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人口問題不僅是20世紀我國所面臨的最重大的問題之一，而且在新世紀中將繼續(xù)存在。無論是對我國目前經(jīng)濟發(fā)展狀況的認識，還是對未來經(jīng)濟發(fā)展的預測，人口問題的研究都具有十分重要的意義。

眾所周知，人口的增長并不是按比例線性增長的，也就是說人口問題是非線性動力學問題。在非線性系統(tǒng)中，可能會出現(xiàn)分岔現(xiàn)象，分岔理論為我們研究人口問題提供了一種新的方法。分岔和混沌是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象，而實際上我們所處的社會經(jīng)濟系統(tǒng)中的絕大部分都是非線性，因此可以運用分岔和混沌理論來研究。本文將分岔和混沌理論用以研究人口問題，提出了人口的跨臨界分岔。

一、模型的建立

設(shè)在時刻t（以年為單位）時的人口數(shù)量為p(t)，則人口的增長率為，再假設(shè)出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不隨時間變化，則由馬爾薩斯人口理論可得：

附圖

其中：d[,1]=b(p,t)-d(p,t)＞0，一般而言出生率大于死亡率。

顯然馬爾薩斯模型存在著重大的缺陷，它沒有考慮到物種之間的競爭、自然界的平衡和人文環(huán)境因素，即生活資料及空間的局限、人與人的競爭、生產(chǎn)力水平、文化水平以及傳統(tǒng)觀念等因素。

生活資料及空間的局限和人與人的競爭會導致沖突，對人口的增長起到制約的作用。統(tǒng)計規(guī)律顯示，從人口p(t)中隨機抽取一個人，他與其他人沖突的概率與人口總數(shù)成正比，即：沖突次數(shù)＝k[,1]p(t)，那么個人沖突的總次數(shù)為。而制約作用也是隨著總次數(shù)的增長而增長的，同總次數(shù)成正比，以δ[,1](p,t)表示制約作用，則

附圖

可以認為影響作用與生產(chǎn)力發(fā)展水平α[,2]成反比，與文化發(fā)展水平α[,3]成反比，與中國傳統(tǒng)觀念α[,4]成正比，與人口數(shù)量p(t)成正比，用δ[,2](p,t)表示這種影響，則：

附圖

假設(shè)在未來的若干年內(nèi)，各地區(qū)的人口比例保持不變，則對于某個地區(qū)來說，機械遷徙的人口數(shù)量與該地區(qū)經(jīng)濟發(fā)達程度α[,5]成正比，與遷出區(qū)的人口數(shù)量成正比，由于可以近似地認為各地區(qū)的人口比例不變，所以可以認為與該地區(qū)的人口數(shù)量成正比，則：

附圖

二、模型分析

附圖

運用穩(wěn)定性分析方法，可以很容易地判斷其穩(wěn)定性。

附圖

圖中，實線表示穩(wěn)定，虛線表示不穩(wěn)定。由分岔圖可以看出該模型發(fā)生跨臨界分岔。由分岔圖可以看出，在α的某個領(lǐng)域內(nèi)，當α＞0時，人口數(shù)量是穩(wěn)定增長的；而當α＜0時，從α系數(shù)的物理含義上看，說明死亡率大于其他影響因素系數(shù)之和，但是此時由于先前α＞0，人口數(shù)量已經(jīng)有所增加，所以能保持人口數(shù)量的穩(wěn)定，同時我們也可以看出只有短期內(nèi)保持α＜0，人口數(shù)量才會穩(wěn)定。

將再分岔出周期8解、16解等等，大約在3.56994時，進入混沌區(qū)，如圖2所示。

三、模型的求解

設(shè)初始時刻t[,0]的人口為p[,0]，將(5)式分離變量后兩邊取定積分，進行求解可得：

附圖

只要求出α和β，就可以運用(9)式作人口預測。理論上，只要將兩年的年份與人口數(shù)量，即：t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代入(9)式，則可得一個二元方程組，通過求解此二元方程組，便可以得到α和β值，但是此二元方程組為超越方程組，求解十分困難。

生態(tài)學家通過大量的統(tǒng)計，認為不鼓勵也不限制生育時的α值為0.029，將α代入(9)式則可求得：，可以看出β會隨著所代入的t的不同而變化，不再是一個常數(shù)，而是一個變量；另一方面，我國實行計劃生育，限制了出生率，并且模型(5)中考慮了生活資料和空間的局限性、人與人的競爭、生產(chǎn)力水平、文化水平以及中國傳統(tǒng)觀念等因素的影響，因此α的值不再是0.029。

基于上述原因，本文采用數(shù)值解法，即：確定適當?shù)摩梁挺?，使得?/p>

附圖

其中：p[,i]是第i年的人口數(shù)量。則

附圖

根據(jù)(11)式求解十分復雜，可以用Matlab或c語言編寫一段程序，在一定范圍內(nèi)搜索α與β值，使得(10)式成立。

四、實證分析

本文就河北省1952年～2000年人口數(shù)量進行實證分析和檢驗。眾所周知，在建國后近50年中，我國經(jīng)歷了3年自然災害，80年代開始實行了計劃生育政策，這些都會改變動力系統(tǒng)的特征，因此不能將這49年的數(shù)據(jù)看成是同一動力系統(tǒng)的，而應(yīng)該將它們分成不同的動力系統(tǒng)：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～2000年。3年自然災害造成了人口數(shù)量的驟減，不僅改變了動力系統(tǒng)的特征，而且還造成了1960年～1965年數(shù)據(jù)的不穩(wěn)定，應(yīng)予以剔除；80年代后實行計劃生育，但是1989年的學潮引起了大量人口的機械遷移，因此90年代視為另一個動力系統(tǒng)。

表1數(shù)據(jù)計算和檢驗（單位：萬人）

附圖

由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能夠較為精確地預測出人口的數(shù)量。四個階段的α均大于0.029，這表明生活資料和空間的局限性、人與人的競爭、生產(chǎn)力水平、文化水平、中國傳統(tǒng)觀念、人口機械遷移以及實行計劃生育等因素的綜合影響，使人口趨于增多。相對人口增長率，即，總體上越來越小，80年代的攀升主要是由于人口遷移的影響，從整體上看人口自然增長率（一般小于人口增長率）也是逐年降低的。

【責任編輯】顧嵐

【參考文獻】

1方亞玲.《對人口模型的研究》.《山西煤炭管理干部學院學報》，2000年第2期.

2羅警山.《人口模型中的分岔研究》.《系統(tǒng)工程與電子技術(shù)》，1990年第10期.

3王洪禮，張琪昌.《非線性動力學理論及應(yīng)用》，天津科學技術(shù)出版社，1999.