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教學目標

1．使學生理解函數單調性的概念，并能判斷一些簡單函數在給定區(qū)間上的單調性．

2．通過函數單調性概念的教學，培養(yǎng)學生分析問題、認識問題的能力．通過例題培養(yǎng)學生利用定義進行推理的邏輯思維能力．

3．通過本節(jié)課的教學，滲透數形結合的數學思想，對學生進行辯證唯物主義的教育．

教學重點與難點

教學重點：函數單調性的概念．

教學難點：函數單調性的判定．

教學過程設計

一、引入新課

師：請同學們觀察下面兩組在相應區(qū)間上的函數，然后指出這兩組函數之間在性質上的主要區(qū)別是什么？

（用投影幻燈給出兩組函數的圖象．）

第一組：

第二組：

生：第一組函數，函數值y隨x的增大而增大；第二組函數，函數值y隨x的增大而減?。?/p>

師：（手執(zhí)投影棒使之沿曲線移動）對．他（她）答得很好，這正是兩組函數的主要區(qū)別．當x變大時，第一組函數的函數值都變大，而第二組函數的函數值都變小．雖然在每一組函數中，函數值變大或變小的方式并不相同，但每一組函數卻具有一種共同的性質．我們在學習一次函數、二次函數、反比例函數以及冪函數時，就曾經根據函數的圖象研究過函數的函數值隨自變量的變大而變大或變小的性質．而這些研究結論是直觀地由圖象得到的．在函數的集合中，有很多函數具有這種性質，因此我們有必要對函數這種性質作更進一步的一般性的討論和研究，這就是我們今天這一節(jié)課的內容．

（點明本節(jié)課的內容，既是曾經有所認識的，又是新的知識，引起學生的注意．）

二、對概念的分析

（板書課題：函數的單調性）

師：請同學們打開課本第51頁，請××同學把增函數、減函數、單調區(qū)間的定義朗讀一遍．

（學生朗讀．）

師：好，請坐．通過剛才閱讀增函數和減函數的定義，請同學們思考一個問題：這種定義方法和我們剛才所討論的函數值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致？如果一致，定義中是怎樣描述的？

生：我認為是一致的．定義中的“當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y隨x的增大而增大；“當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y隨x的增大而減少．

師：說得非常正確．定義中用了兩個簡單的不等關系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻劃了函數的單調遞增或單調遞減的性質．這就是數學的魅力！

（通過教師的情緒感染學生，激發(fā)學生學習數學的興趣．）

師：現在請同學們和我一起來看剛才的兩組圖中的第一個函數y=f1（x）和y=f2（x）的圖象，體會這種魅力．

（指圖說明．）

師：圖中y=f1（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在區(qū)間[a，b]上是單調遞增的，區(qū)間[a，b]是函數y=f1（x）的單調增區(qū)間；而圖中y=f2（x）對于區(qū)間[a，b]上的任意x1，x2，當x1＜x2時，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在區(qū)間[a，b]上是單調遞減的，區(qū)間[a，b]是函數y=f2（x）的單調減區(qū)間．

（教師指圖說明分析定義，使學生把函數單調性的定義與直觀圖象結合起來，使新舊知識融為一體，加深對概念的理解．滲透數形結合分析問題的數學思想方法．）

師：因此我們可以說，增函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應……

（不把話說完，指一名學生接著說完，讓學生的思維始終跟著老師．）

生：較大的函數值的函數．

師：那么減函數呢？

生：減函數就其本質而言是在相應區(qū)間上較大的自變量對應較小的函數值的函數．

（學生可能回答得不完整，教師應指導他說完整．）

師：好．我們剛剛以增函數和減函數的定義作了初步的分析，通過閱讀和分析你認為在定義中我們應該抓住哪些關鍵詞語，才能更透徹地認識定義？

（學生思索．）

學生在高中階段以至在以后的學習中經常會遇到一些概念（或定義），能否抓住定義中的關鍵詞語，是能否正確地、深入地理解和掌握概念的重要條件，更是學好數學及其他各學科的重要一環(huán)．因此教師應該教會學生如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學生分析問題，認識問題的能力．

（教師在學生思索過程中，再一次有感情地朗讀定義，并注意在關鍵詞語處適當加重語氣．在學生感到無從下手時，給以適當的提示．）

生：我認為在定義中，有一個詞“給定區(qū)間”是定義中的關鍵詞語．

師：很好，我們在學習任何一個概念的時候，都要善于抓住定義中的關鍵詞語，在學習幾個相近的概念時還要注意區(qū)別它們之間的不同．增函數和減函數都是對相應的區(qū)間而言的，離開了相應的區(qū)間就根本談不上函數的增減性．請大家思考一個問題，我們能否說一個函數在x=5時是遞增或遞減的？為什么？

生：不能．因為此時函數值是一個數．

師：對．函數在某一點，由于它的函數值是唯一確定的常數（注意這四個字“唯一確定”），因而沒有增減的變化．那么，我們能不能脫離區(qū)間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數呢？你能否舉一個我們學過的例子？

生：不能．比如二次函數y=x2，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數．因而我們不能說y=x2是增函數或是減函數．

（在學生回答問題時，教師板演函數y=x2的圖像，從“形”上感知．）

師：好．他（她）舉了一個例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”．這說明函數的單調性是函數在某一個區(qū)間上的性質，但這不排斥有些函數在其定義域內都是增函數或減函數．因此，今后我們在談論函數的增減性時必須指明相應的區(qū)間．

師：還有沒有其他的關鍵詞語？

生：還有定義中的“屬于這個區(qū)間的任意兩個”和“都有”也是關鍵詞語．

師：你答的很對．能解釋一下為什么嗎？

（學生不一定能答全，教師應給予必要的提示．）

師：“屬于”是什么意思？

生：就是說兩個自變量x1，x2必須取自給定的區(qū)間，不能從其他區(qū)間上?。?/p>

師：如果是閉區(qū)間的話，能否取自區(qū)間端點？

生：可以．

師：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”則是說只要x1＜x2，f（x1）就必須都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

師：能不能構造一個反例來說明“任意”呢？

（讓學生思考片刻．）

生：可以構造一個反例．考察函數y=x2，在區(qū)間[-2，2]上，如果取兩個特定的值x1=-2，x2=1，顯然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的減函數，那就錯了．

師：那么如何來說明“都有”呢？

生：y=x2在[-2，2]上，當x1=-2，x2=-1時，有f（x1）＞f（x2）；當x1=1，x2=2時，有f（x1）＜f（x2），這時就不能說y=x2，在[-2，2]上是增函數或減函數．

師：好極了！通過分析定義和舉反例，我們知道要判斷函數y=f（x）在某個區(qū)間內是增函數或減函數，不能由特定的兩個點的情況來判斷，而必須嚴格依照定義在給定區(qū)間內任取兩個自變量x1，x2，根據它們的函數值f（x1）和f（x2）的大小來判定函數的增減性．

（教師通過一系列的設問，使學生處于積極的思維狀態(tài)，從抽象到具體，并通過反例的反襯，使學生加深對定義的理解．在概念教學中，反例常常幫助學生更深刻地理解概念，鍛煉學生的發(fā)散思維能力．）

師：反過來，如果我們已知f（x）在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判定函數值的大小，也可以由函數值的大小去判定自變量的大?。匆话愠闪t特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．這恰是辯證法中一般和特殊的關系．

（用辯證法的原理來解釋數學知識，同時用數學知識去理解辯證法的原理，這樣的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的內涵和外延，培養(yǎng)學生學習的能力．）

三、概念的應用

例1圖4所示的是定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數f（x）的圖象，根據圖象說出f（x）的單調區(qū)間，并回答：在每一個單調區(qū)間上，f（x）是增函數還是減函數？

（用投影幻燈給出圖象．）

生甲：函數y=f（x）在區(qū)間[-5，-2]，[1，3]上是減函數，因此[-5，-2]，[1，3]是函數y=f（x）的單調減區(qū)間；在區(qū)間[-2，1]，[3，5]上是增函數，因此[-2，1]，[3，5]是函數y=f（x）的單調增區(qū)間．

生乙：我有一個問題，[-5，-2]是函數f（x）的單調減區(qū)間，那么，是否可認為（-5，-2）也是f（x）的單調減區(qū)間呢？

師：問得好．這說明你想的很仔細，思考問題很嚴謹．容易證明：若f（x）在[a，b]上單調（增或減），則f（x）在（a，b）上單調（增或減）．反之不然，你能舉出反例嗎？一般來說．若f（x）在[a，

（增或減）．反之不然．

例2證明函數f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函數．

師：從函數圖象上觀察函數的單調性固然形象，但在理論上不夠嚴格，尤其是有些函數不易畫出圖象，因此必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑．

（指出用定義證明的必要性．）

師：怎樣用定義證明呢？請同學們思考后在筆記本上寫出證明過程．

（教師巡視，并指定一名中等水平的學生在黑板上板演．學生可能會對如何比較f（x1）和f（x2）的大小關系感到無從入手，教師應給以啟發(fā)．）

師：對于f（x1）和f（x2）我們如何比較它們的大小呢？我們知道對兩個實數a，b，如果a＞b，那么它們的差a-b就大于零；如果a=b，那么它們的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它們的差a-b就小于零，反之也成立．因此我們可由差的符號來決定兩個數的大小關系．

生：（板演）設x1，x2是（-∞，+∞）上任意兩個自變量，當x1＜x2時，

f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

所以f（x）是增函數．

師：他的證明思路是清楚的．一開始設x1，x2是（-∞，+∞）內任意兩個自變量，并設x1＜x2（邊說邊用彩色粉筆在相應的語句下劃線，并標注“①→設”），然后看f（x1）-f（x2），這一步是證明的關鍵，再對式子進行變形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，這一步可概括為“作差，變形”（同上，劃線并標注”②→作差，變形”）．但美中不足的是他沒能說明為什么f（x1）-f（x2）＜0，沒有用到開始的假設“x1＜x2”，不要以為其顯而易見，在這里一定要對變形后的式子說明其符號．應寫明“因為x1＜x2，所以x1-x2＜0，從而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”這一步可概括為“定符號”（在黑板上板演，并注明“③→定符號”）．最后，作為證明題一定要有結論，我們把它稱之為第四步“下結論”（在相應位置標注“④→下結論”）．

這就是我們用定義證明函數增減性的四個步驟，請同學們記?。枰赋龅氖堑诙?，如果函數y=f（x）在給定區(qū)間上恒大于零，也可以

?。?/p>

（對學生的做法進行分析，把證明過程步驟化，可以形成思維的定勢．在學生剛剛接觸一個新的知識時，思維定勢對理解知識本身是有益的，同時對學生養(yǎng)成一定的思維習慣，形成一定的解題思路也是有幫助的．）

調函數嗎？并用定義證明你的結論．

師：你的結論是什么呢？

上都是減函數，因此我覺得它在定義域（-∞，0）∪（0，+∞）上是減函數．

生乙：我有不同的意見，我認為這個函數不是整個定義域內的減函數，因為它不符合減函數的定義．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2顯然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，顯然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定義域內的減函數．

生：也不能這樣認為，因為由圖象可知，它分別在（-∞，0）和（0，+∞）上都是減函數．

域內的增函數，也不是定義域內的減函數，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一個單調區(qū)間內都是減函數．因此在函數的幾個單調增（減）區(qū)間之間不要用符號“∪”連接．另外，x=0不是定義域中的元素，此時不要寫成閉區(qū)間．

上是減函數．

（教師巡視．對學生證明中出現的問題給予點拔．可依據學生的問題，給出下面的提示：

（1）分式問題化簡方法一般是通分．

（2）要說明三個代數式的符號：k，x1·x2，x2-x1．

要注意在不等式兩邊同乘以一個負數的時候，不等號方向要改變．

對學生的解答進行簡單的分析小結，點出學生在證明過程中所出現的問題，引起全體學生的重視．）

四、課堂小結

師：請同學小結一下這節(jié)課的主要內容，有哪些是應該特別注意的？

（請一個思路清晰，善于表達的學生口述，教師可從中給予提示．）

生：這節(jié)課我們學習了函數單調性的定義，要特別注意定義中“給定區(qū)間”、“屬于”、“任意”、“都有”這幾個關鍵詞語；在寫單調區(qū)間時不要輕易用并集的符號連接；最后在用定義證明函數的單調性時，應該注意證明的四個步驟．

五、作業(yè)

1．課本P53練習第1，2，3，4題．

數．

=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

課堂教學設計說明

函數的單調性是函數的一個重要性質，是研究函數時經常要注意的一個性質．并且在比較幾個數的大小、對函數作定性分析、以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用．對學生來說，函數的單調性早已有所知，然而沒有給出過定義，只是從直觀上接觸過這一性質．學生對此有一定的感性認識，對概念的理解有一定好處，但另一方面學生也會覺得是已經學過的知識，感覺乏味．因此，在設計教案時，加強了對概念的分析，希望能夠使學生認識到看似簡單的定義中有不少值得去推敲、去琢磨的東西，其中甚至包含著辯證法的原理．

另外，對概念的分析是在引進一個新概念時必須要做的，對概念的深入的正確的理解往往是學生認知過程中的難點．因此在本教案的設計過程中突出對概念的分析不僅僅是為了分析函數單調性的定義，而且想讓學生對如何學會、弄懂一個概念有初步的認識，并且在以后的學習中學有所用．

還有，使用函數單調性定義證明是一個難點，學生剛剛接觸這種證明方法，給出一定的步驟是必要的，有利于學生理解概念，也可以對學生掌握證明方法、形成證明思路有所幫助．另外，這也是以后要學習的不等式證明方法中的比較化的基本思路，現在提出要求，對今后的教學作一定的鋪墊．