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教學目標

(1)把握復數(shù)乘法與除法的運算法則,并能熟練地進行乘、除法的運算;

(2)能應(yīng)用i和的周期性、共軛復數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進行解題;

(3)讓學生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學思想方法;

(4)通過學習復數(shù)乘法與除法的運算法則,培養(yǎng)學生探索問題、分析問題、解決問題的能力。

教學建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點、難點分析

本節(jié)的重點和難點是復數(shù)乘除法運算法則及復數(shù)的有關(guān)性質(zhì).復數(shù)的代數(shù)形式相乘,與加減法一樣,可以按多項式的乘法進行,但必須在所得的結(jié)果中把換成-1,并且把實部與虛部分合并.很明顯,兩個復數(shù)的積仍然是一個復數(shù),即在復數(shù)集內(nèi),乘法是永遠可以實施的,同時它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對加法的分配律.規(guī)定復數(shù)的除法是乘法的逆運算,它同多項式除法類似,當兩個多項式相除,可以寫成分式,若分母含有理式時,要進行分母有理化,而兩個復數(shù)相除時,要使分母實數(shù)化,即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復數(shù),使分母變成實數(shù).

三、教學建議

1.在學習復數(shù)的代數(shù)形式相乘時,復數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進行.設(shè)是任意兩個復數(shù),那么它們的積:

也就是說.復數(shù)的乘法與多項式乘法是類似的,注重有一點不同即必須在所得結(jié)果中把換成一1,再把實部,虛部分別合并,而不必去記公式.

2.復數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律,實數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運算律,在復數(shù)集C中仍然成立,即對任何,,及,有:

,,;

對于復數(shù)只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立.由于我們尚未對復數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪進行定義,因此假如把上述法則擴展到分數(shù)指數(shù)冪內(nèi)運用,就會得到荒謬的結(jié)果。如,若由,就會得到的錯誤結(jié)論,對此一定要重視。

3.講解復數(shù)的除法,可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運算,即求一個復數(shù),使它滿足(這里,是已知的復數(shù)).列出上式后,由乘法法則及兩個復數(shù)相等的條件得:

,

由此

,

于是

得出商以后,還應(yīng)當著重向?qū)W生指出:假如根據(jù)除法的定義,每次都按上述做來法逆運算的辦法來求商,這將是很麻煩的.分析一下商的結(jié)構(gòu),從形式上可以得出兩個復數(shù)相除的較為簡捷的求商方法,就是先把它們的商寫成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數(shù),再把結(jié)果化簡即可.

4.這道例題的目的之一是練習我們對于復數(shù)乘法運算、乘方運算及乘法公式的操作,要求我們做到熟練和準確。從這道例題的運算結(jié)果,我們應(yīng)該看出,也是1的一個立方根。因此,我們應(yīng)該修正過去關(guān)于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少還有一個虛數(shù)根。然后再回顧例2的解題過程,發(fā)現(xiàn)其中所有的“”號都可以改成“±”。這樣就能找出1的另一個虛數(shù)根。所以1在復數(shù)集C內(nèi)至少有三個根:1,,。以上對于一道例題或練習題的反思過程,看起來并不難,但對我們學習知識和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維,拓寬和加深我們的知識,使我們對一個問題的熟悉更加全面。

5.教材194頁第6題這是關(guān)于復數(shù)模的一個重要不等式,在研究復數(shù)模的最值問題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對值不等式過程中,要非凡注重等號成立的條件。

教學設(shè)計示例

復數(shù)的乘法

教學目標

1.把握復數(shù)的代數(shù)形式的乘法運算法則,能熟練地進行復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算;

2.理解復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律;

3.知道復數(shù)的乘法是同復數(shù)的積,理解復數(shù)集C中正整數(shù)冪的運算律,把握i的乘法運算性質(zhì).

教學重點難點

復數(shù)乘法運算法則及復數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

難點是復數(shù)乘法運算律的理解.

教學過程設(shè)計

1.引入新課

前面學習了復數(shù)的代數(shù)形式的加減法,其運算法則與兩個多項式相加減的辦法一致.那么兩個復數(shù)的乘法運算是否仍可與兩個多項式相乘類似的辦法進行呢?

教學中,可讓學生先按此辦法計算,然后將同學們運算所得結(jié)果與教科書的規(guī)定對照,從而引入新課.

2.提出復數(shù)的代數(shù)形式的運算法則:

.

指出這一法則也是一種規(guī)定,由于它與多項式乘法運算法則一致,因此,不需要記憶這個公式.

3.引導學生證實復數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律.

4.講解例1、例2

例1求.

此例的解答可由學生自己完成.然后,組織討論,由學生自己歸納總結(jié)出共軛復數(shù)的一個重要性質(zhì):.

教學過程中,也可以引導學生用以上公式來證實:

.

例2計算.

教學中,可將學生分成三組分別按不同的運算順序進行計算.比如說第一組按進行計算;第二組按進行計算.討論其計算結(jié)果一致說明了什么問題?

5.引導學生得出復數(shù)集中正整數(shù)冪的運算律以及i的乘方性質(zhì)

教學過程中,可根據(jù)學生的情況,考慮是否將這些結(jié)論推廣到自然數(shù)冪或整數(shù)冪.

6.講解例3

例3設(shè),求證:(1);(2)

講此例時,應(yīng)向?qū)W生指出:(1)實數(shù)集中的乘法公式在復數(shù)集中仍然成立;(2)復數(shù)的混合運算也是乘方,乘除,最后加減,有括號應(yīng)先處括號里面的.

此后引導學生思考:(1)課本中關(guān)于(2)小題的注解;(2)假如,則與還成立嗎?

7.課堂練習

課本練習第1、2、3題.

8.歸納總結(jié)

(1)學生填空:

;==.

設(shè),則=,=,=,=.

設(shè)(或),則,.

(2)對復數(shù)乘法、乘方的有關(guān)運算進行小結(jié).

9.作業(yè)

課本習題5.4第1、3題.