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初中數(shù)學(xué)教案

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn)：

1．了解根的判別式的概念．

2．能用判別式判別根的情況．

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)：

1．培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象的觀察、分析、歸納的能力．

2．進(jìn)一步考察學(xué)生思維的全面性．

（三）德育滲透點(diǎn)：

1．通過(guò)了解知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神．

2．進(jìn)一步滲透轉(zhuǎn)化和分類(lèi)的思想方法．

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決方法

1．教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)用判別式判定根的情況．

2．教學(xué)難點(diǎn)：正確理解“當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）無(wú)實(shí)數(shù)根．”

3．教學(xué)疑點(diǎn)：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，無(wú)解．在高中講復(fù)數(shù)時(shí)，會(huì)學(xué)習(xí)當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，實(shí)系數(shù)的一元二次方程有兩個(gè)虛數(shù)根．

三、教學(xué)步驟

（一）明確目標(biāo)

在前一節(jié)的“公式法”部分已經(jīng)涉及到了，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，可以求出兩個(gè)實(shí)數(shù)根．那么b2-4ac＜0時(shí)，方程根的情況怎樣呢？這就是本節(jié)課的目標(biāo)．本節(jié)課將進(jìn)一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac＝0，b2-4ac＜0三種情況下的一元二次方程根的情況．

（二）整體感知

在推導(dǎo)一元二次方程求根公式時(shí)，得到b2-4ac決定了一元二次方程的根的情況，稱(chēng)b2-4ac為根的判別式．一元二次方程根的判別式是比較重要的，用它可以判斷一元二次方程根的情況，有助于我們順利地解一元二次方程，也有利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的有關(guān)內(nèi)容，并且可以解決許多其它問(wèn)題．

在探索一元二次方程根的情況是由誰(shuí)決定的過(guò)程中，要求學(xué)生從中體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法以及分類(lèi)的思想方法，對(duì)學(xué)生思維全面性的考察起到了一個(gè)積極的滲透作用．

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)及目標(biāo)完成過(guò)程

1．復(fù)習(xí)提問(wèn)

（1）平方根的性質(zhì)是什么？

（2）解下列方程：

①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0．

問(wèn)題（1）為本節(jié)課結(jié)論的得出起到了一個(gè)很好的鋪墊作用．問(wèn)題（2）通過(guò)自己親身感受的根的情況，對(duì)本節(jié)課的結(jié)論的得出起到了一個(gè)推波助瀾的作用．

2．任何一個(gè)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法將

（1）當(dāng)b2-4ac＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（3）當(dāng)b2-4ac＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

教師通過(guò)引導(dǎo)之后，提問(wèn)：究竟誰(shuí)決定了一元二次方程根的情況？

答：b2-4ac．

3．①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用符號(hào)“△”表示．

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

反之亦然．

注意以下幾個(gè)問(wèn)題：

（1）∵a≠0，∴4a2＞0這一重要條件在這里起了“承上啟下”的作用，即對(duì)上式開(kāi)平方，隨后有下面三種情況．正確得出三種情況的結(jié)論，需對(duì)平方根的概念有一個(gè)深刻的、正確的理解，所以，在課前進(jìn)行了鋪墊．在這里應(yīng)向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化和分類(lèi)的思想方法．

（2）當(dāng)b2-4ac＜0，說(shuō)“方程ax2+bx+c=0（a≠0）沒(méi)有實(shí)數(shù)根”比較好．有時(shí)，也說(shuō)“方程無(wú)解”．這里的前提是“在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解”，也就是方程無(wú)實(shí)數(shù)根”的意思．

4．例1不解方程，判別下列方程的根的情況：

（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；

（3）5（x2＋1）-7x＝0．

解：

（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，

∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）原方程可變形為

16y2-24y＋9＝0．

∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，

∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．

（3）原方程可變形為

5x2-7x+5=0．

∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，

∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．

學(xué)生口答，教師板書(shū)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)步驟，（1）化方程為一般形式，確定a、b、c的值；（2）計(jì)算b2-4ac的值；（3）判別根的情況．

強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)：（1）只要能判別△值的符號(hào)就行，具體數(shù)值不必計(jì)算出．（2）判別根的情況，不必求出方程的根．

練習(xí)．不解方程，判別下列方程根的情況：

（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；

（3）4p（p-1）-3＝0；（4）（x-2）2＋2（x-2）-8＝0；

學(xué)生板演、筆答、評(píng)價(jià)．

（4）題可去括號(hào)，化一般式進(jìn)行判別，也可設(shè)y＝x-2，判別方程y2＋2y-8=0根的情況，由此判別原方程根的情況．

又∵不論k取何實(shí)數(shù)，△≥0，

∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

教師板書(shū)，引導(dǎo)學(xué)生回答．此題是含有字母系數(shù)的一元二次方程．注意字母的取值范圍，從而確定b2-4ac的取值．

練習(xí)：不解方程，判別下列方程根的情況．

（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；

（3）（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．

學(xué)生板演、筆答、評(píng)價(jià)．教師滲透、點(diǎn)撥．

（3）解：△＝（-2m）2-4（2m2＋1）×1

＝4m2-8m2-4

＝-4m2-4．

∵不論m取何值，-4m2-4＜0，即△＜0．

∴方程無(wú)實(shí)數(shù)解．

由數(shù)字系數(shù)，過(guò)渡到字母系數(shù)，使學(xué)生體會(huì)到由具體到抽象，并且注意字母的取值．

（四）總結(jié)、擴(kuò)展

（1）判別式的意義及一元二次方程根的情況．

①定義：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式．用“△”表示

②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．

當(dāng)△＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＝0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△＜0時(shí)，沒(méi)有實(shí)數(shù)根．反之亦然．

（2）通過(guò)根的情況的研究過(guò)程，深刻體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想方法及分類(lèi)的思想方法．

四、布置作業(yè)

教材P．27中A1、2

五、板書(shū)設(shè)計(jì)

12．3一元二次方程根的判別式（一）

一、定義：……三、例……

…………

二、一元二次方程的根的情況……練習(xí)：……

（1）…………

（2）……四、例……

（3）…………