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（1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；

（2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；

（3）通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

（4）通過對排列、組合問題求解與剖析，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和思維深刻性，學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

教學(xué)建議

一、知識結(jié)構(gòu)

二、重點難點分析

本小節(jié)的重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式，組合數(shù)的性質(zhì)。難點是解組合的應(yīng)用題。突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理與乘法原理的掌握和應(yīng)用，并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當(dāng)中。

組合與組合數(shù)，也有上面類似的關(guān)系。從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。所有這些不同的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的一個集合（無序集），相當(dāng)于一個組合，而這種集合的個數(shù)，就是相應(yīng)的組合數(shù)。

解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步．切記：排組分清（有序排列、無序組合），加乘明確（分類為加、分步為乘）．

三、教法設(shè)計

1．對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，建議把排列與組合的概念進行對比的進行學(xué)習(xí)，這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)別與聯(lián)系．

2．學(xué)生與老師可以合編一些排列組合問題，如“45人中選出5人當(dāng)班干部有多少種選法？”與“45人中選出5人分別擔(dān)任班長、副班長、體委、學(xué)委、生委有多少種選法？”這是兩個相近問題，同學(xué)們會根據(jù)自己身邊的實際可以編出各種各樣的具有特色的問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)哪個是排列問題，哪個是組合問題．這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又在編題辨題中澄清了概念．

為了理解排列與組合的概念，建議大家學(xué)會畫排列與組合的樹圖．如，從a,b,c,d4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為：

排列樹圖

由排列樹圖得到，從a,b,c,d取出3個元素的所有排列有24個，它們分別是：abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc.……dca,dcb.

組合樹圖

由組合樹圖可得，從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個，它們是(abc),(abd),(acd),(bcd).

從以上兩組樹圖清楚的告訴我們，排列樹圖是對稱的，組合圖式不是對稱的，之所以排列樹圖具有對稱性，是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個都有在第一位的機會，哪一個都有在第二位的機會，哪一個都有在第三位的機會，而組合只考慮字母不考慮順序，為實現(xiàn)無順序的要求，我們可以限定a,b,c,d的順序是從前至后，固定了死順序等于無順序，這樣組合就有了自己的樹圖．

學(xué)會畫組合樹圖，不僅有利于理解排列與組合的概念，還有助于推導(dǎo)組合數(shù)的計算公式．

3．排列組合的應(yīng)用問題，教師應(yīng)從簡單問題問題入手，逐步到有一個附加條件的單純排列問題或組合問題，最后在設(shè)及排列與組合的綜合問題．

對于每一道題目，教師必須先讓學(xué)生獨立思考，在進行全班討論，對于學(xué)生的每一種解法，教師要先讓學(xué)生判斷正誤，在給予點播．對于排列、組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生的分析問題解決問題的能力，在學(xué)生的多種解法基礎(chǔ)上教師要引導(dǎo)學(xué)生選擇最佳方案，總結(jié)解題規(guī)律．對于學(xué)生解題中的常見錯誤，教師一定要講明道理，認(rèn)真分析錯誤原因，使學(xué)生在是非的判斷得以提高．

4．兩個性質(zhì)定理教學(xué)時，對定理1，可以用下例來說明：從4個不同的元素a，b，c，d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組合分別是

這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從

4個元素里每次取出1個元素的組合是—一對應(yīng)的．

對定理2，可啟發(fā)學(xué)生從下面問題的討論得出．從n個不同元素，，…，里每次取出m個不同的元素（），問：（1）可以組成多少個組合；（2）在這些組合里，有多少個是不含有的；（3）在這些組合里，有多少個是含有的；（4）從上面的結(jié)果，可以得出一個怎樣的公式．在此基礎(chǔ)上引出定理2．

對于，和一樣，是一種規(guī)定．而學(xué)生常常誤以為是推算出來的，因此，教學(xué)時要講清楚．

教學(xué)設(shè)計示例

教學(xué)目標(biāo)

（1）使學(xué)生正確理解組合的意義，正確區(qū)分排列、組合問題；

（2）使學(xué)生掌握組合數(shù)的計算公式；

（3）通過學(xué)習(xí)組合知識，讓學(xué)生掌握類比的學(xué)習(xí)方法，并提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；

教學(xué)重點難點

重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式；

難點是解組合的應(yīng)用題．

教學(xué)過程設(shè)計

（－）導(dǎo)入新課

（教師活動）提出下列思考問題，打出字幕．

［字幕］一條鐵路線上有6個火車站，（1）需準(zhǔn)備多少種不同的普通客車票？（2）有多少種不同票價的普通客車票？上面問題中，哪一問是排列問題？哪一問是組合問題？

（學(xué)生活動）討論并回答．

答案提示：（1）排列；（2）組合．

［評述］問題（1）是從6個火車站中任選兩個，并按一定的順序排列，要求出排法的種數(shù)，屬于排列問題；（2）是從6個火車站中任選兩個并成一組，兩站無順序關(guān)系，要求出不同的組數(shù)，屬于組合問題．這節(jié)課著重研究組合問題．

設(shè)計意圖：組合與排列所研究的問題幾乎是平行的．上面設(shè)計的問題目的是從排列知識中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題．

（二）新課講授

［提出問題創(chuàng)設(shè)情境］

（教師活動）指導(dǎo)學(xué)生帶著問題閱讀課文．

［字幕］1．排列的定義是什么？

2．舉例說明一個組合是什么？

3．一個組合與一個排列有何區(qū)別？

（學(xué)生活動）閱讀回答．

（教師活動）對照課文，逐一評析．

設(shè)計意圖：激活學(xué)生的思維，使其將所學(xué)的知識遷移過渡，并盡快適應(yīng)新的環(huán)境．

【歸納概括建立新知】

（教師活動）承接上述問題的回答，展示下面知識．

［字幕］模型：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．如前面思考題：6個火車站中甲站→乙站和乙站→甲站是票價相同的車票，是從6個元素中取出2個元素的一個組合．

組合數(shù)：從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，稱之，用符號表示，如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為.

［評述］區(qū)分一個排列與一個組合的關(guān)鍵是：該問題是否與順序有關(guān)，當(dāng)取出元素后，若改變一下順序，就得到一種新的取法，則是排列問題；若改變順序，仍得原來的取法，就是組合問題．

（學(xué)生活動）傾聽、思索、記錄．

（教師活動）提出思考問題．

［投影］與的關(guān)系如何？

（師生活動）共同探討．求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可分為以下兩步：

第1步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)為；

第2步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)為．

根據(jù)分步計數(shù)原理，得到

［字幕］公式1：

公式2：

（學(xué)生活動）驗算，即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的普通客車票．

設(shè)計意圖：本著以認(rèn)識概念為起點，以問題為主線，以培養(yǎng)能力為核心的宗旨，逐步展示知識的形成過程，使學(xué)生思維層層被激活、逐漸深入到問題當(dāng)中去．

【例題示范探求方法】

（教師活動）打出字幕，給出示范，指導(dǎo)訓(xùn)練．

［字幕］例1列舉從4個元素中任取2個元素的所有組合．

例2計算：（1）；（2）．

（學(xué)生活動）板演、示范.

（教師活動）講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題．

［字幕］例3已知，求的所有值.

（學(xué)生活動）思考分析．

解首先，根據(jù)組合的定義，有

①

其次，由原不等式轉(zhuǎn)化為

即

解得②

綜合①、②，得，即

［點評］這是組合數(shù)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是公式的選擇．

設(shè)計意圖：例題教學(xué)循序漸進，讓學(xué)生鞏固知識，強化公式的應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合分析能力．

【反饋練習(xí)學(xué)會應(yīng)用】

（教師活動）給出練習(xí)，學(xué)生解答，教師點評．

［課堂練習(xí)］課本P99練習(xí)第2，5，6題．

［補充練習(xí)］

［字幕］1．計算：

2．已知，求.

（學(xué)生活動）板演、解答．

設(shè)計意圖：課堂教學(xué)體現(xiàn)以學(xué)生為本，讓全體學(xué)生參與訓(xùn)練，深刻揭示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用．

【點評矯正交流提高】

（教師活動）依照學(xué)生的板演，給予指正并總結(jié)．

補充練習(xí)答案：

1．解：原式：

2．解：由題設(shè)得

整理化簡得，

解之，得或（因，舍去），

所以，所求

［字幕］小結(jié)：

1．前一個公式主要用于計算具體的組合數(shù)，而后一個公式則主要用于對含有字母的式子進行化簡和論證．

2．在解含組合數(shù)的方程或不等式時，一定要注意組合數(shù)的上、下標(biāo)的限制條件．

（學(xué)生活動）交流討論，總結(jié)記錄．

設(shè)計意圖：由“實踐——認(rèn)識——一實踐”的認(rèn)識論，教學(xué)時抓住“學(xué)習(xí)—一練習(xí)——反饋———小結(jié)”這些環(huán)節(jié)，使教學(xué)目標(biāo)得以強化和落實．

（三）小結(jié)

（師生活動）共同小結(jié)．

本節(jié)主要內(nèi)容有

1．組合概念．

2．組合數(shù)計算的兩個公式．

（四）布置作業(yè)

1．課本作業(yè)：習(xí)題103第1（1）、（4），3題．

2．思考題：某學(xué)習(xí)小組有8個同學(xué)，從男生中選2人，女生中選1人參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三種學(xué)科競賽，要求每科均有1人參加，共有180種不同的選法，那么該小組中，男、女同學(xué)各有多少人？

3．研究性題：

在的邊上除頂點外有5個點，在邊上有4個點，由這些點（包括）能組成多少個四邊形？能組成多少個三角形？

（五）課后點評

在學(xué)習(xí)了排列知識的基礎(chǔ)上，本節(jié)課引進了組合概念，并推導(dǎo)出組合數(shù)公式，同時調(diào)控進行訓(xùn)練，從而培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

作業(yè)參考答案

2．解；設(shè)有男同學(xué)人，則有女同學(xué)人，依題意有，由此解得或或2．即男同學(xué)有5人或6人，女同學(xué)相應(yīng)為3人或2人．

3．能組成（注意不能用點為頂點）個四邊形，個三角形．

探究活動

同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，那么四張不同的分配萬式可有多少種？

解設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁，可從多種角度來解．

解法一可將拿賀卡的情況，按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情形分為三類，即：

甲拿乙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．

甲拿丙制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．

甲拿丁制作的賀卡時，則賀卡有3種分配方法．

由加法原理得，賀卡分配方法有3+3+3=9種．

解法二可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮．這時還存在正向與逆向兩種思考途徑．

正向思考，即從滿足題設(shè)條件出發(fā)，分步完成分配．先可由甲從乙、丙、丁制作的賀卡中選取1張，有種取法，剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張，也有種，最后剩下2人可選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡，其取法只有互取對方制作賀卡

1種取法．根據(jù)乘法原理，賀卡的分配方法有（種）．

逆向思考，即從4人取4張不同賀卡的所有取法中排除不滿足題設(shè)條件的取法．不滿足題設(shè)條件的取法為，其中只有1人取自己制作的賀卡，其中有2人取自己制作的賀卡，其中有3人取自己制作的賀卡（此時即為4人均拿自己制作的賀卡）．其取法分別為1．故符合題設(shè)要求的取法共有（種）．

說明（1）對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較復(fù)雜，且容易重復(fù)遺漏計算的排列組合問題，常可采用直接分類后用加法原理進行計算，如本例采用解法一的做法．

（2）設(shè)集合，如果S中元素的一個排列滿足，則稱該排列為S的一個錯位排列．本例就屬錯位排列問題．如將S的所有錯位排列數(shù)記為，則有如下三個計算公式（李宇襄編著《組合數(shù)學(xué)》，北京師范大學(xué)出版社出版）：

①

②

③