探究性教學(xué)問題作業(yè)的設(shè)計策略
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問題解決強調(diào)“四能”培養(yǎng)，問題解決的核心素養(yǎng)是模型思想，問題解決類作業(yè)側(cè)重于讓學(xué)生掌握不同類型問題的結(jié)構(gòu)，也就是模型建構(gòu)。既然“問題”都是有組織有結(jié)構(gòu)的，那么關(guān)注同一結(jié)構(gòu)的提煉，關(guān)注推進式結(jié)構(gòu)的組織，就成了問題解決類數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計時需要秉承的基本理念。
（一）“橫向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計策略
“橫向同構(gòu)”問題，是指有著相同結(jié)構(gòu)的并列形態(tài)的數(shù)學(xué)問題。問題的例子要突出其共同特征，而使其在無關(guān)特征方面盡可能地變化，從而讓學(xué)生在解答過程中逐步感受到問題的結(jié)構(gòu)組織，達成橫向并列問題的共性提取?！皺M向同構(gòu)”問題，需要讓學(xué)生先獨立解答兩至三題針對性練習(xí)，這幾道練習(xí)題的結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)要完全一致。通常學(xué)生做到第二題的時候會產(chǎn)生“類似”的感覺，做到第三題時會出現(xiàn)“題目都一樣的”的興奮心理。因此，可以讓學(xué)生在解答之后將其感悟到的所有的“一樣”之處進行詳細說明，這是一個羅列的過程，也是一個梳理的過程。然后再讓學(xué)生通過畫線段圖等方法將這一類題的結(jié)構(gòu)特點進行抽象的提煉。如“植樹問題”相關(guān)例題新授完畢后，可以設(shè)計這樣的探究作業(yè)題“：路燈問題、樓層問題、鋸木問題，為什么都可以稱為植樹問題？請舉例說明。”學(xué)生在解答了數(shù)據(jù)相同的路燈問題、樓層問題、鋸木問題后，自悟到各題之間的關(guān)聯(lián)，通過畫圖描述的方式對植樹問題的三種結(jié)構(gòu)有了更深層次的把握，清晰地抽象出了植樹問題的基本模型。
（二）“縱向同構(gòu)”問題作業(yè)的設(shè)計策略
“縱向同構(gòu)”問題，是指由同一個數(shù)學(xué)問題衍生的一題多變、一題多解、一題多練的問題，通過把一道有價值的習(xí)題變化成一組相關(guān)的對比題組而展現(xiàn)逐步加深的過程，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)該類問題的變化規(guī)律。學(xué)生一旦具備了這樣的知識，再遇到該類問題時，不管其中的變量如何變化，都能找到解題的方法?！翱v向同構(gòu)”問題，學(xué)生也需要先獨立解答兩至三題有針對性的練習(xí)。這幾道練習(xí)題講的是同一件事，要讓學(xué)生覺得明明很“類似”但又不一樣，產(chǎn)生“到底不一樣在哪里”的探究欲，從而讓學(xué)生在一一解答之后將其感悟到的所有“不一樣”之處進行說明，最好能表述清楚其中的變化和聯(lián)系，窺探到相同中的不同、不同中的相同。比如，在學(xué)習(xí)“分段計費”后，設(shè)計如下作業(yè)：“王叔叔坐出租車，3千米以內(nèi)6元，3千米至10千米每千米1.5元，10千米以上每千米1元。王叔叔如果坐了2千米，要支付多少元？5千米呢？20千米呢？請畫線段圖分析這類題目的特點?！睂W(xué)生在課堂上研究的是“分兩段”的“水費”“電費”“電話費”等問題，在作業(yè)時，就可以從“橫向”轉(zhuǎn)為“縱向”，從“不需要分段”到“分兩段”再拓展到“分三段”，并借助線段圖深入理解分段計費問題的特點，一旦掌握這個變化的特點，哪怕分成四段、五段，學(xué)生依然思路清晰、方法明確，只是覺得繁復(fù)程度遞增而已。這類問題還可以設(shè)計成開放題，在封閉的數(shù)學(xué)題中減少一些已知條件，如把上題中坐車的“5千米”“20千米”這兩個數(shù)據(jù)去掉，由學(xué)生自己提供數(shù)據(jù)，要求“你能再提出不同難度的三個問題嗎”，這就促使學(xué)生必須先仔細分析這一數(shù)學(xué)問題，再思考怎樣設(shè)計才能符合“越來越難”的要求。這類“缺胳膊少腿”的問題需要學(xué)生用分析和設(shè)計的心態(tài)去努力求索所有的結(jié)果或創(chuàng)造出新的問題，從而更好地把握問題變量之間的關(guān)系，掌握變化的規(guī)律，提升提出問題、解決問題的能力。
二、遷移證明類作業(yè)設(shè)計策略
推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中。遷移證明類作業(yè)設(shè)計側(cè)重于練習(xí)之后推理方式的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生在推理的過程中逐步掌握證明、分析、推理的步驟和策略。
（一）“證明推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計策略
當(dāng)學(xué)生有能力去推斷和證明一個命題時，他的頭腦中就已經(jīng)具有了一定的圖式。作業(yè)要先把頭腦中原有的圖式激活，為學(xué)生提供解釋該問題的背景知識，從而將一些難以理解的信息組織成有意義的整體，有效突破知識難點。“證明推理”與概念的“判斷分析”最大的差異是作業(yè)內(nèi)容的差異。概念的“判斷分析”傾向重點知識，主要是重點概念的辨析，而“證明推理”主要是為學(xué)習(xí)中的一些偏難題鋪設(shè)探究場，以求真正突破知識難點，增添探究樂趣。學(xué)生要證明自己的觀點，首先就要亮出自己的觀點，然后要從“證明”的角度去畫一畫、比一比，或者從正、反兩面去陳述，學(xué)會用豐富的材料支撐自己的觀點，最后得出結(jié)論，再次表明自己的觀點。如學(xué)習(xí)小數(shù)的近似數(shù)后，對2=2.0，2和2.0意義不同，很容易理解，但對取值范圍不同、精確度不同，卻總是難以理解到位。筆者設(shè)計了這樣的“證明”作業(yè)：老師身高約2米，小明的身高約2.0米，2=2.0，所以老師和小明一樣高。你認同嗎？請證明你的看法，并作圖（提供數(shù)軸圖）分析。老師和小明到底誰高呢？答案本是未知，全賴于學(xué)生對2和2.0取值范圍的認知，對精確值的理解。有趣的比較，激活了學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和四舍五入取值經(jīng)驗，在結(jié)合圖示證明自己看法的過程中，學(xué)生充滿樂趣地感受了近似數(shù)2和2.0取值范圍的差異。
（二）“遷移推理式”探究性作業(yè)的設(shè)計
策略學(xué)生知識的習(xí)得和構(gòu)建，主要依賴于認知結(jié)構(gòu)中原有的觀念去影響和促進新的理解，通過溝通新舊知識的互相聯(lián)系而形成新的認知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。學(xué)生必須自己去經(jīng)歷完整的遷移類推的作業(yè)過程，才能形成更好的認知結(jié)構(gòu)。學(xué)生常常會遇到一些很難解答正確的難題。探究性作業(yè)可以讓學(xué)生先“知難”，直接呈現(xiàn)難題給學(xué)生，讓其展開思考。這個時候各層次的學(xué)生會有不同的表現(xiàn)，有些學(xué)生能直接解答，那就生成了挑戰(zhàn)成功的樂趣，有的學(xué)生沒有能力解決，就引導(dǎo)他們先進行簡單題的嘗試分析。這些簡單題是與難題結(jié)構(gòu)一致或解題策略一致的相對淺層的習(xí)題，學(xué)生通過解決難度遞升的這組簡單題，會打開類比思維，利用知識、方法層面的同一性，遷移解決問題。完成作業(yè)的整個過程，不僅讓學(xué)生明白“難”的知識可以一步步轉(zhuǎn)化成“易”的知識，也讓學(xué)生掌握遷移解決問題的方法，了解類比思想的重要性。如“已知正方形面積為2平方厘米，求圓形面積”這道題，學(xué)生基本都感到解答困難。探究作業(yè)設(shè)計為：如果你覺得解答此題困難，請先做下面兩題。
1.一個長方形長與寬的和是4厘米，它的周長是多少厘米？
2.已知梯形上底與下底的和是20厘米，高是10厘米，梯形的面積是多少平方厘米？現(xiàn)在，你能解答前面的問題了嗎？你發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系了嗎？后兩題是舊知鋪墊，用于消除學(xué)生的思維定勢，讓學(xué)生感受到不一定要知道具體的“長”和“寬”才能求周長，不一定要知道“上底”和“下底”的具體數(shù)據(jù)才能求梯形面積，而是可以直接借用“長與寬的和”與“上底與下底的和”來解決問題。借此支架，學(xué)生就可遷移類推：不一定要知道正方形的邊長即圓的半徑，利用正方形的面積即圓半徑的平方，也能求得圓的面積?！斑w移推理式”探究性作業(yè)，關(guān)注分層體驗，能力強的學(xué)生重在發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，歸納“遷移點”，能力弱的學(xué)生則對“遷移”圖式有了較為完整的體驗和建構(gòu)。當(dāng)然，除了上述三種探究性作業(yè)類型外，在日常的家庭作業(yè)布置過程中，更多體現(xiàn)的是綜合運用類的作業(yè)，通過描述、判斷、推理、遷移等要求的綜合運用，不僅讓學(xué)生在探究過程中習(xí)得了概念的鞏固、技能的熟練、方法的掌握，更重要的是，它讓學(xué)生逐步建構(gòu)了描述的規(guī)則、推理的方式、梳理的方法等策略，直接推進學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的組建和完善，發(fā)展邏輯思維能力。
作者：劉善娜 單位：浙江省奉化市實驗小學(xué)
