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摘要:高等數(shù)學思想與初等數(shù)學競賽思想分別體現(xiàn)了高等數(shù)學和初等數(shù)學競賽的數(shù)學本質(zhì)。將兩者融合應(yīng)用于中學數(shù)學的教學中，有利于教師在高觀點下指導(dǎo)完善數(shù)學教學模式和策略從而提高教學質(zhì)量，有利于教師教學觀念的轉(zhuǎn)變從而在融合應(yīng)用中提升自身數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)。對學生而言，高階思維的指導(dǎo)有利于數(shù)學思維的發(fā)展、數(shù)學學習熱情的高漲、個性品質(zhì)與能力的提升。本文探究了高等數(shù)學思想和初等競賽數(shù)學思想的契合之處，析出融合的數(shù)學思想，并通過教學實踐提出教學建議。

關(guān)鍵詞:數(shù)學思想;高等數(shù)學;初等數(shù)學競賽;中學數(shù)學教學;教師素養(yǎng)

0引言

長期以來，中國選手在國際上的數(shù)學競賽中的實力有目共睹。但在第11屆羅馬尼亞數(shù)學大師賽（RMM）中，中國隊卻無一人奪得金牌，然而在獲得金牌的選手中不乏華裔選手的身影，這一現(xiàn)象不禁引起我們對當前數(shù)學教育的思考。新課改的深入對師生數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)提出了更高要求，但畢業(yè)升入大學后，卻發(fā)現(xiàn)這批大學生的數(shù)學素養(yǎng)普遍不高，數(shù)學專業(yè)的學生在專業(yè)課的學習上略顯吃力，中學時的數(shù)學感性思維已達不到高等數(shù)學的理性分析要求。因此，在高觀點下指導(dǎo)中學數(shù)學的教學以發(fā)散學生思維并提升師生的數(shù)學素養(yǎng)是有必要的。

1高等數(shù)學思想與初等競賽數(shù)學思想的融合

數(shù)學思想不僅僅是解決數(shù)學問題的方法，也不僅僅是展現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在價值和意義的載體，更是一種思維模式，是思考的過程。數(shù)學思想的滲透是潛移默化的，只要掌握了數(shù)學思想，即使忘記了在數(shù)學課堂上老師教授的相關(guān)問題的具體情境和解題步驟，也不會阻礙我們思考解決實際問題的方法。數(shù)學思想本無明顯的分界，因數(shù)學內(nèi)容的深度、廣度、難度可以包羅萬象，為了使思想方法能為各個階段的人的思維能力所接受，將其進行細致劃分為各個階段的數(shù)學。因此，各個階段的數(shù)學思想的融合能展示出最完整的數(shù)學本質(zhì)。高等數(shù)學思想和初等數(shù)學競賽思想同為初等數(shù)學思想的進階，初等數(shù)學競賽思想介于高等數(shù)學思想和初等數(shù)學思想之間，能更好的為中學生思維的培養(yǎng)、知識的拓展、視野的拓寬而服務(wù)。高等數(shù)學的部分內(nèi)容貌似深奧，實則可用初等數(shù)學來解決。初等數(shù)學競賽多是以高等數(shù)學為背景，用初等數(shù)學解法來解決，很少用到高等數(shù)學中的高深的理論，卻可以借鑒高等數(shù)學的解題思維和思考方式。在目前的高中數(shù)學教材中，許多知識內(nèi)容已經(jīng)達到了競賽甚至高等數(shù)學的水平，只是在內(nèi)容呈現(xiàn)上更加簡明，要求掌握的程度相對偏低。但不可否認的是，高等數(shù)學“初等化”、數(shù)學競賽普及化已逐漸在滲透。以高等數(shù)學思想、數(shù)學競賽思想指導(dǎo)中學數(shù)學的教與學，在一定程度上增強了師生的自信心，同時還能發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造新的思想方法，逐步提升創(chuàng)新意識。在應(yīng)用融合思想的過程中，還能拓寬學生的思維，從而找到更有效的解決問題的途徑，提升數(shù)學素養(yǎng)。學習融合的數(shù)學思想，有利于學生主動學習數(shù)學知識，形成知識體系，更準確把握知識的本質(zhì)和精髓，從而更容易掌握知識。在各類創(chuàng)新情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學取之生活，用于生活，發(fā)現(xiàn)數(shù)學之美，從而激發(fā)學生研究數(shù)學的熱情和興趣。而教師在學習過高等數(shù)學理論知識的基礎(chǔ)上，對中學數(shù)學的知識、內(nèi)容、思想、方法等將有更深刻的認識，教學起來便也得心應(yīng)手，能夠引導(dǎo)學生探索數(shù)學之奧秘，感受數(shù)學之美，學生興趣濃厚了，教師的自豪感和成就感也就增加了，工作熱情自然便能提高了。在挖掘高等數(shù)學和初等數(shù)學競賽中所蘊含的數(shù)學思想方法時，教師勢必轉(zhuǎn)變已有的傳統(tǒng)的教學觀念，對教學方法進行積極學習和研究，通過教學實踐提升自身數(shù)學教學素養(yǎng)。本文把高等數(shù)學思想與初等競賽數(shù)學思想的融合之處簡稱為融合的數(shù)學思想。將融合的數(shù)學思想應(yīng)用于中學數(shù)學教學中，需要教師擁有良好的專業(yè)素養(yǎng)，需要教師對數(shù)學思想有深刻的把握和理解，對數(shù)學知識透徹掌握并能靈活運用，才能將思想轉(zhuǎn)化為教學能量輸送給學生。因此這樣一個探索教學的過程，也是教師數(shù)學素養(yǎng)提升的過程。而對于學生而言，對數(shù)學思想的消化吸收不僅利于靈活解題，也是對思維的創(chuàng)新訓練。

2融合的數(shù)學思想在中學教學中的應(yīng)用

2.1聯(lián)想的思想

聯(lián)想的思想在高等數(shù)學和初等數(shù)學競賽中經(jīng)常用到。關(guān)于聯(lián)想的數(shù)學思維在波利亞的《怎樣解題》一書中有很好的體現(xiàn)。在波利亞的解題表中，第二步便是通過聯(lián)想的手段來制訂方案。聯(lián)想可以是未知與已知的聯(lián)想，特殊與一般的聯(lián)想，數(shù)與形的聯(lián)想等等。聯(lián)想是一種思維活動，也是一種心理活動，是求解數(shù)學問題的重要思維途徑。

2.2數(shù)學抽象思想

在中學階段，數(shù)學抽象思想多體現(xiàn)于概念教學，數(shù)與形的教學，數(shù)量關(guān)系之中。概念教學比如函數(shù)的概念、集合的概念、復(fù)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的概念等，這些數(shù)學概念都是抽象的。而函數(shù)往往要結(jié)合圖象來理解或分析，這就將函數(shù)抽象成數(shù)學圖象這一直觀語言來研究。在實際問題情境中，往往存在許多數(shù)量關(guān)系，要通過字母、數(shù)字建立方程、不等式模型，從而將實際問題抽象成數(shù)學問題。因此，在教學中滲透數(shù)學抽象思想時，首先要從具體問題出發(fā)，由具體的形式抽象出數(shù)學的概念、定理等，比如通過對實際問題的分析抽象出函數(shù)的概念。其次，在教學中要注意將抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化，將抽象與形象相結(jié)合，比如將函數(shù)的單調(diào)性、周期性與圖象相結(jié)合。再次，注重培養(yǎng)學生的觀察分析能力以及歸納類比能力，這樣才能通過大量實驗或類比發(fā)現(xiàn)規(guī)律、特征，從而抽象出數(shù)學內(nèi)容，比如觀察圖形數(shù)量變化規(guī)律找到圖形數(shù)量與序數(shù)之間的關(guān)系，實際上是將數(shù)量規(guī)律抽象成數(shù)列這一數(shù)學語言。最后，將抽象思想與數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想相結(jié)合，共同促進教學。初中階段，學生往往對抽象的概念茫然不知所措，總是用死記硬背的方式記住概念，比如函數(shù)，大多數(shù)學生甚至說不出函數(shù)是什么。函數(shù)的概念是浙教版八年級上冊數(shù)學教材的第五章內(nèi)容，明確指出了函數(shù)的概念。函數(shù)的概念是抽象的，在教學中應(yīng)與具體的實例聯(lián)系起來，使學生逐步養(yǎng)成用辯證思維來理解抽象的概念。初中生對函數(shù)這一抽象概念的理解是需要時間沉淀和經(jīng)驗積累的。在函數(shù)概念的教學中，應(yīng)將重點放在概念形成的過程上，原因在于，函數(shù)的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系。學生通過實例總結(jié)歸納出各個變量之間的對應(yīng)關(guān)系正是把握函數(shù)實質(zhì)的過程，是數(shù)學思想形成的過程。于教師而言，只有經(jīng)歷了高等數(shù)學和初等數(shù)學競賽的洗禮，才能看透初等數(shù)學中這些概念的本質(zhì)，才能引領(lǐng)學生少走彎路。數(shù)學抽象思想的形成是由感性到理性的深入過程，是不斷內(nèi)化感悟的產(chǎn)物，不可能一蹴而就，而是在長期的積累沉淀中實現(xiàn)的。在教學中，教師應(yīng)當遵循循序漸進的原則，設(shè)計好教學活動，深化抽象思想。

2.3極限思想

極限思想指的是用極限的定義或概念來分析問題、解決問題的一種數(shù)學思想。法國數(shù)學家柯西提出利用極限定義微積分，用和的極限來表示定積分。數(shù)學中的另一分支級數(shù)理論也以極限思想為基本工具研究函數(shù)。極限思想在大學數(shù)學中有著舉足輕重的地位，在數(shù)學分析教材中以數(shù)列極限、函數(shù)極限兩個章節(jié)來介紹極限的定義，并以微積分、級數(shù)章節(jié)來應(yīng)用極限思想。而在數(shù)學競賽中，極限思想也有廣泛的應(yīng)用。極限思想在小學階段便有滲透，比如在人教版小學六年級教材中，求解0.9。此階段的小學生便對極限思想有了一定的體會，即“無窮”、“無限接近”的體會。又如圓的概念教學中，將圓分割成正多邊形，當邊數(shù)無窮多時，便近似為圓。中學階段利用極限思想解決問題的應(yīng)用較為普遍，比如在研究圓錐曲線時，離不開對漸近線的研究。學生普遍通過記公式掌握了漸近線的求法，卻很少有學生能準確說出漸近線的含義。在高等數(shù)學中，一般地，曲線的漸近線是這樣定義的：若曲線上一動點沿著曲線無限遠離原點時，該點與某一直線的距離無限趨于0，則該直線即為曲線的漸近線。在人教A版高中數(shù)學選修2-1教材中，介紹雙曲線的幾何性質(zhì)時首次提及漸近線，并在教材中指導(dǎo)教師利用信息技術(shù)演示雙曲線各支向外延伸時與兩條直線逐漸接近的過程，從而定義雙曲線的漸近線，指出雙曲線與漸近線無限接近，但永不相交。學生認識漸近線的過程實則是滲透極限思想的過程，然而，筆者調(diào)查發(fā)現(xiàn)，眾多教師為了趕超教學進度，在平時教學中只一句話帶過，指出漸近線就是與雙曲線無限接近但不相交的直線，并給出求解公式。因此，學生很難把握漸近線的本質(zhì)含義，錯過了滲透極限思想的機會。

3結(jié)束語

高等數(shù)學思想與初等數(shù)學競賽思想的融合并不是難以企及的。在中學教學中，結(jié)合數(shù)學知識、內(nèi)容，結(jié)合數(shù)學實際情景，通過有效的教學手段能夠?qū)⑷诤系臄?shù)學思想有效應(yīng)用和滲透于課堂中，并能促進學生思維的發(fā)散。融合的思想是高觀點下的思維方式和思考過程，包括但不僅限于聯(lián)想的思想、數(shù)學抽象思想、極限思想、模型思想。時代在進步，數(shù)學思想的應(yīng)用也更加廣泛，大數(shù)據(jù)時代更離不開數(shù)學這一基本工具，而中學階段的解題數(shù)學思想已經(jīng)不足以指導(dǎo)和推進思維的發(fā)散。因此，將融合的數(shù)學思想融入中學的教學，才能使師生開拓思維境界，為社會的發(fā)展提前奠定思想的基礎(chǔ)，亦是跟隨發(fā)展的大流。

參考文獻

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作者:姜瑩瑩 盧衛(wèi)君 單位:廣西民族大學理學院