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1．基于數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯的數(shù)學(xué)教育模式

歐陽(yáng)絳認(rèn)為，歷史從哪里開(kāi)始，思維的邏輯也應(yīng)從哪里開(kāi)始．⋯數(shù)學(xué)的思想是歷史地并且是合乎邏輯地發(fā)生和發(fā)展的．這是思維的辯證法，是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界必須遵循的基本規(guī)律，也是人類(lèi)認(rèn)知的基本規(guī)律，當(dāng)然也是數(shù)學(xué)教育必須遵循的基本規(guī)律．這也充分表明數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的重要作用和密不可分的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)史的一個(gè)重要的目的就是“教育的目的”．正如萊布尼茲所說(shuō)：“了解重大發(fā)現(xiàn)，特別是那些絕非偶然的、經(jīng)過(guò)深思熟慮的重大發(fā)現(xiàn)的真正起源，是極為有益的．”通過(guò)歷史范例，可以“促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù)，揭示數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法”．宋乃慶認(rèn)為，新課程是一種人本化的文化教育．新課程理念下的數(shù)學(xué)教育應(yīng)是一種文化意義上的全面培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育．-3數(shù)學(xué)史是認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的基本依據(jù)，是數(shù)學(xué)文化的重要載體，是制定數(shù)學(xué)新課程目標(biāo)的有力支撐，是實(shí)現(xiàn)新課程目標(biāo)的有效途徑．?dāng)?shù)學(xué)史支持?jǐn)?shù)學(xué)教育的發(fā)展，數(shù)學(xué)教育也拓展并深化數(shù)學(xué)史的價(jià)值．我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家余介石先生也倡導(dǎo)數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值：“教師對(duì)于學(xué)理，必須考其在歷史上發(fā)展之象跡，以覘人心認(rèn)知之程序與限度，庶可因時(shí)指宜，善為說(shuō)理，既不至使初學(xué)難以猝通，亦不至養(yǎng)成其謬見(jiàn)或誤解．歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效．更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也．-4J，’基于此，數(shù)學(xué)教育方式的選擇和運(yùn)用就自然地要求順應(yīng)于數(shù)學(xué)思想本身的歷史和邏輯的發(fā)展規(guī)律．?dāng)?shù)學(xué)教育方式選擇的一個(gè)基本認(rèn)識(shí)前提就是建立在數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的基礎(chǔ)之上，而基本思路則是以“歷史與邏輯相統(tǒng)一?的辯證思維基本規(guī)律為指導(dǎo)，基于數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯，探究符合數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯的，從而也符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的且適合學(xué)生數(shù)學(xué)潛能的開(kāi)發(fā)和思維能力發(fā)展的數(shù)學(xué)教育方式，充分發(fā)掘數(shù)學(xué)教育的整體功能．研究表明，要真正地把蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)思想方法的巨大寶藏的數(shù)學(xué)史的文化教育功能發(fā)掘出來(lái)，就必須走數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育整合的研究之路，即將歷史上發(fā)生的數(shù)學(xué)的思想和方法整合進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)之中，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，受到數(shù)學(xué)的精神、思想、方法的熏陶．基本思路則是對(duì)數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀以及數(shù)學(xué)教學(xué)觀及其指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教育實(shí)踐進(jìn)行思考，在基于數(shù)學(xué)思想的發(fā)生發(fā)展的歷史與邏輯以及數(shù)學(xué)家創(chuàng)立新數(shù)學(xué)理論的思維過(guò)程的基礎(chǔ)上，揭示其對(duì)數(shù)學(xué)教育的遷移和教育作用(即如何將數(shù)學(xué)家的思維方式轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的教育形態(tài))，并將這一基本認(rèn)識(shí)遷移到我們的數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)踐中，形成“基于數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯的數(shù)學(xué)教育”教學(xué)模式．

2．實(shí)施途徑——基于歷史相似性理論的數(shù)學(xué)教學(xué)

“基于數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯的數(shù)學(xué)教育”教學(xué)模式實(shí)施的一個(gè)有效途徑是設(shè)計(jì)基于歷史相似性理論的數(shù)學(xué)教學(xué)．歷史相似性理論認(rèn)為，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知過(guò)程和歷史上該知識(shí)的發(fā)展過(guò)程具有相似性．基于歷史相似性理論的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師對(duì)知識(shí)進(jìn)行解構(gòu)，其根據(jù)是按照數(shù)學(xué)史上該知識(shí)形成的幾個(gè)關(guān)鍵特征進(jìn)行分析，探索學(xué)生在學(xué)習(xí)此知識(shí)時(shí)可能存在的障礙；然后對(duì)這幾個(gè)特征進(jìn)行重構(gòu)，其標(biāo)準(zhǔn)是按照每一個(gè)特征的難易程度進(jìn)行序列化，重新組織教學(xué)進(jìn)程；在重構(gòu)的基礎(chǔ)上實(shí)施教學(xué)，讓學(xué)習(xí)者親歷知識(shí)點(diǎn)形成關(guān)鍵時(shí)期數(shù)學(xué)家對(duì)于該知識(shí)內(nèi)容的探究活動(dòng)，教師適時(shí)引導(dǎo)和點(diǎn)撥，從而學(xué)生完成自組織突變的一種教學(xué)模式．基于歷史相似性理論的數(shù)學(xué)教學(xué)，是要讓學(xué)生做到“讀、做、悟、創(chuàng)”，通過(guò)閱讀、學(xué)習(xí)典型數(shù)學(xué)史料，感知數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)歷程，理解科學(xué)發(fā)現(xiàn)的艱難曲折的過(guò)程．學(xué)生通過(guò)“親歷”和“重演”數(shù)學(xué)家的探究活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，理解數(shù)學(xué)知識(shí)；學(xué)生通過(guò)反思親歷的探究活動(dòng)，體悟數(shù)學(xué)的人文精神；通過(guò)現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，創(chuàng)新設(shè)計(jì)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的思路和步驟，超越數(shù)學(xué)家，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功喜悅感．基于歷史相似性理論的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)至少有兩方面的意義．一方面，可以運(yùn)用歷史相似性理論來(lái)反思現(xiàn)今教學(xué)內(nèi)容順序安排的合理性，對(duì)知識(shí)的呈現(xiàn)順序進(jìn)行更為合理的設(shè)計(jì)，對(duì)整體課程的設(shè)置進(jìn)行更適切的把握；另一方面，歷史相似性理論又指導(dǎo)在針對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，通過(guò)研究歷史對(duì)學(xué)生的認(rèn)知障礙進(jìn)行預(yù)先分析，然后結(jié)合豐富的史實(shí)資源來(lái)開(kāi)拓學(xué)生思維，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加多元更加深入。由于學(xué)生對(duì)學(xué)新難點(diǎn)的理解以及轉(zhuǎn)化過(guò)程與歷史存在相似性，所以通過(guò)研究歷史上數(shù)學(xué)家所遇到的認(rèn)知沖突、認(rèn)識(shí)障礙來(lái)預(yù)測(cè)和解釋現(xiàn)今學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)自然就成了數(shù)學(xué)教育工作者關(guān)注的重點(diǎn)問(wèn)題．同時(shí)，通過(guò)了解數(shù)學(xué)家們?cè)媾R的困難和錯(cuò)誤，也有助于教師更加寬容地看待學(xué)生所犯的錯(cuò)誤，給學(xué)生更多的信心和鼓勵(lì)．基于歷史相似性理論的數(shù)學(xué)教學(xué)可考慮從縱橫兩個(gè)維度展開(kāi)．縱向維度即為在教學(xué)的邏輯順序的處理上應(yīng)該盡量遵循歷史發(fā)生的維度，以便能夠更加適合學(xué)生的認(rèn)知心理．對(duì)歷史相似性理論進(jìn)行縱向理解，即意指圍繞著知識(shí)呈現(xiàn)的順序是否符合歷史所給予的啟示而展開(kāi)的理解．這里所謂的知識(shí)呈現(xiàn)順序也即通常意義上教材對(duì)學(xué)科內(nèi)容先后順序的編排，教師在教學(xué)過(guò)程中先教什么后教什么的問(wèn)題，就中學(xué)階段所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)而言，可以理解為如何安排代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)三者的教學(xué)先后關(guān)系；進(jìn)而還可以細(xì)化為如何安排幾何內(nèi)容中所包含的兩大部分：平面幾何與立體幾何之間的教學(xué)先后問(wèn)題；再進(jìn)一步甚至可以細(xì)化到單單就立體幾何知識(shí)而言究竟是選擇按照元素之間的關(guān)系進(jìn)行教學(xué)，諸如現(xiàn)在人教版新教材中使用的按照垂直和平行這兩大類(lèi)關(guān)系進(jìn)行介紹，將點(diǎn)線面體穿插于其中，還是像舊版教材那樣按照抓住單一元素再介紹它們之間及與其它元素之間的關(guān)系進(jìn)行，即先介紹點(diǎn)與點(diǎn)之間的關(guān)系，再介紹線與線以及點(diǎn)與線之間的關(guān)系，進(jìn)而再是面與面及點(diǎn)線面之間的關(guān)系．橫向維度則是從單個(gè)知識(shí)點(diǎn)的角度考慮，學(xué)生在某些知識(shí)點(diǎn)的理解上會(huì)產(chǎn)生和前人同樣的認(rèn)識(shí)，甚至于也可能會(huì)重復(fù)前人的謬誤，在一些知識(shí)上呈現(xiàn)歷史上各種不同的觀點(diǎn)，讓學(xué)生自行取舍與分析，以起到深化理解的作用．對(duì)歷史相似性理論進(jìn)行橫向理解，即意指就某一知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，學(xué)生所遇到的認(rèn)知障礙或出現(xiàn)的多元思維常常會(huì)與前人呈現(xiàn)驚人的相似，諸如前面提及的“歷史相似性理論”的實(shí)證研究．在諸多實(shí)驗(yàn)中我們都發(fā)現(xiàn)學(xué)生會(huì)重蹈前人覆轍，因此可以史實(shí)研究來(lái)預(yù)測(cè)學(xué)生對(duì)某一知識(shí)的認(rèn)知困難，或者也可以如實(shí)地展現(xiàn)歷史上的這些或者正確或者錯(cuò)誤的思維片段，讓學(xué)生自行分析；而另一方面，由于時(shí)代不同或者社會(huì)背景不同，對(duì)于同一問(wèn)題歷史上往往會(huì)出現(xiàn)多種不同角度的思考方式，這時(shí)我們就可以如實(shí)地向?qū)W生再現(xiàn)古今中外數(shù)學(xué)家們對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)、知識(shí)片段的多元觀點(diǎn)與各家爭(zhēng)鳴，以便于學(xué)生更為系統(tǒng)深入地理解這一知識(shí)點(diǎn)．

3．實(shí)施基礎(chǔ)——教師的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)

數(shù)學(xué)史家卡約黎曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)是一種十分有效、不可或缺的工具J．歷史能夠幫助教師按自然的順序呈現(xiàn)各個(gè)數(shù)學(xué)概念，盡可能地減小各個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的跨越度，為開(kāi)展課堂活動(dòng)提供生動(dòng)而有意義的資料．因此掌握一定的數(shù)學(xué)史知識(shí)有助于教師預(yù)測(cè)學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略，即遵循概念的歷史發(fā)生順序的教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生克服各種理解障礙．我們認(rèn)為，為了有效實(shí)施基于數(shù)學(xué)思想的歷史與邏輯的數(shù)學(xué)教育研究，首先，教師必須了解本學(xué)科的基本發(fā)展史．實(shí)際上，在教師教育的計(jì)劃中，開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史的課程應(yīng)該是教育取向的數(shù)學(xué)史課程，數(shù)學(xué)史教育者，尤其是教師教育者的一個(gè)重要任務(wù)就是精心選擇那些和教師將來(lái)的教學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，并對(duì)它們的教育意義加以分析．這個(gè)任務(wù)，需要聯(lián)合數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家的共同力量來(lái)完成．在這個(gè)基礎(chǔ)上，確定其中關(guān)鍵的發(fā)展步驟，比如一些認(rèn)知障礙的出現(xiàn)．然后再按照課堂和學(xué)生的實(shí)際情況重新構(gòu)建這些關(guān)鍵步驟，直接或間接地使用歷史材料設(shè)計(jì)教學(xué)方案．歷史資料是教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的靈感來(lái)源和控制手段，但是使用歷史并非簡(jiǎn)單地重復(fù)歷史事件或評(píng)論歷史事實(shí)，正如弗萊登塔爾所說(shuō)：我們不應(yīng)該重蹈發(fā)明者的足跡，而是通過(guò)改良使歷史過(guò)程有更好的引導(dǎo)作用．對(duì)于一線教師來(lái)說(shuō)，必須謹(jǐn)慎地對(duì)待歷史和教學(xué)，考慮到兩種環(huán)境的區(qū)別：歷史與課堂的優(yōu)勢(shì)和局限分別是什么．只有做好兩手充分準(zhǔn)備，才能根據(jù)不同水平不同類(lèi)型的學(xué)生，恰如其分地將歷史的資料轉(zhuǎn)化為教學(xué)的材料．在高師數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生課程設(shè)置上，對(duì)未來(lái)的數(shù)學(xué)教師開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)史課程是非常必要的，特別是開(kāi)設(shè)的課程要注重挖掘數(shù)學(xué)史料的教育價(jià)值．對(duì)于在職教師而言，以各種形式提高它們的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)也非常必要．可效仿國(guó)際上比較常用的方式，考慮以學(xué)校為中心，組織教師開(kāi)展HPM的實(shí)踐活動(dòng)，不僅可以增強(qiáng)教師的HPM素養(yǎng)，而且可以促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展．此外，將HPM作為在職教師培訓(xùn)的一個(gè)專(zhuān)題也是可取的．