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摘要:本文從數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)發(fā)展和人才培養(yǎng)的意義出發(fā)，從當(dāng)前數(shù)學(xué)證明在教學(xué)中的地位著手，對(duì)數(shù)學(xué)證明的教學(xué)進(jìn)行了探索與實(shí)踐，取得了一些成果。

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)證明；人才培養(yǎng)；數(shù)學(xué)教學(xué)

恩格斯將數(shù)學(xué)定義為：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)。即使從現(xiàn)在的觀點(diǎn)看，這個(gè)定義仍有一定的合理性。從這個(gè)概念出發(fā)，可知數(shù)學(xué)的應(yīng)用非常廣泛，是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)。不管作為理科學(xué)生還是工科學(xué)生，要想深刻理解、掌握本學(xué)科知識(shí)，就必須學(xué)好數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)證明，就是在數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)上，根據(jù)相應(yīng)的公理、定理、法則等驗(yàn)證與之有關(guān)的數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否的思維活動(dòng)。數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)發(fā)展中所起的作用決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開數(shù)學(xué)證明。

一、數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用

數(shù)學(xué)命題常常是通過觀察、實(shí)驗(yàn)或特例等得到的，但是，這些直觀而并不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法，也不能判斷命題的正確性。數(shù)學(xué)證明就是在特定的題設(shè)條件下，通過引用一些真命題，經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯推理方法進(jìn)行的，具有無可辯駁的說服力，可以核實(shí)一個(gè)命題的真假。在數(shù)學(xué)史上，有些數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)本身就是從數(shù)學(xué)證明開始的。例如拓?fù)鋵W(xué)和圖論是歐拉通過解決“哥尼斯堡七橋問題”的研究時(shí)提出的。非歐幾何是數(shù)學(xué)家通過企圖證明歐氏幾何第五公設(shè)問題時(shí)發(fā)現(xiàn)的。又如通過對(duì)群、環(huán)、模等同態(tài)基本定理的證明，發(fā)展了應(yīng)用非常廣泛的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論———范疇理論。因而，我們可以判定，通過數(shù)學(xué)證明能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論。我們知道證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題需要靈活的運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)定理或者公理，通過數(shù)學(xué)證明，在驗(yàn)證數(shù)學(xué)命題正確性的同時(shí)，可以加深對(duì)證明過程中所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，以及與要證明的命題之間的聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化，故數(shù)學(xué)證明有助于增進(jìn)理解包括增進(jìn)對(duì)所證命題的理解以及在證明該命題過程中所用到的相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。

二、數(shù)學(xué)證明在人才培養(yǎng)中的意義

數(shù)學(xué)證明是一種演繹證明，在證明過程中每一步都力求有理有據(jù)，表達(dá)準(zhǔn)確，因而數(shù)學(xué)證明可以訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力，而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S方式對(duì)學(xué)生和科技工作者至關(guān)重要。當(dāng)年錢學(xué)森院士檢查中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)力學(xué)系三年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況后認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不太好，決定在學(xué)生大四時(shí)再增加一年高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。我們知道中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)歷來非常重視數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要求相當(dāng)高，例如作為微積分理論基礎(chǔ)的實(shí)數(shù)理論在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)（在一般院校，這部分內(nèi)容并不作為必要的教學(xué)內(nèi)容，甚至在教材編寫中不出現(xiàn)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)）。據(jù)中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)統(tǒng)計(jì)，到2011年為止，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)為我國貢獻(xiàn)了52名院士，平均每年的畢業(yè)生中都有一位院士。又如中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班的學(xué)生不管以后學(xué)什么專業(yè)，他們均學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)。我們知道數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)的不同之處是重視概念的分析，定理的證明，2014年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)對(duì)歷年少年班畢業(yè)生做了簡單統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，超過10%的畢業(yè)生在國內(nèi)外著名大學(xué)任教授職位，從質(zhì)量培養(yǎng)的角度上可以說中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的人才培養(yǎng)是成功的。從網(wǎng)上搜到的材料看，在人才培養(yǎng)上，如果說中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)與大部分高校有區(qū)別的話，那就是數(shù)學(xué)教學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)一些，深入一些。從而可知，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)人才培養(yǎng)的成功與數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的關(guān)系。

三、數(shù)學(xué)證明在數(shù)學(xué)教學(xué)中的尷尬地位

我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)包括數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技術(shù)、數(shù)學(xué)思維方式等的教學(xué)。這些既是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)所必需的數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能，又是培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力，以及分析問題和解決問題能力的課程。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，知識(shí)的更新，在教學(xué)過程中，不同時(shí)代的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同，數(shù)學(xué)也不例外。我們都知道，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和普及，計(jì)算軟件得到充分發(fā)展，這樣許多在人工計(jì)算的情況下非常復(fù)雜或需要高度技巧的數(shù)學(xué)計(jì)算，現(xiàn)在用計(jì)算軟件很容易解決，而且一般不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因而筆者認(rèn)為當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)計(jì)算的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)，但不應(yīng)再是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，核心應(yīng)該轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思維方式的教學(xué)，而數(shù)學(xué)證明與數(shù)學(xué)概念恰是思維方式的最好體現(xiàn)。然而當(dāng)前我國數(shù)學(xué)教學(xué)從中學(xué)到大學(xué)都不太被重視，甚至在教學(xué)中直接忽略了數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)證明。2014年8月26日在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)舉辦的“中學(xué)教師回大學(xué)”的活動(dòng)上，楊樂院士對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教育談了幾點(diǎn)自己的看法后，許多來自全國各地的中學(xué)數(shù)學(xué)教師紛紛向楊老發(fā)出“救救數(shù)學(xué)”的呼聲。對(duì)這些一線教育工作者來說，如今最擔(dān)憂的不是學(xué)生討厭數(shù)學(xué)，怕數(shù)學(xué)，而是“不接地氣”的課改，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)正陷入一場“重技巧輕基礎(chǔ)”，“老師難教，學(xué)生怕學(xué)”的困局。當(dāng)前的中學(xué)數(shù)學(xué)教育，刪去或淡化了不少在教師們看來本不該淡化和刪減的東西。我們知道，關(guān)于數(shù)學(xué)證明的正式教學(xué)開始于初中階段的平面幾何的教學(xué)，不管是數(shù)學(xué)工作者還是數(shù)學(xué)水平較高的科技工作者對(duì)平面幾何中的證明，對(duì)數(shù)學(xué)思維的影響都有深刻體會(huì)。筆者最近找出初中數(shù)學(xué)課本看看，初中所教授的平面幾何，很大程度上是“比比劃劃，做點(diǎn)實(shí)驗(yàn)”，很難突出平面幾何的本質(zhì)。我們知道平面幾何是邏輯性非常強(qiáng)的學(xué)科，這導(dǎo)致不少大學(xué)生需要“補(bǔ)課”。楊老自己也遇到一些數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生和研究生甚至不清楚什么是“定理已經(jīng)證明完了”，這就和他們沒有經(jīng)過嚴(yán)格的平面幾何訓(xùn)練有關(guān)。平面幾何不僅對(duì)直觀的想象能力，對(duì)問題的分析能力有幫助，在訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰ι系淖饔茫峙率瞧渌n程難以取代的。高等數(shù)學(xué)是重要的大學(xué)基礎(chǔ)課程，在教學(xué)過程中除了教給學(xué)生后繼課程和工作以后所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)外，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力，推理能力以及創(chuàng)新意識(shí)和能力，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去觀察、分析、解決問題。數(shù)學(xué)證明的教學(xué)和訓(xùn)練最能體現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的分析問題能力，推理能力以及創(chuàng)新意識(shí)和能力，因而應(yīng)該加強(qiáng)這方面的教學(xué)，特別是在計(jì)算技術(shù)已經(jīng)得到充分發(fā)展的今天。從教師的角度上，數(shù)學(xué)證明的教學(xué)并不像數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)計(jì)算的教學(xué)那么容易，而是數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)。隨著高校的擴(kuò)招，學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)相應(yīng)有所下降，而學(xué)生就業(yè)時(shí)在校成績是找工作，展示能力的重要證據(jù)之一，因而很多學(xué)校都盡可能地降低補(bǔ)考率。由于數(shù)學(xué)證明題是大多數(shù)學(xué)生拿不到分?jǐn)?shù)的題目，為了提高學(xué)生成績和通過率，許多高校的數(shù)學(xué)考試都不考或少考證明題，導(dǎo)致許多教師在課堂也盡量不講定理證明和數(shù)學(xué)證明的例題。從學(xué)生的角度看，數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，自然學(xué)生學(xué)起來不容易，學(xué)生不知道怎樣想，找不到證明的思路，有時(shí)，即使有證明思路，也不知道如何組織證明。從教材建設(shè)的角度上看，現(xiàn)在許多教師認(rèn)為，應(yīng)該把現(xiàn)行教材中一些過于繁瑣的推理和論述刪掉，盡量壓縮一些對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生“不需要深刻理解”的概念和證明，僅僅用語言簡單陳述一下就可以了，因而近幾年的教材編寫也盡量淡化數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)證明。

四、數(shù)學(xué)證明的教學(xué)實(shí)踐及教學(xué)經(jīng)驗(yàn)

為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以達(dá)到強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)證明的目的，這里以一個(gè)實(shí)例的形式，闡述我們的做法。簡單講一下數(shù)學(xué)結(jié)論的來源。我們知道數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是，培養(yǎng)學(xué)生在科研和生活中遇到的現(xiàn)實(shí)問題，需要某方面的數(shù)學(xué)知識(shí)來解決時(shí)，能夠利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)去解決相應(yīng)問題。我們知道許多數(shù)學(xué)命題就來源于現(xiàn)實(shí)，例如牛頓-萊布尼茨定理，牛頓的想法來源于路程與速度的關(guān)系的現(xiàn)實(shí)問題。設(shè)物體的距離和速度隨時(shí)間的變化的關(guān)系式分別為s（t），v（t），我們知道物體的速度是距離函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即s＇（t）＝v（t），而物體在時(shí)間段［a，b］之間的距離為s（b）-s（a）=ba乙v（t）dt。而萊布尼茨的想法來源于面積求法的現(xiàn)實(shí)問題，由區(qū)間［a，b］上的函數(shù)f（t）構(gòu)成曲邊梯形下的面積S（b）-S（a）=ba乙f（t）dt，而面積函數(shù)S（x）的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)f（x），即S'（x）=f（x）。這樣的問題在數(shù)學(xué)定理的證明中是比較普遍的，因而在證明定理時(shí)，講清背景，不論對(duì)學(xué)生思路的啟發(fā)，還是理清證明思路都是有好處的，更主要的是，要讓學(xué)生在生活中不忽略任何細(xì)節(jié)。再談?wù)剶?shù)學(xué)證明的思路及證明過程。由上面的分析知道，物體在時(shí)間段［a，x］之間的距離為S（x）-S（a）=xa乙v（t）dt，是速度函數(shù)的v（t）的變上限函數(shù)。同樣以函數(shù)f（t）為頂構(gòu)成的曲邊梯形位于區(qū)間［a，x］的面積S（x）也是函數(shù)f（t）的變上限函數(shù)，由此可知牛頓-萊布尼茨定理的證明中引入函數(shù)f（t）的變上限函數(shù)Φ（x）=xa乙f（t）dt是比較自然的了。然后討論變上限函數(shù)Φ（x）的連續(xù)性，可導(dǎo)性，最后完成定理證明。

五、結(jié)論

通過對(duì)數(shù)學(xué)證明的教學(xué)探索和實(shí)踐，從下面幾個(gè)方面看，取得了相當(dāng)不錯(cuò)的教學(xué)效果。從學(xué)生的課堂反應(yīng)看，通過對(duì)我校電氣、機(jī)械、土木、數(shù)學(xué)專業(yè)的1000多名學(xué)生的問卷調(diào)查可看出，許多學(xué)生都認(rèn)為這樣教學(xué)，使數(shù)學(xué)的內(nèi)容容易接受，沒那么抽象，數(shù)學(xué)的證明不再是難以理解的。學(xué)生的上課積極性比前幾屆有很大提高，課堂上學(xué)生的反應(yīng)較前幾屆學(xué)生活躍。從學(xué)生的考試成績和競賽成績看，通過近兩年的四次期末考試可知，學(xué)生的考試成績好于前幾屆，補(bǔ)考的學(xué)生明顯減少。近幾年參加各種競賽獲得的成績也比較好：在全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽（專業(yè)組）中，到2015年為止共獲得了二等獎(jiǎng)兩項(xiàng)，三等獎(jiǎng)八項(xiàng)。由于我校歷年來招生數(shù)量較少，每屆僅一個(gè)或兩個(gè)教學(xué)班，而且和中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)、合肥工業(yè)大學(xué)等名校的學(xué)生在同一組比賽，能獲獎(jiǎng)確實(shí)是件不容易的事。從安徽省數(shù)學(xué)會(huì)網(wǎng)頁上可以看出，在安徽省高校中，除了中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)和合肥工業(yè)大學(xué)外，其他獲獎(jiǎng)的高校很少，因而從一定程度上講，這樣的教學(xué)效果還是比較明顯的。

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作者：范自強(qiáng) 單位：安徽理工大學(xué)理學(xué)院