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1．直接法

這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識(shí)，通過(guò)變形、推理、運(yùn)算等過(guò)程，直接得到結(jié)果.

例1設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，集合A={x|x2-2=3}，B={x|18＜2x＜8}，則A∩B=.

解析：此題是一元二次方程根分布問(wèn)題，涉及指數(shù)不等式的解法，函數(shù)與方程思想，分類(lèi)討論思想等.求解此題惟有直接法.

不等式18＜2x＜8的解為-3＜x＜3，所以B={-3,3}.

若x∈A∩B，則x2-2=3-3＜x＜3，所以只可能取值-3,-2,-1,0,1,2.

若≤-2，則x2=3+2＜0，沒(méi)有實(shí)數(shù)解；若=-1，則x2=1，解得x=-1；

若=0，則x2=3，沒(méi)有符合條件的解；若=1，則x2=5，沒(méi)有符合條件的解；

若=2，則x2=7，有一個(gè)符合條件的解x=7.

因此，A∩B={-1,7}.

說(shuō)明：用直接法做的填空題，往往是一道小型計(jì)算題，此類(lèi)問(wèn)題除了考查某些知識(shí)點(diǎn)外，往往還考查某種數(shù)學(xué)思想和方法.

2．特殊化法

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果.

例2如圖1，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別為側(cè)棱AA1,CC1上的點(diǎn)，且AP=C1Q，則四棱錐B-APQC的體積為.

解析：P、Q點(diǎn)是變化的，但相互之間存在著條件AP=C1Q的牽制，使得四邊形APQC的面積為定值，而B(niǎo)點(diǎn)到面APQC的距離為定值，所以四棱錐B中國(guó)論文聯(lián)盟整理-APQC的體積為定值，考慮特殊位置，P→A,Q→C1，則易知VB-APQC=VB-AC1C=13V.

說(shuō)明：特殊化法，就是將題中的某個(gè)條件“特殊化”，其目的是在“特殊化”的條件下快速算出結(jié)果，至于如何將條件“特殊化”，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，便于計(jì)算即可.

3．賦值法

特殊值代入法，即賦值法，是解填空題題的常用方法.填空題因其題目的特殊性，在有些問(wèn)題中不要求有嚴(yán)密的推理證明，而只要能借助于一些特殊方法寫(xiě)出正確結(jié)果即可，故其應(yīng)用相當(dāng)普遍.

例3已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意的x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.若函數(shù)f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，f(1)=2，則f(2011)等于.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x-1)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是偶函數(shù)，于是由f(x+4)=f(x)+f(2)知f(-x+4)=f(-x)+f(2)=f(x)+f(2)，令x=2，得f(2)=0，所以有f(x+4)=f(x)，即f(x)的最小正周期為4.

所以f(2011)=f(-1)=f(1)=2，

說(shuō)明：賦值法在抽象函數(shù)問(wèn)題和二項(xiàng)式定理問(wèn)題十分有效.

4．構(gòu)造法

根據(jù)已知條件所提供的信息，適當(dāng)?shù)挠心康牡娜?gòu)造函數(shù)、數(shù)列、方程或幾何圖形等使問(wèn)題獲解.

例4數(shù)3可以用4種方法表示為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1.問(wèn)：2009表示為1個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和的方法有種.

解析：我們將2009個(gè)1寫(xiě)成一行，它們之間留有20088個(gè)空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“＋”號(hào).例如對(duì)于數(shù)3，上述4種和的表達(dá)方法對(duì)應(yīng)：111，11＋1，1＋11，1＋1＋1.顯然，將2009表示成和的形式與填寫(xiě)2008個(gè)空隙處的方式之間一對(duì)一，而每一個(gè)空隙處都有填“＋”號(hào)和不填“＋”號(hào)2種可能，因此2009可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有（種）.

說(shuō)明：構(gòu)造法的本質(zhì)就是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從看似沒(méi)有規(guī)律的“現(xiàn)象”中找到數(shù)學(xué)規(guī)律，這類(lèi)問(wèn)題具有較高的難度，我們應(yīng)善于聯(lián)想，大膽嘗試.

5．等價(jià)轉(zhuǎn)化法

通過(guò)“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化陌生為熟悉”，將問(wèn)題等價(jià)地轉(zhuǎn)化成便于解決的問(wèn)題，從而得出正確的結(jié)果.

例5若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c.在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求a2+b2的最小值為.

解析：由題意知f′(x)=3x2+2ax+b≤0在區(qū)間上恒成立，于是有f′(-1)=3-2a+b≤0f′(0)=b≤0，所表示的平面區(qū)域如圖所示，a2+b2的最小值即為原點(diǎn)到直線3-2a+b=0的距離的平方.不難算得答案為95.

說(shuō)明：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的“主旋律”.有些填空題“外包裝”很“華麗”，但一旦“剝?nèi)ァ边@層“包裝”，基本的數(shù)學(xué)問(wèn)題就會(huì)“凸現(xiàn)”，本例就是如此.

6．動(dòng)態(tài)操作法

通過(guò)動(dòng)手操作（實(shí)物模型）或模擬空間中的點(diǎn)、線、面元素的位置關(guān)系，探究解題過(guò)程，如翻折、展開(kāi)、旋轉(zhuǎn)、投影等等.

例6如圖2，正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為2a，E、F、G、H分別是SA、SB、BC、AC的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的面積的取值范圍是.

解析：因?yàn)镾-ABC是正三棱錐，所以四邊形EFGH為矩形，∴SEFGH=HG?EH，HG=12AB=a，是確定的，EH=12SC，是變化的，考慮EFGH的面積的取值范圍，其實(shí)質(zhì)是SC的變化范圍.因?yàn)镾-ABC是正三棱錐，S點(diǎn)在過(guò)△ABC的中心且垂直于面ABC的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)S點(diǎn)處于無(wú)窮遠(yuǎn)的“極限位置”時(shí)，SC趨近于無(wú)窮大，當(dāng)S點(diǎn)處于平面內(nèi)的“極限位置”時(shí)，“SC”=23?32?(2a)=233a，“SEFGH”=33a2，所以，四邊形EFGH的面積的取值范圍是（33a2,+∞）.

說(shuō)明：動(dòng)態(tài)操作法就是用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)處理問(wèn)題，這個(gè)方法通常用在立體幾何和解析幾何相關(guān)的填空題中.

7．?dāng)?shù)形結(jié)合法

通過(guò)以數(shù)示形，以形示數(shù)，借助圖形的直觀性（函數(shù)圖像、幾何意義等）來(lái)求解.

例7已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x+1)=f(x-1)，且x∈時(shí)，f(x)=x2，g(x)=log5x，則方程f(x)=g(x)的解的個(gè)數(shù)為.

解析：f(x)=g(x)是個(gè)超越方程，我們無(wú)法把根一一求出，而結(jié)果只關(guān)心根的個(gè)數(shù)，于是想到通過(guò)作圖象來(lái)直觀判斷.由條件知，函數(shù)y=f(x)(x∈R)是以2為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈時(shí)，f(x)=x2.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=f(x)與y=g(x)的圖象（如圖），由圖象易知，y=f(x)與y=g(x)有4個(gè)交點(diǎn)，故方程f(x)=g(x)的解的個(gè)數(shù)為4.說(shuō)明：數(shù)形結(jié)合法雖然能使答案一望便知，但作圖必須力圖精確，尤其是函數(shù)圖象，否則也難保結(jié)果準(zhǔn)確.

[JX+1.7mm][XC0833B.TIF；%115%100][JX-+1.7mm][KG-23.5mm]8．類(lèi)比推理法

類(lèi)比推理是一事物推廣到它事物的過(guò)程，即指由某類(lèi)對(duì)象的某些屬性，運(yùn)用類(lèi)比推出它所在別的屬性上也可能具有相同或相似的屬性.“類(lèi)比”的載體可以是平面到空間的升維，也可以是方法的遷移、策略上的推廣、情景上的發(fā)散等等.

例8我們可以運(yùn)用下面的原理解決一些相關(guān)圖形的面積問(wèn)題：如果與一固定直線平行的直線被甲、乙兩個(gè)封閉的圖形所截得線段的比都為k，那么甲的面積是乙的面積的k倍.你可以從給出的簡(jiǎn)單圖形①、②中[JP3]體會(huì)這個(gè)原理．現(xiàn)在圖③中的曲線分別是x2a2+y2b2=1(a>b>0)與x2+y2=a2，運(yùn)用上面的原理，圖③中橢圓的面積為．

解析：用平行于y軸的直線x=t截圖形，截得的橢圓弦長(zhǎng)為2baa2-t2，截得圓的弦長(zhǎng)為2a2-t2，它們的比為ba，∵圓的面積為πa2，∴橢圓的面積為πab.把這個(gè)結(jié)論推廣到空間，就是祖恒原理了．

說(shuō)明：類(lèi)比推理型填空題是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)要求我們由此及彼，發(fā)散思維，快速找到一些問(wèn)題的“共同語(yǔ)言”.

其實(shí)，解答填空題的方法，何止上文提到的八種！而能夠多角度思考問(wèn)題，靈活選擇方法，才是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān)鍵！