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摘要：初中數(shù)學建模活動是培養(yǎng)初中生數(shù)學建模能力的有效路徑。與高中數(shù)學建?；顒酉啾?，初中數(shù)學建?；顒記]有明確的活動內(nèi)容、教學要求、實施策略等?；诔踔袛?shù)學建?；顒拥膬?nèi)涵分析，將初中學段的建模活動內(nèi)容劃分為構(gòu)建數(shù)學模型、應用數(shù)學模型、主題綜合實踐等三類，指出初中數(shù)學建?；顒討裱橄笮浴㈦A段性、適切性、發(fā)展性等組織原則。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學建?；顒觾?nèi)容設(shè)計組織原則

數(shù)學建模能力在初中課程內(nèi)容中，數(shù)學建模活動既沒有明確的課程定位、目標要求，也未設(shè)置專題活動內(nèi)容，更沒有明確的教學要求、實施策略等，致使很多一線教師對初中數(shù)學建模活動的內(nèi)涵、內(nèi)容設(shè)計和組織原則等認識模糊，甚至將應用題教學與數(shù)學建?；顒雍唵蔚禺嬌系忍枴Ｒ蚨?，正確理解初中數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)涵，明確建模活動內(nèi)容，掌握組織原則，才能取得預期的活動成效。

一、初中數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)涵

數(shù)學建?；顒佑蓴?shù)學、建模、活動三個關(guān)鍵詞構(gòu)成?！皵?shù)學”凸顯數(shù)學學科本質(zhì)屬性，蘊含著數(shù)學眼光、數(shù)學思維、數(shù)學語言等諸多含義，最終指向用數(shù)學知識分析和解決實際問題；“建模”是指運用數(shù)學符號系統(tǒng)建立數(shù)學模型；“活動”是指為實現(xiàn)學習目標而采取的行動。初中數(shù)學建模活動是指初中生（以下簡稱“學生”）在實際情境（生活情境、社會情境、科學情境和數(shù)學情境）中，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)和提出問題，用數(shù)學的方法分析問題，簡化、假設(shè)、抽象出數(shù)學問題，建構(gòu)數(shù)學模型，確定參數(shù)、求解驗證，最終解決實際問題的學習活動。2011年版義務教育數(shù)學課程標準中使用了“模型思想”的表述，將數(shù)學建?；顒涌闯墒且环N思想，包括從現(xiàn)實問題到數(shù)學問題、從數(shù)學問題到數(shù)學模型，數(shù)學模型求解及結(jié)果驗證三個過程。2017年版高中課程標準指出數(shù)學建?；顒邮且环N過程，分為現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象（實際模型）、數(shù)學表達（數(shù)學問題）、建構(gòu)模型求解問題三個階段。從建立和求解模型的過程與形態(tài)可以看出，模型思想的建立過程與數(shù)學建?；顒舆^程的本質(zhì)是一致的，都包含對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達形成數(shù)學問題，用數(shù)學方法建構(gòu)數(shù)學模型，計算求解模型并解釋現(xiàn)實問題的活動過程。事實上，模型思想必然形成于數(shù)學建?；顒拥倪^程中。

二、初中數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)容設(shè)計

1.構(gòu)建數(shù)學模型活動

數(shù)學建模中的“建?！笔侵附?gòu)數(shù)學模型[1]。數(shù)學知識本身就是一種數(shù)學模型，從數(shù)學知識屬性維度看，數(shù)學模型一般分為概念模型、方法模型和結(jié)構(gòu)模型。因此，學生對數(shù)學知識的學習本質(zhì)是一種構(gòu)建數(shù)學模型的學習活動，構(gòu)建數(shù)學模型是學生習得數(shù)學知識的基本途徑。從初中數(shù)學建?；顒樱ㄒ韵潞喎Q“數(shù)學建模活動”）的過程看，構(gòu)建數(shù)學模型活動本身不是嚴格意義上的數(shù)學建模活動，而是數(shù)學建模活動過程的某個階段或某個環(huán)節(jié)。在這類建?；顒又校顒又攸c是滲透模型思想，使學生學會建構(gòu)數(shù)學模型，為完成完整的數(shù)學建?；顒拥旎０咐?：《數(shù)學》（蘇科版）八年級上冊“6.2一次函數(shù)”問題1.給汽車加油的加油槍流量為25L/min.如果加油前郵箱里沒有油，那么在加油過程中，郵箱里的油量與加油時間之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如果加油前郵箱里有6L油呢？問題2.汽車以100km/h的速度勻速行駛，行駛時間與行駛路程有怎樣的函數(shù)關(guān)系？問題3.汽車郵箱內(nèi)有油40L，每行駛100km耗油10L，則行駛過程中油箱內(nèi)剩余油量與行駛路程有怎樣的函數(shù)關(guān)系？問題4.這些函數(shù)關(guān)系式有什么共同的特征？以汽車油箱油量為現(xiàn)實情境，提出問題，使學生在經(jīng)歷數(shù)學模型建構(gòu)的過程中感悟相同問題情境中不同數(shù)學視角下的數(shù)量關(guān)系。問題1中油箱的油量分為兩類情況：無油、有油，從數(shù)學建模的過程看，是對實際問題的一種假設(shè)。提出的問題是油箱里的油量與加油時間之間的函數(shù)關(guān)系，這就要求學生將兩個研究對象進一步數(shù)學化，用數(shù)學符號進行第一次抽象，用y（L）表示油箱里的油量、x（min）表示加油時間，接著根據(jù)情境進行第二次抽象（數(shù)學符號表達），獲得數(shù)學關(guān)系式y(tǒng)=25x、y=25x+6。在問題1的基礎(chǔ)上，從問題2、問題3中容易獲得數(shù)學關(guān)系式s=100t、Q=40-s10。問題4是對函數(shù)表達式（數(shù)學關(guān)系）的再抽象，即學生對數(shù)學關(guān)系的進一步抽象與表達，從而獲得穩(wěn)定的數(shù)學結(jié)構(gòu)：y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k≠0），形成概念模型———一次函數(shù)。

2.應用數(shù)學模型活動

數(shù)學建?；顒痈鼜娬{(diào)的是建立模型和解決問題的過程[2]。數(shù)學模型的價值在于將現(xiàn)實世界與數(shù)學的壁壘打通，通過數(shù)學模型連接現(xiàn)實世界與數(shù)學世界，使學生體悟數(shù)學建模的現(xiàn)實意義?，F(xiàn)行初中數(shù)學教材注重數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，設(shè)置了大量的應用類問題，為學生應用數(shù)學模型解決實際問題提供了良好的載體。比如蘇科版初中數(shù)學教材中勾股定理的簡單應用、用一次函數(shù)解決問題、銳角三角函數(shù)的簡單應用、收取多少保險費才合理等屬于應用數(shù)學模型活動。雖然這些應用類問題具有封閉的、數(shù)據(jù)清楚、信息正好、結(jié)果唯一等特點，不同于真正的數(shù)學建模問題，但應用數(shù)學模型活動也屬于數(shù)學建模過程的重要階段，解決應用類問題所考查的能力往往正是數(shù)學建模過程中某些環(huán)節(jié)所需要的能力[3]。教師要利用好這些素材，開展有意義的數(shù)學模型應用活動，在活動中滲透數(shù)學建模思想，重點提升學生建構(gòu)數(shù)學模型解決應用題的能力。案例2：《數(shù)學》九年級上冊“一元二次方程解決問題”問題1.某服裝超市銷售一批襯衫，在每件盈利40元的情況下，平均每天可售出服裝20件。為了增加盈利，超市采取了擴大銷售，降價促銷的措施。假設(shè)在一定的范圍內(nèi)，襯衫的單價每降1元，超市平均每天可多售出2件。如果降價促銷后超市銷售這批襯衫每天可盈利1250元，那么襯衫降價促銷前的單價是多少元？問題2.根據(jù)龍灣風景區(qū)的旅游信息：旅游人數(shù)不超過30人，人均收費800元；人數(shù)超過30人，每增加1人，人均收費降低10元，但人均收費不低于500元。某旅行社組織一批游客到該風景區(qū)旅游，支付給龍灣風景區(qū)售票處28000元。你能確定參加這批游客的人數(shù)嗎？問題1是一道應用題，從數(shù)學建模內(nèi)容看，屬于應用數(shù)學模型解決實際問題。這類問題往往與現(xiàn)實生活中的實際情況有很大差異，甚至有老師懷疑問題情境的真實性。事實上，教材編寫者在設(shè)置應用類問題時，要處理好兩個互相矛盾的問題：一方面要設(shè)置一些真實的實際問題情境，讓學生經(jīng)歷用數(shù)學知識解決實際問題的過程，感悟數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力；另一方面受制于學生的數(shù)學認知水平、心理特點等，呈現(xiàn)的實際問題不可能是原生態(tài)的現(xiàn)實問題，需將其進行一定的抽象、簡化、假設(shè)，以符合學生的認知水平。在教學中，將引導學生建構(gòu)數(shù)學模型做為教學重點，驅(qū)動學生經(jīng)歷建立數(shù)學模型求解實際問題的活動過程，培養(yǎng)學生建立和求解數(shù)學模型的能力。問題2也是一道應用題，從呈現(xiàn)信息的方式來看，更符合現(xiàn)實世界中的信息原型。在教學時，要注重引導學生獲取有效信息，用數(shù)學符號分別表達“不超過30人”和“超過30人”的收費情況，從而獲得一元二次方程模型，經(jīng)歷建立模型、求解模型、檢驗結(jié)果、解釋問題的數(shù)學建模過程，培養(yǎng)學生的階段性數(shù)學建模能力。

3.主題綜合實踐活動

主題綜合實踐活動是指以現(xiàn)實世界中實際問題為研究對象，明確具體研究主題，綜合應用學科知識（不限于數(shù)學知識）解決實際問題的實踐活動。在初中階段，主題綜合實踐活動是數(shù)學建?；顒拥闹饕问?，是學生參與完整的數(shù)學建模活動，培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的重要途徑。主題綜合實踐活動內(nèi)容源于雜亂無序的現(xiàn)實世界，學生需從“原生態(tài)”的現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題，我們一般將其稱為數(shù)學化能力。數(shù)學化能力是數(shù)學建模的關(guān)鍵成分，在主題綜合實踐活動設(shè)計中應予以重點關(guān)注。每個學期開展1~2次主題綜合實踐活動，有利于促進學生經(jīng)歷完整的數(shù)學建?；顒舆^程，培養(yǎng)數(shù)學建模能力。案例3：綜合實踐主題“蘇州市出租車收費”（1）問題背景蘇州市某出租車公司大眾小型出租車把收費標準張貼在后排車窗玻璃上。（2）信息整理已知蘇州市某出租車公司的大眾小型出租車起步價為10元（不確定是否含燃油附加費），超起租里程3km后單價每千米1.8元，超過5公里后單程加收50%空駛費。（3）提出問題問題1.大眾小型出租車是如何收費的？問題2.如何為乘客制定費用最低的打車策略？（4）建?；顒訄F隊協(xié)作，分階段完成以下活動流程：分析問題———提出假設(shè)———確定參數(shù)———建立模型———求解模型———檢驗結(jié)果——改進模型——解決問題。綜合實踐主題的選題源自學生熟悉的現(xiàn)實生活，符合學生的生活經(jīng)驗和認知水平。綜合實踐活動有利于激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)應用意識和數(shù)學建模能力，具有積極的現(xiàn)實意義。比如在分析問題環(huán)節(jié)，先梳理影響出租車收費的相關(guān)因素，再確定主要因素（里程數(shù)），調(diào)查收集燃油附加費的收費標準。在提出假設(shè)環(huán)節(jié)，假設(shè)出租車收費只受里程數(shù)影響，不存在乘客主觀因素的影響；假設(shè)打車策略以費用為唯一標準，不考慮顧客的主觀感受，也不考慮出租車公司的有關(guān)優(yōu)惠活動。主題綜合實踐活動任務給學生提供了“原生態(tài)”的問題情境，能有效驅(qū)動學生從現(xiàn)實世界中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的實際問題，運用數(shù)學知識建立數(shù)學模型，從而解決實際問題。從主題綜合實踐活動的整個流程看，學生經(jīng)歷了相對完整的數(shù)學建?；顒舆^程，有效彌補了以上兩種階段性建?；顒釉谂囵B(yǎng)學生數(shù)學建模能力上的不足，對培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力至關(guān)重要。

三、初中數(shù)學建模活動的組織原則

1.階段性原則

階段性原則是指根據(jù)初中數(shù)學教學內(nèi)容，參照數(shù)學建模過程將數(shù)學建模活動分為不同的階段，發(fā)揮數(shù)學建模活動的教育價值[4]。數(shù)學建模活動是一個完整的解決實際問題的過程，具體包括現(xiàn)實原型———實際模型———數(shù)學模型———模型求解———檢驗解釋等。在初中數(shù)學學習中，受數(shù)學知識與數(shù)學能力所限，我們不可能也沒必要使學生經(jīng)常性地經(jīng)歷完整的數(shù)學建?；顒舆^程[5]。在平時數(shù)學知識的教學中，注重滲透數(shù)學模型思想，引導學生經(jīng)歷數(shù)學建模的某個環(huán)節(jié)或某個階段，體現(xiàn)數(shù)學建模活動的階段性原則。初中數(shù)學建模活動一般分為三個階段：標準數(shù)學模型學習階段、用數(shù)學模型解決實際問題（應用題）階段、主題建模實踐階段。三個階段由低到高、層層遞進，教學中應根據(jù)數(shù)學建?；顒拥膬?nèi)容特點，對建模活動目標精準定位，分階段、分層次培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。

2.適切性原則

適切性原則是指數(shù)學建?；顒觾?nèi)容應源于學生熟悉的、真實的實際情境，符合學生的認知基礎(chǔ)、智力水平和心理特點，注意學生解決問題能力上的差異[6]。從實際情境的視角看，選用的問題情境要符合實際情況，是學生熟悉的情境。對于綜合性實際情境，應具備一定的挑戰(zhàn)性，有利于促進學生主動學習數(shù)學、物理等相關(guān)學科知識，但建立數(shù)學模型時涉及的數(shù)學及跨學科知識應符合其認知水平，不能隨意提高數(shù)學建?；顒拥囊?。從數(shù)學建模的教育價值看，數(shù)學建?；顒討趯W生解決實際問題能力的基礎(chǔ)上，運用數(shù)學知識又不限于數(shù)學知識主動連接現(xiàn)實世界，感受數(shù)學建模的應用價值。

3.發(fā)展性原則

發(fā)展性原則是指組織的數(shù)學建?；顒討茯?qū)動學生積極主動參與建?；顒?，發(fā)展學生的數(shù)學建模能力。發(fā)展性原則屬于數(shù)學建?；顒拥哪繕朔懂?，即為什么組織、為誰組織數(shù)學建?；顒?？發(fā)展學生的數(shù)學建模能力是數(shù)學建?；顒拥某霭l(fā)點和落腳點，在組織不同類型的數(shù)學建?；顒訒r，都應遵循發(fā)展性原則，提高數(shù)學建?；顒恿⒁?，將活動目標落到實處。比如在構(gòu)建數(shù)學模型的活動中，活動的內(nèi)容設(shè)計應有利于引導學生經(jīng)歷現(xiàn)實問題到數(shù)學問題再到數(shù)學模型的抽象過程，特別是對數(shù)學對象的第二次抽象時，教師應將教學重心放在引導學生用數(shù)學符號建構(gòu)數(shù)學結(jié)構(gòu)（數(shù)學模型）上，分階段發(fā)展學生數(shù)學建模能力水平。

參考文獻

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[5]溫建紅，鄧宏偉.“綜合與實踐”教學中滲透模型思想的策略與建議[J].中學數(shù)學月刊，2021（03）：52-55.

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作者：孫凱   單位：江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學校