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[摘要]改進(jìn)了一種尋找匹配于特定信號(hào)的自適應(yīng)正交小波基的方法,并將其應(yīng)用于一些實(shí)用信號(hào)與原方法以及Daubechies小波進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:此方法具有明顯的優(yōu)點(diǎn),小波的設(shè)計(jì)更加靈活,逼近誤差更小,而且在尺度濾波器長度不變的情況下,可以靈活設(shè)計(jì)消失矩,是一種尋找最優(yōu)正交小波基的有效方法。

[關(guān)鍵詞]Mallat算法;Daubechies小波;尺度濾波器;消失矩

[中圖分類號(hào)]O174.2[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

對(duì)正交小波而言,我們希望它是有限支撐的,以使Mallat算法[1]更加快捷;希望它是光滑的,以便高精度地模擬和分析信號(hào);希望它的時(shí)域和頻域的局部化是強(qiáng)勁的以便在信號(hào)處理中發(fā)揮突出作用。Daubechies小波[2]為此做出了杰出的貢獻(xiàn)。

我們更希望在用小波進(jìn)行信號(hào)處理時(shí),對(duì)一般信號(hào)或一類信號(hào),能夠自適應(yīng)地找到一組較好的小波基,以便更好地逼近信號(hào)。一種可選的方案就是尋找匹配于特定信號(hào)的自適應(yīng)小波基。近些年,人們對(duì)尋找自適應(yīng)小波的有效算法已經(jīng)取得一定成果。在這一領(lǐng)域,早期Gopinath[3],Tewfik[4]等人提出了幾種匹配于特定信號(hào)的正交小波基算法。Jian-kangZhang[5]在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上利用內(nèi)點(diǎn)算法[6],凸最優(yōu)[7]等方法尋找最優(yōu)的正交小波基,使得逼近誤差有了明顯改善。本文針對(duì)文獻(xiàn)[5]中的算法,通過對(duì)其算法進(jìn)行改進(jìn),進(jìn)一步優(yōu)化了算法,減小了誤差。

在本文中,連續(xù)函數(shù)或信號(hào)用如f(t)的形式表示,其傅里葉變換(CTFT)我們用f^(ω)的形式表示;離散的函數(shù)或信號(hào)用如h[l]的形式表示,其傅里葉變換(DTFT)我們用h^(ω)(其中h^(ω)=∑lh[l]e-iωl)的形式表示;矩陣X的元素(i,j)我們用[X]ij表示,半正定矩陣A我們用A≥0表示。

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)h[l]為0≤l≤L-1上的有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器的脈沖響應(yīng)。那么,構(gòu)成正交小波基的必要條件包括:

(1)雙尺度方程:

其中,φ(t)為尺度函數(shù),ψ(t)為小波函數(shù);

(2)正交條件:

然而,僅僅滿足以上兩個(gè)條件是不夠的,下面給出了構(gòu)成正交小波基的充分條件:

長為L的尺度濾波器h[l]滿足正交條件(3),并且存在某個(gè)整數(shù)N>0使得

h^(ω)=(1+e-jω2)Nq^(ω),(4)

其中,q^(ω)=∑

Lq-1

l=0

q(l)e-jωl且q^(0)=2;如果

|q^(ω)|<2N-1/2,ω∈(-π,π),(5)

那么,由雙尺度方程(1)式定義的尺度函數(shù)是正交的,而且由(2)式定義的集合{ψj,n(t)=2j/2ψ(2jt-

n)}j,n∈Z構(gòu)成L2(R)的一組正交基。

由引理1可知,對(duì)任意信號(hào)f(t)∈L2(R),我們有f(t)=∑j,n∈Zd(j,n)ψj,n(t),其中d[j,n]=

∫+∞-∞f(t)ψj,n(t)dt,由多分辨分析的知識(shí)[1]可知,如果空間VJ=span{2J/2φ(2Jt-n)}n∈Z,那么空間VJ=

span{2j/2ψ(2jt-n)}j<J,n∈Z。因此信號(hào)f(t)在VJ上的投影可以表示為PJ(f,φ)=∑na[J,n]φJ(rèn),n(t)=

∑j<J∑nd[j,n]ψj,n(t),其中a[J,n]=∫+∞-∞f(t)φJ(rèn),n(t)dt。即信號(hào)f(t)=PJ(f,φ)+∑j>J∑nd[j,

n]ψj,n(t),而信號(hào)f(t)在VJ上的投影的最小平方誤差定義為:

εJ(f,φ)=‖f(t)-PJ(f,φ)‖2L2(R).(6)

對(duì)于帶限于[-π,π]上的信號(hào)f(t),因?yàn)镹yquist的抽樣間隔為1s,所以我們?nèi)=0,由文獻(xiàn)[3]可

以把(6)式轉(zhuǎn)化為

ε0(f,φ)=12π∫π-π|f^(ω)|2(1-|φ^(ω)|2)dω,(7)

因?yàn)?1)式在頻域等價(jià)于φ^(ω)=1

2h^(ω2)φ^(ω2),由文獻(xiàn)[1]可知

φ^(ω)=∏∞k=1(1/2)h^(ω/2k),

通過有限去逼近無限,有

^φ(ω)≈φ~(K)(ω)=∏Kk=112h^(ω2k),(8)

將(8)式代入(7)式,得

ε0(f,φ)≈ε0~K(f,h)=12π∫π-π|f^(ω)|2(1-|φ^(K)(ω)|2)dω,(9)

顯然(9)式實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化為關(guān)于尺度濾波器h[l]的關(guān)系式。

由文獻(xiàn)[2b]我們還能得到,滿足(4)式的N是0<N<L/2的,且N是小波ψ(t)的消失矩。

2算法

由以上這些知識(shí),現(xiàn)在我們來引出關(guān)于如何設(shè)計(jì)尺度濾波器h[l]問題:

已知帶限于[-π,π]上的信號(hào)f(t),其尺度濾波器的長度為L,0<N<L/2,怎樣尋找使得ε0(f,φ)最小

且滿足(3),(4),(5)式的正交的尺度濾波器h[l]?

下面,我們對(duì)此問題進(jìn)行分析:

如果給定了逼近誤差ε0(f,φ),從(9)式是可以解得尺度濾波器h(l),文獻(xiàn)[3]就是這樣做的,但計(jì)

算很復(fù)雜,而且要求復(fù)雜的局部最小值管理,逼近效果也不理想。因?yàn)樗欠蔷€性的(非凸的),難于尋

找局部最小值,其次隨著K的增大,計(jì)算會(huì)變得更加復(fù)雜。為此,文獻(xiàn)[5]提出了一種解決方案,將目標(biāo)

函數(shù)(9)式設(shè)法轉(zhuǎn)化為線性函數(shù),再利用線性規(guī)劃來解決此問題。本文在滿足引理1的前提下,通過消

去文獻(xiàn)[5]中算法的一個(gè)參數(shù)M優(yōu)化其算法,簡化了過程,而且在尺度濾波器長度、消失矩一定的情況

下,算得的尺度濾波器系數(shù)是[5]中方法里最優(yōu)的一組。步驟如下:

)式中|q^(ω)|<2N-1/2,所以必定存在一個(gè)大于零的參數(shù)λ,使得

|q^(ω)|2≤λ<22(N-1/2),(10)

那么由(10)式和文獻(xiàn)[5]我們可以將(9)式轉(zhuǎn)化為時(shí)域中的等價(jià)形式,得到

ε0(f,φ)≈minh[l],λb1[0]2+∑Lq-1k=0(-1)kb1[k]rh[k]+βN(f)λ,(11)

其中

b1[k]=12∑m∈Zf(m2)f(m+k2),(12)

rh[k]=∑m∈Zh[m]h[m+k],(13)

βN(f)=12π∫π-πω2N|f^(ω)|2dω24N+1(22N-1),(14)

因?yàn)橛?12)式可知b1[0]=12∑m∈Zf2(m2)為常數(shù),所以可以將問題簡化為下列數(shù)學(xué)模型:

模型1已知帶限于[-π,π]上的信號(hào)f(t),其尺度濾波器的長度為L,0<N<L/2,尋找滿足(3),

(4),(10)式的正交的尺度濾波器h[l]使得

minh[l],λ∑Lq-1k=0(-1)kb1[k]rh[k]+βN(f)λ.(15)

第二步:由(4)式在時(shí)域的等價(jià)形式為

h[l]=2-N∑Nn=0cnNq[l-n],(16)

將(16)式代入(13)式,令rq[k]=∑m∈Zq[m]q[m+k](q[l]由(5)式定義),得

rn[k]=2-2N∑Nn=-Ncn+N2Nrq[k-n],(17)

那么由(17)式可以分別把(3),(4),(10),(15)式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于rq[k]的關(guān)系式。下面我們分別進(jìn)行分析:

(1)約束條件(3),(4)式根據(jù)文獻(xiàn)[5]可以分別轉(zhuǎn)化為:

正交條件:

rq[0]+2∑Lq-1k=1rq[k]=2,(18)

正則性條件:

m[2k]rq[0]+∑Lq-1n=1(m[2k+n]+m[2k-n])rq[n]=22Nδ[k],k=0,1,2,…,[L-12];(19)

(2)由文獻(xiàn)[5],[8]可將(10)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于rq[k]與參數(shù)λ的關(guān)系式:

∑n[X1]n,n+k=rq[k],0≤k≤Lq-1,(20)

∑n[X2]n,n+k=λδ[k]-rq[k],0≤k≤Lq-1,(21)

其中[X1],[X2]為Lq×Lq的對(duì)稱半正定矩陣,而由(10)式參數(shù)λ滿足0<λ<22(N-1/2);(22)

(3)將(15)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于rq[k]的關(guān)系式為

minrq[k],λ,X1,X2≥0∑Lq-1k=0s[k]rq[k]+βN(f)λ,(23)

s[0]=2-2N∑L-1n=1(-1)nm[n]b1[n],s[k]=2-2N∑L-1n=1(-1)n(m[n+k]+m[n-k])b1[n],k=1,2,…,Lq-1,m[k]=cn+N2N,k=0,±1,…,±N,0,其他.

可以看出,本文中的約束條件(18),(19),(20),(21)式跟[5]中的formulation3的前4個(gè)約束條件是一樣的,唯獨(dú)的一點(diǎn)區(qū)別就是λ的取值范圍變成了0<λ<22(N-1/2)(相當(dāng)于[5]中的M=0),也就是說λ的取值范圍變大了。由以上這些知識(shí),我們可以將模型1轉(zhuǎn)化下面的數(shù)學(xué)模型:

模型2已知帶限于[-π,π]上的信號(hào)f(t),其尺度濾波器的長度為L,0<N<L/2,令Lq=L-N,

尋找滿足(18),(19),(20),(21),(22)式的點(diǎn)列rq[k],以及參數(shù)λ和Lq×Lq的對(duì)稱半正定矩陣X1,

X2,使得

第三步:將數(shù)學(xué)模型2轉(zhuǎn)化為關(guān)于rq[k]與參數(shù)λ的線性規(guī)劃問題,其形式如下:

mincx,約束條件:Ax=b,

其中A為矩陣,b為列向量,c為橫向量,x為所求列向量。

從上面的形式看本文的改進(jìn)是顯而易見的。因?yàn)閷?duì)線性規(guī)劃來說,約束條件越寬松,目標(biāo)函數(shù)cx才可能取得越小,也就是說對(duì)信號(hào)的逼近誤差才可能越小。又因?yàn)楸疚牡乃惴ㄊ怯梢?出發(fā)的,所以我們能夠保證算得的尺度濾波器,是共軛鏡像濾波器,得到的小波基是正交小波基。

因?yàn)榇司€性規(guī)劃的約束條件中含有對(duì)稱半正定矩陣,所以它并不是一般的線性規(guī)劃問題,要用到內(nèi)點(diǎn)法[6]和SDP(半正定規(guī)劃)[9]的知識(shí),不過現(xiàn)在建立在MATLAB基礎(chǔ)上的SeDuMi程序包[10]已經(jīng)可以解決此類問題。因此,通過此種方法就得到了使得逼近誤差最小的最優(yōu)解rq[k],而rq[k]=∑m∈Zq[m]q[m+k],對(duì)此我們可以用譜因式分解方法[11]進(jìn)行分解,解出q[l]。再由(16)式就得到我們所要找的尺度濾波器h[l]。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

在這一部分本文將舉一些例子與[5]中的方法以及Daubechies尺度濾波器進(jìn)行對(duì)比。

例1為了進(jìn)行對(duì)比,本文仍以信號(hào)f1(t)=sin(πt)/πt為例,此信號(hào)在頻域的[-π,π]上有著單位矩形譜,因此是帶限于[-π,π]上的。表1是消失矩N=6與尺度濾波器長度L分別取16,18時(shí),用我們的方法得到對(duì)信號(hào)f1(t)的逼近誤差與[5]中M分別取1,2時(shí)對(duì)信號(hào)f1(t)的逼近誤差對(duì)比。ε0(f,φ)在這里我們用(9)式的ε0~(K)(f,φ)來逼近,其中K=10.從表1可以看出用我們的方法得到的逼近誤差要比[5]中M=1,2時(shí)得到的逼近誤差要小。實(shí)驗(yàn)證明,我們的方法是正確的,得到的濾波器系數(shù)是最優(yōu)的。

例2我們以最常用的高斯信號(hào)f2(t)=e-t2/4/(2π)為例,其傅里葉變換為f^2(ω)=e-ω2,仍為高斯函數(shù),是幾乎帶限于[-π,π]上的。表2是我們?nèi)〕叨葹V波器長度L=20時(shí),與長為20的標(biāo)準(zhǔn)波器的逼近誤差對(duì)比(表2中,Daubechies尺度濾波器的逼近誤差為3.9584×10-7),ε0(f,φ)在這里我們用(9)式的ε0~(K)(f,φ)來逼近,其中K=10.可以發(fā)現(xiàn)此種方法的逼近誤差相對(duì)于長為20的Daubechies尺度濾波器的逼近誤差的改善程度是非常大的,尤其是N=4時(shí),改善了將近一倍。

我們選取表2中消失矩N=4的尺度濾波器來進(jìn)行詳細(xì)說明。圖1是我們通過雙尺度方程得到的尺度函數(shù)與長為20的Daubechies濾波器的尺度函數(shù)對(duì)比,可以發(fā)現(xiàn)我們的尺度函數(shù)與Daubechies的有著相似的形狀。圖2是相應(yīng)的尺度濾波器h[l]的頻率響應(yīng)對(duì)比,可以看到我們的尺度濾波器在帶通與帶阻,低通與高通之間轉(zhuǎn)化更快,更能顯示低通特性。

圖1關(guān)于信號(hào)f2(t)的尺度函數(shù)對(duì)比

圖2關(guān)于信號(hào)f2(t)的尺度濾波器的頻響對(duì)比

例3此例本文用我們的方法與[5]中的方法以及Daubechies的方法得到的重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比。圖3a是我們從MATLAB中讀取的一個(gè)波形函數(shù)leleccum;圖3b是用我們的方法取尺度濾波器L=8,消失矩N=4時(shí)的尺度濾波器得到的重構(gòu)信號(hào);圖3c是我們用[5]中的方法L=8,N=4,M=1時(shí)得到的重構(gòu)信號(hào);圖3d是長為8的標(biāo)準(zhǔn)Daubechies尺度濾波器得到的重構(gòu)信號(hào)。通過對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)我們的方法得到信號(hào)逼近效果比其他兩種逼近效果要好。

圖3信號(hào)重構(gòu)對(duì)比

4討論

本文以構(gòu)成交小波基的充分條件(引理1)為直接出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行推導(dǎo),通過將問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃

的方式尋求最優(yōu)的緊支撐正交小波基,并將其應(yīng)用于一些實(shí)用的信號(hào)。實(shí)驗(yàn)證明,通過此種方法設(shè)計(jì)的正交小波基是靈活有效的,不僅能夠靈活設(shè)計(jì)小波消失矩,而且使得信號(hào)的逼近誤差得到明顯減小;并且由于我們是建立在線性規(guī)劃基礎(chǔ)上的,所以我們得到的最優(yōu)正交小波基一定是全局最優(yōu)的。實(shí)例證明此種方法是一種尋找最優(yōu)的正交小波基的有效方法。

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SignalprocessingmethodbasedonadaptivewaveletsLIWan-she,RENJun-wei(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,Xi′an710062,China)

Abstract:Thispaperimprovedasortofanefficientmethodforselectinganorthonormalwaveletbasewhichmatchestoagivensigna.lThismethodwasappliedtosomepracticalsignalsandcomparedwithoriginalmethodandDaubechieswavelets.Theexperimentsproved:Severalobviousadvantagescanbediscovered,suchasdesigningismoreflexible,theapproximateerrorissmallerandthedesignofzeromomentsunderthesamelengthofscalingfilterismoreflexible.Soitisanefficientmethodtofindoptimalwaveletbases.

Keywords:Mallatalgorithm;Daubechieswavele;tscalingfilter;zeromoment