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一、黃金分割研究史

古希臘人樸素的自然科學(xué)研究影響西方文化和文明的發(fā)展，他們重視分析、分解、假設(shè)、推理、推導(dǎo)、實驗、驗證等思維方式。這與東方重視整體、模糊處理、直覺綜合、和諧大同、“仁者愛人”等思維方式和思想有明顯的差別。胡適在“中國的文藝復(fù)興”一文中說“當(dāng)孟子在對人性的內(nèi)在美德進行理論探討時，歐幾里德正在完善幾何學(xué)，正在奠定歐洲的自然科學(xué)的基礎(chǔ)?！边@種說法不全面，東方的中華文明有過比西方更輝煌的歷史，但在五百多年來，西方經(jīng)歷了繼承希臘的文藝復(fù)興和工業(yè)革命，使科學(xué)和技術(shù)快速發(fā)展，而中國因封建統(tǒng)治和閉關(guān)鎖國等原因而衰落?，F(xiàn)在應(yīng)該擷取東西方文明的長處，把它們整合起來，創(chuàng)建中華夏興。

“科學(xué)中的美和美的科學(xué)”，早期屬于自然哲學(xué)，自古希臘人開始研究，至今約有2500年。古希臘人喜歡抽象研究。抽象研究又分為邏輯推理研究和形象推理研究，后者所用的工具有直尺和圓規(guī)。代數(shù)和平面幾何為兩者的典型代表。

古希臘人曾提出這樣一個問題：“一根棍從哪里分割最為美妙？”答案是：“前半段與后半段之比應(yīng)等于后半段與全長之比”。設(shè)全長為1，后半段為x，此式即成為(1-x):x=x:1，也就是X2+X-1=0。其解為：。棍內(nèi)分割只能取正值，此值就是著名的黃金分割比值G,G=0.618033988≈0.618。

而且G(1+G)=1，即G和(1+G)互為倒數(shù)。

偏有一些古希臘人想用形象方法解決黃金分割問題，并獲得漂亮的結(jié)果。歐幾里德（約公元前330-257年）總結(jié)了前人的經(jīng)驗和研究成果，編著了《幾何原理》十三卷。這是世界上最早用公理方法敘述的數(shù)學(xué)著作。其中所載的黃金分割幾何問題已引起廣泛的興趣，在科學(xué)、藝術(shù)、建筑、技術(shù)各領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，哲學(xué)家和美學(xué)家也曾反復(fù)討論，不斷有文章發(fā)表。（可閱《美感》，許康，2000）

螺旋在大自然中到處存在，從銀河系外的螺旋星云，到地球上的臺風(fēng)、龍卷風(fēng)、貝殼、動物的角，植物的攀緣，小至生物遺傳基因等等。它們中有些令人恐懼，有些令人愉悅，有些令人迷惑不解，但都引起人們的研究興趣。最早研究螺旋的乃是古希臘人阿基米德（公元前287-212年）。他的主要貢獻是發(fā)觀扛桿原理、浮力原理和阿基米德螺旋線。（可參閱《貝殼的自然史》、《對稱》、《生命的曲線》等中文書籍）

自然界的形成、運行、演化、生長、繁衍、消亡等都是有規(guī)律的，有些物體可以直接感到自然美，但更多的物體令人迷惑不解。我們深信“天道崇美”，但需要人去探究，揭露其規(guī)律，使人感受到深層次的自然美和科學(xué)美。這就是“因人而彰”。本文介紹和探討黃金分割律，就是想梳理和探討這種自然美和科學(xué)美。人有愛美的天性，而且人本身也是很精美的?！疤斓莱缑溃诵?a href="http://m.bjhyfc.net/lunwen/jiaoyue/yixue/200602/28208.html" target="_blank">好美”有普遍性，無論是天然物品還是人工制品，形態(tài)的丑陋必然表明其功能的缺陷，而某些功能的完美，往往伴隨著美的外形。探討黃金分割律可能對西方的思維方式和對美的認識有所幫助。

二、葵花子模特兒五角星

這里，舉三個例子說明存在黃金分割律和分割值。

1、葵花子

葵花子在花盤上的排列呈螺旋線，有順時針方向和逆時針方向，葵花子就生長在兩列螺旋線的交叉點上，見圖1?；ūP上有21列逆時針，34列順時針；或34列逆時針，55列順時針。其它如菠蘿表皮上的疙瘩（見圖2），斜向左下方的有8列，向右下方的有13列。松樹果球的鱗片也有螺旋狀排列，向左下或右下有5列，反向為8列；也有各為8列和13列的。這些奇怪的數(shù)字之間又有什么關(guān)系？原來它們都屬于費波納契(Fibonacci)數(shù)列。它的規(guī)則很簡單，前面鄰近兩項之和就是下一項(a[,n]=a[,n-1]+a[,n-2])。如令a[,1]=1,a[,2]=2，就可以寫出費波納契數(shù)列為：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,……這些數(shù)列有一個特點，就是前項被后項除(a[,n-1/a[,n])，其值從第八項以后均接近0.618?？梢試栏褡C明，當(dāng)n很大時，a[,n=1]/a[,n]等于黃金分割值G。原來這些天然生長的螺旋列均與黃金分割有關(guān)聯(lián)，怪不得這樣有序、和諧。直到上世紀末才有人證明，這樣有序排列可以使同樣面積上排列最多的種子和疙瘩數(shù)。但這些植物怎樣知道和控制這些有序生長呢？

附圖

2、模特兒

人的本身是很精美的。模特兒要長得比例勻稱和諧。勻稱的人，肚臍應(yīng)是他（她）的黃金分割點。黃金分割問題引起許多藝術(shù)家的興趣。例如達·芬奇在《繪畫論》中稱之為“神圣比例”，認為美感完全建立在各部分之間的比例上，各要素必須同時發(fā)生作用才能奏效。

要討論這個問題，還得從黃金分割值G談起。令Φ=(1+G)，則Φ[1]=0+Φ=1.618,Φ[2]=1+Φ=2.618,Φ[3]=1+2Φ=4.236,Φ[4]=2+3Φ=6.854,Φ[5]=3+5Φ=11.090,Φ[6]=5+8Φ=17.944,Φ[7]=8+13Φ=29.034,Φ[8]=13+21Φ=46.979,……;Φ[0]=1.000,Φ[-1]=-1+Φ=0.618,Φ[-2]=2-Φ=0.382,Φ[-3]=-3+2Φ=0.236,Φ[-4]=5-3Φ=0.146,Φ[-5]=-8+5Φ=0.090，……這里又反復(fù)出現(xiàn)費波納契數(shù)。

圖3示出一位藝術(shù)家所研究的模特兒的各部分的比例關(guān)系，可以看出各部分有美妙、和諧的比例，肚臍以上和以下的比例為(Φ[1]+1+Φ[1]+Φ[2]+Φ[3])/(Φ[4]+Φ[5])=11.090/17.944=0.618。可見這個模特兒多么合乎黃金分割規(guī)律，真是美妙之極。實際上，人的比例與此會有偏離，人們也不必為此而怨天尤人。

附圖

圖3一位藝術(shù)家的模特兒（引自《生命的曲線》第597頁）

3、五角星

新中國成立以后，人們都鐘愛五角星，因為國旗上有五顆五角星。2300多年前古希臘人就已知道用直尺和圓規(guī)求解黃金分割值G和制作五角星。此法被歐幾里德編入《幾何原理》。這里，簡單介紹求G值和畫五角星的方法。

先畫一個正方形ABCD（見圖4a），找出AB的中點E，畫直線EC，并在AB的延長線上找出F，使EF=EC，即可找到BF/AB=G和AF/AB=1+G。（用勾股弦定律即可證明）。設(shè)正方形的每邊長為1，則BF=G≈0.618。

再以B為圓心，畫通過A、B的圓（見圖4b），三角形BCF的每邊CF、BC和BF就是這個圓的內(nèi)接正五邊形、正六邊形和正十邊形的邊長。如以C為起點，在圓周上找出五等分點，就可畫出五角星，如圖4b所示。這就是2300多年前古希臘人畫五角星的方法。

附圖

中國人重視對稱美，北京的故宮建筑就具有莊嚴的對稱美。通過五角星的頂點和圓心畫一條直線，此直線就是鏡像左右對稱線。此種鏡像對稱線可畫五條。另一種對稱稱為旋轉(zhuǎn)對稱。以五角星的中心為軸，每旋轉(zhuǎn)72β(360β/5)即可與原圖重合，可重復(fù)五次，稱為五重對稱。五角星由直線和尖角組成，具有莊嚴陽剛之美。如將尖角換成花瓣，則成為五瓣花朵，如梅花、桃花等，就具有嫵媚溫柔之美。圖5Ⅰ、Ⅱ給出兩朵五瓣花（引自《對稱》圖39），其中Ⅰ是天竺葵，它具有五重旋轉(zhuǎn)對稱和鏡像對稱；Ⅱ是草本長春花，它只具五重旋轉(zhuǎn)對稱。

附圖

三、螺旋

天道崇美，螺旋在大自然中到處存在，通常體現(xiàn)自然美。在工業(yè)產(chǎn)品中更是常見，如螺絲釘、螺旋槳、鐘表發(fā)條等等。這里，對動植物中常見的螺旋和科學(xué)實驗中出現(xiàn)的螺旋作簡略介紹。

1、數(shù)學(xué)螺旋

除了前面提到的阿基米德螺旋線（ρ＝αθ）外，還有一種叫等角螺旋線，也叫對數(shù)螺旋（ρ＝e[αθ]），1638年笛卡爾首先研究）。它普遍存在于自然界、建筑設(shè)計和藝術(shù)創(chuàng)作中。它們都屬于平面螺旋。如將ρ隨θ再與Z軸發(fā)生聯(lián)系，使Z軸成為螺旋軸，便構(gòu)成立體螺旋。

這里介紹一種由長方形形成的特殊螺旋。在圖4a中介紹了BFC三角形的畫法，如補上同樣的倒三角形，即可得一個奇妙的長方形AFHD，如圖6所示。這就是黃金分割長方形。如果有人將這個長方形的一端剪去正方形ABCD，遺下的仍是相似的長方形；如此，原則上可無窮盡地重復(fù)剪下去，形象地體現(xiàn)了無窮級數(shù)的概念。如當(dāng)初令正方形的邊長為1，則長方形的面積為1×(1+G)，其值為Φ。所有剪下的正方形，其面積各為1,Φ[2],Φ[4],Φ[6],Φ[8],……其總和即為當(dāng)初長方形面積。

可以看出這些小方塊以逆時針方向作螺旋排列，見圖6。這些螺旋不是光滑曲線，而是跳躍式前進的。如將第一塊小方塊取在右上方，則可得順時針方向的螺旋。一般稱前者為右（手性）螺旋，后者是左（手性）螺旋。兩者呈鏡面對稱。所有螺旋都有手性，這是普遍的。

如將8塊此種長方形和一個正方形組成一個圖形（見圖7）。此為幸福的標(biāo)志，已在一些國家出現(xiàn)，并有較長的歷史（見《生命的曲線》203-209頁）。在1750年乾隆年間制作的一個紅漆小盒上，幾乎畫滿這種小圖形。

附圖

2、生物螺旋

螺旋普遍地存在于生物體，用途各不相同，形式各種各樣。最引人入勝的是貝殼（可參閱前面引過的書籍），這里僅引用一張，見圖8，它們具有手性，即右旋和左旋。

附圖

圖8

圖8a活體紡錘螺（右旋），8b化石紡錘螺（左旋）（《生命的曲線》188頁）

另一種美麗的螺旋是動物的犄角，它們往往長成左、右對稱。這里也引用一張，見圖9。

在攀緣植物中常利用螺旋狀卷須，它們可以是右旋轉(zhuǎn)，也可能是左旋轉(zhuǎn)的。

3、物理螺旋

在材料的晶體生長中可能出現(xiàn)螺旋位錯，它們影響材料的性能。

最近，北大納米研究中心研制出硅氧化物的螺旋和雙螺旋，見圖10a和10b，這些雙螺旋的細致結(jié)構(gòu)還不清楚，它與下面要討論的雙螺旋有什么關(guān)系呢？

附圖

4、圓周的黃金分割

前面已經(jīng)討論過將圓周角360°做5、6、10等分，可制作（或說明）各種美麗的圖形，如五角星、雪花等等?，F(xiàn)在，從直線的黃金分割，聯(lián)想到圓周是否也有黃金分割？英國人丘奇在說明植物生長的螺旋結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與黃金分割數(shù)的關(guān)系時指出：2π/Φ[2]（即137°30′27.95″）是黃金分割角度。在非對稱枝條或葉子植物生長的情況下可以觀察到。

四、雙螺旋——生命的曲線

《科學(xué)中國人》雜志于2002年12月發(fā)表了我寫的“天道崇美·人道頌勤—納米相薄膜的生長”，描述了無生命的一些藝術(shù)圖像，并作了分類討論。下面針對有生命的納米世界中的美進行討論。納米科技是1－100納米尺度范圍內(nèi)的科學(xué)和技術(shù)。地球上的生命現(xiàn)象起源于此尺度范圍。

《生命的曲線》的原版出版于1914年，1979年Dover出版社未加修訂，重新出版。中文本根據(jù)此版翻譯。這本書有許多精美的插圖和資料，對“自然美和科學(xué)美”有吸引人的敘述。此書不足之處是在出版時沒有補上“雙螺旋”這一章。上世紀五十年代脫氧核糖核酸(DNA)雙螺旋模型的發(fā)現(xiàn)與相對論和量子力學(xué)理論一起成為20世紀的三大發(fā)現(xiàn)。它解開了生命遺傳之謎，從此掀起了遺傳基因的研究熱。這里，從“天道崇美”的角度加以介紹和討論。

上世紀四十年代底，有三支隊伍在向DNA進軍，其中最年輕的一組是劍橋卡文笛許實驗室的沃森和克里克。1953年元旦剛過，他們就制造出一個新模型，在兩股糖與磷酸組成的雙螺旋鏈(L[,1]、L[,2])之間夾著堿基對。當(dāng)時已知的堿基有四種：腺嘌呤(A)、鳥嘌呤(G)、胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)。當(dāng)A與A和T與T相對接，可以符合已知的數(shù)據(jù)，但因堿基分子大小不同，使兩條螺旋骨架扭曲。沃森陷入了沉思，認為自然界DNA應(yīng)該有簡潔、和諧及美的結(jié)構(gòu)，不可能如此丑陋。他終于把模型拆開，按長短搭配，讓A和T及G和C配對。這樣裝配的模型具有舒展自如的和諧美，而且符合A和T及G和C數(shù)目各相等的要求。DNA結(jié)構(gòu)之謎從此解開。沃森和克里克寫了一篇“核酸的分子結(jié)構(gòu)—脫氧核糖核酸的結(jié)構(gòu)”發(fā)表在1953年4月英國《自然》雜志上。今年是這篇50周年。這篇短文只有一頁多一點，上有一張DNA結(jié)構(gòu)圖（見圖11a）。該結(jié)構(gòu)由雙螺旋鏈L[,1]L[,2]和兩種堿基對（橫杠）A-T、T-A和G-C、C-G從L[,1]到L[,2]連接起來，排列成特殊的旋轉(zhuǎn)梯狀。所有DNA雙螺旋都是右手螺旋，但由于與堿基橫杠匹配的關(guān)系，L[,1]和L[,2]原子排布的序列方向正好相反。所有橫杠都落在垂直于螺旋軸的平面內(nèi)，兩鄰面之間的距離為0.34納米。相鄰橫杠的相對夾角為36°，因此由十根依次排列的橫杠構(gòu)成一周期，即螺距為3.4納米。雙螺旋模型螺旋鏈至其軸的距離為1納米，其外徑為2納米，實際原子排列的外徑略大于2納米。

附圖

人的DNA分子全長約有1.8米，所含堿基橫杠就有54億條之多。這么長的DNA分子只能折疊起來放在一個細胞內(nèi)。一個人的基因，是其中的一段，約有2000條橫杠。

實際上，橫杠A-T是由二個氫鍵連接起來，C-G由三個氫鍵連接起來，見圖12ab。由于氫鍵較弱，DNA雙螺旋有可能像拉鏈一樣從中間斷開。在細胞繁殖的時候，這根雙螺旋從一端開始拆分成兩條，各成為尋找配對的模子，在浮游于細胞核內(nèi)的分子中找到新伴侶，例如A與新的T結(jié)合，G與新的C結(jié)合。這樣，就形成兩條與原來DNA一模一樣的復(fù)制品。這就是生命遺傳的方式。如果DNA在復(fù)制過程中出一點意外，就會造成物種的突變或病變。

附圖

與DNA雙螺旋鏈L1或L2相連的有四種分子單元A、T、C、G，著名學(xué)者薛定諤認為每次取出其中三個構(gòu)成一組，這樣排列組合，便成為攜帶大量遺傳信息的遺傳基因。目前進行的基因測序，就是要解開由此四種單元寫成的無字天書。各種物種都有各自的基因排列，造成物種的多樣性；也造成個體之間的區(qū)別，即可識別。

在解開DNA的謎之后，人們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)核糖核酸分子(RNA)、多肽、蛋白質(zhì)等分子也有螺旋結(jié)構(gòu)。在得出DNA結(jié)構(gòu)之前，沃森就提出“中心法則預(yù)測”：“DNA→RNA→蛋白質(zhì)”?！啊北硎拘畔⒘鞣较颍催z傳基因控制了生物的生長。后來發(fā)現(xiàn)了反向轉(zhuǎn)錄酶，有可能改造基因排布，但在常規(guī)情況下中心法則還是正確的。

沃森和克里克的這篇論文不足1000字，從總體上解開了遺傳之謎。沃森、克里克和威爾金斯一起獲得了1962年諾貝爾醫(yī)學(xué)和生理學(xué)獎。

本文作者用畫法幾何的方法把雙螺旋鏈和橫杠與五角星聯(lián)系起來，彰顯DNA與黃金分割的關(guān)系，說明生物生生不息與美有多么奇妙的關(guān)系。作者將沃森和克里克在英國《自然》（171卷(1953)737-738頁）上的插圖看成是該模型在平行于螺旋主軸的側(cè)面投影，見圖11a，再畫其與螺旋軸垂直平面上的投影，即頂視圖，如圖11b所示。大圓是雙螺旋鏈的投影，中心是螺旋軸的位置。圖11a上的0、1，到10是作者標(biāo)定橫杠的序號。0號位于L1和L2側(cè)視交疊處，此橫杠在投影圖上僅是一點。此點離螺旋軸的垂直距離為0.69納米。在頂視投影圖上，以旋轉(zhuǎn)軸為圓心，以0.69納米為半經(jīng)畫圓（見圖11b），此圓的最右邊的點就是0號橫杠應(yīng)通過的點。從此點開始將此圓周分成十等分，并將這些等分點以逆時針方向標(biāo)上序號1到10。依次在每個等分點畫該圓的切線，線的兩端終止于雙螺旋的投影圓。這些直線就是所有橫杠在頂視圖上的投影。其兩端標(biāo)志的L[,1]、L[,2]表示從螺旋鏈L[,1]出發(fā)到螺旋鏈L[,2]為止，使兩螺旋鏈固定。從投影圖可以看出橫杠長度都是一樣的，即1.42納米；相鄰橫杠之間的角度均為36°。如在小圓等分點2、4、6、8、10各點之間連接直線，即得正五角星，如圖11b所示。所有橫杠都可以找到與它平行的五角星的邊。在頂視投影圖11b中，橫杠排列為十重旋轉(zhuǎn)對稱，而五角星為五重旋轉(zhuǎn)對稱。當(dāng)從橫杠1開始以逆時針方向依次讀數(shù)前進時，與它們對應(yīng)的五角星平行邊以隔數(shù)跳躍方式順時針方向前進。在對橫杠讀數(shù)一周期時，在相應(yīng)的五角星上要轉(zhuǎn)兩圈。當(dāng)讀數(shù)到下一段螺旋的橫杠時，五角星的平行邊將繼續(xù)以跳躍式方式前進。只要雙螺旋繞其軸前進，就可以對任何一根橫杠找到其對應(yīng)的五角星的邊。

前面曾經(jīng)討論過用幾何作圖方法畫五角星，而五角星又與黃金分割有密切聯(lián)系。老天爺（指大自然）怎么會想到參照五角星創(chuàng)造出奇妙的雙螺旋鏈和橫杠呢？這是一個多么簡單、和諧而又舒展的模型，并在旋轉(zhuǎn)軸附近留有可供人類利用的空間。多么奇妙的生命世界！

五、結(jié)束語“公務(wù)員之家有”版權(quán)所

本文已對黃金分割的研究歷史作了梳理，并終止于DNA雙螺旋，大致可以看出東西方思維方式的差異。地球上，“大千世界，蕓蕓眾生，忙忙碌碌，悠悠自得，戰(zhàn)爭與和平共在，和諧與美麗長存。”作者把老子在《德經(jīng)》（四十二章）所說的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”，去其頭一句，改‘三’為‘四’，即“一生二，二生四，四生萬物”，并用來描述“蕓蕓眾生”。這樣，既有科學(xué)嚴謹性，又符合美學(xué)原理，具有總體的簡單性和個體的復(fù)雜性的辯證關(guān)系。對地球上生物來說，“只有一種雙螺旋，生有兩種堿基橫杠，并可拆分為四種分子單元，它們的排列組合衍生出萬物?！睂嶋H上，地球上有170萬種生物，其中微生物約10萬種，植物約30萬種，動物約130萬種（見《生命的曲線》第630頁）。每時每刻有物種消亡，也有新物種產(chǎn)生。目前，消亡數(shù)目大于新生數(shù)目，令人擔(dān)憂。提倡“天人合一”，使人類與大自然和諧相處，既保護了生態(tài)環(huán)境，也保護了人類自己。我們要紀念50年前沃森和克里克對DNA雙螺旋的發(fā)現(xiàn)，使我們對“蕓蕓眾生”有新的理解，也促進了當(dāng)前和今后生命科學(xué)和生物技術(shù)的蓬勃發(fā)展。

附：建議北京有一座雙螺旋模型安放在中關(guān)村，它是高新科技園區(qū)的標(biāo)志，但它沒有橫杠，無法體現(xiàn)遺傳特性。建議北京市人民政府在2008年舉辦奧運會之前，以沃森的模型為基礎(chǔ)，以站立起來的中國人的“人”字為形象，重新設(shè)計建造?！叭恕弊值纳喜渴峭暾碾p螺旋，下部是橫杠已拆開的兩股螺旋鏈，站立在基座上?；峡逃蠨NA的投影圖，即大圓、橫杠和五角星。它既是區(qū)標(biāo)，又是科普建筑，符合“人文奧運”的精神。