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分式方程計(jì)算題范文第1篇

一、中考由分式方程無解與增根求字母值的典型例析

例1?。?011·雞西）18.分式方程■-1=■有增根，則m的值為（）。

（A）0和3 （B）1

（C）1和-2 （D）3

分析：根據(jù)分式方程有增根，得出x-1=0，x+2=0，分別代入求出其值即可。

解：　分式方程■-1=■有增根，

x-1=0，x+2=0，　x=1，x=-2。

兩邊同時(shí)乘以（x-1）（x+2），

原方程可化為x（x+2）-（x-1）（x+2）=m。

整理得，m=x+2，

當(dāng)x=1時(shí)，m=1+2=3；當(dāng)x=-2時(shí)，m=-2+2=0。

故選A。

例2?。?011·黑龍江省龍東地區(qū)）9.已知關(guān)于x的分式方程■－■=0無解，則a的值為_____。

分析：①根據(jù)分式方程有增根，得出x+1=0，x=0，②根據(jù)“ax=b”型方程，a=0，b≠0時(shí)方程無解，求出a的值即可。

解：①　分式方程■－■=0有增根，

x（x+1）=0，　x+1=0，x=0。

兩邊同時(shí)乘以x（x+1），

原方程可化為ax-（2a-x-1）=0。

整理得，（a+1）x+1-2a=0。

當(dāng)x=-1時(shí)，a=0；當(dāng)x=0時(shí)，a=■。

②將方程（a+1）x+1-2a=0變形為（a+1）x=2a-1根據(jù)“ax=b”型方程，a=0，b≠0時(shí)方程無解得a+1=0，所以a=-1。

綜上所述a=0，a=■，a=-1。

點(diǎn)評：前面兩個(gè)例子是計(jì)算題，考察知識點(diǎn)是：分式方程的增根或無解；運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程，解一元一次方程。理解或無解分式方程的增根或無解的意義是解此題的關(guān)鍵。

例3　已知分式方程■+■=2有增根，求a的值。

分析：將分式方程化為整數(shù)方程，把參數(shù)看成常數(shù)求解，根據(jù)根的情況，確定參數(shù)的值，注意要排除增根的參數(shù)的值就是所求的答案。

解：將原方程變形知，3（x+1）+（ax+3）x=2x（x+1），當(dāng)x=0或x=-1時(shí)，方程有增根，

當(dāng)x=0時(shí)，矛盾；當(dāng)x=-1時(shí)，3-a=0？圯a=3。

a=3。

二、由分式方程無解與增根求字母值的典型題型的思路建構(gòu)

1.要正確理解分式方程增根和無解

根據(jù)教材分式方程的增根是：如果由變形后的方程求得的根不適合原方程，那么這種根叫做原方程的增根。解分式方程首先要化分式方程為整式方程，需要用分式方程中各分式的最簡公分母去乘方程的兩邊。如果所得整式方程的解恰好使最簡公分母為0，則這個(gè)解就是增根；如果使最簡公分母不等于0，則所得整式方程與原分式方程同解，則整式方程的解就是原分式方程的解。而分式方程無解則是指不論未知數(shù)取何值，都不能使方程兩邊的值相等。

2.要掌握分式方程增根和無解產(chǎn)生的原因

分式方程增根產(chǎn)生的原因：在解分式方程時(shí)，要化分式方程為整式方程，需要用分式方程中各分式的最簡公分母去乘方程的兩邊。如果所得整式方程的解恰好使最簡公分母為0，則這個(gè)解就是增根；相當(dāng)于在原分式方程的兩邊都乘以0，導(dǎo)致分式方程產(chǎn)生增根。

分式方程無解產(chǎn)生的原因：根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，中考只考將分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的要求，所以首先要理解一元一次方程的解的狀況。解答關(guān)于x的方程ax=b時(shí)，要對其中a，b的取值進(jìn)行討論。一般，有下面幾種情況：（1）方程有唯一解時(shí)，a≠0。（2）方程無解時(shí)，a=0，b≠0。（3）方程有無數(shù)個(gè)解時(shí)，a=0，b=0。所以原分式方程化去分母后的整式方程為“ax=b，a=0，b≠0”型方程，此時(shí)方程無解，則原分式方程也無解；其次是原分式方程化去分母后的整式方程有解，但這個(gè)解是原分式方程的增根，從而原分式方程無解。如果分式方程在去分母后所變形而成的整式方程是一元一次方程，它的解恰能使最簡公分母為零，這個(gè)根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一個(gè)，所以，這時(shí)的原分式方程無解；若所變形而成的整式方程是一元二次方程時(shí)，情形就不一樣了，分式方程產(chǎn)生增根時(shí)分式方程也不一定就無解。在新課程標(biāo)準(zhǔn)的中考試題中分式方程增根只是分式方程無解的一種類型。

3.明確分式方程增根和無解產(chǎn)生的步驟

（1）分式方程增根產(chǎn)生的步驟

由增根求字母的值，解答步驟為：①將原方程化為整式方程。②確定增根，因?yàn)榉质椒匠虨檎椒匠?，需要用分式方程中各分式的最簡公分母去乘方程的兩邊。這時(shí)會(huì)產(chǎn)生增根，如果所得整式方程的解恰好使最簡公分母為0，則這個(gè)解就是增根。所以確定最簡公分母的值為0的未知數(shù)的值為增根。③將增根代入變形后的整式方程，求出字母的值。

（2）分式方程無解產(chǎn)生的步驟

分式方程計(jì)算題范文第2篇

一、概念法：運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本概念和基本知識進(jìn)行判斷，檢驗(yàn)答案的正確與否.

例1如果a、b為有理數(shù)，且 和兩個(gè)最簡二次根式，那么 + 的有理化因式是什么？

解：因?yàn)?是兩個(gè)最簡二次根式，所以 + 的有理化因式是 -.

檢驗(yàn)：兩個(gè)含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，就稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式.因?yàn)椋?+ ）?（ - ）=a-b ，所以答案正確.

二、條件法：條件檢驗(yàn)是從已知條件入手，檢查解題過程是否充分利用了所給條件，是否遺漏了隱含條件等.

例2當(dāng)m 為何值時(shí)，在y=（2m2-5m-3）xm +3m-17中，x 與 y是正比例函數(shù)關(guān)系？

解：由題意可知，當(dāng)m2+3m-17=1時(shí)，x與y是正比例函數(shù)關(guān)系，由此解得m1=-6，m2=3.

檢驗(yàn)：在正比例函數(shù)y=kx中，系數(shù) k≠0是個(gè)隱含條件.當(dāng)m=-6時(shí)，2m2-5m-3=99；而當(dāng)m=3時(shí)，2m2-5m-3=0，不符合題意，應(yīng)舍去.故正確答案應(yīng)為 m=-6.

三、數(shù)形法：把題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來，進(jìn)行驗(yàn)證，直觀明了.

例3若a＞0，b＜0，a+b＞0，則a，b，-a，-b由大到小的排列順序是_____________.

解：因?yàn)閍為正數(shù)，b為負(fù)數(shù)，且a+b＞0，所以|a|＞|b|，則四個(gè)數(shù)從大到小的排列順序?yàn)?a＜b＜-b＜a.

檢驗(yàn)：把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來（如圖1），觀察可知，答案正確.

四、代入法：即將答案直接代入原題，檢驗(yàn)是否符合題意.這種方法常用于方程（組）解的檢驗(yàn).

例4解方程 - =2.

解：原方程可化為 - =2，解得x=3.

檢驗(yàn)：把x=3代入原方程，左邊= - =2=右邊，所以x =3是原方程的解.

五、多解法：一道題采用不同方法來解答，再對比結(jié)果，檢驗(yàn)是否正確.

例5設(shè)1+x+x2+x3+x4+x5=

0，求x6的值.

解法1：在已知等式兩邊同時(shí)加上x6，得

x6 =1+x+x2+x3+x4+x5+x6

=1+x（1+x+x2+x3+x4+x5）

=1+0

=1.

解法2：由已知條件得x5=-（x4+x3+

x2+x+1），因?yàn)閤≠0，所以方程兩邊同時(shí)乘以x，得

x6 =-（x5+x4+x3+x2+x）

=-（x5+x4+x3+x2+x+1）+1

=0+1

=1.

檢驗(yàn)：對比兩種解法的結(jié)果可知所求答案正確.

六、取值法：從原方程及逐次變形時(shí)未知數(shù)的取值范圍入手，來確定方程是否出現(xiàn)了多解或漏解的情況.

這種方法常用于分式方程解的檢驗(yàn).

例6解方程 + =1- .

解：方程兩邊通分，得 + = ，解得x1=1，x2=2.

檢驗(yàn)：把x1=1 和x2=2分別代入分式方程的最簡公分母x2-4.當(dāng)x=1時(shí)，x2-4=-3；當(dāng)x=2時(shí)，x2-4=0，所以x=2不是原方程的解.

七、賦值法：有些含有字母的計(jì)算題，可采用取特殊值的方法來檢驗(yàn)答案是否正確.

例7化簡（a4n+16）（an+2）（a2n+4）?（an-2）.

解：原式=（a4n+16）（a2n+4）（a2n-4）=（a4n+16）（a4n-16）=a8n-256.

檢驗(yàn)：令a=1，n=1，則原式=（14×1+

16）（1+2）（12×1 +4）（1-2）=-255；a8n-256=18×1-256=-255，故化簡結(jié)果正確.

分式方程計(jì)算題范文第3篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂；生成促成；策略

在數(shù)學(xué)教學(xué)中許多問題是無法預(yù)設(shè)到的，因?yàn)閷W(xué)習(xí)活動(dòng)的主體是學(xué)生，他們帶著自己的知識、經(jīng)驗(yàn)、情感與同學(xué)、老師進(jìn)行對話、共享。各種不確定因素，使課堂出現(xiàn)了一個(gè)個(gè)“生成點(diǎn)”。一個(gè)有豐富經(jīng)驗(yàn)的教師，應(yīng)充分運(yùn)用教學(xué)機(jī)智，巧加選擇、聚焦，較好地調(diào)整教學(xué)目標(biāo)和過程，從而完成教學(xué)任務(wù)。下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，與大家共同探討課堂教學(xué)生成策略，以期拋磚引玉。

一、巧妙設(shè)問，激發(fā)生成

恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)課堂提問不僅能鞏固知識，及時(shí)反饋教學(xué)信息，而且激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，啟迪學(xué)生的思維和想象，開拓和引導(dǎo)學(xué)生的思路，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的進(jìn)一步提升。選擇一個(gè)好的問題，是調(diào)動(dòng)全體學(xué)生共同參與的關(guān)鍵。筆者曾在《以直角三角形為基本圖形的復(fù)習(xí)課》中做過如下的設(shè)問：

案例1：問題1：（圖1）關(guān)于RtABC，你知道哪些知識？

問題2：（圖2）RtABC，COAB于O

_____________________________

問題3：（圖3）以AB所在直線為x軸，以CO所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，若CB=2■，AC=■，請寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)

問題4：（圖4）如圖：一拋物線過A，B，C三點(diǎn)，求它的解析式？

問題5：（圖5）在問題4中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使SABP=SABC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

本例的設(shè)置由淺入深，在從直角三角形的基礎(chǔ)知識到二次函數(shù)的存在性問題的復(fù)習(xí)過程中，學(xué)生帶著自己的知識經(jīng)驗(yàn)、思考、靈感參與到課堂教學(xué)活動(dòng)中，在復(fù)雜多變的問題情境中，不斷地生成新的問題。既培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生善于觀察，勤于思考，樂于探索的精神，同時(shí)又拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維空間。

二、捕捉亮點(diǎn)，構(gòu)建生成

在教師的誘導(dǎo)或在某種情景下，學(xué)生創(chuàng)造性地理解和運(yùn)用知識會(huì)產(chǎn)生獨(dú)特的感受、體驗(yàn)，這就是我們常說的課堂亮點(diǎn)。課堂亮點(diǎn)是一種珍貴的課程資源，當(dāng)亮點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，教師充分發(fā)揮教學(xué)機(jī)智，做到心中有案，行中無案，隨時(shí)把握課堂教學(xué)中閃動(dòng)的亮點(diǎn)，不斷捕捉、判斷、重組課堂教學(xué)中涌現(xiàn)的信息資源，機(jī)智生成新的教學(xué)方案。如在學(xué)習(xí)一元二次方程之時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了如下一個(gè)實(shí)踐活動(dòng)。

案例2：學(xué)生用28cm長的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)正方形，那么能否圍出面積等于30cm2的正方形呢？若將這根28cm長的細(xì)鐵絲剪成相同長度的兩段并做成兩個(gè)正方形，那么這兩個(gè)正方形的面積和能否等于30cm2呢？

師問：如果這根28cm長的細(xì)鐵絲全部用來圍成一個(gè)正方形，那么圍成的正方形面積是多少呢？

學(xué)生集體回答：49cm2。

師問：如果現(xiàn)在面積等于30cm2，請大家列方程解出這個(gè)正方形的邊長？（引出方程問題）

學(xué)生馬上列出方程，解出正方形的邊長是■cm。

師問：如果圍成兩個(gè)正方形，那么每個(gè)正方形的邊長是xcm，面積是30cm2，你能解出這個(gè)x的值嗎？

一會(huì)兒就有同學(xué)回答是：■cm。

師問：能否用28cm圍出這兩個(gè)正方形呢？為什么？

生：不能，因?yàn)?8cm分成八條邊每條只有3.5cm，小于■cm。

就在師生基本認(rèn)可他的回答時(shí)，班級數(shù)學(xué)課代表突然站了起來說：“老師，我好像能夠圍出來”，他的發(fā)現(xiàn)讓大家都很驚訝，我也奇怪（因?yàn)閭湔n時(shí)我沒有考慮到）。于是就請他把他的方法講解一下，其實(shí)他的方法很簡單。只要讓兩個(gè)正方形有一條公共邊，那么每個(gè)正方形的邊長就有4cm（大于cm），就能圍出來了。我當(dāng)場就表揚(yáng)了他，同時(shí)讓大家把他的方法計(jì)算一遍，最后鼓勵(lì)大家尋找另外的圍法……師生沉浸在發(fā)現(xiàn)的愉悅之中，紛紛動(dòng)筆開始列方程、解方程。

學(xué)生自己有獨(dú)特的發(fā)現(xiàn)，提出意想不到的問題，打破教師預(yù)先設(shè)定的教學(xué)思想。不可預(yù)設(shè)的課堂亮點(diǎn)彌足珍貴，教師應(yīng)牢牢鎖定亮點(diǎn)，與學(xué)生共同構(gòu)建靈活、開放、生成發(fā)展的課堂。這樣他們的個(gè)性才能得到張揚(yáng)，思維的火花才會(huì)綻放，課堂才會(huì)迭起，精彩紛呈。

三、利用錯(cuò)誤，誘導(dǎo)生成

數(shù)學(xué)課堂是一個(gè)動(dòng)態(tài)的、變化發(fā)展的過程，學(xué)生隨時(shí)可能生成各種預(yù)想不到的錯(cuò)誤。我們應(yīng)把錯(cuò)誤看成極具意義的動(dòng)態(tài)資源，并充分利用學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度、全方位審視自己在學(xué)習(xí)活動(dòng)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，因勢利導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

案例3：計(jì)算：■-■

在初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生這道題做錯(cuò)了，下面是大多數(shù)學(xué)生錯(cuò)誤的解法：

解：■-■

=■-■

=2-（a+1）

=1-a

顯然，解法錯(cuò)了，“張冠李戴”把方程變形搬到解計(jì)算題上，把分式的化簡當(dāng)作分式方程，乘以（a+1）（a-1）進(jìn)行去分母。于是，筆者就來一個(gè)“順?biāo)浦?，將錯(cuò)就錯(cuò)”，啟發(fā)學(xué)生：剛才很多同學(xué)把分式的化簡當(dāng)作分式方程來解，雖然解法錯(cuò)了，但給我們一個(gè)啟示，若能將該題去掉分母來解，其“解法”確實(shí)簡潔明快。因此，我們能否考慮利用方程來求解呢？整個(gè)班級陷入了沉思中，輕聲的議論顯得比較謹(jǐn)慎。顯然，學(xué)生們不知所措，被難住了。剛才說“當(dāng)作”分式方程解是錯(cuò)的，注意現(xiàn)在我說是“利用”分式方程來解。幾分鐘過去了，一位學(xué)生走上講臺，設(shè)這個(gè)分式等于一個(gè)字母。于是一個(gè)新穎的解法就出來了.

解：設(shè)■-■=X ■-■=X

去分母，得：2-（a+1）=（a+1）（a-1）X

1-a=（a+1）（a-1）X解得：X=-■

案例中，教師沒有讓“錯(cuò)誤”溜走，而是讓學(xué)生的思維展現(xiàn)在大家面前，卻發(fā)現(xiàn)這“錯(cuò)誤”是如此美麗。事實(shí)上，錯(cuò)誤是正確的先導(dǎo)，是成功的開始。學(xué)生所犯錯(cuò)誤及其對錯(cuò)誤的認(rèn)識，是學(xué)生知識寶庫的重要組成部分。他們在發(fā)生錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤的過程中，獲得知識、提高能力、增進(jìn)對數(shù)學(xué)知識的情感體驗(yàn)。因而，捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤、發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤背后隱藏的教學(xué)價(jià)值，是提高教學(xué)有效性的主要途徑。

四、操作體驗(yàn)，呈現(xiàn)生成

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：“思維是從動(dòng)作開始的，切斷了動(dòng)作和思維之間的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展?！毙抡n標(biāo)也指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，應(yīng)向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們在操作體驗(yàn)的過程中真正理解和掌握數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！币虼?，課堂上要讓學(xué)生自主地參與活動(dòng)，重視操作體驗(yàn)，通過讓學(xué)生動(dòng)手做、動(dòng)腦想、動(dòng)口說，真正經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與生成過程。

案例4：《摸到紅球的概率》一課的幾個(gè)主要片斷。

①盒子里裝有5個(gè)大小形狀完全相同的紅球。

師：從盒子中任意摸出一球是紅球，從盒子中任意摸出一球是白球，這兩個(gè)事件是什么事件？可能性是多少？并用數(shù)軸表示。

②再將5個(gè)大小形狀與紅球完全相同的白球放入剛才的盒子中。

師：從盒子中任意摸出一球是紅球，從盒子中任意摸出一球是白球，這兩個(gè)事件是什么事件？可能性是多少？并用數(shù)軸表示。

③如果盒子中裝有4個(gè)紅球，1個(gè)白球。

師：從盒子中任意摸出一球是紅球，發(fā)生的可能性比上次活動(dòng)中摸到紅球的可能性是大了還是小了？從盒子中任意摸出一球是白球，發(fā)生的可能性比上次活動(dòng)中摸到白球的可能性是大了還是小了？再在數(shù)軸上找到相應(yīng)的區(qū)域表示出來。

師：能否用一個(gè)正確數(shù)據(jù)表示在此摸球活動(dòng)中摸到紅球的可能性？

（此活動(dòng)讓學(xué)生充分體驗(yàn)摸到每個(gè)球的可能性是相同的，體會(huì)摸出一球所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)及摸到紅球的結(jié)果數(shù)，體會(huì)到概率的意義）

此時(shí)，一名學(xué)生站起來說：“這些問題太簡單了，老師能再難一點(diǎn)嗎？”（這個(gè)細(xì)節(jié)，學(xué)生要求老師增加題目難度，反而給人一種學(xué)生“趕”著老師走的感覺，新的生成，新的亮點(diǎn)）

老師說好，看下面的第④個(gè)問題：再在5個(gè)球中（4個(gè)紅球，1個(gè)白球）四人共做20次摸球游戲，記錄摸到紅球的次數(shù)和概率。

……

在一個(gè)個(gè)反饋過來的動(dòng)態(tài)信息中，不難看出學(xué)生已體驗(yàn)到頻率與概率的關(guān)系，在實(shí)踐過程中認(rèn)識到，在大量重復(fù)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果都會(huì)呈現(xiàn)出其頻率的穩(wěn)定性，生成了可以用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，同時(shí)使學(xué)生體會(huì)到概率的含義。課堂中的知識，只有與學(xué)生的體驗(yàn)融合在一起，才是真正的知識，才有真正的意義。認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只有通過自身的情感和價(jià)值體驗(yàn)，樹立堅(jiān)定的自信心才可能是成功的。這正是在課堂體驗(yàn)中的精彩生成。

總之，我們強(qiáng)調(diào)課堂生成并非不要課堂預(yù)設(shè)，有效的生成離不開充分的預(yù)設(shè)。在新課程背景下，經(jīng)常提及的“預(yù)設(shè)”與“生成”是一組相對概念，切忌重其一點(diǎn)，不及其余。教師不僅要有動(dòng)態(tài)生成的理念，還要科學(xué)而藝術(shù)地融合“預(yù)設(shè)”和“生成”。讓我們努力做一個(gè)具有智慧的數(shù)學(xué)教師，既關(guān)注“有心栽花花齊放”的預(yù)設(shè)實(shí)現(xiàn)，更努力關(guān)注“無心插柳柳成行”的動(dòng)態(tài)生成。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]謝利民.課堂教學(xué)生命活力的煥發(fā)[J].課程·教材·教法，2001（07）.

[2]溫向陽.新課程標(biāo)準(zhǔn)下對數(shù)學(xué)教學(xué)過程的理解[J].太原城市職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（03）.

分式方程計(jì)算題范文第4篇

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)情境教學(xué)創(chuàng)設(shè)創(chuàng)設(shè)問題

Abstract:Mathematicsteachingsituation’sestablishment,isreferstomathematicsteachingpresentstothecoursecontentusesthespecificmethod,achievesstimulatesthestudenttoassociate,theimaginationonowninitiative,positivelythethoughtthatobtainssomekindandthenewstudycontentrelatedimageorthethoughtachievement;Orcausesthestudenttohavesomekindofemotionexperience.Theconstructionprinciplebelievedthatthestudyistheknowledgeacquisitionprocess,theknowledgeisnotteachesthroughtheteacherobtains,butisthelearnerundercertainsituation,withtheaidofotherperson’shelp,usestheessentialstudymaterial,obtainsthroughthemeaningfulconstructionway.

keyword:Mathematicssituationteachingestablishmentestablishmentquestion

前言

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》也提出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)”，這充分說明數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)問題情境的重要性。那么，在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境時(shí)要注意哪些問題呢？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，認(rèn)為以下幾個(gè)方面是值得教學(xué)者注意的：

一、“問渠哪得清如許,為有源頭活水來”——引入情境要注重趣味性，以激發(fā)學(xué)生興趣

心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)生只有對所學(xué)的知識產(chǎn)生興趣，才會(huì)愛學(xué)，才能以最大限度的熱情投入到學(xué)習(xí)中去。因此，在教學(xué)中，教師要善于挖掘教材，積極創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的問題情境來幫助學(xué)生學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

案例1：七年級下《游戲的公平與不公平》導(dǎo)入

師：今天，老師和大家做一個(gè)搶“30”的游戲，這個(gè)游戲在兩個(gè)人之間完成，規(guī)則如下：第一個(gè)人先說“1”或“2”，第二個(gè)人要接著往下說一個(gè)或兩個(gè)數(shù)，然后又輪到第一個(gè)人，再接著往下說一個(gè)或兩個(gè)數(shù)，這樣兩人反復(fù)輪流，每次每人說一個(gè)或兩個(gè)數(shù)都可以，但是不可以連說三個(gè)數(shù)。說到30為止。誰先搶到30，誰就獲勝。誰來和老師比一比？

生1：老師，我來!

……

生2：老師，我和您比一比！

……

生2：老師，再來一次，我不相信我贏不了您！

……

（一連幾個(gè)學(xué)生都輸了，學(xué)生心有不甘。老師又和一個(gè)學(xué)生耳語了幾句。）

師：我收了個(gè)徒弟，誰愿意和我的徒弟比一比？

（又一輪比賽開始了，終于有學(xué)生發(fā)現(xiàn)了贏游戲的竅門）

生3：老師，您這個(gè)游戲不公平。

師：為什么？

……

此例中，游戲不僅激發(fā)了學(xué)生的好勝心，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生自然而然地進(jìn)入了學(xué)習(xí)。引入情境除了可引用游戲外，還可以是趣味性較強(qiáng)的名人軼事、歷史故事、數(shù)學(xué)趣題等。事實(shí)證明，貼近學(xué)生生活實(shí)際的、趣味性較強(qiáng)的情境，能很好地吸引學(xué)生的注意，最大程度地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

二、“不憤不啟，不悱不發(fā)”——情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)注重引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生內(nèi)在需要

情境的設(shè)計(jì)必須以引起學(xué)生的認(rèn)知沖突為基點(diǎn)才能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。教師根據(jù)新學(xué)知識，方法特點(diǎn)及學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)一個(gè)包含新知識、新方法或新思維的新問題情境（舊知識，舊方法或習(xí)慣思維不能解決的），學(xué)生運(yùn)用舊知識、舊方法、習(xí)慣思維于新問題情境時(shí)便會(huì)產(chǎn)生認(rèn)知沖突，由此產(chǎn)生疑問和急需找到解決方法的內(nèi)在需要。在這種需要的驅(qū)使下，教師展開教學(xué)，則能收到事半功倍的教學(xué)效果。

案例2：《因式分解》的引入

先用多媒體演示酸奶中乳酸菌桿的營養(yǎng)，介紹活性乳酸桿菌在0℃～7℃的環(huán)境中存活是靜止的，但隨著溫度的升高，乳酸菌會(huì)快速死亡。然后請學(xué)生思考下面問題：每升酸奶在0℃～7℃時(shí)含有活性乳酸桿菌220個(gè)，在10℃時(shí)活性乳酸桿菌死亡了217個(gè)，在12℃時(shí)又死亡了219個(gè)，那么此時(shí)活性乳酸桿菌還剩多少個(gè)？請列出算式，并化簡結(jié)果。

此例中，學(xué)生很容易列出算式220-217-219，呈現(xiàn)出較高的成就感，但怎么化簡呢？學(xué)生不知所措。顯然，這是三個(gè)整數(shù)的減法，可以把三個(gè)乘方先算出來，再相減，但這樣做不合題意，學(xué)生處在一個(gè)知其可為，但不知如何為的境地。此時(shí)，認(rèn)知沖突已被引發(fā)，學(xué)生有了急需找到解決方法的內(nèi)在需要。這時(shí)，教師告訴學(xué)生，學(xué)習(xí)了《因式分解》后，我們就能很方便地解決這個(gè)問題；而懸念的設(shè)置，無疑激發(fā)了學(xué)生的求知欲，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了良好的情緒狀態(tài)。

三、“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”——圍繞問題動(dòng)手實(shí)驗(yàn)也是一種情境

建構(gòu)主義認(rèn)為，動(dòng)手實(shí)踐與其他數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的合理配置和有效融合能夠營造一種豐富多樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，而這種情境可以讓學(xué)生初步體驗(yàn)將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，為理解數(shù)學(xué)知識做好準(zhǔn)備，為發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理提供幫助，并且能夠?yàn)閷W(xué)生提供與數(shù)學(xué)有著直接的和重要作用的經(jīng)驗(yàn)，以及情感性的支持。

案例3：在講授等腰三角形性質(zhì)的時(shí)候，有的老師設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)情境：讓學(xué)生做出一張等腰三角形的半透明的紙片（如圖），每個(gè)同學(xué)的等腰三角形的大小和形狀可以不一樣，把紙片對折，讓兩腰重合在一起，你發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象？請你盡可能多地寫出結(jié)論。

學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察、思考和交流寫出了如下結(jié)論：

1.等腰三角形是軸對稱圖形；

2.∠B=∠C；

3.BD=CD，即AD為底邊上的中線

4.∠ADB=∠ADC=90。，即AD為底邊上的高；

5.∠BAD=∠CAD，即AD為頂角平分線。

本例中，教師為學(xué)生提供了一個(gè)可感知，可操作，可體驗(yàn)的情境，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又使抽象的數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)于簡單的實(shí)驗(yàn)之中，促進(jìn)了學(xué)生的認(rèn)知理解。又如，在講授《旋轉(zhuǎn)的特征》時(shí)，可讓學(xué)生動(dòng)手操作，從而得出“圖形的旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度和旋轉(zhuǎn)方向所決定”的結(jié)論?？傊?，教師應(yīng)盡可能的為學(xué)生創(chuàng)設(shè)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)情境，讓學(xué)生“學(xué)中做”，“做中學(xué)”，培養(yǎng)他們的動(dòng)手能力和創(chuàng)新精神，讓他們在體驗(yàn)和感悟中成長。

四、“逐層以深入，循序而漸進(jìn)”——探究

性教學(xué)中的情境設(shè)計(jì)要注重遞進(jìn)性

探究性教學(xué)中，教師一般都需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)出多個(gè)情境，這些情境根據(jù)教學(xué)需要，在不同的時(shí)間以不同的方式呈現(xiàn)出來。由于探究性學(xué)習(xí)在總體上應(yīng)呈現(xiàn)由簡單到復(fù)雜、由低級到高級的螺旋式上升發(fā)展趨勢，這就要求創(chuàng)設(shè)的多個(gè)情境之間呈遞進(jìn)關(guān)系，要體現(xiàn)出層次性——既要防止步距過小，探究起來缺乏難度和挑戰(zhàn)性；也要防止步距過大，導(dǎo)致經(jīng)驗(yàn)獲得不足，探究脫節(jié)。

案例4：探索《勾股定理》（直角三角形三邊的關(guān)系）

情境1：讓學(xué)生觀察動(dòng)畫，講述我國科學(xué)家曾向太空發(fā)射勾股圖試圖與外星人溝通的故事；講述2002年，國際數(shù)學(xué)家大會(huì)采用弦圖作為會(huì)標(biāo)。設(shè)問：它為什么會(huì)有如此大的魅力？它蘊(yùn)涵著怎樣迷人的奧秘呢？

情境2：用幾何畫板作一個(gè)直角三角形ABC（∠C=90°），量一量兩條直角邊，斜邊的長度；改變直角邊或斜邊的長度，再量一量。多進(jìn)行幾次，并完成表格。你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

情境3：展示格點(diǎn)圖（1），圖中的三個(gè)正方形之間存在怎么的關(guān)系?由此你能得出直角三角形三邊關(guān)系嗎？

情境4：展示格點(diǎn)圖（2），圖中的三個(gè)正方形之間存在怎樣的關(guān)系？由此你能得出直角三角形三邊關(guān)系嗎？

情境5：請學(xué)生拿出準(zhǔn)備好的四個(gè)完全相同的直角三角形，拼成一個(gè)正方形（不得有地方重合），你能根據(jù)面積與恒等式的知識得到直角三角形的三邊關(guān)系嗎？

此例中，情境1為引入情境，作用是提出研究對象，將學(xué)生注意導(dǎo)向新課的學(xué)習(xí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生好奇心和學(xué)習(xí)興趣。情境2是通過量一量的方法，獲取數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)中可能的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行猜測。情境3，情境4是對情境2的猜測結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證，后者相對前者，更具一般性和更高的思維要求。情境5是對猜測結(jié)果的數(shù)學(xué)證明，也是對由前面情境所得知識的歸納和肯定。這一系列情境環(huán)環(huán)相扣，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生完成探究，最終建構(gòu)起直角三角形三邊關(guān)系。事實(shí)證明，探究過程中遞進(jìn)性的情境鏈的設(shè)計(jì)，能給學(xué)生綜合應(yīng)用觀察、操作、猜測、思考、討論、驗(yàn)證等多種活動(dòng)的機(jī)會(huì)，極大地激發(fā)了學(xué)生的求知欲，豐富了學(xué)生的感知性，很好地培養(yǎng)了學(xué)生自主探究能力和創(chuàng)造性思維。

五、“運(yùn)用之妙，存乎一心”——情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)追求高效益

情境的功能可體現(xiàn)為引入與過渡，吸引與調(diào)節(jié)，支持與促進(jìn)。作為教學(xué)者，應(yīng)使情境的功能得到最大化的體現(xiàn)，即在注重情境有效性時(shí)，更要追求情境的高效益，以使課堂教學(xué)達(dá)到教學(xué)過程與方法的最優(yōu)化，提高教學(xué)效果，促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展。

案例：錯(cuò)題的妙用

（分式的加減講完后，開始練習(xí)。其中一題為：++

。老師請三位學(xué)生板演，其中生1，生2過程完整，結(jié)果正確。生3出現(xiàn)了問題）

生3：原式=

（顯然錯(cuò)了。老師開始點(diǎn)評生3練習(xí)，學(xué)生轟笑）

師：錯(cuò)在哪里呢？

生4：原來的分母沒有了。

生5：把分式方程的變形（去分母）搬到解計(jì)算題上了?！皬埞诶畲鳌?！

（生3眼睛不再看著黑板，低下了頭）

師：很好！生3由于粗心，把分式的加減當(dāng)方程來解了。解法雖然錯(cuò)了，但是可以給我們一個(gè)啟示，若將此題去掉分母來解，則其解法簡潔快捷。因此，我們能否考慮利用解分式方程的方法來解它？

（生3的頭慢慢抬了起來）

（學(xué)生討論，一個(gè)新穎的方法出來了）

解：設(shè)

去分母得，

解得：A=

學(xué)生：真巧妙！

師：確實(shí)，生3的解法錯(cuò)了，但他這種“用方程的思想解分式計(jì)算題”，卻是一種尋求簡便的思想，是將自己思維的真實(shí)展示，給了我們有益的啟示。

（生3笑了，臉上蕩漾著自信）

分式方程計(jì)算題范文第5篇

一 、直接法“直搗黃龍”

有些選擇題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的,這類題型可直接從題設(shè)的條件出發(fā),利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則,通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评怼⒑侠淼尿?yàn)證得出正確的結(jié)論,從而確定選擇支.普通選擇題我們都采用這種做法.

例1(2009杭州中考)已知點(diǎn)P(x,y)在函數(shù)y=■+■的圖象上,那么點(diǎn)P應(yīng)在平面直角坐標(biāo)系中的().

A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限

解析:由x≠0,-x≥0得函數(shù)y=■+■的自變量的取值范圍是x

又■>0,■>0,所以y>0,故P(x,y)在第二象限,選B.

二、篩選法“立竿見影”

根據(jù)數(shù)學(xué)選擇題的特點(diǎn),一題只有唯一的正確答案,篩選法利用題設(shè)的條件或已有的概念、性質(zhì)和法則,淘汰選擇支中的干擾項(xiàng),把不符合條件的選項(xiàng)逐一加以否定,最后剩下一個(gè)選項(xiàng)必是正確的.

例2(2009荊門)函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是().

解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象必過(0,1),所以A是錯(cuò)的;又當(dāng)a0時(shí),直線從左向右是上升的,拋物線開口向上,D是錯(cuò)的;排除了A、B、D,所以C是正確的.

例3(2009漳州)矩形面積為4,它的長y與寬x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象大致可表示為().

解析:因?yàn)閤y=4?圯y=■,所以y與x成反比例關(guān)系,故可排除選擇支A和D,又由題意知x>0,y>0,故圖象只能出現(xiàn)在第一象限,于是排除選擇支C,所以本題選B.

三、特值法“事半功倍”

有的選擇題,條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯,或題目本身很抽象,給解題帶來困難.此時(shí)把滿足題設(shè)條件的特殊值代入,就能得出正確答案,達(dá)到事半功倍之效.特殊值通常包括特殊數(shù)值、特殊位置、特殊圖形、特殊點(diǎn)、特殊函數(shù),常與篩選法結(jié)合使用.

例4(2009通州中考模擬)設(shè)x2+3x+c=(x+1)(x+2),則c的值為 ( ).

A. 2B. 3C. -2D. -3

解析:令x=0,則由x2+3x+c=(x+1)(x+2)得c=2,故選A.

例5(2009太倉中考模擬)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(-1,2),且與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,其中-2

①4a-2b+c

其中正確的有().

A.1個(gè)B. 2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析:可根據(jù)條件取x1=-■,x2=■,則圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-■,0),(■,0),又經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),用待定系數(shù)法可得a=-■,b=-■,c=2,然后代入上述四個(gè)式子檢驗(yàn),結(jié)果都符合,則選D.

四、 定義法“返璞歸真”

有些選擇題,無須考慮技巧,只要運(yùn)用相關(guān)的定義、概念、定理、公理等內(nèi)容,便可水到渠成.

例6(2009廈門)某種彩票的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)是1%,下列說法正確的是().

A.買1張這種彩票一定不會(huì)中獎(jiǎng)

B.買100張這種彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)

C.買1張這種彩票可能會(huì)中獎(jiǎng)

D.買100張這種彩票一定有99張彩票不會(huì)中獎(jiǎng)

解析:中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)即為中獎(jiǎng)概率,概率表示隨機(jī)事件發(fā)生的可能性,理解概率的意義,不難作出選擇,答案為C.

例7(2009北京)某班派9名同學(xué)參加拔河比賽,他們的體重分別是(單位:千克):

67,59,61,59,63,57,70,59,65.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是().

A.59,63 B.59,61 C.59,59 D.57,61

解析:依據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義,便可快速選擇.答案為B.

五、驗(yàn)證法“雙重保障”

有的選擇題,運(yùn)用直接法較麻煩,運(yùn)用篩選法也有困難,但如果將選擇支中給出的答案,代入題干逐一檢驗(yàn),可以簡潔地確定正確答案.驗(yàn)證法就類似于解方程中的驗(yàn)根.

例8(2009淄博)如果×(-■)=1,則“”內(nèi)應(yīng)填的實(shí)數(shù)是().

A.■B.■C.-■ D.-■

解析:將四個(gè)選擇支逐一驗(yàn)證,便可發(fā)現(xiàn)選擇支D正確,故選D.

例9(2009漳州)分式方程■=■的解是().

A.1B.-1C.■D.-■

解析:將四個(gè)備選答案中的值代入分式方程,檢驗(yàn)左邊是否等于右邊,很快得出答案A,可以省去不少時(shí)間.

六、圖象法“以形助數(shù)”

圖象法,即數(shù)形結(jié)合法.求解這一類題需借助圖象或圖形,再經(jīng)過推理判斷或必要的計(jì)算而得出正確的答案.

例10(2009荊門)若不等式組x+a≥0,1-2x>x-2有解,則a的取值范圍是().

A.a>-1B.a≥-1C.a≤1D.a

解析:由x+a≥0,1-2x>x-2得x≥-a,x

例11(2009臺州)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

則下列判斷中正確的是().

A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)x=4時(shí),y>0D.方程ax2+bx+c=0的正根在3與4之間

解析:根據(jù)數(shù)值對應(yīng)表知,該拋物線的對稱軸是x=■,再利用描點(diǎn)法作出該拋物線的大致圖象,便可發(fā)現(xiàn)它的開口向下,與y軸交于點(diǎn)(0,1),且過點(diǎn)(4,

-3),于是A、B、C都不滿足,故選D.

七、估值法“快速得解”

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支,解答又無需過程,因此可以由猜測、推理、估算而獲得正解.這樣往往可以減少運(yùn)算量.

例12(2009義烏)在中華經(jīng)典美文閱讀中,小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比.已知這本書的長為20cm,則它的寬約為().

A.12.36cm B.13.6cm C.32.36cmD.7.64cm

解析:本題只要記住黃金分割比大約為0.6,便可估算出答案.由于20×0.6

=12(cm),故本書的寬應(yīng)接近12cm,而選擇支A最接近12,故選A.

例13(2009蘇州中考模擬)方程■-■=1的解為().

A. x=1 B. x=3 C. x=4 D. 無解

解析:本題不需直接求解,利用估算法很快得出結(jié)果.從A、B、C三個(gè)備選答案,可知■-■的差不可能為1,應(yīng)選D.

八、綜合法“全面出擊”

稍復(fù)雜的選擇題需要綜合運(yùn)用前面介紹的幾種方法和其他方法來解決.

例14(2009杭州)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),且滿足a+b=2,ab=t-1,設(shè)S=(a-b)2,則S關(guān)于t的函數(shù)圖象是().

A.射線(不含端點(diǎn))B.線段(不含端點(diǎn))

C.直線D.拋物線的一部分

解析:先利用直接法算出S關(guān)于t的函數(shù)解析式:

S=(a-b)2=(a+b)2-4ab,又a+b=2,ab=t-1,

S=4-4(t-1)=-4t+8,是一次函數(shù)形式,故采用篩選法排除選擇支D.

再利用估算法考察t的取值范圍:

因?yàn)閍,b是兩個(gè)不相等的正數(shù),且滿足a+b=2,