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函數(shù)最值的應(yīng)用范文第1篇

一般地，函數(shù)f（x）=x+■（k>0） 的圖像如下圖所示.

1. 當(dāng)x>0時(shí)，在區(qū)間（0，■]上是減函數(shù)；在區(qū)間[■，+∞）上是增函數(shù).在x=■時(shí)，有最小值2■.當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=■時(shí)，f（x） ■=2■.

2. 當(dāng)x

3. 當(dāng)x>0時(shí)

① 若x∈（0，m]，當(dāng)m■時(shí)，則f（x） ■=2■.

②若x∈[m，+∞），當(dāng)m■時(shí)，則f（x） ■=■.

4. 當(dāng)x

① 若x∈（-∞，m]，當(dāng)m-■時(shí)，則f（x） ■=-2■.

② 若x∈[m，0），當(dāng)m-■時(shí)，則f（x） ■=■.

例1：求y=x+■（x≠0）的最值

分析：當(dāng)x>0時(shí)，y=x+■有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=2；當(dāng)x

解：當(dāng)x>0時(shí)，且x=■時(shí)，即x=1時(shí)，y■=f（1）=2；當(dāng)x

例2：求y=■的最值

分析：■=■=■+■，且■≥■>0，故當(dāng)且僅當(dāng)■=■，即x=±1時(shí)，有最小值2■.

解：方法1： ■=■=■+■，且■≥■>0，■=■，即x=±1時(shí)，y■=f（±1）=2■.

方法2：■=■=■+■，令■=t（t≥■），y=■+t（t≥■），當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，當(dāng)t∈[■， ■]時(shí)，f（t）是單調(diào)減函數(shù).當(dāng)t∈[■，+∞]時(shí)，f（t）是單調(diào)增函數(shù).故當(dāng)■=t，即t=■時(shí)，y■=f（t） ■=f（■）=2■.

例3：擬造一底面積為64平方米，底面為矩形，高為2米的長方體水箱.由于受到空間的限制，底面的長、寬都不能超過10米若造價(jià)是每平方米20元（鐵皮的厚度不計(jì)）.求解下列問題：

① 試設(shè)計(jì)水箱的長和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià).

② 若水箱被隔成七個(gè)體積相等的長方體，求出最低造價(jià).

解：①設(shè)水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×2（64+2x+2×■）=2560+80（x+■）.

x>0，當(dāng)且僅當(dāng)x=■，即x=8時(shí)，y■=f（8）=3840.

又0

8∈[6.4，10]，而y=x+■在[6.4，8]上是單調(diào)減函數(shù)，在[8，10]上是單調(diào)增函數(shù)，y■=f（8）=3840，當(dāng)水箱的長和寬都是8米時(shí)，造價(jià)最低，且最低造價(jià)是3840元.

②設(shè)水箱的底面長為x米，則寬為■米，又設(shè)總造價(jià)為y■元，則y■=20×（2×64+2×2x×+2×8×■）=2560+（x+■）.當(dāng)x=■時(shí)，即x=16時(shí)，y■取最小值.

但6.4≤x≤10，16？埸[6.4，10]，y=x+■在[6.4，10]上是單調(diào)減函數(shù)，在[6.4，16）上亦為單調(diào)減函數(shù).

y■=f（10）=2560+80（10+■）=5408，當(dāng)y■=5408時(shí)，x=10，■=6.4.故水箱的長為10米，寬為6.4米時(shí)造價(jià)最低，且最低造價(jià)為5408元.

參考文獻(xiàn)：

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函數(shù)最值的應(yīng)用范文第2篇

【關(guān)鍵詞】 鼾癥；卡絡(luò)磺鈉；手術(shù)；止血；拔管

DOI：10.14163/ki.11-5547/r.2017.03.012

Hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period ZHANG Ai-rong， FAN Hong-mei. Department of Anesthesia， Hebei Cangzhou City People’s Hospital， Cangzhou 061000， China

【Abstract】 Objective To observe the hemostatic effect of carbazochrome sodium sulfonate injection in sleep apnea syndrome operation and its influence on anesthesia recovery period. Methods A total of 60 patients with sleep apnea syndrome operation were randomly divided into research group and control group， with 30 cases in each group. Both groups received operation in treating sleep apnea syndrome according to their symptoms. The research group received 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 30 min before operation， and another 100 ml （80 mg） carbazochrome sodium sulfonate injection by vein 2 h after operation， and the control group received 100 ml normal saline by vein. Observation and comparison were made on intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， operation time， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， time of leaving the recovery room and secondary surgery situation in two groups. Results The research group had better intraoperative bleeding volume， postoperative blood oozing volume， pulling out tracheal intubation time， oral blood oozing volume， and time of leaving the recovery room than those in the control group， and their difference had statistical significance （P0.05）. The research group had lower secondary surgery rate as 3.33% than 20.00% in the control group， and the difference had statistical significance （P

【Key words】 Sleep apnea syndrome； Carbazochrome sodium； Operation； Hemostatic； Tube drawing

鼾Y顧名思義即是打鼾， 多數(shù)的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現(xiàn)象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現(xiàn)一系列缺氧癥狀， 易并發(fā)繼發(fā)性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對(duì)健康危害甚大[1]。鼾癥的發(fā)病機(jī)制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結(jié)構(gòu)正常而表現(xiàn)出功能障礙而言， 如軟腭偏長、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環(huán)肥大等。目前對(duì)于鼾癥已經(jīng)影響了生活質(zhì)量的患者一般采取腭咽成形術(shù)（palato-pharyngoplasty）[2]。而此種手術(shù)造成的創(chuàng)面容易出血和滲血， 手術(shù)時(shí)間一般在2.0～2.5 h左右， 一般止血的環(huán)節(jié)較困難， 本科采用卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液手術(shù)前預(yù)防性應(yīng)用， 療效佳， 作用安全， 同時(shí)減少了術(shù)中及術(shù)后出血， 現(xiàn)總結(jié)如下。

1 資料與方法

1. 1 一般資料 選擇本院2014年6月～2016年6月在耳鼻喉住院的鼾癥患者60例， 術(shù)前凝血功能正常， 年齡20～50歲， 排除嚴(yán)重心腦血管疾病、嚴(yán)重肝腎功能疾病及出凝血異常者。將60例患者隨機(jī)分為對(duì)照組和研究組， 每組30例。對(duì)照組中男22例， 女8例， 平均年齡（33.1±7.8）歲；研究組中男23例， 女7例， 平均年齡（32.8±8.2）歲。兩組患者性別、年齡等一般資料比較差異無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P>0.05）， 具有可比性。

1. 2 方法 兩組患者依據(jù)病情需要均要接受手術(shù)治療。研究組在常規(guī)全身麻醉氣管插管后， 手術(shù)前30 min靜脈滴注卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）， 手術(shù)結(jié)束后2 h再給予一次靜脈卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液100 ml（80 mg）；對(duì)照組靜脈給予生理鹽水100 ml。兩組患者手術(shù)中常規(guī)監(jiān)測(cè)心電圖、脈搏氧、無創(chuàng)血壓及有創(chuàng)血壓。

1. 3 觀察指標(biāo) 記錄兩組患者術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量、手術(shù)時(shí)間、拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間及二次手術(shù)情況， 并進(jìn)行組間比較。

1. 4 統(tǒng)計(jì)學(xué)方法 采用SPSS18.0統(tǒng)計(jì)學(xué)軟件處理數(shù)據(jù)。計(jì)量資料以均數(shù)±標(biāo)準(zhǔn)差（ x-±s）表示， 采用t檢驗(yàn)；計(jì)數(shù)資料以率（%）表示， 采用χ2檢驗(yàn)。P

2 結(jié)果

2. 1 兩組患者術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量和手術(shù)時(shí)間對(duì)比 研究組術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量均少于對(duì)照組， 差異均有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。見表1。

2. 2 兩組患者拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量和離開恢復(fù)室時(shí)間對(duì)比 研究組拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間均優(yōu)于對(duì)照組， 差異均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P

2. 3 兩組患者二次手術(shù)率對(duì)比 研究組二次手術(shù)率為3.33%， 明顯低于對(duì)照組的20.00%， 差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P

3 討論

鼾癥是臨床較常見的疾病類型， 發(fā)病機(jī)制以咽阻塞為主， 所謂咽阻塞系指口咽部生理性異常引起的咽峽部左右徑狹小， 咽帆間隙前后徑縮短或舌根肥厚上抬使咽峽上下徑變小。生理性異常指組織結(jié)構(gòu)正常而表現(xiàn)出功能障礙而言， 如軟腭偏長、懸雍垂過度下垂、咽后柱寬闊、咽壁黏膜下脂肪沉積、軟腭松弛和咽淋巴環(huán)肥大等。多數(shù)的鼾癥患者除鼾聲過響外， 還存在不同程度的憋氣現(xiàn)象， 即所謂阻塞性睡眠呼吸暫停綜合征， 出現(xiàn)一系列缺氧癥狀， 易并發(fā)繼發(fā)性高血壓和心律失常， 有潛在致死的可能， 對(duì)健康危害甚大。不論是腭咽成形術(shù)或是懸雍垂腭咽成形術(shù)（uvulo-palatopharyngoplasty）， 其治療原則均為切除口咽部不重要的過剩組織， 擴(kuò)大咽帆（又名腭帆）間隙呼吸通道。

雖然這些手術(shù)方法的效果較好， 但術(shù)中的止血一直是在實(shí)施鼾癥手術(shù)中的巨大問題， 若沒有對(duì)患者起到及時(shí)有效的止血效果， 則會(huì)對(duì)治療效果造成重大影響， 甚至極有可能導(dǎo)致患者的身體受到更大的危害。因此對(duì)鼾癥患者實(shí)施手術(shù)治療時(shí)， 通過相關(guān)方法減少其術(shù)中出血非常重要。以往的止血方法是在手術(shù)中注意自身行為， 例如在手術(shù)前需察看咽腔寬暢程度， 有無滲血， 發(fā)音時(shí)軟腭能否貼近咽后壁。若咽后壁仍見縱形條索狀組織增厚者， 在咽后壁外側(cè)可作半圓形附加切口切除黏膜， 將內(nèi)側(cè)弧形切緣向外側(cè)移拉使與切緣外側(cè)黏膜縫合， 減少條索樣隆起。但這些方法并沒有藥物治療好， 而卡絡(luò)磺鈉就是這樣的藥物。在實(shí)際的起效過程中， 卡絡(luò)磺鈉能夠提升患者毛細(xì)血管對(duì)于自身損傷抵抗力， 并最終能夠?qū)γ?xì)血管的通透性進(jìn)行提升， 讓毛細(xì)血管的斷端重新回到毛細(xì)血管的斷端， 并起到止血效果[3-7]。這一效果相比傳統(tǒng)的止血方法明顯更佳。在常規(guī)的止血過程中， 小血管在受傷后會(huì)立即收縮， 若是破損不大， 甚至能夠直接讓血管封閉， 這種止血效果比較好， 但持續(xù)效果非常短。因此凝血開始成為了止血過程中的重要手段， 通過凝血的方式能夠起到更好的止血效果。但正常的凝血過程在時(shí)間上較長， 并且其效果不佳， 因此使用促凝血藥物非常重要。促凝血藥物指的是能夠加快血液凝固， 或是降低毛細(xì)血管通透性的藥物， 在當(dāng)前得到了較好的使用。傳統(tǒng)凝血藥物為凝血酶、維生素K以及酚磺乙胺等藥物， 但這類藥物的副反應(yīng)非常大， 一些患者也無法耐受[8-11]。而卡絡(luò)磺鈉則能夠避免這些缺陷?？ńj(luò)磺鈉能夠增強(qiáng)毛細(xì)血管的通透性、彈性， 并能夠促進(jìn)毛細(xì)血管斷端的回縮， 明顯縮短出血時(shí)間， 因此能夠起到較好效果[12-15]。尤其是對(duì)于鼾癥手術(shù)而言， 使用卡絡(luò)磺鈉則能夠起到更好的止血效果。加上該種手術(shù)麻醉復(fù)蘇期的危險(xiǎn)性比如：全身麻醉拔管期誤吸、再次出血、窒息、再次手術(shù)等危險(xiǎn)情況， 使用該藥后減輕相關(guān)并發(fā)癥。但需要注意的是， 在實(shí)際的對(duì)患者服用卡絡(luò)磺鈉的治療時(shí)會(huì)有并發(fā)癥等出現(xiàn)。針對(duì)這一情況， 可對(duì)患者的身體狀況進(jìn)行分析， 并通過分析的結(jié)果為患者制定出不同的服藥計(jì)劃， 改善這一情況的出現(xiàn)。

本次研究結(jié)果顯示， 研究組術(shù)中出血量、術(shù)后滲血量、拔出氣管插管時(shí)間、口腔滲血量、離開恢復(fù)室時(shí)間均優(yōu)于對(duì)照組， 差異均具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P0.05）。研究組二次手術(shù)率明顯低于對(duì)照組， 差異具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義（P

總之， 卡絡(luò)磺鈉氯化鈉注射液在鼾癥手術(shù)中具有較好的止血效果， 可縮短拔管時(shí)間， 減少二次手術(shù)的幾率。

參考文獻(xiàn)

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函數(shù)最值的應(yīng)用范文第3篇

關(guān)鍵詞:三角函數(shù) 最值 類型解決方法

最值問題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和歷年高考的熱點(diǎn),它涉及中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支,在一些特定的領(lǐng)域中應(yīng)用還十分廣泛,分清問題

的類型對(duì)于最值問題的解決十分有益。本文就三角函數(shù)中的最值問題略作介紹。

三角函數(shù)是一種函數(shù),因此初等函數(shù)中的最值問題的求法對(duì)三角函數(shù)也適用,但三角函數(shù)既然是一種特殊的函數(shù),其最值問題的求法當(dāng)然也有其獨(dú)特的地方。

一、配方法

例1.(1997年全國)函數(shù)y=cos2x-3cosx+2的最小值為()

A.2 B.0C.-■D.6

略解:由y=cos2x-3cosx+2=(cosx-■)2-■,cosx∈[-1,1]

利用三角函數(shù)的有界性及二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域可得:0≤y≤6。

答案:B

點(diǎn)評(píng):配方法作為初等函數(shù)中極為重要的方法在三角函數(shù)中應(yīng)用仍然十分廣泛,但本例運(yùn)用配方法意在確定對(duì)稱軸的位置。若將本例變?yōu)?函數(shù)y=sin2x-cosx+2的最小值為,則需異名化同名(余弦),再由配方法得出答案為1。

二、“合一變形”及有界性法

例2.(2000年春季北京、安徽文)y=sinx+cosx+2的最小值是()

A.2-■ B.2+■

C.0 D.1

略解:根據(jù)兩角和與差的三角公式作逆運(yùn)算得,y=■sin(x+■)+2,再利用三角函數(shù)的有界性知:y∈[2-■,2+■]。

答案:A

點(diǎn)評(píng):“合一變形”法就是逆用“兩角和與差的正余弦公式”對(duì)同角異名弦之和與弦之差作“二合一變形”。

變題:函數(shù)y=■的值域?yàn)?/p>

略解:由y=■得,sinθ=■

而sinθ∈[-1,1],故函數(shù)的值域?yàn)?

[-2,0]

三、“和積不等式”與“勾子函數(shù)”法

例3.函數(shù)y=sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)

由“勾子函數(shù)y=x+■>0”性質(zhì)可求y≥6。

答案:C

變題:函數(shù)y=5sinα+■,α∈(0,π)的最小值為()

A.2■ B.-2■

C.6 D.-6

略解:由α∈(0,π),則sinα∈(0,1)

由和積不等式知:5sinα+■≥2■,當(dāng)且僅當(dāng)sinα=■時(shí)取等號(hào)

答案:A

點(diǎn)評(píng):“勾子函數(shù)”法的本質(zhì)是函數(shù)的單調(diào)性,對(duì)于勾子函數(shù)y=x+■,a>0,當(dāng)x∈(0,■]時(shí)函數(shù)單調(diào)減,當(dāng)x∈(■,+∞]函數(shù)單調(diào)增。而“和積不等式”強(qiáng)調(diào)“一正、二定、三等”限制條件。

四、數(shù)形結(jié)合與換元法

例4.函數(shù)y=■的值域?yàn)?/p>

答案:(-∞,0]

例5.函數(shù)y=sinx+cosx+2sinxcosx的值域?yàn)?/p>

答案:[-■,1+■]

點(diǎn)評(píng):例4可看作是圓:x2+y2=1上點(diǎn)(cosθ,sinθ)與點(diǎn)(-2,1)連線的斜率的取值范圍。

例5則可將sinx+cosx整體換元為t∈[-■,■],并將sinxcosx化為t的代數(shù)式,進(jìn)而將原問題化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上求值域。

五、三角函數(shù)最值問題的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例6.(2000年全國,理)已知函數(shù)y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),求自變量x的集合;

解:y=■cos2x+■sinxcosx+1,x∈R

=■cos2x+■sin2x+■

=■sin(2x+■)+■

y取得最大值必須且只需2x+■=■+2kπ,k∈Z,

即x=■+kπ,k∈Z

所以當(dāng)函數(shù)y取得最大值時(shí),自變量x的集合為{x|x=■+kπ,k∈Z｝

點(diǎn)評(píng):本題的突破口是利用三角函數(shù)的降冪公式進(jìn)行恒等變形,重點(diǎn)考查了三角函數(shù)最值所取得的條件。

例7.設(shè)向量■=(3cosx,3sinx),■=(3cosx,sinx),■=(2,0),向量■與向量■的夾角為θ,當(dāng)變量x∈(0,■)時(shí),(1)求證:(■-■)■

(2)求角θ的最大值及相應(yīng)的x值。

解:(1)■-■=(0,2sinx),而■=(2,0)

( ■ -■ )? ■=0×2+2sinx×0=0

(■-■)■

(2)cosθ=■=■

=■

又x∈(0,■)

令:■=t,則t∈(1,3)

cosθ=■≥■(當(dāng)t=■,即cosx=■時(shí)取等號(hào))

又θ∈(0,π),cosθ在(0,π)內(nèi)為減函數(shù)

θ≤■

θ的最大值為■,此時(shí)相應(yīng)的x值為■

點(diǎn)評(píng):本例運(yùn)用了換元法、基本不等式等初等函數(shù)最值問題的求法,而其核心是以向量為載體考查三角函數(shù)的最值問題。

三角函數(shù)最值問題的各種解法之間可以互相滲透,而三角函數(shù)的有界性則貫串于三角函數(shù)問題的始終。

函數(shù)最值的應(yīng)用范文第4篇

一、主要知識(shí)及主要方法

1.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，大都是綜合性問題，解法靈活，技巧性強(qiáng)，涉及代數(shù)、三角、幾何等多方面的知識(shí)，現(xiàn)把這類問題的求解策略與方法介紹如下

（1）平面幾何法

平面幾何法求最值問題，主要是運(yùn)用圓錐曲線的定義和平面幾何知識(shí)求解.

（2）目標(biāo)函數(shù)法

建立目標(biāo)函數(shù)解與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，是常規(guī)方法，其關(guān)鍵是選取適當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用求函數(shù)最值的方法確定最值.

（3）判別式法

（4）圓錐曲線定義的應(yīng)用

①運(yùn)用圓錐曲線的定義解題常用于：a.求軌跡問題；b.求曲線上某些特殊的點(diǎn)的坐標(biāo)；c.求過焦點(diǎn)的弦長、焦半徑.

②要注意不斷總結(jié)和積累應(yīng)用圓錐曲線的定義解題的經(jīng)驗(yàn)，以便提高靈活應(yīng)用定義解題的能力.

a.在利用圓錐曲線定義求軌跡時(shí)，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)圓錐曲線的定義，寫出所求的軌跡方程；若所求軌跡是某種圓錐曲線上的特定的軌跡，則利用圓錐曲線的定義列出等式，化簡(jiǎn).

b.涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常用第一定義結(jié)合正弦定理或余弦定理來解決問題；涉及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率、圓錐曲線上的點(diǎn)中的三者，常用第二定義解決問題.

c.研究有關(guān)點(diǎn)之間的距離的最值問題時(shí)，常用第一定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為另一焦點(diǎn)的距離或利用第二定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到其相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，再從幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題.

2.與圓錐曲線有關(guān)的范圍問題的討論常用以下方法解決

（1）結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系.

（2）不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形（如點(diǎn)在曲線內(nèi)等）列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不等式組得出參數(shù)的變化范圍.

（3）函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求參數(shù)的變化范圍.

（4）利用代數(shù)基本不等式.代數(shù)基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思.

（5）結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性.直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式.因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：

① 通過參數(shù)θ簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；

② 利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題；

二、典例分析

點(diǎn)睛（1）與圓有關(guān)的最值問題往往與圓心有關(guān)；（2）函數(shù)法是我們探求解析幾何最值問題的首選方法，其中所涉及到的函數(shù)最常見的有二次函數(shù)等，值得注意的是函數(shù)自變量取值范圍的考察不能被忽視.

函數(shù)最值的應(yīng)用范文第5篇

求解二元函數(shù)最值，核心思想是化二元為一元――將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單模型是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵，也是本質(zhì)。通過消元或換元，將一個(gè)二元問題簡(jiǎn)化為一元函數(shù)問題，依托于研究學(xué)生所熟識(shí)的一元函數(shù)達(dá)到求解二元函數(shù)最值的目的。下文所敘述的消元法和換元法都是這一思想的具體運(yùn)用。

同時(shí)，求解二元函數(shù)最值問題時(shí)，聯(lián)系題目中條件與最值問題所對(duì)應(yīng)的幾何意義――利用數(shù)形結(jié)合的思想，將二元函數(shù)問題化歸為二維平面內(nèi)的圖形變換關(guān)系，通過觀察圖形的幾何意義來解決問題，是此類問題其求解的又一法寶。

此外，結(jié)合已知條件，利用重要不等式來解決問題是我們可以借助的又一重要工具。均值不等式法就體現(xiàn)了這一思想。

下面通過幾個(gè)具體的例子，著重通過一題多解的模式來分析二元最值求解的基本方法。

1. 配方法

利用多項(xiàng)式的配方法和實(shí)數(shù)的性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)來分析新式子的結(jié)構(gòu)， 進(jìn)而研究確定二元函數(shù)的最大值或最小值， 這也是求極值的一種很簡(jiǎn)便的方法。

例1：求二元函數(shù)Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。

分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2） 2+（y+1）2+10，當(dāng)且僅當(dāng) x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 時(shí)，Z的最小值是10

例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。

分析：原式配方可得 u=（x+y-12）2+34（y-1）2+4，當(dāng)且僅當(dāng) x+y-12=0及y-1=0時(shí)即x=0，y=1時(shí)取最小值4

2. 消元法

消元法是求解二元函數(shù)最值問題的最基本方法。同時(shí)，在求解此類問題時(shí)，設(shè)法消元也是核心的思路。而此類二元函數(shù)一般都有一個(gè)關(guān)于兩個(gè)自變量之間的等量關(guān)系

例3、已知 x，y∈R+且 xy=2，求 y（x2+1）的最小值。

分析：已知條件給出了兩變量的關(guān)系，故而可以用x表示y ，將二元問題劃歸為一元問題。

解：由xy=2 得 y2x，所以 Z= y（x2+1）= y2x（x2+1）=2x+2x，

又x ∈R+，所以2x +2x≥4 。當(dāng)且僅當(dāng) x=1時(shí)取等號(hào)。（亦可利用“對(duì)勾”函數(shù)理解）

例4、從圓（x+1） 2+（y-2）2=2外一點(diǎn)P向圓引切線PM，M為切點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有PM=PO，求 PM的最小值。

分析：設(shè)點(diǎn)P（a，b） 后，利用PM=PO找到 a，b的關(guān)系，求PM 的最小值問題轉(zhuǎn)化為求PO 的最小值。

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 （a，b） ，如圖

由已知 PO′2- O′M2=PM 2=PO 2，得 2a-4b+3=0 ，所以b=2a+34 ， PM=PO=a2+b2=20a2+12a+916≥3510，

即PM 的最小值為3510 。

由以上兩例可以看出，利用已知關(guān)系，將未知的二元問題化歸為已知的一元模型――由未知到已知的轉(zhuǎn)化模式是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要思想。

3. 換元法

通常就是將兩個(gè)變量看成一個(gè)整體，或者是應(yīng)用三角代換的方法將其轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，然后應(yīng)用一次函數(shù)的最值求解方法求解。

例5、實(shí)數(shù)x，y滿足x2-2xy+ y2-3x-3y+12=0，求u=xy的最小值。

分析：求u=xy的最值，從條件很容易把xy表示為x+y的關(guān)系，視x+y=t可轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)而求解。

解：由得條件 （x-y）2+12=3（x+y）≥12，可設(shè)t= x+y≥43（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)）又由條件可得 u=xy=14[（x+y）-3（x+y）+12]=14[t2-3t+12]=14[（t-3）2）2+454]≥12

從而可求得 umax=12

例6、若動(dòng)點(diǎn)P（x，y） 在曲線 x24+y2b2=1（b>0）上變化，求 x2+2y的最大值。

解：因?yàn)?P（x，y） 在x24+y2b2=1（b>0）上，所以 x=2cosθy=bsinθ， 故而z=x2+2y=4 cos2θ+2bsinθ=-4（sinθ-b4）2+b24+4，

當(dāng)0< b4

當(dāng) b4≥1，即b ≥4時(shí)， z=x2+2y≤-4（1-b4） 2+b24+4=2b。

換元法的本質(zhì)仍是將二元變量問題劃歸為一元問題，從而使的問題的以簡(jiǎn)化。

4. 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法是解決二元最值的一大類方法，其基本思想是將數(shù)的問題劃歸為形的特征，利用幾何意義來解決問題，常見的模式有構(gòu)造距離、斜率及線性規(guī)劃的應(yīng)用等。

對(duì)例4來說，得到a，b的關(guān)系2a-4b+3=0 后，將問題PO=a2+b2看作（a，b） 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，則PO的最小值為原點(diǎn)到直線2a-4b+3=0 的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得 d=3510。

例7：求函數(shù)f（x，θ）=xsinθx2+xcosθ+2的最值（2012年重慶理科數(shù)學(xué)二診）

分析：首先令x≠0然后將函數(shù)的分子分母同時(shí)除以x 將函數(shù)轉(zhuǎn)化為 f（x，θ）=sinθcosθ+x+1x，再令x+1x=-t∈（-∞，-2） Y（2，+∞）即有 f（x，θ）=sinθ-0cosθ-t將函數(shù)看成兩點(diǎn)A（cosθ， sinθ）與B（ t，0）連線的斜率，再進(jìn)行數(shù)型結(jié)合即可求出最為f（x，θ） max=77， f（x，θ） min-77

5. 均值不等式法

當(dāng)問題所給條件是變量x與y的積或和時(shí)，若函數(shù)可看作這兩個(gè)變量的和或積，當(dāng)滿足條件時(shí)，可利用均值不等式來求解。

例8、函數(shù) y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0 上，其中mn>0 ，求1m+ 2n的最小值。

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=loga（x+3）-1（a>0，a≠1）的圖像恒過（-2，-1）點(diǎn)。

又 點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0 上，所以有2m+n=1 ， 則z=1m+ 2n=（1m+ 2n）（2m+n）= nm+4mn+4，又 mn>0 ，故 nm>0， 4mn>0

從而nm+4mn ≥2nm4mn ，當(dāng)且僅當(dāng) n=2m時(shí)去等號(hào)。即 1m+ 2n的最小值為4。

例9：已知a>b>0 ，求 a2+16（a-b）b的最小值。

分析：因?yàn)?a2=[（a-b）+b]2≥[（a-b）b]2=4（a-b）b當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b 時(shí)等號(hào)成立，然后再將（a-b）b看成一個(gè)整體再次用均值不等式即能求出最小值16，當(dāng)且僅當(dāng) a=22， b=2時(shí)取的最小值。

以上五種方法，是高中階段求解二元函數(shù)最值的常用方法，在解決問題的過程中，充分體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)的基本思想與基本技能，是學(xué)生函數(shù)部分學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容。同時(shí)，在數(shù)列、圓錐曲線部分內(nèi)容的求值等問題中也常常會(huì)涉及到，也體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，更是新課程改革的一個(gè)方向。熟練掌握二元函數(shù)最值問題的求法，是對(duì)學(xué)生的必然要求。

參考文獻(xiàn)

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