法則等），要重視其發(fā)生過程的教學(xué)，教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生通過感悟的直觀背景材料或已有的知識發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不過早地給結(jié)論，弄清過程，充分向?qū)W生展現(xiàn)自己是怎樣思考的，使學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想方法。例如，正弦定理的教學(xué)中，結(jié)合圖形推導(dǎo)出正弦定理的公式，訓(xùn)練學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法。

總之，在教學(xué)過程的每一個環(huán)節(jié)都要有意識地引導(dǎo)，抓住每一個訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法的好機(jī)會，學(xué)生才能逐漸步入數(shù)學(xué)思想方法的自由王國。

3.知識應(yīng)用時，重視數(shù)學(xué)思想方法的揭示和提煉。

教學(xué)的目的是授學(xué)生以“漁”而非“魚”，所以教學(xué)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的揭示和提煉。例如，用配方法求函數(shù)最值時，提煉出轉(zhuǎn)化化歸思想。其實(shí)用配方法求最值，只要掌握會求二次項(xiàng)系數(shù)為1最值就行了，其余運(yùn)用配方法求最值問題都可化歸為求二次項(xiàng)系數(shù)為1的最值。如求-2x■+4x+1的最值可通過提取-2把它轉(zhuǎn)化為求x■-2x-■的最值。學(xué)生只要掌握了這種化歸的數(shù)學(xué)思想方法，不論題目怎么千變?nèi)f化都能迎刃而解。

4.小結(jié)復(fù)習(xí)時，重視數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)歸納。

同一內(nèi)容往往蘊(yùn)含不同的數(shù)學(xué)思想方法，同一思想方法常常分布在許多不同的知識點(diǎn)中，因此要利用小結(jié)復(fù)習(xí)歸納出數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)。系統(tǒng)歸納可從兩個方面進(jìn)行。

①歸納某一部分知識蘊(yùn)涵了哪些數(shù)學(xué)思想方法

如：解不等式■

方法（一）用代數(shù)方法中的轉(zhuǎn)換化歸求解。要使■有意義，必須有1-x■≥0即-1≤x≤1，當(dāng)-1≤x≤1時，x+1≥0.又因?yàn)閤=-1時，■=0，所以x≠-1，即-10，故（■）■>（x+1）■，化解得x（x+1）

圖3

方法（二）用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為半圓與直線的位置關(guān)系。令f（x）=■，g（x）=1+x.如圖3可知當(dāng)-1

②歸納某一數(shù)學(xué)思想方法分布在哪些知識點(diǎn)中

分類討論思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法中比較重要的數(shù)學(xué)思想方法它可以分布在如下幾個知識點(diǎn)中：因概念分段定義引起的分類討論；因公式分段表達(dá)引起的分類討論；因所實(shí)施的運(yùn)算引起的分類討論；因圖形位置不確定引起的分類討論；因圖形的形狀不同引起的分類討論；因字母系數(shù)參與引起的分類討論；因條件不唯一引起的分類討論。

概括數(shù)學(xué)思想方法可以加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識，也使其對運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于強(qiáng)化所學(xué)知識，形成獨(dú)立分析、解決問題的能力。如：對立體幾何內(nèi)容的復(fù)習(xí)時，對其轉(zhuǎn)化的思想方法進(jìn)行整理和小結(jié)：把“高維”轉(zhuǎn)化為“低維”（常通過截、展、平移、旋轉(zhuǎn)、降維）；把“一般形體”轉(zhuǎn)化為“特殊形體”（常通過分解或擴(kuò)充以特殊化、熟悉化）；把“幾何結(jié)論”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)、三角目標(biāo)”（常通過幾何圖形數(shù)量化及引入相應(yīng)目標(biāo)以代數(shù)化、三角化）。進(jìn)一步明確立體幾何中的轉(zhuǎn)化思想和策略，還可對立體幾何中的概念類比、結(jié)論類比、方法類比的小結(jié)，歸納出立體幾何中的類比思想方法。

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，我們要在整個數(shù)學(xué)活動中展現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，減少盲目性和隨意性，從使學(xué)生掌握知識，形成能力和良好思維品質(zhì)的全方位要求出發(fā)，精心設(shè)計(jì)一堂課的各個環(huán)節(jié)。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐有標(biāo)，劉治平.高考中的數(shù)學(xué)思想方法，2003：1.

分類討論的數(shù)學(xué)思想方法范文第5篇

一、初中數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用

在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想方法，但最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想方法、分類討論思想方法、化歸轉(zhuǎn)化的思想方法、函數(shù)的思想方法，能掌握好這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了初中數(shù)學(xué)知識的靈魂。下面就以上四種方法分別加以舉例說明。

1.數(shù)形結(jié)合的思想方法

所謂數(shù)形結(jié)合思想就是在研究問題時把數(shù)和形結(jié)合考慮，或者把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，以達(dá)到使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形無數(shù)時難入微?！本褪菍?shù)形結(jié)合思想方法的作用進(jìn)行了高度的概括。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多定律、定理及公式等?？梢杂脠D形來描述。如勾股定理、平方差公式等都是通過幾何圖形來得到的結(jié)論。利用圖形的直觀，可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數(shù)學(xué)問題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路。

2.分類討論的思想方法

分類討論的思想方法是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。在初中數(shù)學(xué)中常見的需分類討論的知識點(diǎn)有：絕對值，一元二次方程根的情況，簡單的分段函數(shù)，已知等腰三角形的一個內(nèi)（外）角或兩邊，已知直角三角形的兩邊，未明確對應(yīng)關(guān)系的全等或相似，點(diǎn)在圓的優(yōu)弧或劣弧上，在平面直角坐標(biāo)系中已知兩點(diǎn)構(gòu)建等腰三角形或直角三角形等。

掌握分類討論思想，有助于提高學(xué)生理解知識、梳理知識和掌握新知識的能力。對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，可以降低學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的針對性，因此在教學(xué)中應(yīng)啟發(fā)并引導(dǎo)學(xué)生按不同的情況去對同一對象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類討論的思想方法。

3.化歸轉(zhuǎn)換的思想方法

化歸，指的是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)。即把數(shù)學(xué)中待解決或未解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換、轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到某個或某些已經(jīng)解決或比較容易解決的問題上，從而最終解決原問題的一種思想。數(shù)學(xué)問題的解決過程其實(shí)就是一系列轉(zhuǎn)化的過程，初中數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出化歸轉(zhuǎn)換的思想方法。如代數(shù)式的求值中的未知向已知轉(zhuǎn)化；多元向一元的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；分式方程化為整式方程；高次方程向低次方程的轉(zhuǎn)化；四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題等。而實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的常用方法有：待定系數(shù)法、配方法、整體代入法等。例如：已知a-b=2，b-c=1，求代數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值。觀察此題，

要求出此代數(shù)式的值很容易聯(lián)想到兩數(shù)差的平方公式，因此可將代數(shù)式進(jìn)行擴(kuò)大2倍并配方，變換出（a-b）2，（b-c）2，（a-c）2 的形式，而根據(jù)題目條件易求出a-c=3，故代

數(shù)式a2+b2+c2-ab-bc-ca= 1/2 ×[（a-b）2+（ac）2，（b-c）2]=1/2×[22+22+12]=7。

因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中，首先要讓學(xué)生看到常用的很多數(shù)學(xué)方法的實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，其目的就是把未知的量向已知的量轉(zhuǎn)化，復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化，從而在其腦海中樹立化歸轉(zhuǎn)化的思想方法；其次結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價值的思想方法。

4.函數(shù)的思想方法

函數(shù)思想的本質(zhì)是變量與變量之間的對應(yīng)關(guān)系。華東師大版教材把函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個內(nèi)容之中。如根據(jù)不同的值求代數(shù)式的值、銳角三角函數(shù)等，因此，我們在教學(xué)中要有意識地滲透函數(shù)的思想方法。例如某市的最后一題選擇題：若關(guān)于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 的兩根中有且僅有一根在0 與1 之間（不含0 和1），則a 的取值范圍是（）

A.a3C.a-3

首先關(guān)于x 的一元二次方程ax2+2x-5=0 有不同兩根，則a≠0，Δ>0，解得a>-15且a≠0，觀察和四個答案沒有太大的聯(lián)系，故必須從另一個角度去考慮此題，細(xì)看條件，此方程的兩根中有且僅有一根在0 與1之間，故想到了函數(shù)的思想，可把方程ax2+2x-5=0 轉(zhuǎn)換為函數(shù)y=ax2+2x-5，當(dāng)x=0，則y=-5