前言:想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎?我們特意為您整理了5篇三角形中線定理范文,相信會為您的寫作帶來幫助,發(fā)現(xiàn)更多的寫作思路和靈感。
數(shù)學教育主要是數(shù)學思維的教育,數(shù)學教育過程是思維活動的過程,發(fā)展學生的思維能力是數(shù)學教學的一個重要方面。學生的思維能力具體體現(xiàn)為直覺的形象思維、分析的邏輯思維、靈活的創(chuàng)造思維等。在教學中如何培養(yǎng)這些思維能力呢?由認識論我心理學的基本原理可知:“感知、理解、鞏固、運用”符合學生認知知識心理過程的學習程序。所以數(shù)學教學應圍繞認知遷移的四個環(huán)節(jié)展開,采取不同的教學策略,針對性地培養(yǎng)相應的思維能力。我以三角形中位線的教學為例談點體會。
一、?感知階段:引導學生猜想分析,注重培養(yǎng)思維的廣闊性
培養(yǎng)思維的廣闊性,主要是培養(yǎng)學生從多角度,多方面去分析、思考問題;認識、解決問題的思維方式。使之思路開闊,聯(lián)想廣泛,通用不同的方法去處理和解決問題。在教學中要充分利用命題提出這一環(huán)節(jié),設置問題情境調動學生思維,引導學生分析、抽象、探索定理的多種證法,開闊思維廣度。例如:三角形中位線定理的證明,可按課本的探索式方法設置問題情景,讓學生猜想發(fā)現(xiàn)三角形中位線性質:“三角形中位線平行,并且等于第三邊的一半。”教師可以提出如何填加輔助線完成此定理的證明問題,啟發(fā)學生從多方面探索定理的證明方法,加以總結。
二、?理解階段,引導學生理解記憶,注意培養(yǎng)思維的流暢性
思維的流暢性表現(xiàn)為思維流暢通順,減少阻礙,能準確迅速地感知和提取信息。要想思維流暢順利運用所學知識,分清定理的條件和結論,熟記定理的基本圖形是前提。要結合圖形幫助學生理解本質屬性,強化定理的表達式,以便運用時思路暢通,例:三角形中位線定理證完后,可結合圖形強化幫助同學記憶定理的條件結論。
三、鞏固階段:引導學生變式訓練,是提高培養(yǎng)思維的靈活性
培養(yǎng)上思維的靈活性,主要培養(yǎng)學生對具體問題具體分析,善于根據(jù)情況的變化,調整和改變思維過程,提高學生的應變能力,所以在定理運用教學時,有針對性地把練習、習題、復習題中有共同特點的題目融會貫通,變分散為集中,設計一圖多問題,一題多變題,對比分析題和逆向運用題,讓學生進行變中位線定理的運用可舉以下題讓學生訓練。
四、運用階段:引導學生歸納小結,注重培養(yǎng)思維的敏捷性
思維的敏捷性,是思維活動中的反映速度和熟練程度。培養(yǎng)思維的敏捷性,主要培養(yǎng)學生思考問題時,能作出快速敏銳的反應。敏捷應以準確嚴謹為前提,只有準確掌握系統(tǒng)的基礎知識和熟練的基本技能,才能達到融會貫通之目的,做到真正的敏捷。故在運用這一環(huán)節(jié)上要引導學生歸納小結,把本節(jié)知識納入已有的認知結構中去,不斷充實擴展已有的知識體系;同時總結一般解題規(guī)律,從具體的解題過程中抽象出某種數(shù)學模式,形成較為明確的解題思路,使學有“法”可依,有“路”可走特別是注意歸納解題的技巧,使學生思維技能得到發(fā)展。
例:三角形中位線一節(jié)可引導學生作如下歸納:
(1)?證兩線平行的常見方法;
(2)?平行線的三條基本判定方法;
(3)?三角形一邊的平行的判定方法
(4)?特殊四邊形的對邊平行
(5)?三角形中位線定理
五、證線段的二倍關系的常見方法
(1)截長法:取長線段的中點,證長線段的一半等于短線段
(2)補短法:延長短線段一倍,證延長后的總線段等于長線段
(3)構造三角形的中位線與短線段相等轉換
相似三角形判定
(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似。
(2)如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似。(簡敘為:兩邊對應成比例且夾角相等,兩個三角形相似。)
(3)如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似。(簡敘為:三邊對應成比例,兩個三角形相似。)
(4)如果兩個三角形的兩個角分別對應相等(或三個角分別對應相等),那么這兩個三角形相似。
直角三角形判定定理:
(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似。
相似三角形性質定理:
(1)相似三角形的對應角相等。
(2)相似三角形的對應邊成比例。
(3)相似三角形的對應高線的比,對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周長比等于相似比。
(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方。
判定定理推論
推論一:頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。
推論二:腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。
推論三:有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。
推論四:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。
推論五:如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例,那么這兩個三角形相似。
推論六:如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例,那么這兩個三角形相似。
性質
1.相似三角形對應角相等,對應邊成比例。
2.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比。
3.相似三角形周長的比等于相似比。
4.相似三角形面積的比等于相似比的平方。
5.相似三角形內切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同,內切圓、外接圓面積比是相似比的平方
6.若a:b =b:c,即b的平方=ac,則b叫做a,c的比例中項
7.c/d=a/b 等同于ad=bc.
8.必須是在同一平面內的三角形里
(1)相似三角形對應角相等,對應邊成比例.
辛勤耕耘知識地,寒窗苦讀數(shù)十年。今朝征戰(zhàn)上考場,自信飽滿書人生。下面好范文小編為你帶來一些關于初中數(shù)學必背公式,希望對大家有所幫助。
初中數(shù)學必背公式11 過兩點有且只有一條直線
2 兩點之間線段最短
3 同角或等角的補角相等
4 同角或等角的余角相等
5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直
6 直線外一點與直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短
7 平行公理 經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
8 如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行
9 同位角相等,兩直線平行
10 內錯角相等,兩直線平行
11 同旁內角互補,兩直線平行
12兩直線平行,同位角相等
13 兩直線平行,內錯角相等
14 兩直線平行,同旁內角互補
15 定理 三角形兩邊的和大于第三邊
16 推論 三角形兩邊的差小于第三邊
17 三角形內角和定理 三角形三個內角的和等于180°
18 推論1 直角三角形的兩個銳角互余
19 推論2 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和
20 推論3 三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角
21 全等三角形的對應邊、對應角相等
22邊角邊公理(SAS) 有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等
23 角邊角公理( ASA)有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等
24 推論(AAS) 有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等
25 邊邊邊公理(SSS) 有三邊對應相等的兩個三角形全等
26 斜邊、直角邊公理(HL) 有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
27 定理1 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
28 定理2 到一個角的兩邊的距離相同的點,在這個角的平分線上
29 角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合
30 等腰三角形的性質定理 等腰三角形的兩個底角相等 (即等邊對等角)
初中數(shù)學必背公式231 推論1 等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
32 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合
33 推論3 等邊三角形的各角都相等,并且每一個角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)
35 推論1 三個角都相等的三角形是等邊三角形
36 推論 2 有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37 在直角三角形中,如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
38 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
39 定理 線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
40 逆定理 和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上
41 線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合
42 定理1 關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形
43 定理 2 如果兩個圖形關于某直線對稱,那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線
44定理3 兩個圖形關于某直線對稱,如果它們的對應線段或延長線相交,那么交點在對稱軸上
45逆定理 如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個圖形關于這條直線對稱
46勾股定理 直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方,即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長a、b、c有關系a^2+b^2=c^2 ,那么這個三角形是直角三角形
48定理 四邊形的內角和等于360°
49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內角和定理 n邊形的內角的和等于(n-2)×180°
51推論 任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質定理1 平行四邊形的對角相等
53平行四邊形性質定理2 平行四邊形的對邊相等
54推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質定理3 平行四邊形的對角線互相平分
56平行四邊形判定定理1 兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形
57平行四邊形判定定理2 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
58平行四邊形判定定理3 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
59平行四邊形判定定理4 一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形
60矩形性質定理1 矩形的四個角都是直角
初中數(shù)學必背公式361矩形性質定理2 矩形的對角線相等
62矩形判定定理1 有三個角是直角的四邊形是矩形
63矩形判定定理2 對角線相等的平行四邊形是矩形
64菱形性質定理1 菱形的四條邊都相等
65菱形性質定理2 菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角
66菱形面積=對角線乘積的一半,即S=(a×b)÷2
67菱形判定定理1 四邊都相等的四邊形是菱形
68菱形判定定理2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
69正方形性質定理1 正方形的四個角都是直角,四條邊都相等
70正方形性質定理2正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角
71定理1 關于中心對稱的兩個圖形是全等的
72定理2 關于中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經(jīng)過對稱中心,并且被對稱中心平分
73逆定理 如果兩個圖形的對應點連線都經(jīng)過某一點,并且被這一
點平分,那么這兩個圖形關于這一點對稱
74等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等
75等腰梯形的兩條對角線相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形
77對角線相等的梯形是等腰梯形
78平行線等分線段定理 如果一組平行線在一條直線上截得的線段
相等,那么在其他直線上截得的線段也相等
79 推論1 經(jīng)過梯形一腰的中點與底平行的直線,必平分另一腰
80 推論2 經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線,必平分第
三邊
81 三角形中位線定理 三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它
的一半
82 梯形中位線定理 梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的
一半 L=(a+b)÷2 S=L×h
83 (1)比例的基本性質 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
84 (2)合比性質 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性質 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
86 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線,所得的對應
線段成比例
87 推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例
88 定理 如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊
89 平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例
90 定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構成的三角形與原三角形相似
初中數(shù)學必背公式491 相似三角形判定定理1 兩角對應相等,兩三角形相似(ASA)
92 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS)
94 判定定理3 三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS)
95 定理 如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三
角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那么這兩個直角三角形相似
96 性質定理1 相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平
分線的比都等于相似比
97 性質定理2 相似三角形周長的比等于相似比
98 性質定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方
99 任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意銳角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等
于它的余角的正切值
101圓是定點的距離等于定長的點的集合
102圓的內部可以看作是圓心的距離小于半徑的點的集合
103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點的集合
104同圓或等圓的半徑相等
105到定點的距離等于定長的點的軌跡,是以定點為圓心,定長為半
徑的圓
106和已知線段兩個端點的距離相等的點的軌跡,是著條線段的垂直
平分線
107到已知角的兩邊距離相等的點的軌跡,是這個角的平分線
108到兩條平行線距離相等的點的軌跡,是和這兩條平行線平行且距
離相等的一條直線
109定理 不在同一直線上的三點確定一個圓。
110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對的兩條弧
111推論1 ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對的兩條弧
③平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧
112推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
113圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形
114定理 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦
相等,所對的弦的弦心距相等
115推論 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對應的其余各組量都相等
116定理 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半
117推論1 同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等
118推論2 半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所
對的弦是直徑
119推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個三角形是直角三角形
1 利用平行線等分線段定理
例1 已知:如圖1,AB是O的直徑,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.
求證:EC=FD.
圖1
略證 作OGCD于G,則AE∥OG∥BF,CG=GD,
又因為AO=OB,
所以EG=FG,所以EC=FD.
2 利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
圖2例2 已知:如圖2,BE、CF是ABC的兩條高,M、N分別為BC、EF的中點.
求證:MNEF.
略證 連結ME、MF,則
MF=12BC,ME=12BC.
所以MF=ME.
又因為FN=NE,所以MNEF.
例3 如圖3,以RtABC的一條直角邊AC為直徑作O,交斜邊BC于D,E是AB的中點,連結DE.
求證:ED是O的切線.
圖3
略證 連結OD、OE、AD,
因為AC是O的直徑,
所以∠BDA=∠ADC=90°.
又E是AB的中點,
所以ED=EA.
又因為OD=OA,OE=OE.
所以EDO≌EAO.
所以∠EDO=∠EAO=90°,
所以ED是O的切線.
3 利用三角形中位線定理
圖4
例4 已知:如圖4,在RtABC中,∠A=90°,以AC為直徑的O交BC于D,E是AB的中點.
求證:EAAO=ADDC.
略證 連結OE. 因為AE=EB,CO=OA,
所以EO∥BC. 所以∠EOA=∠C.
又∠EAO=∠ADC=90°,
EAO≌ADC,
所以EAAO=ADDC.
圖5
例5 已知:如圖5,四邊形ABCD中,AB=DC. M、N分別為BC、AD的中點,延長BA、CD交MN的延長線于E、F.
求證:∠1=∠2.
所以∠3=∠2, ∠4=∠1.
又因為CD=AB, 所以OM=ON.
所以∠4=∠3,
所以∠1=∠2.
4 利用等腰三角形“三線合一”的性質
圖6
例6 已知:如圖6,ABC中,AC=AB,以AC為直徑的O交BC的中點D. E為O上一點.
求證: ∠DAB=∠E.
略證 因為AB=AC,CD=DB,所以∠DAB=∠DAC,而∠DAC=∠E,
所以∠DAB=∠E.
5 倍長中線,構造全等三角形(或平行四邊形)
圖7
例7 已知:如圖7,ABC中,AB=AC,CM是邊AB上的中線,BD=AB.
求證:CD=2CM.
略證 延長CM到N,使MN=CM.連結BN,易得NBM≌CAM.
所以BN=AC=AB=BD,∠NBA=∠A.由題設易證BCN≌BCD.從而原命題獲證.
6 利用平行四邊形的性質與判定
圖8
例8 如圖8,ABCD中,M、N分別是OA、OC的中點.
證明:略.
例9 已知:如圖9,四邊形ABCD為正方形,∠1=∠2,E為DC的中點.
求證:AF=CD+CF.
圖9
略證 延長AE交BC的延長線于G,易證CEG≌DEA.
從而CG=AD=CD, ∠1=∠G.
而∠1=∠2,所以∠2=∠G.
AF=FG=FC+CG=CD+CF.
例1 等腰三角形的一個角是110°,那么另外兩個角分別是( )。
A.15°,45° B.35°,35° C.40°,40° D.60°,60°
知識點:等腰三角形的性質。
題型:計算題,分類討論。
分析:因為沒有指明這個角是頂角還是底角,所以應該分兩種情況進行分析。
解:①當110°是頂角時,底角=(180°-110°)÷2=35°;②當110°是底角時,另一底角也是110°,因為110°+110°>180°,所以不符合三角形內角和定理即不能構成三角形。故選B。
點評:此題主要考查等腰三角形的性質,注意利用三角形內角和定理進行檢驗。
例2 小華要畫一個有兩邊長分別為7cm和8cm的等腰三角形,則這個等腰三角形的周長是( )。
A.16cm B.17cm C.22cm或23cm D.11cm
知識點:等腰三角形的性質,三角形三邊關系。
題型:應用題。
分析:根據(jù)等腰三角形的性質,本題可分情況討論。腰長為7cm或者腰長為8cm。
解:根據(jù)等腰三角形的概念,有兩邊相等,因而可以是兩條邊長為7或兩條邊長為8。當兩條邊長為7時,周長=7×2+8=22cm;當兩條邊長為8時,周長=8×2+7=23cm。故選C。
點評:本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系。沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況,分類進行討論,還應驗證各種情況是否能構成三角形。
例3 (2009?黔東南州)如圖,在ABC中,AB=AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,則∠A等于( )。
A.30° B.40°
C.45° D.36°
知識點:等腰三角形的性質。
分析:題中相等的邊較多,且都是在同一個三角形中,因為求“角”的度數(shù),將“等邊”轉化為有關的“等角”,充分運用“等邊對等角”這一性質,再聯(lián)系三角形內角和為180°求解此題。
解:BD=AD ∠A=∠ABD
BD=BC ∠BDC=∠C
又∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A
∠C=∠BDC=2∠A
AB=AC ∠ABC=∠C
又∠A+∠ABC+∠C=180°
∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式,得∠A+2×2∠A=180°,解得∠A=36°。
故選D。
點評:本題反復運用了“等邊對等角”,將已知的等邊轉化為有關角的關系,并聯(lián)系三角形的內角和及三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質求解有關角的度數(shù)問題。
例4 若等腰三角形的底邊長為5cm,一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm,則腰長為( )。
A.8cm B.2cm C.2cm或8cm D.以上全不對
知識點:等腰三角形的性質。
題型:計算題。
分析:此題可由題意得出兩種情況,此等腰三角形腰長與底邊長之差為3cm,或底邊長與腰長之差為3cm。再根據(jù)關系解出即可。
解:等腰三角形一腰上的中線把其周長分成的兩部分之差為3cm。
可知有兩種情況:此等腰三角形腰長與底邊長為之差為3cm,或底邊長與腰長之差為3cm。
底邊長為5cm。
其腰長為2cm或8cm。
三角形兩邊之和要大于第三邊,可是如果要為2,則2+2
故選A。
點評:本題主要考查等腰三角形的性質及三角形中線的性質。注意在這里因為它沒有強調誰減誰等于3cm,所以必須分為兩種情況去分析討論。
例5 如圖,在ABC中,∠ABC、∠ACB的平分線交于點P,PD∥AB,PE∥AC,分別交BC于點D、E,且BC=7cm,則PDE的周長為( )。
A.7cm B.8cm
C.9cm D.10cm
知識點:平行線的性質。
分析:可利用角平分線的性質與平行線的性質得出∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠EPC,進而得出PD=BD,PE=CE,故可求解。
解:BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB
∠ABP=∠PBD,∠ACP=∠PCE
又PD∥AB,PE∥AC
∠ABP=∠BPD,∠APC=∠EPC
∠PBD=∠BPD,∠PCE=∠EPC
PD=BD,PE=CE
PDE的周長為PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=7cm
故選A。
點評:考查平行線及角平分線的性質,熟練掌握平行線的性質及角平分線的性質,能夠求解一些簡單的計算問題。
例6 等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共為( )。
A.3 B.5 C.7 D.9
知識點:等邊三角形的性質。
題型:計算題。
分析:根據(jù)等邊三角形三線合一的性質,可以求得等邊三角形每個內角的角平分線和其對應邊的中線、高線重合,即可解題。
解:等邊三角形為特殊的等腰三角形,故每個內角的角平分線和其對應邊的中線、高線均符合三線合一的性質,故等邊三角形角平分線、中線和高的條數(shù)共3條。
故選A。