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摘要：探討數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡(jiǎn)述該深刻內(nèi)涵揭示的深入細(xì)致的數(shù)學(xué)真理，…。

探討數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2（原創(chuàng)）

作者：任感恩

摘要：探討數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，弄清楚1+1=2的原理、道理、哲理，不僅要知其然，而且還要知其所以然，簡(jiǎn)述該深刻內(nèi)涵揭示的深入細(xì)致的數(shù)學(xué)真理，…。

關(guān)鍵詞：1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，2、哲理整性質(zhì)，3、哲理整小數(shù)4、廣義整數(shù)，5、有限不循環(huán)小數(shù)，6、有限循環(huán)小數(shù)，7、最大分?jǐn)?shù)單位1/2，8、小數(shù)單位，9、最大小數(shù)單位——0.5等等

1、數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2（1+1=2的基本原理、道理、哲理是什么？）：

純粹數(shù)學(xué)理論上存在著缺陷與不足，那就是偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，換言之，純粹數(shù)學(xué)在理論上根本無法承認(rèn)和接受2是數(shù)學(xué)公理，因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除自身就是科學(xué)根據(jù)與鐵的事實(shí)，偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除，如此理論太絕對(duì)了，已經(jīng)給純粹數(shù)學(xué)的理論造成了不可思議，奇數(shù)不能被2整除、能不能以其他方式被2整除？值得深思、探討、探索——不能還停留在偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除玄學(xué)的理論水平上，要深化理論認(rèn)識(shí)，…。

為什么1+1=2，本文回答既簡(jiǎn)單又深?yuàn)W：偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實(shí)能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)相反相成對(duì)立統(tǒng)一，1+1=2是數(shù)學(xué)首要公理，1+1=2蘊(yùn)涵著深刻的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律，是??！它真的既簡(jiǎn)單又深?yuàn)W，它簡(jiǎn)單的表面上看似是小學(xué)生的基本知識(shí)，然而其道理深?yuàn)W地不可思議、不可理喻、如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解與接受，更不是小學(xué)生能夠理解的數(shù)學(xué)知識(shí)，...!

偶數(shù)能被2整除，奇數(shù)不能被2整除卻著實(shí)能被2哲理整除，奇數(shù)與偶數(shù)不僅存在著對(duì)立性，而且還存在著共性和同一性，即異中之同，差異中的共性，…，

其一：奇數(shù)不能被2整除卻著實(shí)能被2哲理整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的異中之同，差異中的共性與同一性，

其二：偶數(shù)能被2整除、奇數(shù)不能被2整除就是指奇數(shù)與偶數(shù)的差異性、排斥性、對(duì)立性，

因此說，奇數(shù)與偶數(shù)既有對(duì)立性又有同一性，奇數(shù)與偶數(shù)二者存在著相反相成、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，它揭示著2是數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)的首要公理，這是世界觀的認(rèn)識(shí)問題，有什么樣的世界觀就有什么樣的認(rèn)識(shí)論、方法論，如果玄學(xué)，無論如何都是無法理解、接受它，如此真理說不清、理還亂、但是它的廬山真面目就是如此，無法更改，古人云“不識(shí)廬山真面目、只緣身在此山中”，需要“跳出廬山看廬山”，要擺脫兩千多年玄學(xué)的嚴(yán)重束縛，…。

為什么1+1=2不是指數(shù)論的“1+1”，為什么1+1=2？不僅要知其然還要知其所以然，…，絕對(duì)值1+1=2與數(shù)論的“1+1”既有差異又有聯(lián)系，如果把素?cái)?shù)2看作偶素?cái)?shù)，那么數(shù)論的“1+1”是指大于等于6的偶數(shù)可表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和——歌德巴赫猜想，無需奇素?cái)?shù)，本文素?cái)?shù)就是指奇素?cái)?shù)3，5，7，11，13，17，19，23，……，…，數(shù)論的“1+1”它是絕對(duì)值的特殊公理，數(shù)論的“1+1”與絕對(duì)值的1+1=2在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中一脈相承，在絕對(duì)值1+1=2數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中蘊(yùn)涵著數(shù)論的“1+1”，數(shù)論的“1+1”是數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)偶環(huán)節(jié)上的特殊公理，換言之、數(shù)論的“1+1”也是數(shù)學(xué)公理（例如：6=3+3，8=3+5，10=3+7，12=5+7,14=3+11，16=5+11，18=3+15，……，無窮無盡）擁有客觀存在性，并非被摘取下來才擁有真實(shí)性、摘取不下來就非真實(shí)性和非客觀存在性，既不肯定也不否定模棱兩可、這背離了數(shù)學(xué)（邏輯）排中律，…。

雖然哥德巴赫猜想數(shù)學(xué)命題沒有被數(shù)學(xué)專家畢了、依然被人們研究著，但傳統(tǒng)的素?cái)?shù)“篩法”，此路不通已失去了昔日輝煌，…。

2、自然數(shù)與正整數(shù)、單位“1”與自然“1”：

1+1=2是科學(xué)抽象的、1+1=2以及正整數(shù)是相對(duì)于廣義的單位“1”而言，單位“1”的含量絕對(duì)統(tǒng)一，1+1=2并非自然“1”的意義，事實(shí)上自然數(shù)與正整數(shù)既有差異又有聯(lián)系，自然數(shù)是相對(duì)于自然“1”而言，正整數(shù)是相對(duì)于單位“1”而言，正整數(shù)是把自然數(shù)提升到了抽象的科學(xué)高度，由于自然數(shù)、時(shí)常因單位“1”不統(tǒng)一、“含金量”不一致，如果對(duì)自然數(shù)直接進(jìn)行運(yùn)算是有很大的局限性——有時(shí)正確、有時(shí)有偏差，我們?nèi)祟愂锹斆髦腔鄣模辛藬?shù)學(xué)的廣義的單位“1”、正整數(shù)，消除了自然數(shù)的局限性，…。

3、哲理整小數(shù)以及哲理整小數(shù)的雙重性質(zhì)（或哲理整分?jǐn)?shù)和哲理整分?jǐn)?shù)的雙重性質(zhì)）：

小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......，的絕對(duì)值擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，哲理整性質(zhì)是指小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，......（注：它們的小數(shù)部分均為0.5，只涉及到0.5也可以、也足以）的絕對(duì)值比其他普通小數(shù)的絕對(duì)值整裝、…、本文將它們的這一特性簡(jiǎn)稱為哲理整性質(zhì)（相對(duì)整），因?yàn)?/2是最大分?jǐn)?shù)單位，則0.5是最大小數(shù)單位，因此0.5擁有哲理整性質(zhì)，它地地道道、的的確確客觀存在著，我們的認(rèn)識(shí)迄今為止還未意識(shí)到，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，唯恐越看越不明白，令人意亂、勞神，...。

哲理整小數(shù)：本文將小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…和它們的哲理整性質(zhì)（相對(duì)整）統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)，務(wù)必明確的說明，哲理整小數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。

哲理整分?jǐn)?shù)：本文將分?jǐn)?shù)1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2……和它們的哲理整性質(zhì)統(tǒng)稱為哲理整分?jǐn)?shù)，哲理整分?jǐn)?shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，其一是哲理整性質(zhì)、其二是普通小數(shù)性質(zhì)，…。

普通小數(shù)：不包含哲理整小數(shù)在內(nèi)的小數(shù)簡(jiǎn)稱為普通小數(shù)。

普通分?jǐn)?shù)：不包含哲理整分?jǐn)?shù)在內(nèi)的分?jǐn)?shù)簡(jiǎn)稱為普通小數(shù)。

4、1/2和0.5哲理整性質(zhì)的科學(xué)依據(jù):

分?jǐn)?shù)擁有分?jǐn)?shù)單位，數(shù)學(xué)教科書應(yīng)該明確指出1/2是最大分?jǐn)?shù)單位，1/1不是最大分?jǐn)?shù)單位、是整數(shù)分?jǐn)?shù)，1/1=1依然體現(xiàn)整數(shù)性質(zhì)、是一個(gè)特例，然而迄今為止還沒有小數(shù)單位，數(shù)學(xué)需要向前發(fā)展提出小數(shù)單位、最大消暑單位，要明確指出最大小數(shù)單位是“0.5”，而且為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，才更符合數(shù)學(xué)的客觀實(shí)際！單憑直覺，最大分?jǐn)?shù)單位1/2和最大小數(shù)單位0.5還未體現(xiàn)出其真正數(shù)學(xué)意義，最大分?jǐn)?shù)單位和最大小數(shù)單位在本質(zhì)上體現(xiàn)哲理整性質(zhì)才是其真正的數(shù)學(xué)意義，這是如何對(duì)待數(shù)學(xué)真理的重大認(rèn)識(shí)問題，并非可有可無，可無必然是一個(gè)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，1/2和0.5的哲理整性質(zhì)是微小微妙、微乎其微的變化、微不足道的差異性，若不仔細(xì)認(rèn)真觀察很難被人們發(fā)現(xiàn)，形而上學(xué)排斥它、大多數(shù)人無法理解接受它，有理難辯啊，難！真的很難！不僅如此還會(huì)遭人諷刺、挖苦等等，…。

關(guān)于分?jǐn)?shù)和小數(shù)：分?jǐn)?shù)單位1/2，1/3，1/4，1/5，1//6，1/7，1/8，1/9，1/10，…對(duì)應(yīng)下的小數(shù)應(yīng)為小數(shù)單位，例如：1/2=0.5，1/3=0.333….，1/4=0.25，1/5=0.2，…，1/10=0.1等等，….。

哲理整性質(zhì)的來龍去脈：在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中，派生子集合，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……，…從系統(tǒng)發(fā)展變化中分化出來，占據(jù)整數(shù)的位置充分地十足地體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)或者說體現(xiàn)其相對(duì)整性質(zhì)，數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)為其提供科學(xué)依據(jù)；最大分?jǐn)?shù)單位1/2、最大小數(shù)單位0.5也為其提供科學(xué)依據(jù)，只有在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中才能夠發(fā)現(xiàn)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……（1/2，3/2，5/2，7/2，9/2，11/2，13/2，……）擁有哲理整性質(zhì)，單憑直覺無從談起，單憑直覺只能看到最大分?jǐn)?shù)單位和最大小數(shù)單位，…。

能被2整除的是偶數(shù)，…，整數(shù)0，1，-1，2，-2.，3，-3，4，-4，5，-5，……，…為偶數(shù)能被2整除提供科學(xué)依據(jù)舉世公認(rèn)，…。

為了便于理解接受也可以首先把0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…暫時(shí)將它們看作哲理整數(shù)（相對(duì)整數(shù)），哲理整數(shù)為奇數(shù)能被2哲理整除提供客觀科學(xué)依據(jù)，哲理整數(shù)指小數(shù)0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，…的絕對(duì)值比其他普通小數(shù)的絕對(duì)值整裝——因?yàn)?.5是最大小數(shù)單位，與整數(shù)形成異中之同，差異中有共性，數(shù)學(xué)與哲學(xué)將這一特性簡(jiǎn)稱為哲理整性質(zhì)（相對(duì)整）——哲理整數(shù)（相對(duì)整），但是理解接受以后：絕對(duì)不能忘記了哲理整數(shù)擁有相互矛盾的雙重性質(zhì)，一是擁有普通小數(shù)性質(zhì)、二是擁有哲理整性質(zhì)，只承認(rèn)它們的小數(shù)性質(zhì)認(rèn)識(shí)是片面的，只承認(rèn)0.它們的哲理整性質(zhì)認(rèn)識(shí)是片面的，…。

事實(shí)上只有把哲理整數(shù)統(tǒng)稱為哲理整小數(shù)體現(xiàn)雙重性質(zhì)才更確切、完整、正確，…。

5、有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)（就不展開敘述了）：

{[0～1]}1↓{[1～2]}3↓{[2～3]}5↓……，…（此結(jié)構(gòu)式上下交錯(cuò)對(duì)應(yīng)不能散開）

[0.1～1.5]}2{[1.5～2.5]}4{[2.5～3.5]}6……，…

第1環(huán)節(jié)：1∑{[0～1]}=∑{[0～1]}，

第2環(huán)節(jié)：2∑{[0～1]}=∑{[0.5～1.5]}，

第3環(huán)節(jié)：3∑{[0～1]}=∑{[1～2]}，

第4環(huán)節(jié)：4∑{[0～1]}=∑{[1.5～2.5]}，

第5環(huán)節(jié)：5∑{[0～1]}=∑{[2～3]}，

第6環(huán)節(jié)：6∑{[0～1]}=∑{[2.5～3.5]}，

……，…，

∑{[0～1]}意指0與1之間的基數(shù)之和，它是集合族、有無窮個(gè)子集合或有無窮個(gè)數(shù)組，其他依次類推，符號(hào)↓：意指派生子集合，很顯然，在系統(tǒng)數(shù)值邏輯運(yùn)算過程中，小數(shù)0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，6.5，……從系統(tǒng)發(fā)展變化過程中產(chǎn)生分化出來，占據(jù)整數(shù)位置，充分體現(xiàn)其哲理整性質(zhì)，即派生子集合，為奇數(shù)能被2哲理整除提供科學(xué)依據(jù)，蘊(yùn)涵著完整的數(shù)值運(yùn)算規(guī)律，數(shù)論、集論、算術(shù)三位一體、辯證統(tǒng)一，蘊(yùn)涵著完整數(shù)學(xué)公理2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，……，…。

潛無限給數(shù)值邏輯奠定基礎(chǔ)并給作科學(xué)指導(dǎo)，潛無限排斥實(shí)無限，…。

實(shí)無限只能給數(shù)理邏輯奠定基礎(chǔ)，如何給數(shù)值邏輯作科學(xué)指導(dǎo)？實(shí)無限排斥潛無限，事實(shí)上互相排斥，…。

6、廣義整數(shù)：

廣義整數(shù)：將整數(shù)和哲理整小數(shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)（將整數(shù)和哲理整分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為廣義整數(shù)），…。

7、有限不循環(huán)小數(shù)：

有限不循環(huán)小數(shù)：為了便于理解，簡(jiǎn)言之，我們把無限不循環(huán)小數(shù)有限數(shù)字（小數(shù)點(diǎn)右邊至少有兩位或兩位以上不循環(huán)數(shù)字）稱之為有限不循環(huán)小數(shù)，例如：3.14，3.1415，3.141592，3.1415926，1.4142，1.41421356，2.17181938，……，有無限不循環(huán)小數(shù)必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，在數(shù)值邏輯中，有限不循環(huán)小數(shù)與潛無限不循環(huán)小數(shù)擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用；有限小數(shù)中的小數(shù)再如此細(xì)致地劃分出有限不循環(huán)小數(shù)、有限不循環(huán)小數(shù)，才更切合實(shí)際，在數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)中會(huì)發(fā)現(xiàn)：有限不循環(huán)小數(shù)擁有客觀存在性，擁有無限不循環(huán)小數(shù)就必然存在著有限不循環(huán)小數(shù)，這的確是一個(gè)認(rèn)識(shí)問題，有限不循環(huán)小數(shù)可表達(dá)為分?jǐn)?shù)形式，因此有限不循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，同時(shí)還是超越無理數(shù)的有限形式，因此可替代無理數(shù)數(shù)值（無理數(shù)的近似值），只談無限不循環(huán)小數(shù)（只談無理數(shù)），不涉及到有限不循環(huán)小數(shù)是不行的，…。

尤其是有限不循環(huán)小數(shù)，在實(shí)質(zhì)上擁有替代無理數(shù)數(shù)值的巨大意義與作用——此乃有限不循環(huán)小數(shù)的重要數(shù)學(xué)意義。

8、有限循環(huán)小數(shù):

有限循環(huán)小數(shù):為了便于理解，簡(jiǎn)言之，我們把無限循環(huán)小數(shù)有限個(gè)循環(huán)節(jié)（小數(shù)點(diǎn)右邊至少有兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)字循環(huán)節(jié)）稱之為有限循環(huán)小數(shù)，如：0.1616，0.161616，0.666，0.666666，0.78787878，0.999999，……，有無限循環(huán)小數(shù)必然存在著有限循環(huán)小數(shù)，有限循環(huán)小數(shù)客擁有客觀存在性，它可替代無限循環(huán)小的數(shù)值，…，這也是一個(gè)認(rèn)識(shí)問題，有限循環(huán)小數(shù)可表達(dá)為分?jǐn)?shù)形式，因此有限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，…。

9、普通有限小數(shù)：

把小數(shù)點(diǎn)后邊有一位數(shù)或兩位數(shù)以內(nèi)的小數(shù)簡(jiǎn)稱為普通有限小數(shù)，例如：0.9，1.1，1.2，3.6，3.8，5.8，6.8，7.16，………，…。

10、總之、數(shù)學(xué)理論要有所突破、要有所進(jìn)展：

數(shù)學(xué)（算術(shù)）需要向前發(fā)展有所突破：

（1）提出數(shù)學(xué)理論為什么1+1=2，

（2）明確指出1/2是最大分?jǐn)?shù)單位，

（3）提出小數(shù)單位、最大小數(shù)單位、0.5是最大小數(shù)單位，

（4）將有限小數(shù)細(xì)致劃分為：

a、哲理整小數(shù)：0.5，-0.5，1.5，-1.5，2.5，-2.5，3.5，-3.5，……，

b、普通有限小數(shù)，

c、有限不循環(huán)小數(shù)，

d、有限循環(huán)小數(shù)，

（5）有理數(shù)系數(shù)值邏輯公理系統(tǒng)，

（6）廣義整數(shù)，

（7）哲理整分?jǐn)?shù)：1/2，-1/2，3/2，-3/2，5/2，-5/2，7/2，-7/2，……，

（8）整數(shù)分?jǐn)?shù)：把1/1，-1/1，2/1，-2/1，3/1，-3/1，4/1，-4/1，5/1，-5/1，6/1，-6/1，……統(tǒng)稱為整數(shù)分?jǐn)?shù)，擁有雙重身份，…。

（9）雙素?cái)?shù)：例如6，10，14，22，26，34，38，……，其特征，能表示為兩個(gè)等值素?cái)?shù)之和，雙素?cái)?shù)星星點(diǎn)點(diǎn)揭示著哥德巴赫猜想擁有客觀存在性，無法否定它，

（10）偶素?cái)?shù)——2：2既是一個(gè)偶數(shù)又一個(gè)素?cái)?shù)，把2簡(jiǎn)稱為偶素?cái)?shù)，

等等才更接近數(shù)學(xué)的實(shí)際情況，希望數(shù)學(xué)教師率先轉(zhuǎn)變數(shù)學(xué)思維理念給以鼎力支持，…。

總之，依然還是把整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，只不過是又將分?jǐn)?shù)劃分為哲理整分?jǐn)?shù)、普通分?jǐn)?shù)、還有整數(shù)分?jǐn)?shù)，...，為什么1+1=2——是探索其原理、道理、哲理，一定要弄明白其中的原理、道理、哲理！…，再次說明，如此道理、哲理并非所有的人都能夠理解接受，這是很正常的，且末當(dāng)真、切莫較真，同時(shí)也說明一點(diǎn)本文為什么1+1=2的含義不同于1+1為什么等于2？，也未直接涉及到數(shù)論的“1+1”，…。

錯(cuò)字、多字、漏字、錯(cuò)誤在所難免，本文作為數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)最新觀點(diǎn)，僅供參考、并不強(qiáng)加于人。

參考文獻(xiàn)：

1、《辯證唯物主義和歷史唯物主義原理》，中國人民大學(xué)出版社出版

2、《古今數(shù)學(xué)思想》（北京大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)史翻譯組譯）上?？茖W(xué)技術(shù)出版社出版，1981年7月。原作者：（美國數(shù)學(xué)家）M.克萊因著

3、《普通邏輯原理》，主編：吳家國，高等教育出版社出版，1992年9月

4、《數(shù)學(xué)詞典》：上海辭書出版社出版，1993年11月

5、為什么1+1=2——試論《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》數(shù)值邏輯有理數(shù)系基本理論自身的深刻變革