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摘要：微積分作為數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ),是學(xué)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)的必備知識(shí),著重討論了微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最基本的一些應(yīng)用，計(jì)算邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn)并解釋其經(jīng)濟(jì)意義,尋求最小生產(chǎn)成本或制定獲得最大利潤(rùn)的一系列策略。

關(guān)鍵詞：微積分；邊際分析；彈性；成本；收入；利潤(rùn)；最大值；最小值

1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1.1邊際分析在經(jīng)濟(jì)分析中的的應(yīng)用

1.1.1邊際需求與邊際供給

設(shè)需求函數(shù)Q=f（p）在點(diǎn)p處可導(dǎo)（其中Q為需求量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù)Q’=f’(p)稱(chēng)為邊際需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際需求。類(lèi)似地，若供給函數(shù)Q=Q(P)可導(dǎo)（其中Q為供給量，P為商品價(jià)格），則其邊際函數(shù)Q=Q(p)稱(chēng)為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)邊際供給。

1.1.2邊際成本函數(shù)

總成本函數(shù)C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函數(shù)=(Q)=C(Q)Q；邊際成本函數(shù)C’=C’(Q)．C’(Q0)稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量為Q0時(shí)的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減C’’(Q0)個(gè)單位。

1.1.3邊際收益函數(shù)

總收益函數(shù)R=R(Q)；平均收益函數(shù)=(Q)；邊際收益函數(shù)R’=R’(Q)．

R’(Q0)稱(chēng)為當(dāng)商品銷(xiāo)售量為Q0時(shí)的邊際收益。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷(xiāo)售量達(dá)到Q0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減R’(Q0)個(gè)單位。

1.1.4邊際利潤(rùn)函數(shù)

利潤(rùn)函數(shù)L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利潤(rùn)函數(shù);=(Q)邊際利潤(rùn)函數(shù)L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量為Q0時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到Q0時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)將相應(yīng)增減L’(Q0)個(gè)單位。

例1某企業(yè)每月生產(chǎn)Q（噸）產(chǎn)品的總成本C（千元）是產(chǎn)量Q的函數(shù)，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每噸產(chǎn)品銷(xiāo)售價(jià)格2萬(wàn)元，求每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸時(shí)的邊際利潤(rùn)。

解：每月生產(chǎn)Q噸產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

則每月生產(chǎn)10噸、15噸、20噸的邊際利潤(rùn)分別為

L’(10)=-2×10+30=10（千元/噸）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/噸）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/噸）；

以上結(jié)果表明：當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)將增加1萬(wàn)元；當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)則不會(huì)增加；當(dāng)月產(chǎn)量為20噸時(shí)，再增產(chǎn)1噸，利潤(rùn)反而減少1萬(wàn)元。

顯然，企業(yè)不能完全靠增加產(chǎn)量來(lái)提高利潤(rùn)，那么保持怎樣的產(chǎn)量才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)呢？

1.2彈性在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

1.2.1彈性函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改變量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y與自變量的相對(duì)改變量Δxx之比，當(dāng)Δx→0時(shí)的極限稱(chēng)為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的相對(duì)變化率，或稱(chēng)為彈性函數(shù)。記為EyEx•EyEx=limδx→0

ΔyyΔxx=limδx→0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在點(diǎn)x=x0處，彈性函數(shù)值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)稱(chēng)為f（x）在點(diǎn)x=x0處的彈性值，簡(jiǎn)稱(chēng)彈性。EExf(x0)%表示在點(diǎn)x=x0處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改變時(shí)，f（x）近似地改變EExf(x0)%。

1.2.2需求彈性

經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把需求量對(duì)價(jià)格的相對(duì)變化率稱(chēng)為需求彈性。

對(duì)于需求函數(shù)Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于價(jià)格上漲時(shí)，商品的需求函數(shù)Q=f(p)（或P=P(Q)）為單調(diào)減少函數(shù)，ΔP與ΔQ異號(hào)，所以特殊地定義，需求對(duì)價(jià)格的彈性函數(shù)為η(p)=-f’(p)pf(p)

例2設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=e-p5，求(1)需求彈性函數(shù)；(2)P=3,P=5,P=6時(shí)的需求彈性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，說(shuō)明當(dāng)P=3時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求只減少0.6%，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)格變動(dòng)的幅度。

η(5)=1，說(shuō)明當(dāng)P=5時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求也減少1%，價(jià)格與需求變動(dòng)的幅度相同。

η(6)=1.2>1，說(shuō)明當(dāng)P=6時(shí)，價(jià)格上漲1%，需求減少1.2%，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)格變動(dòng)的幅度。

1.2.3收益彈性

收益R是商品價(jià)格P與銷(xiāo)售量Q的乘積，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益彈性為EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η

這樣，就推導(dǎo)出收益彈性與需求彈性的關(guān)系是：在任何價(jià)格水平上，收益彈性與需求彈性之和等于1。

（1）若η<1，則EREP>0價(jià)格上漲（或下跌）1%，收益增加（或減少）(1-η)%；

（2）若η>1，則EREP<0價(jià)格上漲（或下跌）1%，收益減少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，則EREP=0價(jià)格變動(dòng)1%，收益不變。

1.3最大值與最小值在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

最優(yōu)化問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)管理活動(dòng)的核心，各種最優(yōu)化問(wèn)題也是微積分中最關(guān)心的問(wèn)題之一，例如，在一定條件下，使成本最低，收入最多，利潤(rùn)最大，費(fèi)用最省等等。下面介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)效益最優(yōu)化方面的若干應(yīng)用。

1.3.1最低成本問(wèn)題

例3設(shè)某廠每批生產(chǎn)某種產(chǎn)品x個(gè)單位的總成本函數(shù)為c(x)=mx3-nx2+px，（常數(shù)m>0,n>0,p>0），（1）問(wèn)每批生產(chǎn)多少單位時(shí)，使平均成本最?。浚?）求最小平均成本和相應(yīng)的邊際成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生產(chǎn)n2m個(gè)單位時(shí)，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相應(yīng)的邊際成本。

1.3.2最大利潤(rùn)問(wèn)題

例4設(shè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為60000元，變動(dòng)成本為每件20元，價(jià)格函數(shù)p=60-Q1000（Q為銷(xiāo)售量），假設(shè)供銷(xiāo)平衡，問(wèn)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解：產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(Q)=60000+20Q

收益函數(shù)R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

則利潤(rùn)函數(shù)L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000時(shí)L最大，L（2000）=340000元

所以生產(chǎn)20000個(gè)產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為340000元。

2積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

在經(jīng)濟(jì)管理中，由邊際函數(shù)求總函數(shù)（即原函數(shù)），一般采用不定積分來(lái)解決，或求一個(gè)變上限的定積分；如果求總函數(shù)在某個(gè)范圍的改變量，則采用定積分來(lái)解決。

例5設(shè)生產(chǎn)x個(gè)產(chǎn)品的邊際成本C=100+2x，其固定成本為C0=1000元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為500元。假設(shè)生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全銷(xiāo)售，問(wèn)生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)。

解:總成本函數(shù)為

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

總收益函數(shù)為R(x)=500x

總利潤(rùn)L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因?yàn)長(zhǎng)’’(200)<0。所以，生產(chǎn)量為200單位時(shí)，利潤(rùn)最大。最大利潤(rùn)為L(zhǎng)(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在這里我們應(yīng)用了定積分,分析出利潤(rùn)最大,并不是意味著多增加產(chǎn)量就必定增加利潤(rùn),只有合理安排生產(chǎn)量,才能取得總大的利潤(rùn)。

綜上所述，對(duì)企業(yè)經(jīng)營(yíng)者來(lái)說(shuō)，對(duì)其經(jīng)濟(jì)環(huán)節(jié)進(jìn)行定量分析是非常必要的。將數(shù)學(xué)作為分析工具，不但可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供精確的數(shù)值，而且在分析的過(guò)程中，還可以給企業(yè)經(jīng)營(yíng)者提供新的思路和視角，這也是數(shù)學(xué)應(yīng)用性的具體體現(xiàn)。因此，作為一個(gè)合格的企業(yè)經(jīng)營(yíng)者，應(yīng)該掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)分析方法，從而為科學(xué)的經(jīng)營(yíng)決策提供可靠依據(jù)。

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