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二次根式有理化的方法范文第1篇

二次根式知識(shí)點(diǎn)：

知識(shí)點(diǎn)一：

二次根式的概念

形如（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被開(kāi)放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒(méi)有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。

知識(shí)點(diǎn)二：取值范圍

1.

二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a≧0時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開(kāi)方數(shù)大于或等于零即可。

2.

二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，沒(méi)有意義。

知識(shí)點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性

（）表示a的算術(shù)平方根，也就是說(shuō)，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。

注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎綼的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。

知識(shí)點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)

（）

文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。

注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若，則，如：，.

知識(shí)點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)

文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

注：

1、化簡(jiǎn)時(shí)，一定要弄明白被開(kāi)方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a本身，即；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即；

2、中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，一定有意義；

3、化簡(jiǎn)時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對(duì)值的意義來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)。

知識(shí)點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)

1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，?，而

2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開(kāi)方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.

知識(shí)點(diǎn)七：二次根式的性質(zhì)和最簡(jiǎn)二次根式

如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y

等；

含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等

（3）最終結(jié)果分母不含根號(hào)。

知識(shí)點(diǎn)八：二次根式的乘法和除法

1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì)

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

2.

乘法法則

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

二次根式的乘法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。

3.除法法則

√a÷√b=√a÷b（a≥0，b>0）

二次根式的除法運(yùn)算法則，用語(yǔ)言敘述為：兩個(gè)數(shù)的算數(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)商的算數(shù)平方根。

4.有理化根式。

如果兩個(gè)含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式叫做有理化根式,也稱有理化因式。

知識(shí)點(diǎn)九：二次根式的加法和減法

1

同類二次根式

一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

2

合并同類二次根式

把幾個(gè)同類二次根式合并為一個(gè)二次根式就叫做合并同類二次根式。

3二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的進(jìn)行合并。

知識(shí)點(diǎn)十：二次根式的混合運(yùn)算

1確定運(yùn)算順序

2靈活運(yùn)用運(yùn)算定律

3正確使用乘法公式

4大多數(shù)分母有理化要及時(shí)

5在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化

知識(shí)點(diǎn)十一：分母有理化

分母有理化有兩種方法

I.分母是單項(xiàng)式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

II.分母是多項(xiàng)式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

如圖

注意：1.根式中不能含有分母

2.分母中不能含有根式。

一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一元二次方程知識(shí)點(diǎn)：

1.

一元二次方程的一般形式:

a≠0時(shí)，ax2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要先化為一般形式，目的是確定一般形式中的a、

b、

c；

其中a

、

b,、c可能是具體數(shù)，也可能是含待定字母或特定式子的代數(shù)式.

2.

一元二次方程的解法:

一元二次方程的四種解法要求靈活運(yùn)用，

其中直接開(kāi)平方法雖然簡(jiǎn)單，但是適用范圍較??；公式法雖然適用范圍大，但計(jì)算較繁，易發(fā)生計(jì)算錯(cuò)誤；因式分解法適用范圍較大，且計(jì)算簡(jiǎn)便，是首選方法；配方法使用較少.

3.

一元二次方程根的判別式:

當(dāng)ax2+bx+c=0

(a≠0)時(shí)，Δ=b2-4ac

叫一元二次方程根的判別式.請(qǐng)注意以下等價(jià)命題：

Δ＞0

有兩個(gè)不等的實(shí)根；

Δ=0

有兩個(gè)相等的實(shí)根；

Δ＜0

無(wú)實(shí)根；

Δ≥0

有兩個(gè)實(shí)根（等或不等）.

4.

一元二次方程的根系關(guān)系：

當(dāng)ax2+bx+c=0

(a≠0)

時(shí)，如Δ≥0，有下列公式：

5.

一元二次方程的解法

（1）

直接開(kāi)平方法

（也可以使用因式分解法）

①

解為：

②

解為：

③

解為：

④

解為：

（2）

因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法

如：

此類方程適合用提供因此，而且其中一個(gè)根為0

（3）

配方法

①二次項(xiàng)的系數(shù)為“1”的時(shí)候：直接將一次項(xiàng)的系數(shù)除于2進(jìn)行配方，如下所示：

示例：

②二次項(xiàng)的系數(shù)不為“1”的時(shí)候：先提取二次項(xiàng)的系數(shù)，之后的方法同上：

示例：

（4）公式法：一元二次方程，用配方法將其變形為：

①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：

②

當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：

③

當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒(méi)有實(shí)根。

備注：公式法解方程的步驟：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：，并確定出、、

②求出，并判斷方程解的情況。

③代公式：（要注意符號(hào)）

5．當(dāng)ax2+bx+c=0

(a≠0)

時(shí)，有以下等價(jià)命題：

(以下等價(jià)關(guān)系要求會(huì)用公式

；Δ=b2-4ac

分析，不要求背記)

（1）兩根互為相反數(shù)

?

=

0且Δ≥0

?

b

=

0且Δ≥0；

（2）兩根互為倒數(shù)

?

=1且Δ≥0

?

a

=

c且Δ≥0；

（3）只有一個(gè)零根

?

=

0且≠0

?

c

=

0且b≠0；

（4）有兩個(gè)零根

?

=

0且=

?

c

=

0且b=0；

（5）至少有一個(gè)零根

?

=0

?

c=0；

（6）兩根異號(hào)

?

＜0

?

a、c異號(hào)；

（7）兩根異號(hào)，正根絕對(duì)值大于負(fù)根絕對(duì)值?

＜0且＞0?

a、c異號(hào)且a、b異號(hào)；

（8）兩根異號(hào)，負(fù)根絕對(duì)值大于正根絕對(duì)值?

＜0且＜0?

a、c異號(hào)且a、b同號(hào)；

（9）有兩個(gè)正根

?

＞0，＞0且Δ≥0

?

a、c同號(hào)，

a、b異號(hào)且Δ≥0；

（10）有兩個(gè)負(fù)根

?

＞0，＜0且Δ≥0

?

a、c同號(hào)，

a、b同號(hào)且Δ≥0.

6．求根法因式分解二次三項(xiàng)式公式：注意：當(dāng)Δ＜

0時(shí)，二次三項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能分解.

ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

或

ax2+bx+c=.

7．求一元二次方程的公式：

x2

-（x1+x2）x

+

x1x2

=

0.

注意：所求出方程的系數(shù)應(yīng)化為整數(shù).

8．平均增長(zhǎng)率問(wèn)題--------應(yīng)用題的類型題之一

（設(shè)增長(zhǎng)率為x）：

(1)

第一年為

a

,

第二年為a(1+x)

,

第三年為a(1+x)2.

（2）常利用以下相等關(guān)系列方程：

第三年=第三年

或

第一年+第二年+第三年=總和.

9．分式方程的解法：

10.

二元二次方程組的解法：

11．幾個(gè)常見(jiàn)轉(zhuǎn)化：

，

，

，

，

，

等

；

；

滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

勾股定理知識(shí)總結(jié)：

一．基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：

1：勾股定理

直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要點(diǎn)詮釋：

勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）

（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊

（3）利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題

2：勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)：a、b、c，則有關(guān)系a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

要點(diǎn)詮釋：

勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：

（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；

（2）驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2＝a2+b2，則ABC是以∠C為直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，則ABC是以∠C為鈍角的鈍角三角形；若c2

（定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)，，滿足，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）

3：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；

聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。

4：互逆命題的概念

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。

5：勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法

用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理

常見(jiàn)方法如下：

方法一：，，化簡(jiǎn)可證．

方法二：

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為

大正方形面積為

所以

方法三：，，化簡(jiǎn)得證

6：勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時(shí)，稱，，為一組勾股數(shù)

②記住常見(jiàn)的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；；；等

③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；

（為正整數(shù)）（，為正整數(shù)）

二、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。

2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。

3．勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。

4.

勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．

5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．

我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）

滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

四邊形知識(shí)點(diǎn)：

一、關(guān)系結(jié)構(gòu)圖：

二、知識(shí)點(diǎn)講解：

1．平行四邊形的性質(zhì)（重點(diǎn)）：

ABCD是平行四邊形T

2.平行四邊形的判定（難點(diǎn)）：

.

3.

矩形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是矩形T

(4)是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸．

4矩形的判定：

矩形的判定方法：(1)有一個(gè)角是直角的平行四邊形；

(2)有三個(gè)角是直角的四邊形；

(3)對(duì)角線相等的平行四邊形；

(4)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形．

T四邊形ABCD是矩形.

5.

菱形的性質(zhì)：

因?yàn)锳BCD是菱形T

6.

菱形的判定：

T四邊形四邊形ABCD是菱形.

7.正方形的性質(zhì)：

ABCD是正方形T

8.

正方形的判定：

T四邊形ABCD是正方形.

名稱

定義

性質(zhì)

判定

面積

平

行

四

邊

形

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

①

對(duì)邊平行；

②對(duì)邊相等；

③對(duì)角相等；

④鄰角互補(bǔ)；

⑤對(duì)角線互相平分；

⑥是中心對(duì)稱圖形

①定義；

②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形；

③一組對(duì)邊平行且相等的四邊形；

④兩組對(duì)角分別相等的四邊形；

⑤對(duì)角線互相平分的四邊形。

S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)

矩

形

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形

除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有：①四個(gè)角都是直角；

②對(duì)角線相等；

③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。

①有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；

③定義。

S=ab(a為一邊長(zhǎng)，b為另一邊長(zhǎng))

菱

形

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。

除具有平行四邊形的性質(zhì)外，還有

①四邊形相等；

②對(duì)角線互相垂直，且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。

①四條邊相等的四邊形是菱形；

②對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形；

③定義。

①S=ah(a為一邊長(zhǎng)，h為這條邊上的高)；

②(b、c為兩條對(duì)角線的長(zhǎng))

正

方

形

有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

具有平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)：①四個(gè)角是直角，四條邊相等；

②對(duì)角線相等，互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

③既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形。

①有一組鄰邊相等的矩形是正方形；

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；

③定義。

①(a為邊長(zhǎng))；

②(b為對(duì)角線長(zhǎng))

滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)下知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

知識(shí)點(diǎn)1：表示數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的代表

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的特征數(shù)，只是描述的角度不同，其中平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛。

知識(shí)點(diǎn)2：表示數(shù)據(jù)離散程度的代表

極差的定義：一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，能反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，我們就把這樣的差叫做極差。

極差=最大值－最小值，一般來(lái)說(shuō)，極差小，則說(shuō)明數(shù)據(jù)的波動(dòng)幅度小。

知識(shí)點(diǎn)3：生活中與極差有關(guān)的例子

在生活中，我們經(jīng)常用極差來(lái)描述一組數(shù)據(jù)的離散程度，比如一支籃球隊(duì)隊(duì)員中最高身高與最矮身高的差。一家公司成員中最高收入與最低收入的差。

知識(shí)點(diǎn)4：平均差的定義

在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的絕對(duì)值的平均數(shù)即T=叫做這組數(shù)據(jù)的“平均差”。

“平均差”能刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的離散程度，“平均差”越大，說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度越大。

知識(shí)點(diǎn)5：方差的定義

在一組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)差的平方，它們的平均數(shù)，即S2=來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的離散程度，并把S2叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

知識(shí)點(diǎn)6：標(biāo)準(zhǔn)差

方差的算術(shù)平方根，即用S=來(lái)描述這一組數(shù)據(jù)的離散程度，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

知識(shí)點(diǎn)7：方差與平均數(shù)的性質(zhì)

若x1，x2，…xn的方差是S2，平均數(shù)是，則有

①x1+b，

x2+b…xn+b的方差為S2，平均數(shù)是+b

②ax1，

ax2，…axn的方差為a2s2，平均數(shù)是a

二次根式有理化的方法范文第2篇

差值比較法分四步：作差、變形、判斷符號(hào)、下結(jié)論。作差是依據(jù)，變形是手段，判斷差的符號(hào)才是目的。

商值比較法分四步：作商、變形、比較商與1的大小、下結(jié)論，注意分母的正負(fù)號(hào)。

關(guān)鍵是變形，變形的目的是判斷正負(fù)號(hào)或比較1的大小。 變形的技巧通常有以下九種：

一、化簡(jiǎn)

作差，化簡(jiǎn)是一種最常見(jiàn)的方法，即使不能直接判斷差的正負(fù)，也要先化簡(jiǎn)，再作其它變形。

例1、求證a+3a-5

證明：a+3a-5-a+2a-4=a■-2a-15-a■-2a-8=-7

a+3a-5

二、通分

一般地，遇到分式先通分。通分，可以通分母，也可以通分子，通分母看分子，通分子看分母。

例2、已知a，b，m都是正數(shù)，并且a■

證明：■-■=■，

由于a，b，m都是正數(shù)，并且a

b+m>0，b-a>0

■>0

■>■

三、因式分解

因式分解，化“差”為“積”，幾個(gè)因式的積或商，有利于判斷正負(fù)。

例3、求證：若a>b>c，則bc■+ca■+ab■

證明：bc■+ca■+ab■-b■c+c■a+a■b=b-ac-ac-b a>b>c，b-a

（b-a）（c-a）（c-b）

bc■+ca■+ab■

四、配方

對(duì)于二次三項(xiàng)式，如果不能因式分解，就配方變成幾個(gè)正數(shù)（或負(fù)數(shù)）的和。

例4、求證（1）x2+3>2x （2）a2+b2≥2a-b-1

證明：（1）（x2+3）-2x=（x-1）2+2>0

x2+3>2x

（2）a■+b■-2a-b-1=a-1■+b+1■≥0

a2+b2≥2（a-b-1）

五、有理化

一般地，遇到根式先有理化，有理化分三種，分子有理化、分母有理化、分子分母同時(shí)有理化。

例5、已知a？莛1，M=■-■，N=■-■比較M與N的大小。

證明：

M-N=■-■-■-■=■- ■

=■

=--■

M

六、拼湊，拆項(xiàng)分組，幾個(gè)正數(shù)（或負(fù)數(shù)）的和

例6、已知a>b，c

證明：（a-c）（b-d）=（a-b）+（d-c）

a>b，c

a-b>0，d-c>0

（a-c）-（b-d）=（a-b）+（d-c）>0

a-c

例7、已知0

證明：a■-1-a=a■+a-1=a-■a+■-■

而0

a■

七、判別式

對(duì)于二次三項(xiàng)式，可以用判別式法。

例8、已知：a，b∈R求證：a■+b■？叟ab+a+b-1。

證明：a■+b■-ab+a+b-1=a■-b+1a+b■-b+1

對(duì)于a的二次三項(xiàng)式a■-b+1a+b■-b+1

=b+1■-4b■-b+1=-3b-1■？燮0

a■-b+1a+b■-b+1≥0

a2+b2≥ab+a+b-1

八、求最值

例9、已知0

證明：a■-1-a=a■+a-1

令y=a■+a-1=a+■■-■，而0

a2

九、分離常數(shù)

例10、已知a>0，b>0，求證：■+■≥■+■。

證明：■+■÷■+■=■= ■=1+■≥1

a>0，b>0

二次根式有理化的方法范文第3篇

一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)

1.如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x滿足的條件__________.

2.化簡(jiǎn)：=__________.

3.計(jì)算：2﹣=__________.

4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長(zhǎng)為_(kāi)_________.

5.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，那么反比例函數(shù)的解析式是__________.

6.計(jì)算

7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍__________.

8.某種原料價(jià)格為a元，如果連續(xù)兩次以相同的百分率x提價(jià)，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為_(kāi)_________.(用含a和x的代數(shù)式表示)

9.分解因式：x2﹣5x+2=__________.

10.某廠今年的產(chǎn)值是前年產(chǎn)值的翻一番，若平均年增長(zhǎng)率為x，則可列方程__________.

11.y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=，則函數(shù)解析式為_(kāi)_________.

12.已知y=(m﹣2)x是正比例函數(shù)，則m=__________.

13.到AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是__________.

14.如圖，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，現(xiàn)將ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A、B重合，則折痕DE=__________cm.

二、選擇題：(每題3分，滿分12分)

15.下列根式中，是最簡(jiǎn)根式的是()

A.B.C.D.

16.在下列方程中，是一元二次方程的是()

A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0

17.如圖，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2

18.設(shè)k0，那么函數(shù)y=﹣和y=在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是()

A.B.C.D.

三、簡(jiǎn)答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)

19.計(jì)算：.

20.計(jì)算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].

21.解方程：(2x+)2=12.

22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.

23.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米，BC長(zhǎng)15米，CD長(zhǎng)為20米，DA長(zhǎng)7米，C=90，求綠地ABCD的面積.

四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)

25.如圖，OC平分AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE.求證：PDO+PEO=180.

26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;

(1)求：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);

(2)求反比例函數(shù)的解析式;

(3)求AOC的周長(zhǎng)和面積.

27.如圖，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，PQBC于Q，QRAB于R.

(1)求證：PQ=CQ;

(2)設(shè)CP的長(zhǎng)為x，QR的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象.

(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷參考答案

一、填空題(共14小題，每小題2分，滿分28分)

1.如果在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，那么x滿足的條件x.

【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得2﹣3x0，再解不等式即可.

【解答】解：由題意得：2﹣3x0，

解得：x，

故答案為：x.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù).

2.化簡(jiǎn)：=3x.

【考點(diǎn)】二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn).

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：由題意得，x0，

則=3x，

故答案為：3x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握a0時(shí)，=a是解題的關(guān)鍵.

3.計(jì)算：2﹣=.

【考點(diǎn)】二次根式的加減法.

【分析】先把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可.

【解答】解：原式=6﹣5

=.

故答案為：.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵.

4.直角三角形中，斜邊及其中線之和為6，那么該三角形的斜邊長(zhǎng)為4.

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【解答】解：CAB=90，CM=BM，

AM=BC，又AM+BC=6，

BC=4，

故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，2)，那么反比例函數(shù)的解析式是.

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式.

【分析】把(1，2)代入函數(shù)y=中可先求出k的值，那么就可求出函數(shù)解析式.

【解答】解：由題意知，k=12=2.

則反比例函數(shù)的解析式為：y=.

故答案為：y=.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)解析式，此為近幾年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，同學(xué)們要熟練掌握.

6.計(jì)算

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

【分析】首先進(jìn)行分母有理化，然后進(jìn)行根式的運(yùn)算即可求解.

【解答】解：==(﹣)=3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算.無(wú)理數(shù)的運(yùn)算法則與有理數(shù)的運(yùn)算法則是一樣的.注意：表示a的算術(shù)平方根.

7.方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的范圍m﹣2且m﹣1.

【考點(diǎn)】根的判別式;一元二次方程的定義.

【分析】由關(guān)于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)的意義得到m+10，且0，即4+4(m+1)0，解不等式組即可得到m的取值范圍.

【解答】解：關(guān)于x的方程(m+1)x2+2x﹣1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

m+10，且0，即4+4(m+1)0，解得m﹣2，

m的取值范圍是：m﹣2且m﹣1.

故答案為：m﹣2且m﹣1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式=b2﹣4ac：當(dāng)0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.

8.某種原料價(jià)格為a元，如果連續(xù)兩次以相同的百分率x提價(jià)，那么兩次提價(jià)后的價(jià)格為a(1+x)2.(用含a和x的代數(shù)式表示)

【考點(diǎn)】列代數(shù)式.

【分析】先求出第一次提價(jià)以后的價(jià)格為：原價(jià)(1+提價(jià)的百分率)，再根據(jù)現(xiàn)在的價(jià)格=第一次提價(jià)后的價(jià)格(1+提價(jià)的百分率)即可得出結(jié)果.

【解答】解：第一次提價(jià)后價(jià)格為a(1+x)元，

第二次提價(jià)是在第一次提價(jià)后完成的，所以應(yīng)為a(1+x)(1+x)=a(1+x)2元.

故答案為：a(1+x)2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景列代數(shù)式，難度中等.若設(shè)變化前的量為a，平均變化率為x，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的量為a(1x)2.

9.分解因式：x2﹣5x+2=(x﹣+)(x﹣﹣).

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式.

【分析】首先可將原式變形為(x﹣)2﹣，再利用平方差公式分解即可求得答案.

【解答】解：x2﹣5x+2

=x2﹣5x+﹣+2

=(x﹣)2﹣

=(x﹣+)(x﹣﹣).

故答案為：(x﹣+)(x﹣﹣).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的因式分解.注意此題將原式變形為(x﹣)2﹣是關(guān)鍵.

10.某廠今年的產(chǎn)值是前年產(chǎn)值的翻一番，若平均年增長(zhǎng)率為x，則可列方程(1+x)2=2.

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程.

【專題】增長(zhǎng)率問(wèn)題.

【分析】設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，前年的產(chǎn)值為a，根據(jù)題意可得，今年產(chǎn)值(1+x)2=2今年產(chǎn)值，據(jù)此列方程.

【解答】解：設(shè)平均年增長(zhǎng)率為x，前年的產(chǎn)值為a，

由題意得，a(1+x)2=2a，

即(1+x)2=2.

故答案為：(1+x)2=2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程.

11.y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，y=，則函數(shù)解析式為y=x.

【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式.

【分析】設(shè)y與x的解析式是y=kx，把x=2，y=代入求出k即可.

【解答】解：設(shè)y與x的解析式是y=kx，

把x=2，y=代入得：=2k，

解得k=，

即y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=x，

故答案為：y=x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式的應(yīng)用，注意：正比例函數(shù)的解析式是y=kx(k為常數(shù)，k0).

12.已知y=(m﹣2)x是正比例函數(shù)，則m=﹣2.

【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的定義.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0列式計(jì)算即可得解.

【解答】解：根據(jù)題意得，m2﹣3=1且m﹣20，

解得m=2且m2，

所以，m=﹣2.

故答案為：﹣2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正比例函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)y=kx的定義條件是：k為常數(shù)且k0，自變量次數(shù)為1.

13.到AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是AOB的平分線.

【考點(diǎn)】軌跡.

【分析】根據(jù)角的平分線就是到角的兩邊相等的點(diǎn)的軌跡，據(jù)此即可解答.

【解答】解：到AOB的兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：AOB的平分線.

故答案是：AOB的平分線.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)的軌跡，正確理解角平分線的定義是關(guān)鍵.

14.如圖，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，現(xiàn)將ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)A、B重合，則折痕DE=1.875cm.

【考點(diǎn)】翻折變換(折疊問(wèn)題);勾股定理;軸對(duì)稱的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等.

【解答】解：在直角ABC中AB===5cm.則AE=AB2=2.5cm.

設(shè)DE=x，易得ADE∽ABC，

故有=;

=;

解可得x=1.875.

故答案為：1.875.

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問(wèn)題，應(yīng)結(jié)合題意，實(shí)際操作圖形的折疊，易于找到圖形間的關(guān)系.

二、選擇題：(每題3分，滿分12分)

15.下列根式中，是最簡(jiǎn)根式的是()

A.B.C.D.

【考點(diǎn)】最簡(jiǎn)二次根式.

【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

【解答】解：A、被開(kāi)方數(shù)含分母和能開(kāi)得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式;

B、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式;

C、是最簡(jiǎn)二次根式;

D、被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡方的因式，不是最簡(jiǎn)二次根式.

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義.根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：(1)被開(kāi)方數(shù)不含分母;(2)被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.

16.在下列方程中，是一元二次方程的是()

A.2x2=(x﹣3)(2x+1)B.+3x+4=0C.3x2=x(x﹣4)D.(x2﹣1)=0

【考點(diǎn)】一元二次方程的定義.

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義：未知數(shù)的次數(shù)是2;二次項(xiàng)系數(shù)不為0;整式方程;含有一個(gè)未知數(shù).由這四個(gè)條件對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，滿足這四個(gè)條件者為正確答案.

【解答】解：A、2x2=(x﹣3)(2x+1)是一元一次方程，故A錯(cuò)誤;

B、+3x+4=0是分式方程，故B錯(cuò)誤;

C、3x2=x(x﹣4)是一元二次方程，故C正確;

D、(x2﹣1)=0是無(wú)理方程，故D錯(cuò)誤;

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡(jiǎn)后是否是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)是2.

17.如圖，RtABC中，C=90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定正確的是()

A.4=5B.1=2C.4=3D.B=2

【考點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線.

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互補(bǔ)的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】解：RtABC中，C=90，

A+B=90.

CDAB，

5+B=90，

5=A，

E是AC的中點(diǎn)，

DE=AE，

4=A，

4=5，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形兩銳角互補(bǔ)的性質(zhì)和斜邊中線的性質(zhì)，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

18.設(shè)k0，那么函數(shù)y=﹣和y=在同一直角坐標(biāo)系中的大致圖象是()

A.B.C.D.

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)的圖象;正比例函數(shù)的圖象.

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y=kx的性質(zhì)：k0，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，在第一、三象限;反比例函數(shù)y=的性質(zhì)：k0，圖象在第二、四象限的雙曲線可得答案.

【解答】解：k0，

﹣0，

函數(shù)y=﹣的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，在第一、三象限，

k0，

y=的圖象在第二、四象限，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).

三、簡(jiǎn)答題：(第19-22小題，每題5分;第23-24小題，每題7分;滿分34分)

19.計(jì)算：.

【考點(diǎn)】二次根式的乘除法.

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和除法法則求解.

【解答】解：原式=

=x.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的加減法，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘法法則和除法法則.

20.計(jì)算：(4﹣)0+[(2﹣3)2].

【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;分?jǐn)?shù)指數(shù)冪;零指數(shù)冪.

【分析】分別根據(jù)0指數(shù)冪的計(jì)算法則，數(shù)的乘方及開(kāi)方法則計(jì)算出各數(shù)，再根據(jù)實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的法則進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：原式=+1+3﹣2

=+2+1+3﹣2

=6﹣.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟知0指數(shù)冪的計(jì)算法則，數(shù)的乘方及開(kāi)方法則是解答此題的關(guān)鍵.

21.解方程：(2x+)2=12.

【考點(diǎn)】平方根.

【分析】根據(jù)平方根的概念進(jìn)行解答即可.

【解答】解：(2x+)2=12，

2x+=2，

2x=2﹣，

x1=，x2=﹣.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用直接開(kāi)平方法解一元二次方程，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵.

22.解方程：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)=15.

【考點(diǎn)】解一元二次方程-因式分解法.

【專題】計(jì)算題.

【分析】先移項(xiàng)得到：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，然后把方程看作關(guān)于x﹣1的一元二次方程，再利用因式分解法解方程.

【解答】解：(x﹣1)2﹣2(x﹣1)﹣15=0，

[(x﹣1)﹣5][(x﹣1)+3]=0，

(x﹣1)﹣5=0或(x﹣1)+3=0，

所以x1=﹣6，x2=﹣2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

23.若關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

【考點(diǎn)】根的判別式.

【專題】探究型.

【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得出0，再求出k的取值范圍即可.

【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程(k﹣2)2x2+(2k+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

，

解得k.

所以k的取值范圍是k且k2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是一元二次方程根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)題意列出關(guān)于k的不等式是解答此題的關(guān)鍵.

24.如圖，是一塊四邊形綠地的示意圖，其中AB長(zhǎng)為24米，BC長(zhǎng)15米，CD長(zhǎng)為20米，DA長(zhǎng)7米，C=90，求綠地ABCD的面積.

【考點(diǎn)】勾股定理;勾股定理的逆定理.

【分析】連接BD，先根據(jù)勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理判定ABD為直角三角形，則四邊形ABCD的面積=直角BCD的面積+直角ABD的面積.

【解答】解：連接BD.如圖所示：

C=90，BC=15米，CD=20米，

BD===25(米);

在ABD中，BD=25米，AB=24米，DA=7米，

242+72=252，即AB2+BD2=AD2，

ABD是直角三角形.

S四邊形ABCD=SABD+SBCD

=ABBD+BCCD

=247+1520

=84+150

=234(平方米);

即綠地ABCD的面積為234平方米.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用.解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，求出BD的長(zhǎng).

四、解答題：(第25-26小題，每題8分;第27小題10分，滿分26分)

25.如圖，OC平分AOB，P是OC上一點(diǎn)，D是OA上一點(diǎn)，E是OB上一點(diǎn)，且PD=PE.求證：PDO+PEO=180.

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線的性質(zhì).

【專題】證明題.

【分析】如圖，作輔助線，證明PMD≌PNE，得到MDP=PEN，即可解決問(wèn)題.

【解答】證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PMOA，PNOE;

OC平分AOB，

PM=PN;

在PMD與PNE中，

，

PMD≌PNE(HL)，

MDP=PEN;

MDP+ODP=180，

PDO+PEO=180.

【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題;解題的關(guān)鍵是作輔助線;牢固掌握定理是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵.

26.如圖所示，已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，并且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足是D，若OA=OB=OD=1;

(1)求：點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);

(2)求反比例函數(shù)的解析式;

(3)求AOC的周長(zhǎng)和面積.

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題.

【專題】計(jì)算題.

【分析】(1)由OA=OB=OD=1可直接得到點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo);

(2)先利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式為y=x+1，由于CD垂直于x軸，垂足是D，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，再把x=1代入y=x+1得y=2，從而確定C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，然后再利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)的解析式;

(3)利用勾股定理分別計(jì)算出AC和OC，然后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)與面積公式分別計(jì)算AOC的周長(zhǎng)和面積.

【解答】解：(1)OA=OB=OD=1，

點(diǎn)A坐標(biāo)為(﹣1，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(1，2);點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，0).

(2)設(shè)直線AB的解析式為y=ax+b，

把A(﹣1，0)，B(0，1)代入得，

解得，

直線AB的解析式為y=x+1，

CD垂直于x軸，垂足是D，

C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，

把x=1代入y=x+1得y=2，

C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，

把C(1，2)代入得k=12=2，

故反比例函數(shù)的解析式為y=;

(3)在RtACD中，AD=2，CD=2，

AC==2，

在RtOCD中，OD=1，CD=2，

OC==，

AOC的周長(zhǎng)=OA+OC+AC=1++2;

AOC的面積=OACD=12=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式;待定系數(shù)法是確定函數(shù)關(guān)系式常用的方法.也考查了勾股定理.

27.如圖，已知：在ABC中，A=90，AB=AC=1，P是AC上不與A、C重合的一動(dòng)點(diǎn)，PQBC于Q，QRAB于R.

(1)求證：PQ=CQ;

(2)設(shè)CP的長(zhǎng)為x，QR的長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在平面直角坐標(biāo)系作出函數(shù)圖象.

(3)PR能否平行于BC?如果能，試求出x的值;若不能，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

【專題】計(jì)算題.

【分析】(1)易得ABC為等腰直角三角形，則B=C=45，然后利用PQCQ可得到PCQ為等腰直角三角形，所以PQ=CQ;

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得BC=AB=，CQ=PC=x，同理可證得為BQR等腰直角三角形，則BQ=RQ=y，所以y+x=1，變形得到y(tǒng)=﹣x+(0

(3)由于AR=1﹣y，AP=1﹣x，則AR=1﹣(﹣x+)，當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，所以1﹣(﹣x+)=1﹣x，解得x=，然后利用0

【解答】(1)證明：A=90，AB=AC=1，

ABC為等腰直角三角形，

B=C=45，

PQCQ，

PCQ為等腰直角三角形，

PQ=CQ;

(2)解：ABC為等腰直角三角形，

BC=AB=，

PCQ為等腰直角三角形，

CQ=PC=x，

同理可證得為BQR等腰直角三角形，

BQ=RQ=y，

BQ+CQ=BC，

y+x=1，

y=﹣x+(0

如圖，

(3)解：不能.理由如下：

AR=1﹣y，AP=1﹣x，

AR=1﹣(﹣x+)，

當(dāng)AR=AP時(shí)，PR∥BC，

即1﹣(﹣x+)=1﹣x，

解得x=，

x=舍去，

二次根式有理化的方法范文第4篇

在多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常遇到這種現(xiàn)象：有的題學(xué)生解答不出來(lái)時(shí)，只要老師將題目念一邊，有時(shí)甚至讀到一半時(shí)，他們就會(huì)叫道：“哦，原來(lái)如此！”這是為什么呢？原因就出在學(xué)生的閱讀能力上。

同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)的閱讀教學(xué)也沒(méi)得到重視。有的老師整節(jié)課不讓學(xué)生打開(kāi)課本，認(rèn)為學(xué)生看了課本后，什么都知道了，沒(méi)什么可探究的，數(shù)學(xué)課本僅當(dāng)習(xí)題集；有的老師雖然重視預(yù)習(xí)，也布置了閱讀作業(yè)，然而對(duì)學(xué)生的閱讀效果卻很少檢查，學(xué)生也少回頭審視，反思自己的閱讀收獲，自以為讀懂了，課堂上聽(tīng)不好甚至不聽(tīng)，結(jié)果預(yù)習(xí)反而影響了上課。常常是老師反復(fù)講解，學(xué)生被動(dòng)接受，課堂教學(xué)效率不高。因此，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效閱讀，形成良好的閱讀習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，使他們獲得終身學(xué)習(xí)的本領(lǐng)是非常必要的。

2培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)閱讀能力的措施

2.1三個(gè)重要環(huán)節(jié)。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)抓住課前預(yù)習(xí)指導(dǎo)讀，課上研究深入讀，課后復(fù)習(xí)全面讀這三個(gè)重要環(huán)節(jié)，以此來(lái)提高學(xué)生的閱讀能力。

2.1.1課前預(yù)習(xí)指導(dǎo)讀。

課前預(yù)習(xí)指導(dǎo)讀，是引導(dǎo)學(xué)生閱讀入門、指導(dǎo)學(xué)生閱讀方法的重要途徑。數(shù)學(xué)教材不同于文科類的教材，它具有明顯的抽象性和簡(jiǎn)潔性等特點(diǎn)。學(xué)生開(kāi)始閱讀教材時(shí)，很可能會(huì)按照他們閱讀語(yǔ)文或小說(shuō)的習(xí)慣而很少進(jìn)行分析思考，結(jié)果收獲甚微，甚至失去閱讀興趣。此時(shí)，老師可在課前編好導(dǎo)讀提綱，引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生在閱讀中思考：新知是怎樣引進(jìn)的？與舊知識(shí)有何聯(lián)系？新知識(shí)將解決什么問(wèn)題？概念怎樣得來(lái)？定理的條件、結(jié)論是什么燈問(wèn)題。例如學(xué)生在閱讀《菱形》一節(jié)時(shí)，首先要從“有一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱形”得定義中認(rèn)識(shí)到菱形也是平行四邊形――舊知，又要緊扣菱形畢竟是特殊的平行四邊形，即“鄰邊相等”這一補(bǔ)充條件――新知；于是我們不難知道菱形應(yīng)具有平行四邊形的性質(zhì)，這時(shí)就需要我們回顧平行四邊形的性質(zhì)，然后再根據(jù)補(bǔ)充條件看一看菱形的邊、角、對(duì)角線、面積計(jì)算該有怎樣的變化？不明確的問(wèn)題要仔細(xì)分析，相互討論或請(qǐng)教老師。

2.1.2課上研究深入讀。

培養(yǎng)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)教材的能力是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)。課上研究深入讀，是幫助學(xué)生閱讀入門、指導(dǎo)學(xué)生閱讀方法的重要途徑。教師可結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，用提問(wèn)的方式檢查學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，了解學(xué)生是否做了閱讀筆記，是否自己整理出本節(jié)的重點(diǎn)提綱。根據(jù)學(xué)生在閱讀中存在的問(wèn)題進(jìn)行具體分析指導(dǎo)，并開(kāi)展全班性的探討。如學(xué)生獨(dú)立閱讀完《約分》一節(jié)例3 約分：

后可先問(wèn)學(xué)生：第一小題約分時(shí)，分子分母同除以什么？4xy3實(shí)際上是什么？分子分母的公因式是如何確定的？（當(dāng)分子分母的系數(shù)是整數(shù)時(shí)，取它們的最大公因數(shù)與分子分母中相同因式的最低次冪的積。）第二小題第一步應(yīng)是因式分解，用什么方法分解？為什么要因式分解呢？（分解后出現(xiàn)了公因式可以約分。）再比較這兩小題有什么不同呢？ （第一小題分子分母都是單項(xiàng)式，第二小題分子分母都是多項(xiàng)式，要約分必須先要因式分解。）最后，設(shè)置一些易混易錯(cuò)的題目讓學(xué)生練習(xí)，待他們暴露出各種問(wèn)題后在讓他們閱讀有關(guān)課本內(nèi)容，進(jìn)行議論評(píng)價(jià)，使他們對(duì)課本中的內(nèi)容有更加深刻的理解。

2.1.3課后復(fù)習(xí)全面讀。

課后復(fù)習(xí)全面讀，是促進(jìn)學(xué)生閱讀入門、提高學(xué)生閱讀效率的重要方法。實(shí)踐證明，一次閱讀往往不能提取到材料中的全部信息，因此要重視復(fù)讀。所謂復(fù)讀就是在一單元或一章的內(nèi)容學(xué)完后，教師要求學(xué)生對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)性閱讀，目的是讓學(xué)生溫故而知新。具體的閱讀任務(wù)是：①通過(guò)閱讀，把本章節(jié)或單元的主要知識(shí)點(diǎn)按若干類別加以歸納、整理、系統(tǒng)化、概括化，以形成綱要或圖表，更好的理清知識(shí)間的關(guān)系，加強(qiáng)記憶；②提煉數(shù)學(xué)思想方法，把本單元或章節(jié)中出現(xiàn)的解題方法或思想明確化，書(shū)寫(xiě)在閱讀筆記或章節(jié)總結(jié)里，以加深對(duì)思想方法的認(rèn)識(shí)；③對(duì)本單元或章節(jié)中相關(guān)的或相似的數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行異同比較，加深對(duì)概念、定理的理解；④對(duì)具有因果關(guān)系、隸屬關(guān)系的數(shù)學(xué)對(duì)象歸類成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)等.這樣可以有效地訓(xùn)練學(xué)生歸納概括的思維技能，以幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握知識(shí)。如在復(fù)習(xí)《二次根式》時(shí)，首先要?dú)w納本章學(xué)過(guò)的公式及公式中字母的取值范圍。其次要總結(jié)二次根式化簡(jiǎn)的兩種情況（被開(kāi)方數(shù)的分解和分母有理化），然后進(jìn)一步總結(jié)分母有理化中可能出現(xiàn)的幾種情況（含有理化因式的求法）。當(dāng)自己通過(guò)閱讀課本、資料，并能以題目為例完成以上提綱后，就基本掌握了本章內(nèi)容。

2.2注意的幾個(gè)問(wèn)題。

除根據(jù)教材內(nèi)容的不同，精心組織閱讀問(wèn)題，選擇不同的閱讀指導(dǎo)方法外還要注意一下3個(gè)問(wèn)題。

2.2.1合理安排閱讀時(shí)間。閱讀時(shí)間太長(zhǎng)會(huì)影響教學(xué)進(jìn)度；時(shí)間太短，又會(huì)導(dǎo)致閱讀流于形式。

2.2.2及時(shí)反饋閱讀信息。課堂閱讀實(shí)際上是一個(gè)交流信息，檢測(cè)閱讀質(zhì)量的過(guò)程，教師可以采取提問(wèn)，做題，互相討論等方式來(lái)檢查閱讀效果，隨時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題使指導(dǎo)閱讀更有針對(duì)性。

二次根式有理化的方法范文第5篇

關(guān)鍵詞：激趣；引疑；設(shè)誤

中圖分類號(hào)：G630 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-2851（2012）05-0037-01

培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，需要我們教師以學(xué)生為主體，積極有效地促使學(xué)生主動(dòng)地學(xué)習(xí)和思考，讓學(xué)生在教師的誘導(dǎo)、啟迪下去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題。怎樣才能啟而得法，誘之有效，就需要我們每一位教師不斷深入探討。本文針對(duì)如何實(shí)施啟發(fā)式教學(xué)談?wù)勛约旱囊恍┳龇ǎ荚谂c同行一起探索啟發(fā)式教學(xué)的規(guī)律，有效地提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

一、激趣啟發(fā)

興趣是學(xué)習(xí)最重要、最直接的內(nèi)部動(dòng)力，是發(fā)展智力最活躍的因素。學(xué)生有了這種內(nèi)在興趣動(dòng)機(jī)，可以表現(xiàn)高度的學(xué)習(xí)積極性和自覺(jué)性。然而數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)密性往往掩蓋了實(shí)際的趣味性和實(shí)踐性。心理學(xué)指出，興趣可由客觀的生活意義和主觀情緒上的引力所致。那么，在教學(xué)中常常引入學(xué)生熟悉的日常生活中的例子，往往能有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。在教學(xué)實(shí)踐中，擺脫純演繹數(shù)學(xué)的模式，盡可能再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的基本過(guò)程，以及數(shù)學(xué)與生產(chǎn)、生活的聯(lián)系，對(duì)擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，增加趣味性和實(shí)踐性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力等，都能起到較好的促進(jìn)作用。為此，本人非常注重利用課本中每章節(jié)中的插圖、引序、例題和一些練習(xí)，作為啟發(fā)的“導(dǎo)火索”。例如在學(xué)習(xí)方差這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，提出這么一個(gè)問(wèn)題：有一位射擊教練要從甲、乙兩個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員中選一個(gè)去參加比賽，讓每位運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，成績(jī)分別如下，甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4；乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7。假如你是教練，你選誰(shuí)去呢？學(xué)生紛紛計(jì)算平均環(huán)數(shù)，結(jié)果一樣。學(xué)生覺(jué)得選誰(shuí)都一樣，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，如果選穩(wěn)定性好一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)員呢？學(xué)生又紛紛觀察數(shù)據(jù)，認(rèn)為乙比較穩(wěn)定。教師又引導(dǎo)怎樣用一組數(shù)字來(lái)說(shuō)明你的觀察呢？學(xué)生紛紛提出方法。于是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生順利接受和理解了方差的計(jì)算公式，課堂氣氛活躍，趣味盎然，學(xué)生既掌握了知識(shí)，又學(xué)會(huì)了應(yīng)用。

二、引疑啟發(fā)

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是一個(gè)不斷設(shè)疑、破疑、再疑的過(guò)程。從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)就是問(wèn)題的設(shè)計(jì)。讓學(xué)生在課堂中沿著“無(wú)疑——有疑——無(wú)疑”這樣一條波浪式的路線前進(jìn)。這起伏的浪花將推動(dòng)學(xué)生積極思考。如在“全等三角形判定”導(dǎo)入課的教學(xué)中可創(chuàng)設(shè)這樣的問(wèn)題情境，先用圖片出示一塊三角形玻璃碎成的兩塊。然后問(wèn)：如果照原樣到店里配一塊，要不要把兩塊玻璃都帶去？如果只能帶一塊，那么應(yīng)該帶哪一塊呢？為什么？通過(guò)學(xué)生思考、討論，最后讓他們用紙片演示一下。這樣，知識(shí)的掌握以及思維的培養(yǎng)就能達(dá)到較好的境地。又如在圓周長(zhǎng)公式應(yīng)用的教學(xué)中，通過(guò)“一根足夠長(zhǎng)的鐵絲緊貼地球形成一個(gè)圓圈，如果把這個(gè)鐵絲再放長(zhǎng)10米，在地球和鐵絲之間形成的縫隙能通過(guò)一只老鼠還是一頭牛？”來(lái)創(chuàng)設(shè)情境，可以由趣生疑，由疑引思。

三、設(shè)誤啟發(fā)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中發(fā)生錯(cuò)誤是很正常的。如不顧條件亂用結(jié)論，或丟三落四，或考慮不全面等。教師在教學(xué)中可“故設(shè)陷阱”，有意讓學(xué)生“暴露問(wèn)題”，或者順其錯(cuò)誤不斷啟導(dǎo)，使學(xué)生恍然大悟，留下深刻印象。例如：在學(xué)習(xí)整式的加減后，先要求學(xué)生用數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言敘述3a－（2a－1）,即3a與2a－1的差，然后教師故意設(shè)“錯(cuò)”問(wèn)學(xué)生，若把這段文字語(yǔ)言翻譯成符號(hào)語(yǔ)言3a－2a－1可以嗎？教師的故意設(shè)“錯(cuò)”，學(xué)生會(huì)真切到感受到問(wèn)題的矛盾沖突，會(huì)整體感知數(shù)學(xué)語(yǔ)言的思想，通過(guò)這類問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)，能有效糾正學(xué)生常犯的頑固性錯(cuò)誤，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維也大有裨益。

四、類比啟發(fā)

很多數(shù)學(xué)知識(shí)在內(nèi)容和形式上都有相通之處，新舊知識(shí)之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，以類比舊知識(shí)導(dǎo)入新知識(shí)，體現(xiàn)了知識(shí)的自然延續(xù)和升華，體現(xiàn)了知識(shí)的發(fā)生與遷移過(guò)程。這樣既培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生思維的廣闊性，增強(qiáng)他們數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)能力，同時(shí)又鞏固掌握了舊知識(shí)。如在講“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”這一性質(zhì)時(shí)，可與“等腰三角形性質(zhì)”進(jìn)行類比。教師先通過(guò)復(fù)習(xí)等腰三角形性質(zhì)，使學(xué)生明白：等腰三角形的底邊上的中線把它分成兩個(gè)直角三角形，然后設(shè)問(wèn)，反過(guò)來(lái)，能或?qū)⒁粋€(gè)直角三角形分成兩個(gè)等腰三角形呢？這時(shí)學(xué)生會(huì)感到好奇，便積極思考，經(jīng)過(guò)教師的合理引導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)結(jié)論。又如講“二次函數(shù)性質(zhì)”時(shí)，可與“一次函數(shù)性質(zhì)”進(jìn)行類比講解。講課時(shí)教師先讓學(xué)生回憶一次函數(shù)的性質(zhì)與圖像及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的做法，然后讓學(xué)生思考二次函數(shù)的性質(zhì)圖像及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求法等。再如解：這個(gè)方程，可通過(guò)類比，利用合比性質(zhì)將較復(fù)雜的分式方程簡(jiǎn)化形式，得：，整理得x(x+2)(x-2)=0所以。經(jīng)檢驗(yàn)都是原方程的根。這樣由淺入深，由易到難進(jìn)行類比啟發(fā)，不但能達(dá)到復(fù)習(xí)舊知識(shí)的目的，而且能較快地掌握新知識(shí)，從中更能培養(yǎng)學(xué)生的分析、總結(jié)及探究的能力。