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【正文】

中國古代數(shù)學(xué)的研究，目前存在著一些彼此對立的研究結(jié)論；正確地分析存在著的矛盾結(jié)論，無疑會有助于人們深入地了解中國古代數(shù)學(xué)，同時(shí)也會使人們對數(shù)學(xué)史研究的方法和評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有新的認(rèn)識。

一、幾個(gè)有代表性的矛盾結(jié)論

如何評價(jià)中國古代數(shù)學(xué)，如何評價(jià)在中國古代文明中數(shù)學(xué)的作用以及它取得的成就是每個(gè)數(shù)學(xué)史學(xué)者關(guān)心的問題。但是目前的一些研究卻有著一些矛盾的結(jié)論，這些矛盾的結(jié)論往往是圍繞著認(rèn)識、理解、評價(jià)中國古代數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性理論問題展開的。

1.關(guān)于古代數(shù)學(xué)運(yùn)用的思維方式問題

中國古代數(shù)學(xué)是否象古希臘那樣明確地運(yùn)用邏輯思維問題，目前已成為評價(jià)中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要因素，因?yàn)樵谌藗兊恼J(rèn)識和理解中，數(shù)學(xué)如果沒有嚴(yán)格的邏輯思維形式，那就很難成為真正的數(shù)學(xué)理論，袁曉明先生的研究結(jié)論與人們的良好愿望相反，他認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)不存在象古希臘數(shù)學(xué)那樣以邏輯為基礎(chǔ)的思維方式，“與古希臘數(shù)學(xué)嚴(yán)格地采用邏輯演繹的邏輯思維方式不同，中國數(shù)學(xué)則是以非邏輯思維為主，即主要通過直覺、想象、類比、靈感等思維形式來形成概念、發(fā)現(xiàn)方法、實(shí)現(xiàn)推理的?！盵1]

郭書春先生通過對《九章算術(shù)》的研究，得出相反的結(jié)論，他認(rèn)為《九章算術(shù)》的注釋中已經(jīng)具有并形成了演繹的邏輯方法及演繹的邏輯體系，“劉徽注中主要使用了演繹推理，他的論證主要是演繹論證即真正的數(shù)學(xué)證明，從而把《九章算術(shù)》上百個(gè)一般公式、解法變成了建立在必然性基礎(chǔ)之上的真正的數(shù)學(xué)科學(xué)?！盵2]

巫壽康先生與郭書春先生的觀點(diǎn)相同，他認(rèn)為：“劉徽《九章算術(shù)注》中的每一個(gè)題，都可以分解成一些首尾相接的判斷，如果仔細(xì)分析這些判斷之間的聯(lián)系，就會發(fā)現(xiàn)這些判斷組成若干個(gè)推理，然后由這些推理再組成一個(gè)證明，因此可以說，《九章算術(shù)注》中的論證已經(jīng)具備了證明的結(jié)構(gòu)，就大多數(shù)注文來說，這其中的推理都是演繹推理，大多數(shù)證明也都是演繹證明?！盵3]

中國古代數(shù)學(xué)到底“是以非邏輯思維為主”，還是“主要是演繹證明”，這是中國古代數(shù)學(xué)研究中一個(gè)矛盾的結(jié)論，還沒有得到統(tǒng)一認(rèn)識的問題。

2.關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的問題

按照西方數(shù)學(xué)的模式，一種數(shù)學(xué)著作若是按應(yīng)用問題的類別編排，并且每一個(gè)題之后給出解法和答案，那么這個(gè)數(shù)學(xué)著作就是一個(gè)習(xí)題集的模式，也許正是由于這種客觀原因，許多國外的學(xué)者都認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)不存在什么理論構(gòu)造，李約瑟先生就認(rèn)為“從實(shí)踐到純知識領(lǐng)域的飛躍中，中國數(shù)學(xué)是未曾參與過的?！盵4]著名的數(shù)學(xué)家陳省身先生也有相同的看法，他認(rèn)為“在中國幾何中，我無法找到類似三角形內(nèi)角和等于180°的推論，這是中國數(shù)學(xué)中沒有的結(jié)果。因此，得于國外數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)和有機(jī)會看中國數(shù)學(xué)的書，我覺得中國數(shù)學(xué)都偏應(yīng)用，講得過分一點(diǎn)，甚至可以說中國數(shù)學(xué)沒有純粹數(shù)學(xué)，都是應(yīng)用數(shù)學(xué)?！盵5]

中國的一些數(shù)學(xué)史學(xué)者對此持完全相反的觀點(diǎn)，堅(jiān)持強(qiáng)調(diào)中國古代數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的存在性。李繼閔先生認(rèn)為“中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)具有自己獨(dú)特的理論體系，它以理論的高度概括、精煉為特征，中算家善于從錯綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出深刻的數(shù)學(xué)概念，提煉出一般的數(shù)學(xué)原理，而從非常簡單的基本原理出發(fā)解決重大的理論關(guān)鍵問題……中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論，乃是為建立那些在實(shí)際中有直接應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法而構(gòu)造的最為簡單、精巧的理論建筑物?！盵6]

中國古代數(shù)學(xué)是否有一個(gè)理論意義上的構(gòu)造體系，這大概是目前中外數(shù)學(xué)史專家們對中國古代數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)最大的分歧點(diǎn)。如何正確地評價(jià)中國古代數(shù)學(xué)的體系構(gòu)造已成為中國數(shù)學(xué)史研究中應(yīng)當(dāng)回答的理論問題之一。

3.關(guān)于珠算在中國數(shù)學(xué)史中的地位問題。

在中國數(shù)學(xué)史的研究中，人們一直認(rèn)為宋元數(shù)學(xué)是中國古代數(shù)學(xué)的高峰。宋元之后的明代珠算無法與宋元數(shù)學(xué)的成就相比，明代珠算一般被認(rèn)為是“民用”或“商用”數(shù)學(xué)。言外之意，珠算是不能登中國古代數(shù)學(xué)理論構(gòu)造的大雅之堂。許多學(xué)者認(rèn)為宋元數(shù)學(xué)的衰退、被人遺忘是很值得研究的理論問題，而明代珠算卻沒有什么值得在理論層面給予研究的意義。

筆者的觀點(diǎn)與當(dāng)前評價(jià)宋元數(shù)學(xué)和明代珠算的觀點(diǎn)都相悖。筆者認(rèn)為珠算是中國古代數(shù)學(xué)在宋元之后取得的又一里程碑式的成就，它是中國籌算在運(yùn)演工具上的重大創(chuàng)新，是籌算運(yùn)演發(fā)展的重大突破，是中國古代數(shù)學(xué)技藝型發(fā)展的必然結(jié)果。[7]

如何評價(jià)珠算在中國數(shù)學(xué)史中的地位，實(shí)際也帶來了如何評價(jià)宋元數(shù)學(xué)的一系列問題，在這個(gè)問題上筆者也提出了與目前傳統(tǒng)觀點(diǎn)相悖的論點(diǎn)，即宋元數(shù)學(xué)的成就，是中國籌算在特定的社會動蕩、傳統(tǒng)儒家觀念發(fā)生紊亂、仕大夫仕途無望的文化氛圍中奇異性發(fā)展的結(jié)果，當(dāng)社會是進(jìn)入穩(wěn)定發(fā)展、仕大夫按照儒家傳統(tǒng)觀念走向仕途時(shí)，宋元數(shù)學(xué)就必然會被整個(gè)民族文化所淡忘。[8]

對珠算與宋元數(shù)學(xué)的評價(jià)，實(shí)際上涉及了如何看待中國古代籌算體系的發(fā)展及其內(nèi)在規(guī)律的問題，這一問題也是正確認(rèn)識中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)理論性的問題。

二、數(shù)學(xué)史研究的方法論問題及評判的理論依據(jù)

從方法論的意義上來考察中國古代的數(shù)學(xué)史研究，可以發(fā)現(xiàn)實(shí)際上存在兩個(gè)不同層次的研究狀況，第一層次的研究是指對史料的收集、整理、考證。應(yīng)當(dāng)說這個(gè)層次的主要工作是在中國古代數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)對數(shù)學(xué)史實(shí)的發(fā)展及其流變進(jìn)行分析認(rèn)證。這一層次的分析考證應(yīng)當(dāng)確認(rèn)史料的年代及其真?zhèn)?，以及史?shí)在中國數(shù)學(xué)發(fā)展中所處的地位。第二層次的研究，是對已確認(rèn)的史料與世界數(shù)學(xué)史的比較評價(jià)。應(yīng)當(dāng)說這個(gè)層次的比較研究是在世界數(shù)學(xué)史的范疇內(nèi)（實(shí)際上主要是中西數(shù)學(xué)發(fā)展的范疇內(nèi)）進(jìn)行比較研究，這一層次的主要工作是要確認(rèn)中國古代數(shù)學(xué)已達(dá)到的理論層次。這一過程顯然是把中國古代數(shù)學(xué)納入到已有的理論框架中進(jìn)行比較，進(jìn)而要求表述中國古代數(shù)學(xué)在現(xiàn)有古代數(shù)學(xué)史理論框架內(nèi)所處的地位、理論層次、構(gòu)造性狀況以及它對現(xiàn)有數(shù)學(xué)史理論的貢獻(xiàn)。

在方法論意義上，這兩個(gè)不同層次的工作不能混同，因?yàn)檫@兩個(gè)層次的工作存在著研究的范疇差異、時(shí)間差異和評判依據(jù)準(zhǔn)則的差異。[9]

所謂范疇差異，是指第一層次的研究是在中國文化的范疇內(nèi)進(jìn)行分析考證，而第二層次的研究主要是在中西文化的范疇內(nèi)進(jìn)行比較評斷。第一層次研究此時(shí)要解決的是史料真?zhèn)螤顩r及在中國文化中的發(fā)展?fàn)顩r，而第二層次的研究要回答的是，已經(jīng)證實(shí)的中國史實(shí)材料與西方數(shù)學(xué)相比，與現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論相比，其結(jié)果如何。

所謂時(shí)間差異是指第一層次的研究是要把史料放在原有的歷史時(shí)間內(nèi)考證史料是什么，它的語言、背景、含意等等，第一層次運(yùn)用的是歷史時(shí)間序列。第二層次的比較研究是要把史料放在現(xiàn)代數(shù)學(xué)史的理論框架內(nèi)來比較評判中國古代數(shù)學(xué)的史料達(dá)到的理論狀態(tài)、在人類數(shù)學(xué)史中的地位等等。因此說，第二層次研究運(yùn)用的是現(xiàn)代的時(shí)間序列。

所謂評判差異，是指第一層次的分析考證運(yùn)用的是在歷史演化發(fā)展時(shí)數(shù)學(xué)自身變化發(fā)展的評判尺度，即以中國古代數(shù)學(xué)的自身成就來評判某一特定歷史階段數(shù)學(xué)史實(shí)的意義。此時(shí)運(yùn)用的是中國古代數(shù)學(xué)史的評判準(zhǔn)則。例如，判定某個(gè)歷史時(shí)期籌算的成就，運(yùn)用的是籌算自身發(fā)展的規(guī)律來判定那個(gè)時(shí)期籌算達(dá)到的運(yùn)演和理論的實(shí)際狀況。當(dāng)然，第二層次上的比較評判，運(yùn)用的卻是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究的理論框架并以此分析評判中國古代數(shù)學(xué)某個(gè)史實(shí)所達(dá)到的標(biāo)準(zhǔn)。

值得指出的是，我們目前的一些比較評價(jià)，實(shí)際上都是在第二層次上進(jìn)行的，但是作為第二層次研究所特有的方法論意義上的要求，卻常常不被嚴(yán)格遵守，尤其是第二層次的比較評判中應(yīng)當(dāng)特別強(qiáng)調(diào)的理論評價(jià)準(zhǔn)則在先的原則，往往不被重視。也就是說，如果我們要把某一個(gè)中國古代數(shù)學(xué)的史實(shí)與世界數(shù)學(xué)的理論形式相比較，就必須明確地認(rèn)識到或論證出現(xiàn)有的數(shù)學(xué)成果構(gòu)成的理論標(biāo)準(zhǔn)，并以此標(biāo)準(zhǔn)來判斷中國古代數(shù)學(xué)的史料是否達(dá)到了這個(gè)理論標(biāo)準(zhǔn)。

中國一些數(shù)學(xué)史學(xué)者在進(jìn)行中國古代數(shù)學(xué)的比較評判時(shí)，往往把第一層次的工作與第二層次的工作混同起來，尤其是在沒有指出應(yīng)有的評價(jià)準(zhǔn)則時(shí)就把自己的感悟、個(gè)人的理解換成一種客觀的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)而就得出一種評判的結(jié)果。這樣的結(jié)論不僅會帶來研究結(jié)果的矛盾，更為重要的是會使我們的研究成果具有很大的主觀性、隨意性特征。例如，臺灣的學(xué)者李國偉先生就曾對國內(nèi)學(xué)者認(rèn)為劉徽“求微數(shù)法”就是無理數(shù)的研究成果提出疑義，并且從五個(gè)層次論述了劉徽的結(jié)果與無理數(shù)理論的差異。[10]顯然，對于無理數(shù)問題的評判，國內(nèi)一些學(xué)者缺乏理論標(biāo)準(zhǔn)在先的意識。

在自然科學(xué)史研究中，人們就是在正確地使用方法論的同時(shí)，也還有一個(gè)對史實(shí)論證過程中的潛在的理論模式影響的問題。這個(gè)問題實(shí)際已經(jīng)超越了方法論意義的討論，它實(shí)質(zhì)上涉及了用什么樣的古代數(shù)學(xué)理論模式來評判籌算所具有的理論價(jià)值。例如，對于中國籌算發(fā)展為珠算的評判以及對宋元數(shù)學(xué)和明代珠算的評價(jià)，雖然在數(shù)學(xué)史的研究中屬于第一個(gè)層次的問題，但是它實(shí)際上已經(jīng)涉及了用一種什么樣的古代數(shù)學(xué)的模式來評判籌算取得的一些成果。

現(xiàn)在可以看出，中國古代數(shù)學(xué)史研究中出現(xiàn)的某些相互矛盾的結(jié)論，不僅僅是一個(gè)方法論方面的問題，它實(shí)際上涉及到用什么樣的理論標(biāo)準(zhǔn)來評價(jià)籌算的發(fā)展、演變以及不同時(shí)期取得的成就。更進(jìn)一步的問題可以成為，中國古代籌算是應(yīng)當(dāng)按照西方古代數(shù)學(xué)的模式來評價(jià)，還是放棄西方古代數(shù)學(xué)的模式重新建立一個(gè)中國文化中數(shù)學(xué)發(fā)展的模式，可以說這后一個(gè)問題是中國數(shù)學(xué)史面臨的一個(gè)很值得討論研究的理論問題。

三、籌算的特征及分析

從目前數(shù)學(xué)史研究中可以發(fā)現(xiàn)，人們對籌算構(gòu)成的一些理論性問題很感興趣，評價(jià)頗高，而對實(shí)際應(yīng)用的發(fā)展評價(jià)頗低，似乎不被看作是中國古代數(shù)學(xué)的什么重大成果。同樣的，人們對《九章算術(shù)》中表現(xiàn)的邏輯形式十分看重，而對它表現(xiàn)的籌算操作運(yùn)演本身評價(jià)一般（如對代表正、負(fù)意義算籌形式及其排擺方法）。其實(shí)中西古代數(shù)學(xué)明顯地存在巨大差異，這些差異正是我們客觀認(rèn)識中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展模式和理論框架的必要基礎(chǔ)。

吳文俊先生認(rèn)為，中國古代數(shù)學(xué)是緊緊依靠算器而形成的一種數(shù)學(xué)模式。“我國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)有它自己的體系與形式，有著它自身發(fā)展途徑和獨(dú)到的思想體系，不能以西方數(shù)學(xué)的模式生搬硬套……從問題而不是從公理出發(fā)，以解決問題而不是以推理論證為主旨，這與西方以歐幾里得幾何為代表的所謂演釋體系旨趣迥異，途徑亦殊……在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，數(shù)學(xué)機(jī)械化算法體系與數(shù)學(xué)公理化演繹體系曾多次反復(fù)互為消長，交替成為數(shù)學(xué)發(fā)展中的主流。”[11]中國籌算的依靠算具、形數(shù)結(jié)合、重在操作運(yùn)演本身，以解決具體問題為構(gòu)造模式的這些特征應(yīng)當(dāng)看作是一種中國古代數(shù)學(xué)的理論發(fā)展模式。

從中西古代數(shù)學(xué)的比較可以得到如下四個(gè)方面差異。

1.籌算的運(yùn)演和結(jié)果表現(xiàn)在一種竹棍擺排上，而古希臘數(shù)學(xué)運(yùn)演和結(jié)果則表現(xiàn)在文字符號書寫上。

2.籌算在運(yùn)演是一種竹棍的排擺，是一種規(guī)則指導(dǎo)下的手工操作，而古希臘數(shù)學(xué)的運(yùn)演是書寫在文字符號的運(yùn)演過程中，是一種規(guī)則指導(dǎo)下的文字運(yùn)演過程。

3.籌算是以具體問題的分類構(gòu)成體系，而古希臘數(shù)學(xué)是以文字符號運(yùn)演的邏輯形式進(jìn)行分類（按數(shù)學(xué)的內(nèi)部規(guī)律進(jìn)行分類）并構(gòu)成體系。

4.籌算是以實(shí)際致用為發(fā)展方向，而古希臘數(shù)學(xué)則是以理性精神的表述為自己的發(fā)展方向（西方著名科學(xué)哲學(xué)家波普爾，直到今天仍認(rèn)為歐幾里得的《幾何原本》并不是數(shù)學(xué)的教材而是柏拉圖構(gòu)造世界的一種圖示，因?yàn)樗晕宸N正多面體結(jié)束最終的構(gòu)造[12]）。

對照上面籌算與古希臘數(shù)學(xué)的差異，我們可以看出中國古代數(shù)學(xué)理論建構(gòu)的某些特征。

第一，運(yùn)用形數(shù)結(jié)合的竹棍來表現(xiàn)數(shù)學(xué)，竹棍的運(yùn)演本身及竹棍自身的變化就毫無疑問應(yīng)當(dāng)是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)重要內(nèi)容。

第二，運(yùn)用竹棍的手工操作規(guī)則是一種算法而且不留有過程，竹棍操作運(yùn)演是一種程序?；I算的程序應(yīng)當(dāng)是中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容。這與古希臘文字運(yùn)演重視邏輯思維方式、邏輯運(yùn)演的規(guī)則是完全相異的。

第三，籌算是以實(shí)際問題的類型分類建構(gòu)，這與古希臘數(shù)學(xué)以公理、公式為類型的建構(gòu)模式完全相異。

第四，籌算的致用發(fā)展是一種民族文化賦予它的價(jià)值取向，它不會也不可能從理性的意義去構(gòu)造自身、發(fā)展自身。因?yàn)樵谥袊幕?，起文化中理性指?dǎo)作用是《周易》的六十四卦模式。[13]

運(yùn)用上面四個(gè)特征的分析，我們可以獲得如下的一些結(jié)論。

結(jié)論1籌算運(yùn)演程序的成就及籌算運(yùn)演工具自身的改進(jìn)和創(chuàng)造（籌算到珠算）都應(yīng)看作是中國古代數(shù)學(xué)的重大進(jìn)展，亦應(yīng)看作是對人類古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。

結(jié)論2中國古代數(shù)學(xué)的邏輯思維方式與古希臘數(shù)學(xué)的邏輯思維方式的對比是不對稱的比較，中國古代數(shù)學(xué)的算法程序（包括擺排的技巧及指導(dǎo)思想）才是與古希臘邏輯思維方式相對稱的比較。在人類思維的意義上，籌算算法程序的建立和發(fā)展與古希臘數(shù)學(xué)形式邏輯思維的創(chuàng)立和發(fā)展是人類古代數(shù)學(xué)思想的兩大方向。

結(jié)論3數(shù)學(xué)的理性構(gòu)造不應(yīng)當(dāng)依西方古代數(shù)學(xué)的模式為唯一的人類古代數(shù)學(xué)的模式，數(shù)學(xué)理性構(gòu)造的方向是一種文化特征。應(yīng)當(dāng)在明確兩種文化的數(shù)學(xué)理性層次（處于形而上層次還是處于形而下層次）差異的基礎(chǔ)上，進(jìn)行數(shù)學(xué)自身意義的比較，而不能把一種民族文化特征（如西方數(shù)學(xué)在理性意義上的構(gòu)造及在理性意義對其它學(xué)科的影響）看作人類古代數(shù)學(xué)的唯一的特征或必要的特征。

應(yīng)當(dāng)說，討論方法論的層次、討論中西古代數(shù)學(xué)的模式差異，已經(jīng)上升為對古代數(shù)學(xué)的一種哲學(xué)意義的思考。目前，中國古代數(shù)學(xué)史的研究還缺乏對籌算的一些哲學(xué)層次的理性思考，我們的一些中西古代數(shù)學(xué)比較研究往往會不自覺地把西方數(shù)學(xué)的模式套到籌算上來。

值得指出的是，許多數(shù)學(xué)史學(xué)者在進(jìn)入到中西古代數(shù)學(xué)的比較評價(jià)時(shí)就進(jìn)入了一種二難狀況。其一，是中國學(xué)者往往從自身的文化傳統(tǒng)及研究中深感籌算的意義，但是籌算與古希臘數(shù)學(xué)相比卻總是由于差異而難獲公論。其二，企圖找出籌算與古希臘數(shù)學(xué)具有的某些相似的特征，并以此論證籌算的歷史地位，但在古希臘數(shù)學(xué)的模式面前又很難比較。

筆者認(rèn)為，中國古代數(shù)學(xué)史的研究要想走向世界，一個(gè)重要的理論問題就是要在哲學(xué)的意義上建立一個(gè)沒有西方數(shù)學(xué)價(jià)值觀影響的或稱之為超越西方古代數(shù)學(xué)模式的古代數(shù)學(xué)理論模式。數(shù)學(xué)是一種文化這已是中西方學(xué)者在目前的共識，文化差異不應(yīng)當(dāng)是抹殺古代數(shù)學(xué)成就的條件，而應(yīng)當(dāng)成為人類古代數(shù)學(xué)不同貢獻(xiàn)的說明。我們只有認(rèn)清中國文化中數(shù)學(xué)的文化層次、價(jià)值取向以及運(yùn)演工具、運(yùn)演方式、構(gòu)造模式的特征，我們才能在一種中西文化差異的基礎(chǔ)上客觀地評價(jià)籌算取得的成果以及它對人類古代數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)。

內(nèi)容提要】中國古代數(shù)學(xué)史的研究結(jié)論中，在數(shù)學(xué)的思維方式、理論構(gòu)造、珠算評價(jià)等方面存在互相矛盾的結(jié)論，造成這些矛盾的原因既有方法論層次上的問題，也有中西古代數(shù)學(xué)比較標(biāo)準(zhǔn)方面的問題，中國古代數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)在運(yùn)演工具、建構(gòu)模式、價(jià)值走向方面建立起自己的理論框架。

【關(guān)鍵詞】中國古代數(shù)學(xué)/運(yùn)演工具

【參考文獻(xiàn)】

[1]袁曉明：《數(shù)學(xué)思想導(dǎo)論》，廣西教育社，1991年版，125頁。

[2]郭書春：“關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)哲學(xué)的幾個(gè)問題”，《自然辯證法通訊》，1988年，第4期，44頁。

[3]巫壽康：“劉徽《九章算術(shù)》邏輯初探”，《自然科學(xué)史研究》，1987年，第1期，20頁。

[4]李約瑟：《中國科學(xué)技術(shù)史》三卷，科學(xué)出版社，1978年，337頁。

[5]陳省身：《陳省身文選》，科學(xué)出版社，1991年版，244頁。

[6]李繼閔：《中國數(shù)學(xué)史論文集》（二），山東教育出版社，1986年版，14頁。

[7]王憲昌：“宋元數(shù)學(xué)與珠算的比較評價(jià)”，《自然科學(xué)史研究》，1996年，第1期

[8]王憲昌：“宋元數(shù)學(xué)與文化價(jià)值觀”，《大自然探索》，1995年，第124—127頁。

[9]王憲昌：“試論中國古代數(shù)學(xué)的評價(jià)準(zhǔn)則”，《科學(xué)技術(shù)與辯證法》，1995年，第5期，15—18頁。

[10]李國偉：“《九章算術(shù)》與不可公度”，《自然辯證法通訊》，1994年第2期，53頁。

[11]吳文?。骸瓣P(guān)于研究數(shù)學(xué)在中國的歷史與現(xiàn)狀”，《自然辯證法通訊》，1990年，第4期，39頁。

[12]波普爾：《猜想與反駁》，上海譯文出版社，1986年，123頁。

[13]王憲昌：“《九章算術(shù)》研究中的文化觀”，《北師大學(xué)報(bào)》（自然科學(xué)版），1990年，增3，23—27頁。