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三角函數(shù)范文第1篇

三角函數(shù)的值域及其周期性有它的獨特之處，針對這一特點每年都設(shè)置有不同的高考試題，常見的考查形式是直接考查，在2012年的高考試題中則以數(shù)列為背景考查了這兩個性質(zhì)，難度比較大.

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一般地，解答三角函數(shù)與數(shù)列交匯的試題的思路是根據(jù)三角函數(shù)的周期性確定數(shù)列的特點，進而利用數(shù)列的相關(guān)知識求解.

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■ 數(shù)列{an}的通項公式an=ncos■+1，前n項和為Sn，則S2012=_____.

破解思路 本題的設(shè)問啟發(fā)考生，這個數(shù)列必定是一個特殊的數(shù)列，于是要集中精力發(fā)現(xiàn)這個特殊性，為此必須列出一定數(shù)量的項，通過觀察發(fā)現(xiàn)其特點. 根據(jù)通項公式計算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根據(jù)三角函數(shù)的周期性可知該數(shù)列中奇數(shù)項都等于1，偶數(shù)項a2n=2n×（-1）n+1. 進一步求和發(fā)現(xiàn)a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根據(jù)通項公式的特點，可以判斷這個特性可以推廣，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 進而求出S2012.

經(jīng)典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 設(shè)an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正數(shù)的個數(shù)是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根據(jù)正弦函數(shù)值的特點，可知當(dāng)0

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圖1

經(jīng)典答案 對于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都為正數(shù). 當(dāng)26≤k≤49時，令■=α，則■=kα，其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■?sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此時0

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已知數(shù)列{an}（n∈N？鄢）滿足：a1=1，an+1-sin2θ?an=cos2θ?cos2nθ，其中θ∈0，■.

三角函數(shù)范文第2篇

例1若α, β為第一象限角,且α>β,則

(A) sinα>sinβ (B) sinα

錯解: 函數(shù)y=sinx在第一象限是增函數(shù), α>β, sinα>sinβ,選A.

錯因分析: 象限角的概念不清,誤將第一象限角理解成0,上的角. 若取α=2π+,β=,可知A明顯不對.

正解:第一象限角的取值范圍為2kπ,2kπ+(k∈Z), 當(dāng)α=2π+,β=時,sinαsinβ,即三種大小關(guān)系都有可能. 選D.

二、忽略隱含條件,擴大取值范圍

例2已知α∈(0,π)且sinα+cosα=,則cos2α的值為

(A) (B) - (C) ± (D) -

錯解: 將sinα+cosα=兩邊平方,得1+sin2α=, sin2α=-. 又 α∈(0,π), 2α∈(0,2π), cos2α=±=±=±,選C.

錯因分析: “錯解”忽略了sin2α=-中的隱含條件. 由sin2α=-可知 2sinαcosα=-0,cosα0, sinα>cosα. 由正弦函數(shù)及余弦函數(shù)的圖象可得:α∈,, 2α∈π,, cos2α

正解: 由“錯解”可知,sin2α=-,由“錯因分析”可知cos2α

-. 選B.

例3在ABC中,sinA=,cosB=,則cosC=.

錯解: 由sinA=,cosB=可得cosA=±,sinB=. ∠A+∠B+∠C=π, cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=sinAsinB-cosAcosB, cosC=×-×=,或cosC=×--×=.

錯因分析: 忽略了在ABC中cosB=所隱含的條件,并且在求解過程中擴大了∠A的取值范圍. 由cosB=>0可知B∈0,. 由“錯解”可知sinB=>sinA,由正弦定理=可得b>a, ∠B>∠A. B∈0,, A∈0,, cosA>0,即cosA不可能為-.

正解: 由“錯因分析”可知cosA>0, cosA=. cosC=sinAsinB-cosAcosB=×-×=.

例4已知3sin2α+2sin2β=2sinα,則sin2α+sin2β的取值范圍是

(A) -, (B) 0, (C) 0, (D) ,

錯解: 3sin2α+2sin2β=2sinα, sin2β=, sin2α+sin2β=sin2α+(2sinα-3sin2α)=sinα-sin2α=-(sinα-1)2. sinα∈[-1,1], 當(dāng)sinα=1時,sin2α+sin2β有最大值;當(dāng)sinα=-1時,sin2α+sin2β有最小值-. 選A.

錯因分析: 錯解沒有考慮題目的隱含條件,擴大了sinα的取值范圍. sin2β∈[0,1], 0≤≤1;又 3sin2α+2sin2β=2sinα, sinα≥0. 由0≤≤1可得sinα∈0,, sinα無法取到-1和1.

正解: 由“錯因分析”可知sinα∈0,. sin2α+sin2β=-(sinα-1)2,令y=-(sinα-1)2,則y的圖象是以sinα=1為對稱軸、開口向下的拋物線. sinα∈0,時,y=-(sinα-1)2單調(diào)遞增, 當(dāng)sinα=時,y有最大值,即(sin2α+sin2β)max=;當(dāng)sinα=0時,y有最小值0,即(sin2α+sin2β)min=0. 選C.

三、忽略三角函數(shù)自身的定義域

例5求f(x)=的定義域.

錯解: 2cosx+1≥0,tanx≠0, 2kπ-≤x≤2kπ+,x≠kπ.故函數(shù)f(x)的定義域為x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ,k∈Z.

錯因分析: “錯解”考慮到了要使分式成立分母必須不為0,即tanx≠0;但是忽略了正切函數(shù)自身的定義域,即要使tanx有意義,則必須有x≠kπ+(k∈Z).

正解: 由“錯解”及“錯因分析”可知,f(x)的定義域為x 2kπ-≤x≤2kπ+且x≠2kπ且x≠kπ+,k∈Z.

四、誤用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例6已知0≤x≤π,求函數(shù)y=sinx-cosx的最大值和最小值.

錯解: y=sinx-cosx=sinx-, 0≤x≤π,-≤x-≤, -≤sinx-≤. ymax=1, ymin=-1.

錯因分析: 單調(diào)函數(shù)的最值在邊界上,但正弦函數(shù)在閉區(qū)間-,上不單調(diào),因此,函數(shù)最值不一定在區(qū)間端點處取得.錯解誤用了函數(shù)單調(diào)性.

正解: 由“錯解”可知x-∈-,,由正弦函數(shù)的圖象可知-≤sinx-≤1,所以當(dāng)sinx-取得最大值1時,ymax=;當(dāng)sinx-取得最小值-時,ymin=-1.

五、未弄清三角函數(shù)圖象變換的實質(zhì)

例7要得到函數(shù)y=sin2x-的圖象,只需將函數(shù)y=sinx的圖象

(A) 先將每個x值擴大到原來的4倍,y值不變,再向右平移個單位

(B) 先將每個x值縮小到原來的,y值不變,再向左平移個單位

(C) 先把每個x值擴大到原來的4倍,y值不變,再向左平移個單位

(D) 先把每個x值縮小到原來的,y值不變,再向右平移個單位

錯解: 變換前函數(shù)為y=sinx,變換后函數(shù)為y=sin2x-,都是形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù). ω從變成2,是原來的4倍,φ從0變成-,因此是先將x值擴大為原來的4倍,y值不變,再向右平移個單位. 選A.

錯因分析: ω從變成2,確實是原來的4倍,但是變換是針對自變量x而言的,所以是把每個x縮小到原來的. 同樣的,橫向平移也是針對x而言的,y=sin2x是經(jīng)過了如下變換:sin2xsin2x-=sin2x-,從而成為y=sin2x-,所以是向右平移個單位.

三角函數(shù)范文第3篇

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；單位圓；周期

1.任意角的三角函數(shù)的概念和教材分析

1.1內(nèi)容分析

1.1.1背景分析。三角函數(shù)作為擁有與對數(shù)數(shù)和指數(shù)函數(shù)同等重要的地位，應(yīng)該在構(gòu)建基本的知識體系過程中將基本概念與基本認知相結(jié)合的方式作為學(xué)生教學(xué)的重點。認識三角函數(shù)的的本質(zhì)屬性石函數(shù)中的一個特例，具有函數(shù)的下一級的概念。通過在概念的進一步精化過程中，加深學(xué)生對三角函數(shù)基本概念即正切、余弦和正弦的進一步理解，同時掌握單位圓的作用。

1.1.2教學(xué)的目標。作為三角函數(shù)概念在教材分析中的重要學(xué)習(xí)目標之一，對于任意角的三角函數(shù)的定義的學(xué)習(xí)不可忽視。掌握三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并記住三角函數(shù)的定義域與值域也相當(dāng)重要。同時，學(xué)生還應(yīng)該在已知∠a終邊上的一點，會求解角的正弦，余弦和正切值。另外，培養(yǎng)學(xué)生各方面的能力目標也是三角教學(xué)中的重要目標之一。梳理三角函數(shù)的基本概念和內(nèi)容，樹立正確的映射觀，理解其實以實數(shù)為自變量的函數(shù)。同時通過對誘導(dǎo)公式，定值域的進一步教學(xué)加深理解三角函數(shù)的實質(zhì)。教育教學(xué)改革中明確提出對學(xué)生德育教育的要求，在進一步的教學(xué)過程中，嚴謹自學(xué)的科學(xué)學(xué)習(xí)精神會在轉(zhuǎn)化思想的學(xué)習(xí)過程中會得到培養(yǎng)。養(yǎng)成教育也會培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)理念，樹立正確的價值觀念，讓學(xué)生深刻的認識到事物之間是有一定的聯(lián)系的觀念。提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

1.1.3教學(xué)的難重點。三角教學(xué)中的難點是如何利用與單位圓有關(guān)的一些基本概念例如有向線段、任意角的三角函數(shù)值等用集合的形式表現(xiàn)出來。這些都是教學(xué)中的難點。那么什么是教學(xué)中的重點呢？在教學(xué)中如何有效的幫助學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)的正弦、正切和余弦的定義并在這個過程中突出單位圓的重要作用，則是三角函數(shù)教學(xué)的重點。

1.1.4知識結(jié)構(gòu)圖析

1.1.5其中包含的數(shù)學(xué)思想、類比聯(lián)想的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸轉(zhuǎn)化的思想。

1.2教材分析的方法和原則

教材分析的方法是教與學(xué)相結(jié)合的方法，實踐與理論相結(jié)合的方法。教材教學(xué)的原則是突出數(shù)學(xué)思想的原則、以學(xué)生為中心的原則、課表與課標相結(jié)合的原則以及教師為主導(dǎo)的原則等。

2.三角函數(shù)的宏觀整體把握

2.1內(nèi)容分析

2.1.1背景介紹。在高中階段的學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)是一項重要的學(xué)習(xí)知識點。它涉及到的不僅僅是數(shù)學(xué)，還有生物、物理等其他學(xué)科。在高考中也占據(jù)相當(dāng)一部分的分值比例。另外，作為學(xué)習(xí)過程中的工具性，它的應(yīng)用也是十分廣泛的，可以對生活中大量的周期性現(xiàn)象進行描繪，也是數(shù)學(xué)建模的重要重要基礎(chǔ)工具之一。通過學(xué)習(xí)和研究三角函數(shù)的基本內(nèi)容和概念性質(zhì)從而對周期性變化規(guī)律中的問題的解決打下基礎(chǔ)。

2.1.2 教學(xué)目標。（1）過程與方法：通過對本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生在解決函數(shù)概念的問題上的能力得到提高，也能更加加深學(xué)生對相關(guān)概念、內(nèi)容的理解。（2）知識與技能的培養(yǎng)：學(xué)習(xí)中對知識的技能與知識的培養(yǎng)是極其重要的，它是學(xué)生高效學(xué)習(xí)的保障，也是學(xué)生在處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時必須必備的技能之一。學(xué)生通過任意角內(nèi)容和基本概念的認識和了解，從而借助單位圓更加形象直觀的體會三角函數(shù)的美學(xué)價值，加深對三角函數(shù)概念的進一步掌握。

2.1.3知識架構(gòu)

2.1.4重難點。三角函數(shù)知識在解決集合、代數(shù)和實際問題上的解決時重點。圖像和性質(zhì)以及誘導(dǎo)公式是難點。

2.1.5蘊含的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法大致分為如下八類。（1）化歸轉(zhuǎn)化思想；（2）方程思想；（3）分類討論思想；（4）換元法；（5）整體的方法；（6）類比聯(lián)想的方法；（7）數(shù)形結(jié)合的思想；（8）分類討論的思想。

2.16 教育學(xué)習(xí)的價值。三角函數(shù)宏觀把握不僅可以有助于學(xué)生加深對數(shù)學(xué)各內(nèi)容之間的理解和聯(lián)系，而且還可以更好的體驗發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)的創(chuàng)造過程。是學(xué)生解決世界生活中的問題以及體會實際生活與數(shù)學(xué)聯(lián)系的重要橋梁。從而有助于學(xué)生的推理能力與運算能力的提高。

2.2 教材分析的原則與方法

原則；以教師主導(dǎo)為主要原則，引導(dǎo)學(xué)生為輔助原則，并構(gòu)建數(shù)學(xué)思想方法的原則，同時加深理論與實際相結(jié)合的原則。方法；學(xué)與教相結(jié)合的方法；理論與實踐相結(jié)合的方法。

3.三角函數(shù)的特定內(nèi)容的分析

作為本章學(xué)習(xí)的重要角色，單位圓在本章中扮演的是更加直觀明晰的解決三角函數(shù)中的一些復(fù)雜棘手的問題。那么如何運用單位圓來有效的解決三角函數(shù)的問題呢？這要從如下的五個方面來說明這個問題。其一、三角函數(shù)，作為一個很有自身特點的函數(shù)，本身具有的多層次的性質(zhì)。在利用單位圓的良好幾何特性的優(yōu)勢來克服三角函數(shù)中只有數(shù)的劣勢，它為同學(xué)們掌握同角三角函數(shù)的基本特點關(guān)系時，為更有效的理解誘導(dǎo)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像提供了更大的便利。其二、以單位圓為基礎(chǔ)，誘導(dǎo)出三角函數(shù)單位圓定義，這是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要典范之一。是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的有利手段。其三、單位圓定義正弦、正切和余弦這三個三角值是數(shù)向圖轉(zhuǎn)換的一個典范。運用平面坐標系統(tǒng)建立三個角度的弧度數(shù)到終邊角與單位圓的交叉結(jié)合讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中更加形象明了的掌握三個角的深層次的內(nèi)涵。其四、單位圓為學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)如何刻畫周期現(xiàn)象的過程并以此建立正確的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模是大學(xué)的一個重要學(xué)習(xí)課程，這也為學(xué)生的大學(xué)深造打下良好的基礎(chǔ)。其五、過重的角它是通過一條射線繞著一個點來旋轉(zhuǎn)出來的，它與初中角的概念的由來有很大的區(qū)別，運用單位圓可以作為三角函數(shù)基本角的定義即用圓的基本角來定義三角函數(shù)。

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三角函數(shù)范文第4篇

三角函數(shù)的概念及公式是三角函數(shù)整章的基礎(chǔ)，是三角函數(shù)圖象和恒等變換的最終著落點.

重點：本部分的重點是三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式、誘導(dǎo)公式，并能夠靈活運用定義和公式解決有關(guān)求值和化簡等問題.

難點：三角函數(shù)線及函數(shù)符號的確定，以及靈活選取誘導(dǎo)公式.

1. 角的分類

（1）按旋轉(zhuǎn)方向分類可以分為正角、負角和零角.

（3）按照終邊是否相同分類. 與α的終邊相同的角的集合為{ββ=2kπ+α，k∈z}，與α的終邊共線的角的集合為{ββ=kπ+α，k∈z}.

3. 根據(jù)三角函數(shù)的定義，求角α的三角函數(shù)值？搖

（1）已知角α的終邊上一點p的坐標，則可先求此點p到原點的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解.

（2）已知角α的終邊所在的直線方程，需分兩種情況取點：先在終邊上的兩條射線上分別取點，再利用三角函數(shù)的定義去求解；根據(jù)直線方程直接求出tanα，然后再根據(jù)角的終邊所在的象限求出其他的三角函數(shù)值.

 

4. 同角三角函數(shù)關(guān)系式的用途

（1）根據(jù)一個角的某一個三角函數(shù)值，求出該角的其他三角函數(shù)值.

（2）化簡同角三角函數(shù)式.

（3）證明同角的三角恒等式.

（4）注意公式的逆用和變形用，如在解決齊次分式求值問題時，經(jīng)常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.

 

5. 使用誘導(dǎo)公式的注意事項

（1）使用步驟：負化正，大化小，小化銳是終了.

“負化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα這組公式將負角轉(zhuǎn)化為正角.

“大化小”是指當(dāng)角較大時可以使用sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（kπ+α）=tanα這組公式將已知角轉(zhuǎn)化為0～360°的角（2）一扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

三角函數(shù)范文第5篇

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；角；變形；方法

三角函數(shù)恒等變形中，角的變形是一個難點，學(xué)生難于無規(guī)律可尋，教師要幫助總結(jié)方法與規(guī)律.

一、通過自然的展開變形

自然的展開是一種樸素的方法，往往題設(shè)或結(jié)論中嵌有特殊角.

例1 已知cosα-π6+sinα=453，則sinα+7π6的值是（ ）.

A.-235B.235C.-45D.45

解 cosαcosπ6+sinαsinπ6+sinα=453.化簡得

12cosα+32sinα=45.

sinα+7π6=sinαcos7π6+cosαsin7π6

=-32sinα-12cosα=-45.

選C.

二、通過加減變形

如：α=（α-β）+β=α+β2+α-β2=…

例2 已知sin（π4+α）=45，cos（β-π4）=13，π4+α∈（π2，π），β-π4∈（0，π2），求cos（α+β）的值.

解 cos（α+β）=cosπ4+α+β-π4

=cosπ4+αcosβ-π4-sinπ4+αsinβ-π4

=-35?13-45?223=-3+8215.

例3 已知函f（x）=sin（x+2φ）-2sinφcos（x+φ）的最大值.

解 f（x）=sin（x+φ）+φ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ-2sinφcos（x+φ）

=sin（x+φ）cosφ-cos（x+φ）sinφ

=sin[（x+φ）-φ]=sinx.

由于f（x）的定義域為R，所以f（x）的最大值為1.

三、通過誘導(dǎo)變形

例4 已知cos2π3-θ=-25，求cosπ3+θ的值.

解 cosπ3+θ=cosπ-2π3-θ

=-cos2π3-θ=25.

例5 已知sinθ+π12=-13，求cosπ6+2θ的值.

解 cosπ6+2θ=cos2θ+π12

=1-2sin2θ+π12

=1-2-132=79.

四、通過二倍的相對性變形

如x=2?x2，x2=2?x4，x4=2?x8…

例6 已知tanx6=-2，求sinx3的值.

解 sinx3=sin2?x6=2sinx6cosx6cos2x6sin2x6

=2tanx61+tan2x6=2?（-2）1+（-2）2=-45.

五、通過換元變形

例7 已知cosα+π6=45，α為銳角，求sin2α+π12的值.

解 令α+π6=θ，則α=θ-π6，cosθ=45，θ為銳角.

sin2α+π12=sin2θ-π6+π12

=sin2θ-π4

=2sinθcosθcosπ4-（2cos2θ-1）sinπ4