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1.教材（五年級(jí)上冊(cè)）在求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)，為什么不出現(xiàn)短除法？

教材在編排求兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)與公倍數(shù)等內(nèi)容時(shí)，沒有把“用短除法分解質(zhì)因數(shù)”的方法作為求最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)的基本方法，而是用列舉的方法，如下圖。

請(qǐng)你在下表中用“△”圈出4的倍數(shù)，用“○”圈出6的倍數(shù)。12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

4的倍數(shù)：＿＿。

6的倍數(shù)：＿＿。

既標(biāo)有“△”又標(biāo)有“○”的數(shù)是＿＿，它們是＿＿和＿＿的倍數(shù)，也就是它們的公倍數(shù)；其中最小的數(shù)叫做它們的最小公倍數(shù)。

首先，需要明確的是，教材提供的列舉法不僅在解決實(shí)際問題中用途廣泛，而且在數(shù)學(xué)中也是很重要的。同時(shí)，它簡(jiǎn)單明了，幾乎所有的學(xué)生都能夠理解。對(duì)于求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的問題，使用這個(gè)方法是基于學(xué)生對(duì)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的理解的自然方法，既有利于對(duì)概念本身的理解，又簡(jiǎn)單易學(xué)。而短除法的根據(jù)是分解質(zhì)因數(shù)，學(xué)生理解起來比較困難。如果要求每一個(gè)學(xué)生掌握，需要花費(fèi)大量精力，有的學(xué)生只好去機(jī)械記憶，結(jié)果反而不利于對(duì)最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)等基本概念的理解。

其次，根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)“倍數(shù)與因數(shù)”“分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算”等內(nèi)容的要求進(jìn)行了適當(dāng)?shù)南拗?。如，求最小公倍?shù)，只要求在1～100的自然數(shù)中，能找出兩個(gè)10以內(nèi)自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。再如，異分母分?jǐn)?shù)加減法，兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母一般都不超過10。也正因?yàn)閿?shù)據(jù)比較小，利用列舉的方法找出公因數(shù)或公倍數(shù)并不麻煩。

對(duì)于教材為什么沒教短除法，一線教師也有很多體會(huì)，下面是兩位教師的觀點(diǎn)，供大家參考：

教師甲：教材這樣處理是有道理的。以前總是認(rèn)為列舉法是一種很笨的方法。從來不主張學(xué)生用，只教自己認(rèn)為最簡(jiǎn)便、最有效的方法，比方說找最大公園數(shù)就用短除法?？墒沁@套教材提倡方法多樣化，而且很重視列舉法，用這套教材實(shí)驗(yàn)后才發(fā)現(xiàn)：列舉法用途廣泛、直接、明了、易懂、不易遺忘，特別適合思維能力弱一點(diǎn)的學(xué)生，所以我們要消除對(duì)列舉法的偏見。教師心目中最好的方法不一定適合每一個(gè)學(xué)生，說到底，擇優(yōu)要因人而異……

教師乙：像短除法這一類知識(shí)，雖然有用，但它不是核心的、特別重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，以后也很少用到，所以教材將其刪去了，目的是為了讓學(xué)生有更多的時(shí)間和精力來學(xué)習(xí)更有價(jià)值的知識(shí)。我們應(yīng)該領(lǐng)會(huì)教材的編寫意圖，慢慢學(xué)會(huì)選擇。有用的知識(shí)這么多，我們總不能通通都教給學(xué)生吧，所以選擇就顯得非常重要了。

2.對(duì)“圓的認(rèn)識(shí)”（六年級(jí)上冊(cè)）這一內(nèi)容，教材安排了5個(gè)課時(shí)，目的何在？如何引導(dǎo)學(xué)生感悟圓的特征？

“圓的認(rèn)識(shí)”是學(xué)生研究曲線圖形的開始，是學(xué)生認(rèn)識(shí)發(fā)展的又一次飛躍。因此，教材希望通過大量的操作活動(dòng)來幫助學(xué)生體驗(yàn)圓的特征和研究曲線圖形的一些方法。

“圓的認(rèn)識(shí)（一）”中，“觀察與思考一”的目的是使學(xué)生通過觀察日常生活中的圓形物體，建立正確的圓的表象，并通過思考圓和以前學(xué)過的圖形的不同點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到圓是由一條曲線構(gòu)成的封閉圖形?！坝^察與思考二”呈現(xiàn)了“套圈”的游戲情境，引導(dǎo)學(xué)生思考哪一種方式更公平，讓學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)初步感受圓上各點(diǎn)到圓心的距離相等的本質(zhì)特征以及圓與正方形的不同。教材安排的“畫一畫”活動(dòng)，進(jìn)一步使學(xué)生在動(dòng)手操作中體會(huì)圓的本質(zhì)特征，并引出圓心、半徑和直徑的概念?！坝^察與思考三”再次將學(xué)生的視角引向生活，引導(dǎo)學(xué)生思考和研究“車輪為什么是圓的”，應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解釋生活中的一些現(xiàn)象，進(jìn)一步在解釋生活現(xiàn)象中體會(huì)圓的本質(zhì)特征。

“圓的認(rèn)識(shí)（二）”主要是使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓的對(duì)稱性。教材先創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“找圓心”的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過折紙，找出這個(gè)圓的圓心，體會(huì)圓的軸對(duì)稱性。接著，教材進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生開展折紙活動(dòng)，探索圓的軸對(duì)稱性以及同一個(gè)圓里半徑與直徑的關(guān)系，等等。在這部分內(nèi)容中，教材還安排了操作活動(dòng)，使學(xué)生對(duì)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱有所感受。

“欣賞與設(shè)計(jì)”的內(nèi)容主要是鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的圖形設(shè)計(jì)圖案。這不僅能培養(yǎng)學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力，使學(xué)生體會(huì)到圖形世界的神奇和美麗，同時(shí)在分析圖案和創(chuàng)造圖案的過程中，學(xué)生還將進(jìn)一步鞏固對(duì)所學(xué)圖形特征的認(rèn)識(shí)。另外，“數(shù)學(xué)萬花筒”中設(shè)計(jì)了用正方形紙片畫圓的方法，可以幫助學(xué)生初步感受由正方形逼近圓的思想。

3.在“圓的面積”的教學(xué)中，教材為什么安排讓學(xué)生先估計(jì)圓的面積？

在“圓的面積”的教學(xué)中，教材安排了一個(gè)“估一估”的活動(dòng)，目的是使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)面積度量的含義，感受“化曲為直”的思想，發(fā)展學(xué)生的估計(jì)策略，進(jìn)一步理解圓的面積的含義。

教材采用了方格紙估算圓的面積的方法，呈現(xiàn)了一個(gè)10×10的正方形（每個(gè)方格代表1平方米），并把半徑5米的圓置于其中。教材呈現(xiàn)了兩種估計(jì)方法：第一種是利用正多邊形的面積進(jìn)行估計(jì)。圓的面積比圓外切正方形的面積小，比圓內(nèi)接正方形的面積大。圓外切正方形的面積是100平方米，圓內(nèi)接正方形的面積是50平方米，所以圓的面積大于50平方米而小于100平方米。第二種是用數(shù)方格的方法進(jìn)行估計(jì)，并滲透通過估計(jì)部分來估計(jì)整個(gè)圓的面積。先用數(shù)格子的方法數(shù)出圓的的面積約是20平方米，再估計(jì)整個(gè)圓的面積約是80平方米。

4.如何認(rèn)識(shí)平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱？它們的基本要素是什么？

平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱是三個(gè)基本的全等變換。如果圖形經(jīng)過變換后與原來的圖形是重合的，也就是圖形的形狀、大小不發(fā)生變化，那么這個(gè)圖形進(jìn)行的變換叫做全等變換。全等變換的本質(zhì)是原圖形上任意兩點(diǎn)之間的距離不發(fā)生變化。

具體什么叫平移、旋轉(zhuǎn)和反射，我們不給出嚴(yán)格的定義，而是直觀地給予解釋，并指出這些變換的基本要素。

如上圖，如果原圖形中任意一個(gè)點(diǎn)到新圖形中相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線方向相同，長(zhǎng)度也相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡(jiǎn)稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形平移前后“每一點(diǎn)和與它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的連線互相平行且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個(gè)要素：一是方向，二是距離。對(duì)于平移，需要說明：(1)基本圖形，是什么圖形發(fā)生了平移；(2)方向，向什么方向發(fā)生了平移；(3)距離，平移了多遠(yuǎn)。

如上圖，旋轉(zhuǎn)的基本特征是圖形旋轉(zhuǎn)前后“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，并且各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度”。顯然，確定旋轉(zhuǎn)變換需要兩個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角（有方向）。對(duì)于旋轉(zhuǎn)，需要說明：(1)基本圖形，是什么圖形發(fā)生了旋轉(zhuǎn)；(2)旋轉(zhuǎn)中心，是繞哪個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的；(3)方向，向什么方向發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，是順時(shí)針還是逆時(shí)針；(4)角度，旋轉(zhuǎn)了多大的角度。順便提一句，旋轉(zhuǎn)中心不一定是基本圖形上的頂點(diǎn)，可以是平面上的任意一點(diǎn)。有的教師認(rèn)為旋轉(zhuǎn)中心就是圖形的頂點(diǎn)，這是錯(cuò)誤的。

如果連接新圖形與原圖形中每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為反射變換。垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的直線叫做對(duì)稱軸。也就是說，反射變換的基本特征是“連接任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都被對(duì)稱軸垂直平分”。顯然，確定反射變換的關(guān)鍵在于找到對(duì)稱軸。